घनमूल

का प्लॉट y = ³√x. कथानक उत्पत्ति के संबंध में सममित है, क्योंकि यह एक विषम कार्य है। पर x = 0 इस ग्राफ में एक लंबवत स्पर्शरेखा है।

एक इकाई घन (भुजा = 1) और एक घन जिसका आयतन दोगुना (भुजा = ³√2 = 1.2599... OEIS: A002580).

गणित में, किसी संख्या का घनमूल x एक संख्या है y ऐसा है कि y³ = x. सभी गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं में ठीक एक वास्तविक घनमूल और जटिल संयुग्मी घनमूलों की एक जोड़ी होती है, और सभी गैर-शून्य जटिल संख्याओं में तीन अलग-अलग जटिल घनमूल होते हैं। उदाहरण के लिए, का वास्तविक घनमूल 8, निरूपित ${\sqrt[{3}]{8}}$, है 2, इसलिये 2³ = 8, जबकि अन्य घनमूल 8 हैं $-1+i{\sqrt {3}}$ तथा $-1-i{\sqrt {3}}$. के तीन घनमूल −27i हैं

$3i,\quad {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i,\quad {\text{and}}\quad -{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i.$

कुछ संदर्भों में, विशेष रूप से जब वह संख्या जिसका घनमूल लिया जाना है, एक वास्तविक संख्या है, तो घनमूलों में से एक (इस विशेष मामले में वास्तविक) को मूल घनमूल के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसे मूल चिह्न के साथ दर्शाया जाता है। ${\sqrt[{3}]{~^{~}}}.$ घनमूल केवल वास्तविक संख्याओं पर विचार करने पर घन (बीजगणित) का व्युत्क्रम कार्य है, लेकिन यदि जटिल संख्याओं पर भी विचार नहीं किया जाता है: हालांकि किसी के पास हमेशा होता है $\left({\sqrt[{3}]{x}}\right)^{3}=x,$ एक शून्येतर संख्या के घन में एक से अधिक सम्मिश्र घनमूल होते हैं और इसका मुख्य घनमूल वह संख्या नहीं हो सकती है जिसका घनीकरण किया गया था। उदाहरण के लिए, $(-1+i{\sqrt {3}})^{3}=8$, लेकिन $-1+i{\sqrt {3}}\neq {\sqrt[{3}]{8}}=2.$

औपचारिक परिभाषा

किसी संख्या x का घनमूल वह संख्या y है जो समीकरण को संतुष्ट करती है

$y^{3}=x.\$

गुण

वास्तविक संख्या

किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए, एक वास्तविक संख्या y ऐसी होती है कि y³ = x. घन (बीजगणित) बढ़ रहा है, इसलिए दो अलग-अलग इनपुट के लिए समान परिणाम नहीं देता है, और यह सभी वास्तविक संख्याओं को शामिल करता है। दूसरे शब्दों में, यह एक आक्षेप, या एक-से-एक है। फिर हम एक उलटा कार्य परिभाषित कर सकते हैं जो एक-से-एक भी है। वास्तविक संख्याओं के लिए, हम सभी वास्तविक संख्याओं के एक अद्वितीय घनमूल को परिभाषित कर सकते हैं। यदि इस परिभाषा का उपयोग किया जाता है, तो एक ऋणात्मक संख्या का घनमूल एक ऋणात्मक संख्या होती है।

1 के तीन घनमूल

यदि x और y को सम्मिश्र संख्या होने की अनुमति है, तो इसके तीन समाधान हैं (यदि x गैर-शून्य है) और इसलिए x के तीन घनमूल हैं। एक वास्तविक संख्या में एक वास्तविक घनमूल और दो और घनमूल होते हैं जो एक जटिल संयुग्म जोड़ी बनाते हैं। उदाहरण के लिए, 1 का घनमूल हैं:

$1,\quad -{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\quad -{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.$

इनमें से अंतिम दो मूल किसी भी वास्तविक या सम्मिश्र संख्या के सभी मूलों के बीच संबंध की ओर ले जाते हैं। यदि कोई संख्या किसी विशेष वास्तविक या सम्मिश्र संख्या का एक घनमूल है, तो अन्य दो घनमूल उस घनमूल को 1 के दो जटिल घनमूलों में से एक या दूसरे से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है।

जटिल संख्या

इसके दो अतिरिक्त पत्तों के साथ जटिल घनमूल का प्लॉट। पहली छवि मुख्य शाखा को दिखाती है, जिसका वर्णन पाठ में किया गया है।

घनमूल की रीमैन सतह। कोई देख सकता है कि तीनों पत्ते एक साथ कैसे फिट होते हैं।

सम्मिश्र संख्याओं के लिए, मुख्य घनमूल को आमतौर पर उस घनमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका सबसे बड़ा वास्तविक भाग होता है, या, समकक्ष रूप से, वह घनमूल जिसका तर्क (जटिल विश्लेषण) सबसे कम निरपेक्ष मान रखता है। यह सूत्र द्वारा प्राकृतिक लघुगणक के प्रमुख मान से संबंधित है

$x^{\frac {1}{3}}=\exp \left({\frac {1}{3}}\ln {x}\right).$

यदि हम x को इस रूप में लिखते हैं

$x=r\exp(i\theta )\,$

जहाँ r एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या है और θ परिसर में स्थित है

$-\pi <\theta \leq \pi$,

तो प्रिंसिपल कॉम्प्लेक्स क्यूब रूट है

${\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).$

इसका मतलब है कि ध्रुवीय निर्देशांक में, हम घनमूल को परिभाषित करने के लिए त्रिज्या का घनमूल ले रहे हैं और ध्रुवीय कोण को तीन से विभाजित कर रहे हैं। इस परिभाषा के साथ, एक ऋणात्मक संख्या का मुख्य घनमूल एक सम्मिश्र संख्या है, और उदाहरण के लिए ³√−8 -2 नहीं होगा, बल्कि होगा 1 + i√3.

क्यूब रूट को बहु-मूल्यवान कार्य के रूप में मानकर इस कठिनाई को भी हल किया जा सकता है: यदि हम मूल जटिल संख्या x को तीन समतुल्य रूपों में लिखते हैं, अर्थात्

$x={\begin{cases}r\exp(i\theta ),\\[3px]r\exp(i\theta +2i\pi ),\\[3px]r\exp(i\theta -2i\pi ).\end{cases}}$

Geometric representation of the 2nd to 6th roots of a complex number z, in polar form re^iφ  where r = |z | and φ = arg z. If z is real, φ = 0 or π. Principal roots are shown in black.

इन तीन रूपों के प्रमुख जटिल घनमूल क्रमशः हैं

${\sqrt[{3}]{x}}={\begin{cases}{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}+{\frac {2i\pi }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}-{\frac {2i\pi }{3}}\right).\end{cases}}$

जब तक x = 0, ये तीन सम्मिश्र संख्याएँ भिन्न हैं, भले ही x के तीन निरूपण समतुल्य थे। उदाहरण के लिए, ³√−8 तब इसकी गणना -2 की जा सकती है, 1 + i√3, या 1 − i√3.

यह मोनोड्रोमी की अवधारणा से संबंधित है: यदि कोई निरंतर फलन फलन घनमूल को शून्य के चारों ओर एक बंद पथ के साथ अनुसरण करता है, तो एक मोड़ के बाद घनमूल के मान को गुणा (या विभाजित) किया जाता है $e^{2i\pi /3}.$

कम्पास-एंड-सीधा निर्माण की असंभवता

घन की जड़ें एक ऐसे कोण को खोजने की समस्या में उत्पन्न होती हैं जिसका माप एक दिए गए कोण (कोण त्रिभुज) का एक तिहाई है और एक घन के किनारे को खोजने की समस्या में जिसका आयतन किसी दिए गए किनारे के घन से दोगुना है (दोगुना करना) क्यूब)। 1837 में पियरे वांजेल ने साबित किया कि इनमें से कोई भी कम्पास-एंड-स्ट्रेटेज निर्माण के साथ नहीं किया जा सकता है।

संख्यात्मक तरीके

न्यूटन की विधि एक पुनरावृत्त विधि है जिसका उपयोग घनमूल की गणना के लिए किया जा सकता है। वास्तविक तैरनेवाला स्थल नंबरों के लिए यह विधि निम्नलिखित पुनरावृत्त एल्गोरिथम को कम कर देती है ताकि क्यूब रूट के क्रमिक रूप से बेहतर अनुमान लगाया जा सके:

$x_{n+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{n}^{2}}}+2x_{n}\right).$

विधि केवल ऐसे चुने गए तीन कारकों का औसत है

$x_{n}\times x_{n}\times {\frac {a}{x_{n}^{2}}}=a$

प्रत्येक पुनरावृत्ति पर।

हैली की विधि इस पर एक एल्गोरिदम के साथ सुधार करती है जो प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ अधिक तेज़ी से अभिसरण करती है, यद्यपि प्रति पुनरावृत्ति अधिक कार्य के साथ:

$x_{n+1}=x_{n}\left({\frac {x_{n}^{3}+2a}{2x_{n}^{3}+a}}\right).$

अभिसरण की यह दर, इसलिए दो पुनरावृत्तियाँ न्यूटन की विधि के तीन पुनरावृत्तियों जितना काम करती हैं। न्यूटन की विधि के प्रत्येक पुनरावृत्ति में दो गुणन, एक जोड़ और एक विभाजन होता है, यह मानते हुए 1/3a पूर्व-गणना की जाती है, इसलिए तीन पुनरावृत्तियों और पूर्व-गणना के लिए सात गुणन, तीन जोड़ और तीन विभाजन की आवश्यकता होती है।

हैली की विधि के प्रत्येक पुनरावृत्ति में तीन गुणा, तीन जोड़ और एक विभाजन की आवश्यकता होती है, इसलिए दो पुनरावृत्तियों की लागत छह गुणा, छह जोड़ और दो विभाजन हैं। इस प्रकार, हैली की विधि में तेजी से होने की संभावना है यदि एक विभाजन तीन परिवर्धन से अधिक महंगा है। किसी भी विधि के साथ एक खराब प्रारंभिक सन्निकटन x₀ बहुत खराब एल्गोरिथम प्रदर्शन दे सकता है, और एक अच्छा प्रारंभिक सन्निकटन कुछ हद तक एक काली कला है। कुछ कार्यान्वयन फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या के प्रतिपादक बिट्स में हेरफेर करते हैं; यानी वे घातांक को 3 से विभाजित करके प्रारंभिक सन्निकटन पर पहुंचते हैं। यह भी उपयोगी है कि यह सामान्यीकृत निरंतर अंश#धनात्मक संख्याओं की जड़ें, nवें रूट पर आधारित है#मुख्य जड़ों की गणना विधि:

यदि x, a और y = a - x के घनमूल का एक अच्छा प्रथम सन्निकटन है³, फिर:

${\sqrt[{3}]{a}}={\sqrt[{3}]{x^{3}+y}}=x+{\cfrac {y}{3x^{2}+{\cfrac {2y}{2x+{\cfrac {4y}{9x^{2}+{\cfrac {5y}{2x+{\cfrac {7y}{15x^{2}+{\cfrac {8y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}$

$=x+{\cfrac {2x\cdot y}{3(2x^{3}+y)-y-{\cfrac {2\cdot 4y^{2}}{9(2x^{3}+y)-{\cfrac {5\cdot 7y^{2}}{15(2x^{3}+y)-{\cfrac {8\cdot 10y^{2}}{21(2x^{3}+y)-\ddots }}}}}}}}.$

दूसरा समीकरण पहले से भिन्न के प्रत्येक युग्म को एक भिन्न में जोड़ता है, इस प्रकार अभिसरण की गति को दोगुना करता है।

तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों के समाधान में उपस्थिति

घन समीकरण, जो तीसरी डिग्री के बहुपद समीकरण हैं (जिसका अर्थ है कि अज्ञात की उच्चतम शक्ति 3 है) को हमेशा घनमूल और वर्गमूल के संदर्भ में उनके तीन समाधानों के लिए हल किया जा सकता है (हालाँकि केवल वर्गमूल के संदर्भ में सरल अभिव्यक्तियाँ मौजूद हैं) सभी तीन समाधान, यदि उनमें से कम से कम एक परिमेय संख्या है)। यदि दो समाधान जटिल संख्याएं हैं, तो सभी तीन समाधान अभिव्यक्तियों में एक वास्तविक संख्या का वास्तविक घनमूल शामिल होता है, जबकि यदि सभी तीन समाधान वास्तविक संख्याएं हैं, तो उन्हें एक अपूरणीय मामला के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

क्वार्टिक समीकरणों को घनमूल और वर्गमूल के रूप में भी हल किया जा सकता है।

इतिहास

घनमूलों की गणना का पता 1800 ईसा पूर्व से ही बेबीलोनियन गणित में लगाया जा सकता है। चौथी शताब्दी ईसा पूर्व में प्लेटो ने घन#इतिहास को दोगुना करने की समस्या पेश की, जिसके लिए एक दिए गए घन के दोगुने आयतन के साथ एक घन (ज्यामिति) के किनारे के कम्पास-और-सीधा निर्माण की आवश्यकता थी; इसके लिए लंबाई के निर्माण की आवश्यकता थी, जिसे अब असंभव माना जाता है ³√2.

गणितीय कला पर नौ अध्यायों में क्यूब जड़ों को निकालने की एक विधि दिखाई देती है, एक चीनी गणित का पाठ दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व के आसपास संकलित किया गया था और तीसरी शताब्दी सीई में एल आईयू हुई द्वारा टिप्पणी की गई थी। अलेक्जेंड्रिया के ग्रीक गणित नायक ने पहली शताब्दी सीई में घनमूल की गणना के लिए एक विधि तैयार की। आर्किमिडीज पर एक टिप्पणी में यूटोकियोस द्वारा उनके सूत्र का फिर से उल्लेख किया गया है। 499 CE में, भारतीय गणित और भारतीय खगोल विज्ञान के शास्त्रीय युग के एक गणितज्ञ-खगोलविद, आर्यभट ने आर्यभटीय (खंड 2.5) में कई अंकों वाली संख्याओं के घनमूल को खोजने के लिए एक विधि दी।

यह भी देखें

• वर्गमूल की गणना करने की विधियाँ
• बहुपद विषयों की सूची
• नवीं जड़
• वर्गमूल
• नेस्टेड कट्टरपंथी
• एकता की जड़
• nth-रूट एल्गोरिथम को स्थानांतरित करना

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• खगोल विज्ञानी
• वर्गमूल की गणना के तरीके

बाहरी संबंध

• Cube root calculator reduces any number to simplest radical form
• Computing the Cube Root, Ken Turkowski, Apple Technical Report #KT-32, 1998. Includes C source code.
• Weisstein, Eric W. "Cube Root". MathWorld.