समता (गणित): Difference between revisions

Revision as of 21:02, 18 November 2022

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रसोई की छड़ें: 5 (पीला) समान रंग/लंबाई की किसी भी 2 छड़ों से समान रूप से 2 (लाल) में विभाजित नहीं किया जा सकता है, जबकि 6 (गहरा हरा) समान रूप से 2 से 3 (लाइम ग्रीन) में विभाजित किया जा सकता है।

गणित में, समानता पूर्णांक का गुण (गणित) है कि क्या यह सम या विषम है। पूर्णांक तब भी होता है जब वह दो का गुणज होता है, और यदि वह नहीं होता है तो विषम होता है।^[1] उदाहरण के लिए, -4, 0, 82 सम हैं क्योंकि

{\begin{aligned}-2\cdot 2&=-4\\0\cdot 2&=0\\41\cdot 2&=82\end{aligned}}

इसके विपरीत, −3, 5, 7, 21 विषम संख्याएँ हैं। समता की उपरोक्त परिभाषा केवल पूर्णांक संख्याओं पर लागू होती है, इसलिए इसे 1/2 या 4.201 जैसी संख्याओं पर लागू नहीं किया जा सकता है। "संख्याओं" के बड़े वर्ग या अन्य सामान्य सेटिंग्स में समानता की धारणा के कुछ विस्तार के लिए नीचे "उच्च गणित" अनुभाग देखें।

सम और विषम संख्याओं में विपरीत समताएँ होती हैं, जैसे, 22 (सम संख्या) और 13 (विषम संख्या) में विपरीत समताएँ होती हैं। विशेष रूप से, शून्य की समता सम है।^[2] किन्हीं भी दो लगातार पूर्णांकों में विपरीत समानता होती है। दशमलव अंक प्रणाली में व्यक्त संख्या (यानी, पूर्णांक) सम या विषम है, इसके अनुसार इसका अंतिम अंक सम या विषम है। अर्थात, यदि अंतिम अंक 1, 3, 5, 7, या 9 है, तो यह विषम है, अर्थात यह सम है—क्योंकि किसी भी सम संख्या का अंतिम अंक 0, 2, 4, 6, या 8 है। यही विचार किसी भी सम आधार का उपयोग करके काम करेगा। विशेष रूप से, बाइनरी अंक प्रणाली में व्यक्त संख्या विषम होती है यदि उसका अंतिम अंक 1 है, और यह सम है यदि इसका अंतिम अंक 0 है। विषम आधार में, संख्या इसके अंकों के योग के अनुसार भी सम है—यह सम है यदि और केवल इसके अंकों का योग सम है।^[3]

परिभाषा

सम संख्या रूप का पूर्णांक है

x=2k

जहाँ k एक पूर्णांक है,^[4] विषम संख्या रूप का पूर्णांक है

x=2k+1.

समतुल्य परिभाषा यह है कि सम संख्या 2 से विभाज्य है,

2\ |\ x

और एक विषम संख्या नहीं है

2\not |\ x

सम और विषम संख्याओं के समुच्चय (गणित) को निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया जा सकता है^[5]

\{2k:k\in \mathbb {Z} \}

\{2k+1:k\in \mathbb {Z} \}

सम संख्याओं का समुच्चय

Z

का एक सामान्य उपसमूह है और कारक समूह

Z/2Z

. बनाएँ समानता को तब समरूपता

Z

से

Z/2Z

के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ विषम संख्याएँ 1 हैं और सम संख्याएँ 0 हैं। इस समरूपता के परिणाम नीचे दिए गए हैं।

गुण

विभाज्यता के गुणों का उपयोग करके निम्नलिखित कानूनों को सत्यापित किया जा सकता है। वे मॉड्यूलर अंकगणित में नियमों का एक विशेष मामला हैं, और सामान्यतः यह जांचने के लिए उपयोग किया जाता है कि क्या समानता प्रत्येक पक्ष की समानता का परीक्षण करके सही होने की संभावना है। साधारण अंकगणित की तरह, मॉड्यूलो 2 अंकगणित में गुणन और जोड़ क्रमविनिमेय और साहचर्य हैं, और गुणन योग पर वितरण है। हालांकि, मोडुलो 2 में घटाव जोड़ के समान है, इसलिए घटाव में भी ये गुण होते हैं, जो सामान्य पूर्णांक अंकगणितीय के लिए सही नहीं है।

जोड़ना और घटाना

सम ± सम = सम,^[1]
सम ± विषम = विषम,^[1]
विषम ± विषम = सम,^[1]

गुणन

सम × सम = सम,^[1]
सम × विषम = सम,^[1]
विषम × विषम = विषम,^[1]

संरचना ({सम, विषम}, +, ×) वास्तव में दो तत्वों वाला एक क्षेत्र GF(2) है।

विभाग

दो पूर्ण संख्याओं के विभाजन का परिणाम पूर्ण संख्या में होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, 1 को 4 से विभाजित करने पर 1/4 बराबर होता है, जो न तो सम है और न ही विषम, क्योंकि सम और विषम की अवधारणाएँ केवल पूर्णांकों पर लागू होती हैं। लेकिन जब भागफल एक पूर्णांक होता है, तो यह सम तभी होगा जब भाज्य में भाजक की तुलना में दो के अधिक पूर्णांक गुणनखंड हो।^[6]

इतिहास

प्राचीन यूनानियों ने 1, मोनाड (दर्शन) को न तो पूरी तरह से विषम और न ही पूरी तरह से सम माना था।^[7] इस भावना में से कुछ 19वीं शताब्दी में बनी रहे फ्रेडरिक फ्रोबेल फ्रेडरिक विल्हेम अगस्त फ्रोबेल की 1826 द एजुकेशन ऑफ मैन ने शिक्षक को छात्रों को इस दावे के साथ ड्रिल करने का निर्देश दिया कि 1 न तो सम है और न ही विषम, जिसके लिए फ्रोबेल दार्शनिक बाद के विचार को जोड़ता है,

यह अच्छा है कि छात्र का ध्यान यहाँ एक बार प्रकृति और विचार के एक महान दूरगामी नियम की ओर निर्देशित किया जाए। यह वह है, कि दो अपेक्षाकृत भिन्न चीजों या विचारों के बीच हमेशा एक तीसरा खड़ा होता है, एक तरह का संतुलन, जो दोनों को जोड़ता हुआ प्रतीत होता है। इस प्रकार, यहाँ विषम और सम संख्याओं के बीच एक संख्या (एक) है जो दोनों में से कोई भी नहीं है। इसी प्रकार, इसी रूप में, समकोण तीव्र और अधिक कोणों के बीच खड़ा होता है, और भाषा में, मूक और स्वर के बीच अर्ध-स्वर या आकांक्षी। विचारशील शिक्षक और एक शिष्य जिसे खुद के लिए सोचना सिखाया जाता है, शायद ही इस और अन्य महत्वपूर्ण कानूनों पर ध्यान देने में मदद कर सके। [8]

उच्च गणित

संख्याओं के उच्च आयाम और अधिक सामान्य वर्ग

दो या दो से अधिक आयामों के यूक्लिडियन अंतरिक्ष स्थानों में बिंदुओं के पूर्णांक निर्देशांक में भी समानता होती है, जिसे प्रायः निर्देशांक के योग की समानता के रूप में परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, फलक-केंद्रित घन क्रिस्टल प्रणाली घन जाली और इसका उच्च-आयामी जो सामान्यीकरण है, D_n जालक (समूह) , सभी पूर्णांक बिंदुओं से मिलकर बनता है जिनके निर्देशांकों का योग सम होता है।^[8] यह सुविधा स्वयं शतरंज में प्रकट होती है, जहां वर्ग की समानता को उसके रंग से दर्शाया जाता है बिशप (शतरंज) समान समानता के वर्गों के बीच चलने के लिए विवश होते हैं, जबकि नाइट (शतरंज) चालों के बीच वैकल्पिक समानता रखते हैं।^[9] समानता के इस रूप का प्रसिद्ध रूप से कटे-फटे शतरंज की समस्या को हल करने के लिए इस्तेमाल किया गया था यदि दो विपरीत कोने वाले वर्गों को शतरंज की बिसात से हटा दिया जाता है, तो शेष बोर्ड को डोमिनोज़ द्वारा कवर नहीं किया जा सकता है, क्योंकि प्रत्येक डोमिनोज़ प्रत्येक समानता के एक वर्ग को कवर करता है और दो और वर्ग होते हैं दूसरे की तुलना में एक समता का।^[10]

सम और विषम अध्यादेशों को तब भी परिभाषित किया जा सकता है, जब संख्या एक सीमा क्रमसूचक हो, या एक सीमा क्रमसूचक प्लस परिमित सम संख्या हो, और अन्यथा विषम हो।^[11] मान लीजिए कि R एक क्रमविनिमेय वलय है और R को एक आदर्श (रिंग थ्योरी) बना देता है, जिसका उपसमूह का सूचकांक 2 है। सह समुच्चय के तत्व $0+I$ कोसेट के तत्व होते हुए भी सम कहा जा सकता है $1+I$ विषम कहा जा सकता है। उदाहरण के रूप में, $R = Z (2)$ को प्रमुख आदर्श (2) पर Z का स्थानीयकरण हो। तब 'आर' का एक तत्व सम या विषम है यदि और केवल यदि इसका अंश Z में है।

संख्या सिद्धांत

सम संख्याएँ पूर्णांकों के वलय (बीजगणित) में वलय आदर्श बनाती हैं,^[12] लेकिन विषम संख्याएँ नहीं हैं—यह इस तथ्य से स्पष्ट है कि योग के लिए पहचान (गणित) तत्व, शून्य, केवल सम संख्याओं का तत्व है। एक पूर्णांक तब भी होता है जब यह 0 मॉड्यूलो इस आदर्श के अनुरूप होता है, दूसरे शब्दों में यदि यह 0 मॉड्यूलो 2 के अनुरूप, और विषम होता है, यदि यह 1 मॉड्यूलो 2 के अनुरूप होता है।

सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं, एक अपवाद के साथ 2 अभाज्य संख्या^[13] सभी ज्ञात पूर्ण संख्याएँ सम हैं, यह अज्ञात है कि कोई विषम पूर्ण संख्या मौजूद है या नहीं।^[14]

गोल्डबैक के अनुमान में कहा गया है कि 2 से बड़ा प्रत्येक सम पूर्णांक को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। आधुनिक संगणक गणनाओं ने इस अनुमान को कम से कम 4 × 10¹⁸ तक के पूर्णांकों के लिए सही साबित किया है, लेकिन अभी भी कोई सामान्य गणितीय प्रमाण नहीं मिला है।^[15]

समूह सिद्धांत

File:Rubiks revenge solved.jpg

रूबिक का बदला सुलझी हुई अवस्था में

क्रमचय की समानता (जैसा कि सार बीजगणित में परिभाषित किया गया है) उन स्थानान्तरण (गणित) की संख्या की समानता है जिसमें क्रमचय को विघटित किया जा सकता है।^[16] उदाहरण के लिए (एबीसी) से (बीसीए) सम है क्योंकि यह ए और बी को फिर सी और ए (दो स्थानान्तरण) को स्वैप करके किया जा सकता है। यह दिखाया जा सकता है कि किसी भी क्रमपरिवर्तन को सम और विषम संख्या दोनों में विघटित नहीं किया जा सकता है। अतः उपरोक्त एक उपयुक्त परिभाषा है। रूबिक्स क्यूब, मेगामिनक्स और अन्य घुमावदार पहेलियों में, पहेली की चाल पहेली के टुकड़ों के केवल समान क्रमपरिवर्तन की अनुमति देती है, इसलिए इन पहेलियों के विन्यास स्थान को समझने में समानता महत्वपूर्ण है।

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 === संख्याओं के उच्च आयाम और अधिक सामान्य वर्ग ===
-दो या दो से अधिक आयामों के [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष ]] स्थान में बिंदुओं के पूर्णांक निर्देशांक में भी समानता होती है, जिसे प्रायः निर्देशांक के योग की समानता के रूप में परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, [[ घन क्रिस्टल प्रणाली ]] | फलक-केंद्रित घन जाली और इसका उच्च-आयामी जो सामान्यीकरण है, ''D<sub>n</sub>''[[ जाली (समूह) | जालक (समूह)]] , सभी पूर्णांक बिंदुओं से मिलकर बनता है जिनके निर्देशांक का योग सम होता है।<ref>{{citation
+दो या दो से अधिक आयामों के [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष ]] स्थानों में बिंदुओं के पूर्णांक निर्देशांक में भी समानता होती है, जिसे प्रायः निर्देशांक के योग की समानता के रूप में परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, फलक-केंद्रित [[ घन क्रिस्टल प्रणाली ]]  घन जाली और इसका उच्च-आयामी जो सामान्यीकरण है, ''D<sub>n</sub>''[[ जाली (समूह) | जालक (समूह)]] , सभी पूर्णांक बिंदुओं से मिलकर बनता है जिनके निर्देशांकों का योग सम होता है।<ref>{{citation
   | last1 = Conway | first1 = J. H.
   | last2 = Sloane | first2 = N. J. A.
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   | url = https://books.google.com/books?id=upYwZ6cQumoC&pg=PA10
   | volume = 290
-  | year = 1999}}.</ref> यह सुविधा स्वयं [[ शतरंज ]] में प्रकट होती है, जहां वर्ग की समानता को उसके रंग से दर्शाया जाता है [[ बिशप (शतरंज) ]] समान समानता के वर्गों के बीच चलने के लिए विवश होते हैं, '''जबकि''' [[ नाइट (शतरंज) ]] चालों के बीच वैकल्पिक समानता।<ref>{{citation|title=Chess Thinking: The Visual Dictionary of Chess Moves, Rules, Strategies and Concepts|first=Bruce|last=Pandolfini|author-link=Bruce Pandolfini|publisher=Simon and Schuster|year=1995|isbn=9780671795023|pages=273–274|url=https://books.google.com/books?id=S2gI_mExCOoC&pg=PA273}}.</ref> समता के इस रूप का प्रसिद्ध रूप से कटे-फटे शतरंज की बिसात की समस्या को हल करने के लिए इस्तेमाल किया गया था: यदि दो विपरीत कोने वाले वर्गों को एक शतरंज की बिसात से हटा दिया जाता है, तो शेष बोर्ड को डोमिनोज़ द्वारा कवर नहीं किया जा सकता है, क्योंकि प्रत्येक डोमिनोज़ प्रत्येक समता के एक वर्ग को कवर करता है और दो और वर्ग होते हैं दूसरे की तुलना में एक समता का।<ref>{{citation|doi=10.2307/4146865|title=Tiling with dominoes| first=N. S.|last=Mendelsohn|journal=The College Mathematics Journal|volume=35|issue=2|year=2004| pages=115–120|jstor=4146865}}.</ref>
+  | year = 1999}}.</ref> यह सुविधा स्वयं [[ शतरंज ]] में प्रकट होती है, जहां वर्ग की समानता को उसके रंग से दर्शाया जाता है [[ बिशप (शतरंज) ]] समान समानता के वर्गों के बीच चलने के लिए विवश होते हैं, जबकि [[ नाइट (शतरंज) ]] चालों के बीच वैकल्पिक समानता रखते हैं।<ref>{{citation|title=Chess Thinking: The Visual Dictionary of Chess Moves, Rules, Strategies and Concepts|first=Bruce|last=Pandolfini|author-link=Bruce Pandolfini|publisher=Simon and Schuster|year=1995|isbn=9780671795023|pages=273–274|url=https://books.google.com/books?id=S2gI_mExCOoC&pg=PA273}}.</ref> समानता के इस रूप का प्रसिद्ध रूप से कटे-फटे शतरंज की समस्या को हल करने के लिए इस्तेमाल किया गया था यदि दो विपरीत कोने वाले वर्गों को शतरंज की बिसात से हटा दिया जाता है, तो शेष बोर्ड को डोमिनोज़ द्वारा कवर नहीं किया जा सकता है, क्योंकि प्रत्येक डोमिनोज़ प्रत्येक समानता के एक वर्ग को कवर करता है और दो और वर्ग होते हैं दूसरे की तुलना में एक समता का।<ref>{{citation|doi=10.2307/4146865|title=Tiling with dominoes| first=N. S.|last=Mendelsohn|journal=The College Mathematics Journal|volume=35|issue=2|year=2004| pages=115–120|jstor=4146865}}.</ref>
-सम और विषम अध्यादेशों को तब भी परिभाषित किया जा सकता है, जब संख्या एक सीमा क्रमसूचक हो, या एक सीमा क्रमसूचक प्लस एक परिमित सम संख्या हो, और अन्यथा विषम हो।<ref>{{citation|title=Real Analysis |last1=Bruckner|first1= Andrew M.| first2=Judith B.|last2=Bruckner|first3= Brian S.|last3=Thomson |year=1997 |isbn=978-0-13-458886-5 | page=37| url=https://books.google.com/books?id=1WY6u0C_jEsC&pg=PA37}}.</ref>
-मान लीजिए कि R एक क्रमविनिमेय वलय है और I को R का एक आदर्श (रिंग थ्योरी) बना देता है, जिसका [[ एक उपसमूह का सूचकांक ]] 2 है। [[ सह समुच्चय ]] के तत्व <math>0+I</math> कोसेट के तत्व होते हुए भी सम कहा जा सकता है <math>1+I</math> विषम कहा जा सकता है।
+सम और विषम अध्यादेशों को तब भी परिभाषित किया जा सकता है, जब संख्या एक सीमा क्रमसूचक हो, या एक सीमा क्रमसूचक प्लस परिमित सम संख्या हो, और अन्यथा विषम हो।<ref>{{citation|title=Real Analysis |last1=Bruckner|first1= Andrew M.| first2=Judith B.|last2=Bruckner|first3= Brian S.|last3=Thomson |year=1997 |isbn=978-0-13-458886-5 | page=37| url=https://books.google.com/books?id=1WY6u0C_jEsC&pg=PA37}}.</ref> मान लीजिए कि R एक क्रमविनिमेय वलय है और R को  एक आदर्श (रिंग थ्योरी) बना देता है, जिसका [[ एक उपसमूह का सूचकांक |  उपसमूह का सूचकांक]] 2 है। [[ सह समुच्चय | सह समुच्चय]] के तत्व <math>0+I</math> कोसेट के तत्व होते हुए भी सम कहा जा सकता है <math>1+I</math> विषम कहा जा सकता है। उदाहरण के रूप में,  {{math|1=''R'' = '''Z'''<sub>(2)</sub>}} को प्रमुख आदर्श (2) पर Z का [[ एक अंगूठी का स्थानीयकरण |  स्थानीयकरण]] हो। तब 'आर' का एक तत्व सम या विषम है यदि और केवल यदि इसका अंश Z में है।
-एक उदाहरण के रूप में, चलो {{math|1=''R'' = '''Z'''<sub>(2)</sub>}} प्रमुख आदर्श (2) पर Z की [[ एक अंगूठी का स्थानीयकरण ]] हो। फिर 'आर' का एक तत्व सम या विषम है यदि और केवल यदि इसका अंश Z में है।
 ===संख्या सिद्धांत===
-सम संख्याएँ पूर्णांकों के वलय (बीजगणित) में एक वलय आदर्श बनाती हैं,<ref>{{citation|title=Elements of Number Theory|first=John|last=Stillwell|author-link=John Stillwell|publisher=Springer|year=2003 |isbn=9780387955872|page=199 |url=https://books.google.com/books?id=LiAlZO2ntKAC&pg=PA199}}.</ref> लेकिन विषम संख्याएँ नहीं हैं—यह इस तथ्य से स्पष्ट है कि जोड़ के लिए [[ पहचान (गणित) ]] तत्व, शून्य, केवल सम संख्याओं का एक तत्व है। एक पूर्णांक तब भी होता है जब यह 0 मॉड्यूलर अंकगणित इस आदर्श के अनुरूप होता है, दूसरे शब्दों में यदि यह 0 मॉड्यूलो 2 के अनुरूप है, और विषम है यदि यह 1 मॉड्यूलो 2 के अनुरूप है।
+सम संख्याएँ पूर्णांकों के वलय (बीजगणित) में वलय आदर्श बनाती हैं,<ref>{{citation|title=Elements of Number Theory|first=John|last=Stillwell|author-link=John Stillwell|publisher=Springer|year=2003 |isbn=9780387955872|page=199 |url=https://books.google.com/books?id=LiAlZO2ntKAC&pg=PA199}}.</ref> लेकिन विषम संख्याएँ नहीं हैं—यह इस तथ्य से स्पष्ट है कि योग के लिए [[ पहचान (गणित) ]] तत्व, शून्य, केवल सम संख्याओं का तत्व है। एक पूर्णांक तब भी होता है जब यह 0 मॉड्यूलो  इस आदर्श के अनुरूप होता है, दूसरे शब्दों में यदि यह 0 मॉड्यूलो 2 के अनुरूप, और विषम होता है, यदि यह 1 मॉड्यूलो 2 के अनुरूप होता है।
+सभी [[ अभाज्य संख्या | अभाज्य संख्याएँ]] विषम हैं, एक अपवाद के साथ 2 अभाज्य संख्या<ref>{{citation|title=Basic College Mathematics| first1=Margaret L.|last1=Lial|first2=Stanley A.|last2=Salzman|first3=Diana|last3=Hestwood| edition=7th|publisher=Addison Wesley| year=2005|isbn=9780321257802|page=128}}.</ref> सभी ज्ञात पूर्ण संख्याएँ सम हैं, यह अज्ञात है कि कोई विषम पूर्ण संख्या मौजूद है या नहीं।<ref>{{citation|title=Mathematical Cranks|title-link=Mathematical Cranks|series=MAA Spectrum| first=Underwood| last=Dudley|author-link=Underwood Dudley|publisher=Cambridge University Press|year=1992|contribution=Perfect numbers| pages=242–244| contribution-url=https://books.google.com/books?id=HqeoWPsIH6EC&pg=PA242|isbn=9780883855072}}.</ref>
+गोल्डबैक के अनुमान में कहा गया है कि 2 से बड़ा प्रत्येक सम पूर्णांक को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। आधुनिक [[ संगणक | संगणक]] गणनाओं ने इस अनुमान को कम से कम 4 × 10<sup>18</sup> तक के पूर्णांकों के लिए सही साबित किया है, लेकिन अभी भी कोई सामान्य [[ गणितीय प्रमाण | गणितीय प्रमाण]] नहीं मिला है।<ref>{{citation|title=Empirical verification of the even Goldbach conjecture, and computation of prime gaps, up to 4&middot;10<sup>18</sup>|url=https://www.ams.org/editflow/editorial/uploads/mcom/accepted/120521-Silva/120521-Silva-v2.pdf|first1=Tomás|last1=Oliveira e Silva|first2=Siegfried|last2=Herzog|first3=Silvio|last3=Pardi|journal=Mathematics of Computation|volume=83|issue=288|pages=2033–2060|year=2013|doi=10.1090/s0025-5718-2013-02787-1|doi-access=free}}. In press.</ref>
-सभी [[ अभाज्य संख्या ]]एँ विषम हैं, एक अपवाद के साथ: अभाज्य संख्या 2.<ref>{{citation|title=Basic College Mathematics| first1=Margaret L.|last1=Lial|first2=Stanley A.|last2=Salzman|first3=Diana|last3=Hestwood| edition=7th|publisher=Addison Wesley| year=2005|isbn=9780321257802|page=128}}.</ref> सभी ज्ञात पूर्ण संख्याएँ सम हैं; यह अज्ञात है कि कोई विषम पूर्ण संख्या मौजूद है या नहीं।<ref>{{citation|title=Mathematical Cranks|title-link=Mathematical Cranks|series=MAA Spectrum| first=Underwood| last=Dudley|author-link=Underwood Dudley|publisher=Cambridge University Press|year=1992|contribution=Perfect numbers| pages=242–244| contribution-url=https://books.google.com/books?id=HqeoWPsIH6EC&pg=PA242|isbn=9780883855072}}.</ref>
-गोल्डबैक के अनुमान में कहा गया है कि 2 से बड़ा प्रत्येक सम पूर्णांक दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। आधुनिक [[ संगणक ]] गणनाओं ने इस अनुमान को कम से कम 4 × 10 . तक के पूर्णांकों के लिए सही साबित किया है<sup>18</sup>, लेकिन अभी भी कोई सामान्य [[ गणितीय प्रमाण ]] नहीं मिला है।<ref>{{citation|title=Empirical verification of the even Goldbach conjecture, and computation of prime gaps, up to 4&middot;10<sup>18</sup>|url=https://www.ams.org/editflow/editorial/uploads/mcom/accepted/120521-Silva/120521-Silva-v2.pdf|first1=Tomás|last1=Oliveira e Silva|first2=Siegfried|last2=Herzog|first3=Silvio|last3=Pardi|journal=Mathematics of Computation|volume=83|issue=288|pages=2033–2060|year=2013|doi=10.1090/s0025-5718-2013-02787-1|doi-access=free}}. In press.</ref>
 === समूह सिद्धांत ===
-[[File:Rubiks revenge solved.jpg|thumb|left|रूबिक का बदला सुलझी हुई अवस्था में]]एक क्रमपरिवर्तन की समानता (जैसा कि अमूर्त बीजगणित में परिभाषित किया गया है) स्थानान्तरण (गणित) की संख्या की समानता है जिसमें क्रमचय को विघटित किया जा सकता है।<ref>{{citation|title=Permutation Groups|volume=45|series=London Mathematical Society Student Texts|first=Peter J.|last=Cameron|author-link=Peter Cameron (mathematician)|publisher=Cambridge University Press|year=1999|isbn=9780521653787|pages=26–27|url=https://books.google.com/books?id=4bNj8K1omGAC&pg=PA26}}.</ref> उदाहरण के लिए (एबीसी) से (बीसीए) सम है क्योंकि यह ए और बी को फिर सी और ए (दो ट्रांसपोजिशन) को स्वैप करके किया जा सकता है। यह दिखाया जा सकता है कि किसी भी क्रमपरिवर्तन को सम और विषम संख्या दोनों में विघटित नहीं किया जा सकता है। अतः उपरोक्त एक उपयुक्त परिभाषा है। रूबिक्स क्यूब, [[ मेगामिनक्स ]] और अन्य घुमा पहेलियों में, पहेली की चाल पहेली के टुकड़ों के केवल क्रमपरिवर्तन की अनुमति देती है, इसलिए इन पहेलियों के कॉन्फ़िगरेशन स्थान (गणित) को समझने में समानता महत्वपूर्ण है।<ref>{{citation|title=Adventures in Group Theory: Rubik's Cube, Merlin's Machine, and Other Mathematical Toys|first=David|last=Joyner|publisher=JHU Press|year=2008|isbn=9780801897269|contribution=13.1.2 Parity conditions|pages=252–253|url=https://books.google.com/books?id=iM0fco-_Ri8C&pg=PA252}}.</ref>
+[[File:Rubiks revenge solved.jpg|thumb|left|रूबिक का बदला सुलझी हुई अवस्था में]]क्रमचय की समानता (जैसा कि सार बीजगणित में परिभाषित किया गया है) उन स्थानान्तरण (गणित) की संख्या की समानता है जिसमें क्रमचय को विघटित किया जा सकता है।<ref>{{citation|title=Permutation Groups|volume=45|series=London Mathematical Society Student Texts|first=Peter J.|last=Cameron|author-link=Peter Cameron (mathematician)|publisher=Cambridge University Press|year=1999|isbn=9780521653787|pages=26–27|url=https://books.google.com/books?id=4bNj8K1omGAC&pg=PA26}}.</ref> उदाहरण के लिए (एबीसी) से (बीसीए) सम है क्योंकि यह ए और बी को फिर सी और ए (दो स्थानान्तरण) को स्वैप करके किया जा सकता है। यह दिखाया जा सकता है कि किसी भी क्रमपरिवर्तन को सम और विषम संख्या दोनों में विघटित नहीं किया जा सकता है। अतः उपरोक्त एक उपयुक्त परिभाषा है। रूबिक्स क्यूब, [[ मेगामिनक्स ]] और अन्य घुमावदार पहेलियों में, पहेली की चाल पहेली के टुकड़ों के केवल समान क्रमपरिवर्तन की अनुमति देती है, इसलिए इन पहेलियों के विन्यास स्थान को समझने में समानता महत्वपूर्ण है।<ref>{{citation|title=Adventures in Group Theory: Rubik's Cube, Merlin's Machine, and Other Mathematical Toys|first=David|last=Joyner|publisher=JHU Press|year=2008|isbn=9780801897269|contribution=13.1.2 Parity conditions|pages=252–253|url=https://books.google.com/books?id=iM0fco-_Ri8C&pg=PA252}}.</ref>
-फीट-थॉम्पसन प्रमेय कहता है कि एक [[ परिमित समूह ]] हमेशा हल करने योग्य होता है यदि उसका क्रम एक विषम संख्या है। यह एक उन्नत गणितीय प्रमेय में भूमिका निभाने वाली विषम संख्याओं का एक उदाहरण है जहाँ विषम क्रम की सरल परिकल्पना के अनुप्रयोग की विधि स्पष्ट से बहुत दूर है।<ref>{{citation
+फीट-थॉम्पसन प्रमेय कहता है कि  [[ परिमित समूह ]] हमेशा हल करने योग्य होता है यदि उसका क्रम एक विषम संख्या है। यह  उन्नत गणितीय प्रमेय में भूमिका निभाने वाली विषम संख्याओं का एक उदाहरण है जहाँ "विषम क्रम" की सरल परिकल्पना के अनुप्रयोग की विधि स्पष्ट से बहुत दूर है।<ref>{{citation
   | last1 = Bender | first1 = Helmut
   | last2 = Glauberman | first2 = George

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