द्विपद प्रमेय: Difference between revisions

Revision as of 00:19, 13 December 2022

{\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}

द्विपद गुणांक(एनके) पास्कल के त्रिभुज की nवीं पंक्ति में केवें प्रविष्टि के रूप में प्रतीत होता है, गिनती 0 से शुरू होती है। प्रत्येक प्रविष्टि इसके ऊपर दो का योग होता है।

प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय (या द्विपद विस्तार) द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद $(x + y) n$ को $ax b y c$ के रूप में पद वाले योग से विस्तारित करना संभव होता है, जहां घातांक $b$ तथा $c$ के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $b + c = n$ हैं और गुणांक $a$ के प्रत्येक पद का एक विशिष्ट धनात्मक पूर्णांक है जो $n$ और $b$ पर निर्भर करता है। तथा उदाहरण के लिए, के लिए $n = 4$ ,

(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.

$ax b y c$ के पद में गुणांक a को द्विपद गुणांक ${\tbinom {n}{b}}$ या ${\tbinom {n}{c}}$ के रूप में जाना जाता है, दोनों का मूल्य समान होता है। अलग-अलग के लिए ये गुणांक $n$ तथा $b$ पास्कल का त्रिभुज बनाने के लिए व्यवस्थित किया जाता है। ये नंबर साहचर्य में भी होते हैं, जहां ${\tbinom {n}{b}}$ उन तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या देता है जिन्हें n-तत्व के समुच्चय से चुना जाता है। इसलिए ${\tbinom {n}{b}}$ को अधिकांशता $n$ और $b$ के रूप में उच्चारित किया जाता है।

इतिहास

द्विपद प्रमेय में विशेष स्थितियां कम से कम चौथी शताब्दी ईसा पूर्व से ज्ञात थी, जब यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने घातांक $2$ के लिए द्विपद प्रमेय के विशेष स्थितियो का उल्लेख किया था।^[1]^[2] इस बात के प्रमाण हैं कि घन के लिए द्विपद प्रमेय भारत में छठी शताब्दी ईस्वी तक जाना जाता था।^[1]^[2]

बिना प्रतिस्थापन के $n$ में $k$ वस्तुओं के चयन तरीकों की संख्या को व्यक्त करने वाले संयोजी मात्राओं के रूप में द्विपद गुणांक, प्राचीन भारतीय गणितज्ञों के लिए रुचिकर थे। इस संयोजी समस्या का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ, भारतीय गीतकार पिंगला द्वारा रचित चंदशास्त्र है। 200 ईसा पूर्व, जिसमें इसके समाधान की विधि निहित है।^[3]^: 230 10वीं शताब्दी ईस्वी के टिप्पणीकार हलायुध ने इस विधि की व्याख्या की है जिसे अब पास्कल के त्रिकोण के रूप में जाना जाता है।^[3] छठी शताब्दी ईस्वी तक, भारतीय गणितज्ञ शायद यह जानते थे कि इसे भागफल के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए ${\textstyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$ ,^[4] और इस नियम का स्पष्ट विवरण भास्कर द्वितीय द्वारा लिखित 12वीं शताब्दी के ग्रंथ लीलावती में पाया जाता है।^[4]

हमारे ज्ञान के लिए द्विपद प्रमेय और द्विपद गुणांक की तालिका का पहला सूत्रीकरण, अल-काराजी के एक काम में पाया जा सकता है, जिसे अल-समावली ने अपने अल-बहिर में उद्धृत किया है।^[5]Cite error: Closing </ref> missing for <ref> tag अल-काराजी ने द्विपद गुणांकों के त्रिकोणीय डिज़ाइन का वर्णन किया^[6] और गणितीय प्रेरण के प्रारंभिक रूप का उपयोग करते हुए द्विपद प्रमेय और पास्कल त्रिकोण दोनों का गणितीय प्रमाण भी प्रदान किया।^[6] फारसी कवि और गणितज्ञ उमर खय्याम शायद उच्च क्रम के सूत्र से परिचित थे, चूँकि, उनके कई गणितीय कार्य गुम हो गए थे।^[2] 13वीं शताब्दी के यांग हुई के गणितीय कार्यों में छोटी घात के द्विपद विस्तार ज्ञात थे^[7] और चू शिह-चीह भी।^[2] यांग हुई ने इस पद्धति का श्रेय जिया जियान के 11वीं शताब्दी के पाठ को दिया है, चूँकि, अब वे लेख भी खो गए हैं।^[3]^: 142

1544 में, माइकल स्टिफ़ेल ने द्विपद गुणांक शब्द को पेश किया और दिखाया कि उन्हें कैसे व्यक्त किया जाए $(1+a)^{n}$ के अनुसार $(1+a)^{n-1}$ पास्कल के त्रिकोण के माध्यम से।^[8] ब्लेज़ पास्कल ने अपने ट्रैटे डू त्रिकोण अंकगणित में व्यापक रूप से नामांकित त्रिभुज का अध्ययन किया।^[9] चूँकि, संख्याओं का डिज़ाइन पहले ही देर से पुनर्जागरण के यूरोपीय गणितज्ञों के लिए जाना जाता था, जिसमें स्टिफ़ेल, निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया और साइमन स्टीविन सम्मिलित थे।^[8]

आईएएएसी न्यूटन को सामान्यता सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय के साथ श्रेय दिया जाता है, जो किसी भी तर्कसंगत घातांक के लिए मान्य होता है।^[8]^[10]

कथन

प्रमेय के अनुसार, $x + y$ फॉर्म के योग में किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात का विस्तार करना संभव होता है।

{(x + y)}^{n} = (\binom{n}{0}) x^{n} y^{0} + (\binom{n}{1}) x^{n - 1} y^{1} + (\binom{n}{2}) x^{n - 2}

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 [[File:binomial_theorem_visualisation.svg|thumb|300px|चौथी शक्ति तक द्विपद विस्तार का दृश्य]]{{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} के सकारात्मक मूल्यों के लिए द्विपद प्रमेय के साथ {{math|1=''n'' = 2}} ज्यामितीय रूप से स्पष्ट तथ्य यह है कि भुजा {{math|''a'' + ''b''}} वाले वर्ग को भुजा {{mvar|a}} वाले वर्ग, भुजा {{mvar|b}},वाले वर्ग और भुजाओं {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}}.वाले दो आयतों में काटा जा सकता है। {{math|1=''n'' = 3}} के साथ, प्रमेय कहता है कि भुजा {{math|''a'' + ''b''}} के घन को भुजा {{mvar|a}} के घन, भुजा {{mvar|b}} के घन, तीन  {{math|''a'' × ''a'' × ''b''}}  आयताकार बक्से, और तीन {{math|''a'' × ''b'' × ''b''}} आयताकार बक्से में काटा जा सकता है।
-कलन में, यह चित्र अवकलज का ज्यामितीय प्रमाण भी देता है <math>(x^n)'=nx^{n-1}:</math><ref name="barth2004">{{cite journal | last = Barth | first = Nils R.| title = ''एन''-क्यूब की समरूपता द्वारा कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र की गणना| doi = 10.2307/4145193 | jstor = 4145193 | journal = The American Mathematical Monthly| issn = 0002-9890| volume = 111| issue = 9| pages = 811–813 | date=2004}}</ref> अगर कोई सम्मुचय करता है <math>a=x</math> तथा <math>b=\Delta x,</math> {{mvar|b}} को {{mvar|a}} में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन के रूप में व्याख्या करना,  यह चित्र एक {{mvar|n}}-आयामी अतिविम के आयतन में अतिसूक्ष्म परिवर्तन को दर्शाता है,<math>(x+\Delta x)^n,</math> जहां रैखिक शब्द का गुणांक (में <math>\Delta x</math>) है <math>nx^{n-1},</math>  {{mvar|n}} फेसेस का क्षेत्र, प्रत्येक का आयाम {{math|''n'' &minus; 1}} है<math display="block">(x+\Delta x)^n = x^n + nx^{n-1}\Delta x + \binom{n}{2}x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots.</math>
+कलन में, यह चित्र अवकलज का ज्यामितीय प्रमाण भी देता है <math>(x^n)'=nx^{n-1}:</math><ref name="barth2004">{{cite journal | last = Barth | first = Nils R.| title = ''एन''-क्यूब की समरूपता द्वारा कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र की गणना| doi = 10.2307/4145193 | jstor = 4145193 | journal = The American Mathematical Monthly| issn = 0002-9890| volume = 111| issue = 9| pages = 811–813 | date=2004}}</ref> अगर कोई सम्मुचय करता है <math>a=x</math> तथा <math>b=\Delta x,</math> {{mvar|b}} को {{mvar|a}} में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन के रूप में व्याख्या करना,  यह चित्र एक {{mvar|n}}-आयामी अतिविम के आयतन में अतिसूक्ष्म परिवर्तन को दर्शाता है,<math>(x+\Delta x)^n,</math> जहां रैखिक शब्द का गुणांक (में <math>\Delta x</math>) है <math>nx^{n-1},</math>  {{mvar|n}} फलकों का क्षेत्र, प्रत्येक का आयाम {{math|''n'' &minus; 1}} है<math display="block">(x+\Delta x)^n = x^n + nx^{n-1}\Delta x + \binom{n}{2}x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots.</math>एक अंतर भागफल और सीमा लेने के माध्यम से व्युत्पन्न की परिभाषा में इसे प्रतिस्थापित करने का अर्थ है कि उच्च क्रम की शर्तें, <math>(\Delta x)^2</math> और उच्चतर, नगण्य हो जाते हैं, और सूत्र प्राप्त करते हैं <math>(x^n)'=nx^{n-1},</math> के रूप में व्याख्या की है, किसी {{mvar|n}}-घन के आयतन में परिवर्तन की अतिसूक्ष्म दर, भुजा की लंबाई के रूप में भिन्न होती है, इसके {{math|(''n'' &minus; 1)}} विमीय फलकों के n का क्षेत्रफ है।
+यदि कोई इस चित्र को समाकलित करता है, जो कलन के मौलिक प्रमेय को लागू करने के अनुरूप है, तो उससे कैवलियरी का चतुर्भुज सूत्र, समाकलन प्राप्त होता है <math>\textstyle{\int x^{n-1}\,dx = \tfrac{1}{n} x^n}</math> - विवरण के लिए कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र का प्रमाण देखें।<ref name="barth2004" />
-एक अंतर भागफल और सीमा लेने के माध्यम से व्युत्पन्न की परिभाषा में इसे प्रतिस्थापित करने का अर्थ है कि उच्च क्रम की शर्तें, <math>(\Delta x)^2</math> और उच्चतर, नगण्य हो जाते हैं, और सूत्र प्राप्त करते हैं <math>(x^n)'=nx^{n-1},</math> के रूप में व्याख्या की है
-किसी {{mvar|n}}-घन के आयतन में परिवर्तन की अतिसूक्ष्म दर, भुजा की लंबाई के रूप में भिन्न होती है, इसके {{math|(''n'' &minus; 1)}} विमीय फलकों के n का क्षेत्रफ है।
-यदि कोई इस चित्र को एकीकृत करता है, जो कलन के मौलिक प्रमेय को लागू करने के अनुरूप है, तो उससे कैवलियरी का चतुर्भुज सूत्र, समाकलन प्राप्त होता है <math>\textstyle{\int x^{n-1}\,dx = \tfrac{1}{n} x^n}</math> - विवरण के लिए कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र का प्रमाण देखें।<ref name="barth2004" />
 {{clear}}
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 जिसे क्रमगुणित फलन {{math|''n''!}} के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। समतुल्य रूप से यह सूत्र लिखा जा सकता है
 <math display="block">\binom{n}{k} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell} = \prod_{\ell=0}^{k-1} \frac{n-\ell}{k - \ell}</math>
-भिन्न के अंश और हर दोनों में {{mvar|k}} गुणकों के साथ। चूँकि इस सूत्र में एक अंश सम्मिलित है, द्विपद गुणांक <math>\tbinom{n}{k}</math> वास्तव में एक पूर्णांक है।
+भिन्न के अंश और हर दोनों में {{mvar|k}} गुणकों के साथ है। चूँकि इस सूत्र में एक अंश सम्मिलित है, द्विपद गुणांक <math>\tbinom{n}{k}</math> वास्तव में एक पूर्णांक है।
 === मिश्रित व्याख्या ===
 द्विपद गुणांक <math> \tbinom nk </math> की व्याख्या {{mvar|n}}-तत्व सम्मुचय से {{mvar|k}} तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या के रूप में की जा सकती है। यह निम्नलिखित कारणों से द्विपदों से संबंधित है, यदि हम {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} को गुणनफल के रूप में लिखते हैं।
-<math display="block">(x+y)(x+y)(x+y)\cdots(x+y),</math>
+<math display="block">(x+y)(x+y)(x+y)\cdots(x+y),</math><br />फिर, वितरण नियम के अनुसार, गुणनफल के प्रत्येक द्विपद से {{mvar|x}} या {{mvar|y}} के प्रत्येक विकल्प के विस्तार में एक शब्द होता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक द्विपद से x को चुनने के संगत केवल एक पद {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} होता है। चूँकि , {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}}, के रूप में कई पद होते है, {{mvar|y}}.का योगदान करने के लिए ठीक दो द्विपदों को चुनने के प्रत्येक तरीके के लिए हैं। इसलिए, समान पदों के संयोजन के बाद, का गुणांक {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}} {{mvar|n}}-तत्व सम्मुचय से ठीक {{math|2}} तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या के बराबर होता है।
-फिर, वितरण नियम के अनुसार, गुणनफल के प्रत्येक द्विपद से {{mvar|x}} या {{mvar|y}} के प्रत्येक विकल्प के विस्तार में एक शब्द होगा। उदाहरण के लिए, प्रत्येक द्विपद से x को चुनने के संगत केवल एक पद {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} होगा। चूँकि , {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}}, के रूप में {{mvar|y}}.योगदान करने के लिए बिल्कुल दो द्विपक्षीय चुनने के प्रत्येक तरीके के लिए एक हैं। इसलिए, समान पदों के संयोजन के बाद, का गुणांक {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}} {{mvar|n}}-तत्व सम्मुचय से बिल्कुल {{math|2}} तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या के बराबर होगा।
 == प्रमाण ==

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