अवकलज: Difference between revisions
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मूल्य लीजिए कि f एक ऐसा फलन है जो एक से अधिक चरों पर निर्भर करता है—उदाहरण के लिए, | मूल्य लीजिए कि f एक ऐसा फलन है जो एक से अधिक चरों पर निर्भर करता है—उदाहरण के लिए, | ||
:<math>f(x,y) = x^2 + xy + y^2.</math> | :<math>f(x,y) = x^2 + xy + y^2.</math> | ||
f को अन्य चर द्वारा अनुक्रमित एक चर के कार्यों के | f को अन्य चर द्वारा अनुक्रमित एक चर के कार्यों के पूर्णके रूप में पुनर्व्याख्या की जा सकती है: | ||
:<math>f(x,y) = f_x(y) = x^2 + xy + y^2.</math> | :<math>f(x,y) = f_x(y) = x^2 + xy + y^2.</math> | ||
दूसरे शब्दों में, x का प्रत्येक मूल्य एक फलन चुनता है, जिसे f से निरूपित किया जाता है ''f<sub>x</sub>'' जो कि एक वास्तविक संख्या का फलन है।{{#tag:ref|This can also be expressed as the operation known as [[currying]].|group=Note}} वह है, | दूसरे शब्दों में, x का प्रत्येक मूल्य एक फलन चुनता है, जिसे f से निरूपित किया जाता है ''f<sub>x</sub>'' जो कि एक वास्तविक संख्या का फलन है।{{#tag:ref|This can also be expressed as the operation known as [[currying]].|group=Note}} वह है, | ||
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यदि f के सभी आंशिक व्युत्पन्न उपस्थित हैं और 'x' पर निरंतर हैं, तो वे सूत्र द्वारा 'v' दिशा में f का दिशात्मक व्युत्पन्न निर्धारित करते हैं: | यदि f के सभी आंशिक व्युत्पन्न उपस्थित हैं और 'x' पर निरंतर हैं, तो वे सूत्र द्वारा 'v' दिशा में f का दिशात्मक व्युत्पन्न निर्धारित करते हैं: | ||
:<math>D_{\mathbf{v}}{f}(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^n v_j \frac{\partial f}{\partial x_j}.</math> | :<math>D_{\mathbf{v}}{f}(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^n v_j \frac{\partial f}{\partial x_j}.</math> | ||
यह [[कुल व्युत्पन्न]] की परिभाषा का परिणाम है। यह इस प्रकार है कि दिशात्मक व्युत्पन्न v में रैखिक मूल्यचित्र है, जिसका अर्थ है {{nowrap|1=''D''<sub>'''v''' + '''w'''</sub>(''f'') = ''D''<sub>'''v'''</sub>(''f'') + ''D''<sub>'''w'''</sub>(''f'')}}. | यह [[कुल व्युत्पन्न|पूर्ण व्युत्पन्न]] की परिभाषा का परिणाम है। यह इस प्रकार है कि दिशात्मक व्युत्पन्न v में रैखिक मूल्यचित्र है, जिसका अर्थ है {{nowrap|1=''D''<sub>'''v''' + '''w'''</sub>(''f'') = ''D''<sub>'''v'''</sub>(''f'') + ''D''<sub>'''w'''</sub>(''f'')}}. | ||
वही परिभाषा तब भी काम करती है जब f ' | वही परिभाषा तब भी काम करती है जब f ''''R'''<sup>''m''</sup>' में मूल्य वाला कार्य है उपरोक्त परिभाषा सदिशों के प्रत्येक घटक पर लागू होती है। इस स्थिति में, दिशात्मक अवकलज ''''R'''<sup>''m''</sup>' में एक सदिश है। | ||
=== | === पूर्ण व्युत्पन्न, पूर्णअंतर और जैकबियन आव्यूह === | ||
{{Main| | {{Main| संपूर्ण अवकलज}} | ||
जब f 'R' | |||
जब f '<nowiki/>'''R'''<sup>''n''</sup>' के खुले उपसमुच्चय एक फलन से ''''R'''<sup>''m''</sup>', तो किसी चुनी हुई दिशा में f का दिशात्मक व्युत्पन्न उस बिंदु पर और उस दिशा में f का सर्वोत्तम रैखिक सन्निकटन है। लेकिन जब {{nowrap|''n'' > 1}}, कोई भी एकल दिशात्मक व्युत्पन्न f के व्यवहार का पूरा चित्र नहीं दे सकता है। पूर्ण व्युत्पन्न एक बार में सभी दिशाओं पर विचार करके पूरा चित्र देता है। अर्थात, 'a' से शुरू होने वाले किसी भी सदिश 'v' के लिए, रैखिक सन्निकटन सूत्र धारण करता है: | |||
:<math>f(\mathbf{a} + \mathbf{v}) \approx f(\mathbf{a}) + f'(\mathbf{a})\mathbf{v}.</math> | :<math>f(\mathbf{a} + \mathbf{v}) \approx f(\mathbf{a}) + f'(\mathbf{a})\mathbf{v}.</math> | ||
एकल-चर व्युत्पन्न की तरह, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} चुना जाता है ताकि इस सन्निकटन में त्रुटि यथासंभव कम हो। | एकल-चर व्युत्पन्न की तरह, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} चुना जाता है ताकि इस सन्निकटन में त्रुटि यथासंभव कम हो। | ||
यदि n और m दोनों एक हैं, तो अवकलज {{nowrap|''f'' ′(''a'')}} एक संख्या और अभिव्यक्ति है {{nowrap|''f'' ′(''a'')''v''}} दो संख्याओं का गुणनफल है। लेकिन उच्च आयामों में, यह असंभव है {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक संख्या होना। यदि यह एक संख्या थी, तो {{nowrap|''f'' ′('''a''')'''v'''}} | यदि n और m दोनों एक हैं, तो अवकलज {{nowrap|''f'' ′(''a'')}} एक संख्या और अभिव्यक्ति है {{nowrap|''f'' ′(''a'')''v''}} दो संख्याओं का गुणनफल है। लेकिन उच्च आयामों में, यह असंभव है {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक संख्या होना। यदि यह एक संख्या थी, तो {{nowrap|''f'' ′('''a''')'''v'''}} '''R'''<sup>''n''</sup> में एक संवाहक होगा जबकि अन्य पद '<nowiki/>'''R'''<sup>''m''</sup>' में सदिश होंगे, और इसलिए सूत्र का कोई अर्थ नहीं होगा। रैखिक सन्निकटन सूत्र को समझने के लिए, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक ऐसा कार्य होना चाहिए जो '''R'''<sup>''n''</sup> में संवाहकभेजता है ''''R'''<sup>''m''</sup>' में सदिशों के लिए, और {{nowrap|''f'' ′('''a''')'''v'''}} v पर मूल्यांकन किए गए इस कार्य को निरूपित करना चाहिए। | ||
यह निर्धारित करने के लिए कि यह किस प्रकार का कार्य है, ध्यान दें कि रैखिक सन्निकटन सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है | यह निर्धारित करने के लिए कि यह किस प्रकार का कार्य है, ध्यान दें कि रैखिक सन्निकटन सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है | ||
:<math>f(\mathbf{a} + \mathbf{v}) - f(\mathbf{a}) \approx f'(\mathbf{a})\mathbf{v}.</math> | :<math>f(\mathbf{a} + \mathbf{v}) - f(\mathbf{a}) \approx f'(\mathbf{a})\mathbf{v}.</math> | ||
ध्यान दें कि यदि हम एक और संवाहक w चुनते हैं, तो यह अनुमूल्यित समीकरण v के लिए w को प्रतिस्थापित करके एक और अनुमूल्यित समीकरण निर्धारित करता है। यह | ध्यान दें कि यदि हम एक और संवाहक w चुनते हैं, तो यह अनुमूल्यित समीकरण v के लिए w को प्रतिस्थापित करके एक और अनुमूल्यित समीकरण निर्धारित करता है। यह '''w''' और v दोनों को प्रतिस्थापित करके एक तीसरा अनुमूल्यित समीकरण निर्धारित करता है {{nowrap|'''a''' + '''v'''}}, '''a''' के लिए। इन दो नए समीकरणों को घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं | ||
:<math>f(\mathbf{a} + \mathbf{v} + \mathbf{w}) - f(\mathbf{a} + \mathbf{v}) - f(\mathbf{a} + \mathbf{w}) + f(\mathbf{a}) | :<math>f(\mathbf{a} + \mathbf{v} + \mathbf{w}) - f(\mathbf{a} + \mathbf{v}) - f(\mathbf{a} + \mathbf{w}) + f(\mathbf{a}) | ||
\approx f'(\mathbf{a} + \mathbf{v})\mathbf{w} - f'(\mathbf{a})\mathbf{w}.</math> | \approx f'(\mathbf{a} + \mathbf{v})\mathbf{w} - f'(\mathbf{a})\mathbf{w}.</math> | ||
अगर हम | अगर हम गृहीत हैं कि '''v''' छोटा है और व्युत्पन्न लगातार '''a''' में बदलता रहता है, तो {{nowrap|''f'' ′('''a''' + '''v''')}} इतस्ततः एकरूप है {{nowrap|''f'' ′('''a''')}}, और इसलिए दाहिनी शैलीइतस्ततः शून्य है। रैखिक सन्निकटन सूत्र का उपयोग करके बाएं हाथ की शैली को एक अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है {{nowrap|'''v''' + '''w'''}}, '''v''' के लिए प्रतिस्थापित। रैखिक सन्निकटन सूत्र का अर्थ है: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
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&\approx f'(\mathbf{a})(\mathbf{v} + \mathbf{w}) - f'(\mathbf{a})\mathbf{v} - f'(\mathbf{a})\mathbf{w}. | &\approx f'(\mathbf{a})(\mathbf{v} + \mathbf{w}) - f'(\mathbf{a})\mathbf{v} - f'(\mathbf{a})\mathbf{w}. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
इससे पता चलता है {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} सदिश समष्टि R | इससे पता चलता है {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} सदिश समष्टि '''R'''<sup>''n''</sup> से एक रैखिक परिवर्तन है सदिश स्थान ''''R'''<sup>''m''</sup>' के लिए। वास्तव में, अनुमूल्यों में त्रुटि को मापकर इसे एक सटीक व्युत्पत्ति बनाना संभव है। मान लें कि इन रैखिक सन्निकटन सूत्र में त्रुटि एक स्थिर समय से बंधी है ||'v'||, जहां स्थिरांक 'v' से स्वतंत्र है, लेकिन लगातार 'a' पर निर्भर करता है। फिर, एक उपयुक्त त्रुटि शब्द जोड़ने के बाद, उपरोक्त सभी अनुमूल्यित समूल्यताएं असमूल्यताओं के रूप में फिर से लिखी जा सकती हैं। विशेष रूप से, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक छोटी त्रुटि अवधि तक एक रैखिक परिवर्तन है। '''v''' और '''w''' शून्य की शैली बढ़ने की सीमा में, इसलिए यह एक रैखिक परिवर्तन होना चाहिए। अतः हम पूर्ण व्युत्पन्न को एक सीमा लेकर परिभाषित करते हैं क्योंकि v शून्य हो जाता है, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक रैखिक परिवर्तन होना चाहिए। | ||
एक चर में, तथ्य यह है कि व्युत्पन्न सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है, इस तथ्य से व्यक्त किया जाता है कि यह अंतर भागफलों की सीमा है। यद्यपि, सामूल्य्य अंतर भागफल उच्च आयामों में समझ में नहीं आता है क्योंकि सामान्यतः पर | एक चर में, तथ्य यह है कि व्युत्पन्न सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है, इस तथ्य से व्यक्त किया जाता है कि यह अंतर भागफलों की सीमा है। यद्यपि, सामूल्य्य अंतर भागफल उच्च आयामों में समझ में नहीं आता है क्योंकि सामान्यतः पर संवाहक को विभाजित करना संभव नहीं होता है। विशेष रूप से, अंतर भागफल के अंश और हर एक ही सदिश स्थान में भी नहीं हैं: अंश को अधि क्षेत्र '''R'''<sup>''m''</sup> में स्थित है जबकि हर ''''R'''<sup>''n''</sup>' अधि क्षेत्र में स्थित है, इसके अपवाद, व्युत्पन्न एक रैखिक परिवर्तन है, अंश और भाजक दोनों से एक अलग प्रकार की वस्तु। सटीक विचार करने के लिए कि {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है, एक-चर व्युत्पन्न के लिए एक अलग सूत्र को अनुकूलित करना आवश्यक है जिसमें ये समस्याएं अन्तेर्ध्यान हो जाती हैं। यदि {{nowrap|''f'' : '''R''' → '''R'''}}, तो व्युत्पन्न की सामूल्य्य परिभाषा को यह दिखाने के लिए युक्तियोजित किया जा सकता है कि a पर f का व्युत्पन्न अद्वितीय संख्या है {{nowrap|''f'' ′(''a'')}} ऐसा है कि | ||
:<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - (f(a) + f'(a)h)}{h} = 0.</math> | :<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - (f(a) + f'(a)h)}{h} = 0.</math> | ||
यह इसके एकरूप है | यह इसके एकरूप है | ||
:<math>\lim_{h \to 0} \frac{|f(a + h) - (f(a) + f'(a)h)|}{|h|} = 0</math> | :<math>\lim_{h \to 0} \frac{|f(a + h) - (f(a) + f'(a)h)|}{|h|} = 0</math> | ||
क्योंकि किसी कार्य | क्योंकि किसी कार्य की सीमा शून्य हो जाती है यदि और केवल यदि कार्य के पूर्ण मान की सीमा शून्य हो जाती है। यह अंतिम सूत्र मूल्यक (गणित) के साथ पूर्ण मूल्यों को बदलकर कई-चर स्थिति में अनुकूलित किया जा सकता है। | ||
इसलिए, "f" के | इसलिए, "f" के पूर्ण व्युत्पन्न की परिभाषा यह है कि यह अद्वितीय रैखिक परिवर्तन है {{nowrap|''f'' ′('''a''') : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} ऐसा है कि | ||
:<math>\lim_{\mathbf{h}\to 0} \frac{\lVert f(\mathbf{a} + \mathbf{h}) - (f(\mathbf{a}) + f'(\mathbf{a})\mathbf{h})\rVert}{\lVert\mathbf{h}\rVert} = 0.</math> | :<math>\lim_{\mathbf{h}\to 0} \frac{\lVert f(\mathbf{a} + \mathbf{h}) - (f(\mathbf{a}) + f'(\mathbf{a})\mathbf{h})\rVert}{\lVert\mathbf{h}\rVert} = 0.</math> | ||
यहाँ h, R | यहाँ h, '''R'''<sup>''n''</sup> में एक सदिश राशि है, इसलिए हर में मूल्यक '<nowiki/>'''R'''<sup>''n''</sup>' पर मूल्यक लंबाई है. यद्यपि, f′('a')'h' '<nowiki/>'''R'''<sup>''m''</sup>' में एक संवाहक है, और अंश में मूल्यदंड ''''R'''<sup>''m''</sup>' पर मूल्यक लंबाई है, यदि v एक संवाहक है जो a से शुरू होता है, तो {{nowrap|''f'' ′('''a''')'''v'''}} 'f' द्वारा v का बाध्य अग्रसर ''f'' (अंतर) कहा जाता है और कभी-कभी लिखा जाता है {{nowrap|''f''<sub>∗</sub>'''v'''}}. | ||
यदि | यदि पूर्ण व्युत्पन्न a पर उपस्थित है, तो ''f'' के सभी आंशिक व्युत्पन्न और दिशात्मक व्युत्पन्न a पर उपस्थित हैं, और सभी v के लिए, {{nowrap|''f'' ′('''a''')'''v'''}} दिशा 'v' में f का दिशात्मक व्युत्पन्न है। यदि हम समन्वय फलन का उपयोग करके f लिखते हैं, ताकि {{nowrap|1=''f'' = (''f''<sub>1</sub>, ''f''<sub>2</sub>, ..., ''f''<sub>''m''</sub>)}}, तो पूर्ण व्युत्पन्न को आव्यूह (गणित) के रूप में आंशिक व्युत्पन्न का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। इस आव्यूह को a पर ''f'' का जैकबियन आव्यूह कहा जाता है: | ||
:<math>f'(\mathbf{a}) = \operatorname{Jac}_{\mathbf{a}} = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{ij}.</math> | :<math>f'(\mathbf{a}) = \operatorname{Jac}_{\mathbf{a}} = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{ij}.</math> | ||
पूर्ण व्युत्पन्न एफ'('ए') का अस्तित्व सभी आंशिक व्युत्पन्न के अस्तित्व से दृढता से मजबूत है, लेकिन यदि आंशिक व्युत्पन्न उपस्थित हैं और निरंतर हैं, तो पूर्ण व्युत्पन्न उपस्थित है, जैकबियन द्वारा दिया गया है, और लगातार निर्भर करता है '''a''' पर। | |||
पूर्ण व्युत्पन्न की परिभाषा एक चर में व्युत्पन्न की परिभाषा को समाहित करती है। यदि f वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान कार्य है, तो पूर्ण व्युत्पन्न उपस्थित है और केवल सामूल्य्य व्युत्पन्न उपस्थित है। जेकोबियन आव्यूह 1×1 आव्यूह में कम हो जाता है जिसका एकमात्र प्रवेश व्युत्पन्न f'(x) है। यह 1×1 आव्यूह उस संपत्ति को संतुष्ट करता है जो {{nowrap|''f''(''a'' + ''h'') − (''f''(''a'') + ''f'' ′(''a'')''h'')}}इतस्ततः शून्य है, दूसरे शब्दों में कि | |||
:<math>f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h.</math> | :<math>f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h.</math> | ||
चर बदलने तक, यह कथन है कि | चर बदलने तक, यह कथन है कि कार्य <math>x \mapsto f(a) + f'(a)(x-a)</math> ''a'' पर ''f'' के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है। | ||
किसी कार्य | किसी कार्य का पूर्ण व्युत्पन्न उसी तरह एक और कार्य नहीं देता है जैसे एक-चर विभक्ति। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक बहु-परिवर्तनीय कार्य के पूर्ण व्युत्पन्न को एकल-चर कार्य के व्युत्पन्न की तुलना में अधिक जानकारी दर्ज करनी होती है। इसके बजाय, पूर्ण व्युत्पन्न स्रोत के [[स्पर्शरेखा बंडल|स्पर्शरेखा समूह]] से लक्ष्य के स्पर्शरेखा समूह तक एक कार्य देता है। | ||
दूसरे, तीसरे, और उच्च-क्रम के | दूसरे, तीसरे, और उच्च-क्रम के पूर्ण व्युत्पन्न का प्राकृतिक एनालॉग एक रैखिक परिवर्तन नहीं है, स्पर्शरेखा समूह पर कोई कार्य नहीं है, और पूर्ण व्युत्पन्न को बार-बार लेकर नहीं बनाया गया है। एक उच्च-क्रम व्युत्पन्न का एनालॉग, जिसे [[जेट (गणित)]] कहा जाता है, एक रैखिक परिवर्तन नहीं हो सकता है क्योंकि उच्च-क्रम के व्युत्पन्न सूक्ष्म ज्यामितीय जानकारी को दर्शाते हैं, जैसे अवतलता, जिसे रैखिक डेटा जैसे संवाहकके रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है। यह स्पर्शरेखा समूह पर एक कार्य नहीं हो सकता क्योंकि स्पर्शरेखा समूह में केवल आधार स्थान और दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए जगह होती है। क्योंकि जेट उच्च-क्रम की जानकारी प्राप्त करते हैं, वे तर्क के रूप में दिशा में उच्च-क्रम परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करने वाले अतिरिक्त निर्देशांक लेते हैं। इन अतिरिक्त निर्देशांकों द्वारा निर्धारित स्थान को [[जेट बंडल|जेट समूह]] कहा जाता है। किसी कार्य के पूर्ण व्युत्पन्न और आंशिक व्युत्पन्न के बीच का संबंध किसी कार्य के k वें अनुक्रम जेट और k से कम या उसके एकरूप अनुक्रम के आंशिक व्युत्पन्न के बीच के संबंध में समूल्यांतर है। | ||
पूर्ण व्युत्पन्न को बार-बार लेने से, 'आर' के लिए विशिष्ट फ्रेचेट व्युत्पन्न के उच्च संस्करण प्राप्त होते हैं।<sup>पी</सुप>. kवें क्रम के पूर्णअवकलज की व्याख्या मूल्यचित्र के रूप में की जा सकती है | |||
:<math>D^k f: \mathbb{R}^n \to L^k(\mathbb{R}^n \times \cdots \times \mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)</math> | :<math>D^k f: \mathbb{R}^n \to L^k(\mathbb{R}^n \times \cdots \times \mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)</math> | ||
जो R में एक बिंदु x लेता है<sup>n</sup> और इसे 'R' से k-रेखीय मूल्यचित्रों के स्थान का एक तत्व प्रदान करता है<sup>n</sup> से 'आर'<sup>m</sup> – उस बिंदु पर f के लिए सबसे अच्छा (एक निश्चित अर्थ में) k-रैखिक सन्निकटन। इसे [[विकर्ण फ़ैक्टर]] Δ के साथ प्रीकंपोज करके, {{nowrap|'''x''' → ('''x''', '''x''')}}, एक सामूल्य्यीकृत टेलर श्रृंखला के रूप में शुरू किया जा सकता है | जो R में एक बिंदु x लेता है<sup>n</sup> और इसे 'R' से k-रेखीय मूल्यचित्रों के स्थान का एक तत्व प्रदान करता है<sup>n</sup> से 'आर'<sup>m</sup> – उस बिंदु पर f के लिए सबसे अच्छा (एक निश्चित अर्थ में) k-रैखिक सन्निकटन। इसे [[विकर्ण फ़ैक्टर]] Δ के साथ प्रीकंपोज करके, {{nowrap|'''x''' → ('''x''', '''x''')}}, एक सामूल्य्यीकृत टेलर श्रृंखला के रूप में शुरू किया जा सकता है | ||
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व्युत्पन्न की अवधारणा को कई अन्य निर्धारितिंग्स तक बढ़ाया जा सकता है। सामूल्य्य सूत्र यह है कि किसी बिंदु पर किसी कार्य का व्युत्पन्न उस बिंदु पर कार्य के रैखिक सन्निकटन के रूप में कार्य करता है। | व्युत्पन्न की अवधारणा को कई अन्य निर्धारितिंग्स तक बढ़ाया जा सकता है। सामूल्य्य सूत्र यह है कि किसी बिंदु पर किसी कार्य का व्युत्पन्न उस बिंदु पर कार्य के रैखिक सन्निकटन के रूप में कार्य करता है। | ||
* व्युत्पन्न का एक महत्वपूर्ण सामूल्य्यीकरण [[जटिल संख्या]]ओं के जटिल कार्यों से संबंधित है, जैसे कि (एक अधि क्षेत्र में) जटिल संख्या C से C तक के कार्य। इस तरह के एक समारोह के व्युत्पन्न की धारणा वास्तविक चर को जटिल चर के साथ बदलकर प्राप्त की जाती है। परिभाषा। यदि C की पहचान R से की जाती है<sup>2</sup> को एक सम्मिश्र संख्या z के रूप में लिखकर {{nowrap|''x'' + ''iy''}}, तो C से C तक एक अवकलनीय फलन निश्चित रूप से R से एक फलन के रूप में अवकलनीय है<sup>2</sup> से आर<sup>2</sup> (इस अर्थ में कि इसके आंशिक व्युत्पन्न सभी उपस्थित हैं), लेकिन इसका विलोम सामूल्य्य रूप से सत्य नहीं है: जटिल व्युत्पन्न केवल तभी उपस्थित होता है जब वास्तविक व्युत्पन्न जटिल रैखिक होता है और यह आंशिक व्युत्पन्न के बीच संबंधों को लागू करता है जिसे कॉची- कहा जाता है। रीमैन समीकरण - [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन|होलोमॉर्फिक कार्य]] देखें। | * व्युत्पन्न का एक महत्वपूर्ण सामूल्य्यीकरण [[जटिल संख्या]]ओं के जटिल कार्यों से संबंधित है, जैसे कि (एक अधि क्षेत्र में) जटिल संख्या C से C तक के कार्य। इस तरह के एक समारोह के व्युत्पन्न की धारणा वास्तविक चर को जटिल चर के साथ बदलकर प्राप्त की जाती है। परिभाषा। यदि C की पहचान R से की जाती है<sup>2</sup> को एक सम्मिश्र संख्या z के रूप में लिखकर {{nowrap|''x'' + ''iy''}}, तो C से C तक एक अवकलनीय फलन निश्चित रूप से R से एक फलन के रूप में अवकलनीय है<sup>2</sup> से आर<sup>2</sup> (इस अर्थ में कि इसके आंशिक व्युत्पन्न सभी उपस्थित हैं), लेकिन इसका विलोम सामूल्य्य रूप से सत्य नहीं है: जटिल व्युत्पन्न केवल तभी उपस्थित होता है जब वास्तविक व्युत्पन्न जटिल रैखिक होता है और यह आंशिक व्युत्पन्न के बीच संबंधों को लागू करता है जिसे कॉची- कहा जाता है। रीमैन समीकरण - [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन|होलोमॉर्फिक कार्य]] देखें। | ||
* एक अन्य सामूल्य्यीकरण सुचारू कई गुना के बीच कार्य करता है। सहज रूप से इस तरह के कई गुना M बोलना एक ऐसा स्थान है जिसे प्रत्येक बिंदु x के पास एक सदिश स्थान द्वारा अनुमूल्यित किया जा सकता है जिसे इसकी [[स्पर्शरेखा स्थान]] कहा जाता है: प्रोटोटाइपिकल उदाहरण 'R' में एक सुचारू सतह है।<sup>3</उप><big>। एक (विभेदक) मूल्यचित्र का व्युत्पन्न (या अंतर)। {{nowrap|''f'': ''M'' → ''N''}} मैनिफोल्ड्स के बीच, एम में एक बिंदु एक्स पर, फिर एक्स पर एम के स्पर्शरेखा स्थान से एफ (एक्स) पर एन के स्पर्शरेखा स्थान पर एक रैखिक नक्शा है। व्युत्पन्न कार्य एम और एन के स्पर्शरेखा | * एक अन्य सामूल्य्यीकरण सुचारू कई गुना के बीच कार्य करता है। सहज रूप से इस तरह के कई गुना M बोलना एक ऐसा स्थान है जिसे प्रत्येक बिंदु x के पास एक सदिश स्थान द्वारा अनुमूल्यित किया जा सकता है जिसे इसकी [[स्पर्शरेखा स्थान]] कहा जाता है: प्रोटोटाइपिकल उदाहरण 'R' में एक सुचारू सतह है।<sup>3</उप><big>। एक (विभेदक) मूल्यचित्र का व्युत्पन्न (या अंतर)। {{nowrap|''f'': ''M'' → ''N''}} मैनिफोल्ड्स के बीच, एम में एक बिंदु एक्स पर, फिर एक्स पर एम के स्पर्शरेखा स्थान से एफ (एक्स) पर एन के स्पर्शरेखा स्थान पर एक रैखिक नक्शा है। व्युत्पन्न कार्य एम और एन के स्पर्शरेखा समूहों के बीच एक नक्शा बन जाता है। यह परिभाषा अंतर ज्यामिति में मौलिक है और इसके कई उपयोग हैं - पुशफॉरवर्ड (अंतर) और [[पुलबैक (अंतर ज्यामिति)]] देखें।</big> | ||
* डायमेंशन (संवाहक स्पेस) संवाहक स्पेस जैसे [[बनच स्थान]] और फ्रेचेट स्पेस के बीच के मानचित्र के लिए भी विवेक को परिभाषित किया जा सकता है। दोनों दिशात्मक व्युत्पत्ति का एक सामूल्य्यीकरण है, जिसे गेटॉक्स व्युत्पन्न कहा जाता है, और अंतर का, जिसे फ्रेचेट व्युत्पन्न कहा जाता है। | * डायमेंशन (संवाहक स्पेस) संवाहक स्पेस जैसे [[बनच स्थान]] और फ्रेचेट स्पेस के बीच के मानचित्र के लिए भी विवेक को परिभाषित किया जा सकता है। दोनों दिशात्मक व्युत्पत्ति का एक सामूल्य्यीकरण है, जिसे गेटॉक्स व्युत्पन्न कहा जाता है, और अंतर का, जिसे फ्रेचेट व्युत्पन्न कहा जाता है। | ||
* शास्त्रीय व्युत्पन्न की एक कमी यह है कि बहुत से कार्य भिन्न नहीं होते हैं। फिर भी, व्युत्पन्न की धारणा को विस्तारित करने का एक तरीका है ताकि [[कमजोर व्युत्पन्न]] के रूप में जाने वाली अवधारणा का उपयोग करके सभी निरंतर कार्य कार्यों और कई अन्य कार्यों को अलग किया जा सके। विचार निरंतर कार्यों को एक बड़े स्थान में एम्बेड करना है जिसे वितरण का स्थान (गणित) कहा जाता है और केवल यह आवश्यक है कि एक कार्य औसत पर अलग-अलग हो। | * शास्त्रीय व्युत्पन्न की एक कमी यह है कि बहुत से कार्य भिन्न नहीं होते हैं। फिर भी, व्युत्पन्न की धारणा को विस्तारित करने का एक तरीका है ताकि [[कमजोर व्युत्पन्न]] के रूप में जाने वाली अवधारणा का उपयोग करके सभी निरंतर कार्य कार्यों और कई अन्य कार्यों को अलग किया जा सके। विचार निरंतर कार्यों को एक बड़े स्थान में एम्बेड करना है जिसे वितरण का स्थान (गणित) कहा जाता है और केवल यह आवश्यक है कि एक कार्य औसत पर अलग-अलग हो। | ||
Revision as of 16:10, 3 December 2022
File:Tangent to a curve.svg
एक कार्य का लेखाचित्र, काले रंग में खींचा गया है, और उस लेखाचित्र की स्पर्श रेखा, लाल रंग में खींची गई है। स्पर्शरेखा रेखा का ढलान चिह्नित बिंदु पर कार्य के व्युत्पन्न के एकरूप है।
| के बारे में लेखों की एक श्रृंखला का हिस्सा |
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