श्रृंखला (गणित): Difference between revisions
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=== शक्ति श्रृंखला === | === शक्ति श्रृंखला === | ||
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एक शक्ति श्रृंखला | एक शक्ति श्रृंखला प्रपत्र की एक श्रृंखला है | ||
<math display=block>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n.</math> | <math display=block>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n.</math> | ||
फ़ंक्शन के बिंदु c पर टेलर श्रृंखला एक शक्ति श्रृंखला है, जो कई मामलों में, c के पड़ोस में फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है। उदाहरण के लिए | फ़ंक्शन के बिंदु c पर टेलर श्रृंखला एक शक्ति श्रृंखला है, जो कई मामलों में, c के पड़ोस में फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है। उदाहरण के लिए श्रृंखला | ||
<math display=block>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> | <math display=block>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> | ||
की टेलर श्रृंखला है <math>e^x</math> मूल बिंदु पर और प्रत्येक x के लिए इसमें परिवर्तित होता है। | की टेलर श्रृंखला है <math>e^x</math> मूल बिंदु पर और प्रत्येक x के लिए इसमें परिवर्तित होता है। | ||
जब तक यह केवल x = c पर अभिसरण नहीं करता है, ऐसी श्रृंखला जटिल | जब तक यह केवल x = c पर अभिसरण नहीं करता है, ऐसी श्रृंखला जटिल विमान में बिंदु सी पर केंद्रित अभिसरण के एक निश्चित खुले डिस्क पर अभिसरण करती है, और डिस्क की सीमा के कुछ बिंदुओं पर भी अभिसरण कर सकती है। इस डिस्क की त्रिज्या को [[अभिसरण की त्रिज्या]] के रूप में जाना जाता है, और सिद्धांत रूप में गुणांक के asymptotics से निर्धारित किया जा सकता है। अभिसरण की डिस्क के आंतरिक भाग के [[बंद सेट|बंद]] और परिबद्ध (अर्थात, [[कॉम्पैक्ट सेट|कॉम्पैक्ट]]) उपसमुच्चय पर अभिसरण समान है: बुद्धि के लिए, यह [[कॉम्पैक्ट सेट]] पर समान रूप से अभिसरण है। | ||
ऐतिहासिक रूप से, [[लियोनहार्ड यूलर]] जैसे गणितज्ञों ने | ऐतिहासिक रूप से, [[लियोनहार्ड यूलर]] जैसे गणितज्ञों ने अनंत श्रृंखलाओं के साथ उदारतापूर्वक संचालन किया, भले ही वे अभिसरण न हों। उन्नीसवीं शताब्दी में जब कैलकुलस को एक ठोस और सही नींव पर रखा गया था, तो श्रृंखला के अभिसरण के कठोर प्रमाण की हमेशा आवश्यकता थी। | ||
=== औपचारिक शक्ति श्रृंखला === | === औपचारिक शक्ति श्रृंखला === | ||
{{main|Formal power series}} | {{main|Formal power series}} | ||
जबकि शक्ति श्रृंखला के कई उपयोग उनके योगों को संदर्भित करते हैं, शक्ति श्रृंखला को औपचारिक | जबकि शक्ति श्रृंखला के कई उपयोग उनके योगों को संदर्भित करते हैं, यह भी संभव है कि शक्ति श्रृंखला को औपचारिक राशियों के रूप में माना जाए, जिसका अर्थ है कि वास्तव में कोई जोड़ संचालन नहीं किया जाता है, और प्रतीक "+" संयुग्मन का एक सार प्रतीक है जिसे आवश्यक रूप से जोड़ के अनुरूप नहीं समझा जाता है। इस सेटिंग में, श्रृंखला के अभिसरण के बजाय स्वयं [[गुणा|गुणांकों]] का अनुक्रम रुचिकर है। औपचारिक शक्ति श्रृंखला का उपयोग कॉम्बिनेटरिक्स में उन अनुक्रमों का वर्णन और अध्ययन करने के लिए किया जाता है जो अन्यथा संभालना मुश्किल होता है, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन उत्पन्न करने की विधि का उपयोग करना। हिल्बर्ट-पोंकेयर श्रृंखला एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला है जिसका उपयोग श्रेणीबद्ध बीजगणित का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। | ||
भले ही शक्ति श्रृंखला की सीमा पर विचार नहीं किया गया हो, यदि शब्द उचित संरचना का समर्थन करते हैं तो "औपचारिक रूप से" शक्ति श्रृंखला के लिए अतिरिक्त, गुणा, व्युत्पन्न, प्रतिपक्षी जैसे कार्यों को परिभाषित करना संभव है, प्रतीक "+" का इलाज करना जैसे कि यह अतिरिक्त के अनुरूप है। सबसे आम सेटिंग में, शब्द एक [[क्रमविनिमेय अंगूठी]] से आते हैं, ताकि औपचारिक शक्ति श्रृंखला को टर्म-दर-टर्म जोड़ा जा सके और कॉची उत्पाद के माध्यम से गुणा किया जा सके। इस मामले में औपचारिक शक्ति श्रृंखला का बीजगणित अंतर्निहित शब्द वलय पर [[प्राकृतिक संख्या|प्राकृतिक संख्याओं]] के [[मोनोइड]] का [[कुल बीजगणित]] है।<ref>{{citation|author=Nicolas Bourbaki|author-link=Nicolas Bourbaki|title=Algebra|publisher=Springer|year=1989}}: §III.2.11.</ref> यदि अंतर्निहित टर्म रिंग एक डिफरेंशियल बीजगणित है, तो औपचारिक शक्ति श्रृंखला का बीजगणित भी एक डिफरेंशियल बीजगणित है, जिसमें टर्म-बाय-टर्म भेदभाव किया जाता है। | |||
=== लॉरेंट श्रृंखला === | === लॉरेंट श्रृंखला === | ||
| Line 209: | Line 209: | ||
लॉरेंट श्रृंखला नकारात्मक और साथ ही सकारात्मक घातांक के साथ श्रृंखला में शर्तों को स्वीकार करके शक्ति श्रृंखला का सामान्यीकरण करती है। एक लॉरेंट श्रृंखला इस प्रकार किसी भी प्रकार की श्रृंखला है | लॉरेंट श्रृंखला नकारात्मक और साथ ही सकारात्मक घातांक के साथ श्रृंखला में शर्तों को स्वीकार करके शक्ति श्रृंखला का सामान्यीकरण करती है। एक लॉरेंट श्रृंखला इस प्रकार किसी भी प्रकार की श्रृंखला है | ||
<math display=block>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n x^n.</math> | <math display=block>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n x^n.</math>यदि ऐसी श्रृंखला अभिसरण करती है, तो सामान्य तौर पर यह एक डिस्क के बजाय एक [[वलय (गणित)|वलय]] में होती है, और संभवतः कुछ सीमा बिंदुओं पर। श्रृंखला अभिसरण के वलय के आंतरिक भाग के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर समान रूप से अभिसरित होती है। | ||
यदि ऐसी श्रृंखला अभिसरण करती है, तो सामान्य तौर पर यह एक डिस्क के बजाय एक [[वलय (गणित)]] में होती है, और संभवतः कुछ सीमा | |||
=== डिरिचलेट श्रृंखला === | === डिरिचलेट श्रृंखला === | ||
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<math display=block>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.</math> | <math display=block>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.</math> | ||
जेटा फ़ंक्शन की तरह, डिरिचलेट श्रृंखला सामान्य रूप से [[विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत]] में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। आम तौर पर एक डिरिचलेट श्रृंखला अभिसरण करती है यदि s का वास्तविक भाग एक संख्या से अधिक होता है जिसे अभिसरण का भुज | जेटा फ़ंक्शन की तरह, डिरिचलेट श्रृंखला सामान्य रूप से [[विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत]] में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। आम तौर पर एक डिरिचलेट श्रृंखला अभिसरण करती है यदि s का वास्तविक भाग एक संख्या से अधिक होता है जिसे अभिसरण का भुज कहते हैं। कई मामलों में, एक डिरिचलेट श्रृंखला को [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] द्वारा अभिसरण के डोमेन के बाहर एक [[विश्लेषणात्मक कार्य]] में विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ज़ेटा फ़ंक्शन के लिए डिरिचलेट श्रृंखला पूरी तरह से अभिसरण करती है जब Re(s)> 1, लेकिन ज़ेटा फ़ंक्शन को <math>\Complex\setminus\{1\}</math> पर परिभाषित एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है, जिसमें 1 पर एक साधारण [[पोल (जटिल विश्लेषण)|पोल]] होता है। | ||
इस श्रृंखला को सीधे [[सामान्य डिरिचलेट श्रृंखला]] के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। | इस श्रृंखला को सीधे [[सामान्य डिरिचलेट श्रृंखला]] के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। | ||
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===अनंत श्रृंखला का विकास=== | ===अनंत श्रृंखला का विकास=== | ||
[[ग्रीक गणित]] | [[ग्रीक गणित|ग्रीक गणितज्ञ]] [[आर्किमिडीज|आर्किमिडीज़]] ने एक विधि के साथ एक अनंत श्रृंखला का पहला ज्ञात योग तैयार किया जो आज भी कैलकुलस के [[क्षेत्र]] में उपयोग किया जाता है। उन्होंने एक अनंत श्रृंखला के योग के साथ एक [[परवलय]] के चाप के नीचे के क्षेत्र की गणना करने के लिए [[थकावट की विधि]] का उपयोग किया, और π का उल्लेखनीय रूप से सटीक अनुमान लगाया।<ref>{{cite web | title = कैलकुलस का इतिहास|author1=O'Connor, J.J. |author2=Robertson, E.F. |name-list-style=amp | publisher = [[University of St Andrews]]| url = http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html |date=February 1996|access-date= 2007-08-07}}</ref><ref>{{cite journal|url=http://eric.ed.gov/ERICWebPortal/custom/portlets/recordDetails/detailmini.jsp?_nfpb=true&_&ERICExtSearch_SearchValue_0=EJ502088&ERICExtSearch_SearchType_0=no&accno=EJ502088|title=आर्किमिडीज और पाई-रिविजिटेड।|first=Bidwell, James|last=K.|date=30 November 1993|journal=School Science and Mathematics|volume=94|issue=3}}</ref> | ||
केरल, भारत के गणितज्ञों ने 1350 | केरल, भारत के गणितज्ञों ने 1350 CE के आस-पास अनंत श्रृंखला का अध्ययन किया।<ref>{{cite web|url=http://www.manchester.ac.uk/discover/news/article/?id=2962|title=भारतीयों ने न्यूटन की 'खोज' को 250 साल पहले कर दिया था|website=manchester.ac.uk}}</ref> | ||
17वीं शताब्दी में, जेम्स ग्रेगोरी | |||
17वीं शताब्दी में, जेम्स ग्रेगोरी ने नई [[दशमलव]] प्रणाली में अनंत श्रृंखला पर काम किया और कई [[मैकलॉरिन श्रृंखला]] प्रकाशित कीं। 1715 में, सभी कार्यों के लिए टेलर श्रृंखला के निर्माण के लिए एक सामान्य विधि, जिसके लिए वे मौजूद हैं, [[ब्रुक टेलर]] द्वारा प्रदान की गई थी। 18वीं शताब्दी में लियोनहार्ड यूलर ने हाइपरज्यामितीय श्रृंखला और क्यू-श्रृंखला के सिद्धांत को विकसित किया। | |||
=== अभिसरण मानदंड === | === अभिसरण मानदंड === | ||
अपरिमित | अपरिमित श्रेणी की वैधता की जांच 19वीं शताब्दी में [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस|गॉस]] से शुरू मानी जाती है। यूलर ने पहले से ही हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला पर विचार किया था | ||
<math display=block>1 + \frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1 \cdot 2 \cdot \gamma(\gamma+1)}x^2 + \cdots</math> | <math display=block>1 + \frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1 \cdot 2 \cdot \gamma(\gamma+1)}x^2 + \cdots</math> | ||
जिस पर गॉस ने | जिस पर 1812 में गॉस ने एक संस्मरण प्रकाशित किया। इसने अभिसरण के सरल मानदंड, और अवशेषों के प्रश्न और अभिसरण की सीमा को स्थापित किया। | ||
[[कॉची]] (1821) ने अभिसरण के | [[कॉची]] (1821) ने अभिसरण के कठोर परीक्षण पर जोर दिया; उन्होंने दिखाया कि यदि दो श्रृंखलाएं अभिसारी हैं तो उनका उत्पाद आवश्यक रूप से ऐसा नहीं है, और उसके साथ प्रभावी मानदंडों की खोज शुरू होती है। ग्रेगरी (1668) द्वारा अभिसरण और विचलन शब्द बहुत पहले पेश किए गए थे। लिओनहार्ड यूलर और गॉस ने विभिन्न मापदंड दिए थे, और [[कॉलिन मैकलॉरिन]] ने कॉची की कुछ खोजों का अनुमान लगाया था। कॉची ने इस तरह के रूप में एक जटिल कार्य के विस्तार के द्वारा शक्ति श्रृंखला के सिद्धांत को आगे बढ़ाया। | ||
[[नील्स हेनरिक एबेल]] (1826) [[द्विपद श्रृंखला]] पर अपने संस्मरण में | [[नील्स हेनरिक एबेल]] (1826) [[द्विपद श्रृंखला]] पर अपने संस्मरण में | ||
<math display=block>1 + \frac{m}{1!}x + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + \cdots</math> | <math display=block>1 + \frac{m}{1!}x + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + \cdots</math> | ||
कॉची के कुछ निष्कर्षों को सही किया, और | कॉची के कुछ निष्कर्षों को सही किया, और <math>m</math> और <math>x</math> के जटिल मानों के लिए श्रृंखला का एक पूर्ण वैज्ञानिक योग दिया। उन्होंने अभिसरण के प्रश्नों में निरंतरता के विषय पर विचार करने की आवश्यकता को दिखाया। | ||
कॉची के तरीकों ने सामान्य मानदंडों के बजाय विशेष का नेतृत्व किया, और | कॉची के तरीकों ने सामान्य मानदंडों के बजाय विशेष का नेतृत्व किया, और [[जोसेफ लुडविग राबे|राबे]] (1832) के बारे में भी यही कहा जा सकता है, जिन्होंने [[अगस्त डी मॉर्गन|डी मॉर्गन]] (1842 से) के विषय की पहली विस्तृत जांच की, जिनके लॉगरिदमिक टेस्ट [[पॉल डु बोइस-रेमंड|डुबोइस-रेमंड]] (1873) और [[अल्फ्रेड प्रिंगशाइम|प्रिंगशाइम]] (1889) ने एक निश्चित क्षेत्र में विफल होने को दिखाया है; बर्ट्रेंड (1842), [[पियरे ओसियन बोनट|बोनट]] (1843), [[कार्ल जोहान मालमस्टन|मालमस्टन]] (1846, 1847, एकीकरण के बिना बाद वाला); [[जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स|स्टोक्स]] (1847), [[पॉकर]] (1852), [[Chebyshev|चेबिशेव]] (1852), और अरंड्ट (1853)। | ||
[[जोसेफ लुडविग राबे]] (1832) के बारे में भी यही कहा जा सकता है, जिन्होंने [[अगस्त डी मॉर्गन]] (1842 से) के विषय की पहली विस्तृत जांच की, जिनके | |||
एक निश्चित क्षेत्र में विफल दिखाया | |||
(1843), [[कार्ल जोहान मालमस्टन]] (1846, 1847, एकीकरण के बिना | |||
(1853)। | |||
सामान्य मानदंड [[आन्ट]] | सामान्य मानदंड [[आन्ट|कुमेर]] (1835) के साथ शुरू हुआ, और ईसेनस्टीन (1847), [[विअरस्ट्रास|वेइरस्ट्रास]] द्वारा कार्यों के सिद्धांत, दीनी (1867), डुबोइस-रेमंड (1873), और कई अन्य लोगों के लिए उनके विभिन्न योगदानों का अध्ययन किया गया है। प्रिंग्सहाइम के संस्मरण (1889) सबसे पूर्ण सामान्य सिद्धांत प्रस्तुत करते हैं। | ||
कार्यों के सिद्धांत | |||
डुबोइस-रेमंड (1873), और कई | |||
=== एक समान अभिसरण === | === एक समान अभिसरण === | ||
कॉची (1821) द्वारा | कॉची (1821) द्वारा समान अभिसरण के सिद्धांत का इलाज किया गया था, उसकी सीमाओं को हाबिल ने इंगित किया था, लेकिन सबसे पहले इस पर सफलतापूर्वक हमला करने वाले [[फिलिप लुडविग वॉन सेडेल|सेडेल]] और स्टोक्स (1847-48) थे। कॉची ने समस्या को फिर से उठाया (1853), एबेल की आलोचना को स्वीकार करते हुए, और उसी निष्कर्ष पर पहुंचे जो स्टोक्स पहले ही पा चुके थे। थोमे ने सिद्धांत (1866) का इस्तेमाल किया, लेकिन कार्यों के सिद्धांत की मांग के बावजूद, वर्दी और गैर-समान अभिसरण के बीच अंतर करने के महत्व को पहचानने में बहुत देरी हुई। | ||
[[फिलिप लुडविग वॉन सेडेल]] और | |||
सिद्धांत (1866), लेकिन वर्दी और गैर | |||
=== अर्ध-अभिसरण === | === अर्ध-अभिसरण === | ||
एक श्रृंखला को अर्ध-अभिसरण (या सशर्त रूप से अभिसारी) कहा जाता है यदि यह अभिसरण है लेकिन पूर्ण अभिसरण नहीं है। | एक श्रृंखला को अर्ध-अभिसरण (या सशर्त रूप से अभिसारी) कहा जाता है यदि यह अभिसरण है लेकिन पूर्ण अभिसरण नहीं है। | ||
अर्ध-अभिसरण श्रृंखला का अध्ययन पोइसन (1823) द्वारा किया गया, जिन्होंने | अर्ध-अभिसरण श्रृंखला का अध्ययन पोइसन (1823) द्वारा किया गया, जिन्होंने मैकलॉरिन सूत्र के शेष भाग के लिए एक सामान्य रूप भी दिया। हालाँकि, समस्या का सबसे महत्वपूर्ण समाधान जैकोबी (1834) के कारण है, जिन्होंने एक अलग दृष्टिकोण से शेष के प्रश्न पर हमला किया और एक अलग सूत्र पर पहुँचे। इस अभिव्यक्ति पर भी काम किया गया था, और एक अन्य माल्मस्टेन (1847) द्वारा दिया गया था। Schlömilch (Zeitschrift, Vol.I, पृष्ठ 192, 1856) ने भी जैकोबी के शेष में सुधार किया, और शेष और Bernoulli के कार्य के बीच के संबंध को दिखाया | ||
<math display=block>F(x) = 1^n + 2^n + \cdots + (x - 1)^n.</math> | <math display=block>F(x) = 1^n + 2^n + \cdots + (x - 1)^n.</math> | ||
[[एंजेलो जेनोची]] (1852) ने सिद्धांत में और योगदान दिया है। | [[एंजेलो जेनोची]] (1852) ने सिद्धांत में और योगदान दिया है। | ||
शुरुआती लेखकों में [[जोसेफ होएने-व्रोनस्की]] थे, जिनके लोई सुप्रीम (1815) को [[आर्थर केली]] (1873) | शुरुआती लेखकों में [[जोसेफ होएने-व्रोनस्की|व्रोनस्की]] थे, जिनके "लोई सुप्रीम" (1815) को [[आर्थर केली|केली]] (1873) ने इसे प्रमुखता में लाने तक मुश्किल से पहचाना था। | ||
=== फूरियर श्रृंखला === | === फूरियर श्रृंखला === | ||
फूरियर श्रृंखला की जांच की जा रही थी | भौतिक विचारों के परिणाम के रूप में फूरियर श्रृंखला की जांच की जा रही थी, उसी समय जब गॉस, एबेल और कौची अनंत श्रृंखला के सिद्धांत पर काम कर रहे थे। ज्या और कोसाइन के विस्तार के लिए श्रृंखला, चाप की ज्या और कोज्या की शक्तियों में कई चापों का उपचार [[जैकब बर्नौली]] (1702) और उनके भाई [[जोहान बर्नौली]] (1701) द्वारा किया गया था और इससे भी पहले विएटा द्वारा। यूलर और [[जोसेफ लुइस लाग्रेंज|लाग्रेंज]] ने इस विषय को सरल बनाया, जैसा कि [[लुइस पॉइन्सॉट|पॉइन्सॉट]], श्रोटर, [[जेम्स व्हिटब्रेड ली ग्लैशर|ग्लैशर]] और कुमेर ने किया। | ||
गॉस, एबेल और | |||
चाप की ज्या और कोज्या की शक्तियों में | |||
[[जैकब बर्नौली]] (1702) और उनके भाई [[जोहान बर्नौली]] (1701) और | |||
पहले | |||
जैसा कि [[लुइस पॉइन्सॉट]], | |||
फूरियर (1807) ने | फूरियर (1807) ने खुद के लिए एक अलग समस्या निर्धारित की, एक्स के गुणकों के ज्या या कोज्या के संदर्भ में एक्स के दिए गए फ़ंक्शन का विस्तार करने के लिए, एक समस्या जिसे उन्होंने अपने थ्योरी एनालिटिक डे ला चालेर (1822) में शामिल किया। श्रृंखला में गुणांकों के निर्धारण के लिए यूलर ने सूत्र पहले ही दे दिए थे; फूरियर पहले व्यक्ति थे जिन्होंने सामान्य प्रमेय को प्रमाणित करने का प्रयास किया। प्वासों (1820-23) ने भी समस्या पर एक भिन्न दृष्टिकोण से आक्रमण किया। फूरियर ने, हालांकि, अपनी श्रृंखला के अभिसरण के प्रश्न का समाधान नहीं किया, यह मामला [[ऑगस्टिन लुइस कॉची|कॉची]] (1826) के लिए प्रयास करने के लिए और डिरिचलेट (1829) के लिए पूरी तरह से वैज्ञानिक तरीके से संभालने के लिए छोड़ दिया गया था ([[फूरियर श्रृंखला का अभिसरण]] देखें)। त्रिकोणमितीय श्रृंखला का डिरिचलेट का उपचार (क्रेले, 1829), रीमैन (1854), हेइन, [[रूडोल्फ लिपशिट्ज|लिपशिट्ज]], श्लाफली और डु बोइस-रेमंड द्वारा आलोचना और सुधार का विषय था। त्रिकोणमितीय और फूरियर श्रृंखला के सिद्धांत के अन्य प्रमुख योगदानकर्ताओं में दीनी, [[चार्ल्स हर्मिट|हर्मिट]], [[जॉर्जेस हेनरी हलफेन|हलफेन]], क्रूस, बायरली और अपेल थे। | ||
एक्स के | |||
फूरियर पहले व्यक्ति थे जिन्होंने | |||
प्रयास और डिरिचलेट (1829) के लिए पूरी तरह से संभालने के लिए | |||
रीमैन (1854), हेइन, [[रूडोल्फ लिपशिट्ज]], | |||
क्रूस, | |||
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=== [[स्पर्शोन्मुख श्रृंखला]] === | === [[स्पर्शोन्मुख श्रृंखला]] === | ||
स्पर्शोन्मुख श्रृंखला, अन्यथा [[स्पर्शोन्मुख विस्तार]], अनंत श्रृंखलाएँ हैं जिनके आंशिक योग डोमेन के कुछ बिंदुओं की सीमा में अच्छे सन्निकटन बन जाते हैं। सामान्य तौर पर वे अभिसरण नहीं करते हैं, लेकिन वे सन्निकटन के अनुक्रम के रूप में उपयोगी होते हैं, जिनमें से प्रत्येक शब्दों की सीमित संख्या के लिए वांछित उत्तर के करीब | स्पर्शोन्मुख श्रृंखला, अन्यथा [[स्पर्शोन्मुख विस्तार]], अनंत श्रृंखलाएँ हैं जिनके आंशिक योग डोमेन के कुछ बिंदुओं की सीमा में अच्छे सन्निकटन बन जाते हैं। सामान्य तौर पर वे अभिसरण नहीं करते हैं, लेकिन वे सन्निकटन के अनुक्रम के रूप में उपयोगी होते हैं, जिनमें से प्रत्येक शब्दों की सीमित संख्या के लिए वांछित उत्तर के करीब एक मूल्य प्रदान करता है। अंतर यह है कि एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला को वांछित के रूप में सटीक उत्तर देने के लिए नहीं बनाया जा सकता है, जिस तरह से अभिसारी श्रृंखला हो सकती है। वास्तव में, शब्दों की एक निश्चित संख्या के बाद, एक विशिष्ट स्पर्शोन्मुख श्रृंखला अपने सर्वोत्तम सन्निकटन तक पहुँचती है; यदि अधिक शर्तें शामिल की जाती हैं, तो ऐसी अधिकांश श्रृंखलाएं खराब उत्तर उत्पन्न करेंगी। | ||
=== अपसारी श्रृंखला === | === अपसारी श्रृंखला === | ||
{{Main|Divergent series}} | {{Main|Divergent series}} | ||
कई परिस्थितियों में, एक श्रृंखला के लिए एक सीमा निर्धारित करना वांछनीय है जो सामान्य अर्थों में अभिसरण करने में विफल रहता है। एक संकलनीयता विधि अपसारी श्रृंखला के समुच्चय के एक उपसमुच्चय की सीमा का ऐसा नियतन है जो अभिसरण की शास्त्रीय धारणा को | |||