द्विघात सूत्र: Difference between revisions
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इन दो समाधानों में से प्रत्येक को द्विघात समीकरण का मूल (या शून्य) भी कहा जाता है। ज्यामितीय रूप से, ये मूल x-मानों का प्रतिनिधित्व करती हैं जिस पर कोई [[परवलय]], जिसे स्पष्ट रूप से {{math|1=''y'' = ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}},के रूप में दिया गया है, x-अक्ष को पार करता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/quadratic-formula-explained-article|title=द्विघात सूत्र को समझना|website=Khan Academy|language=en|access-date=2019-11-10}}</ref> | इन दो समाधानों में से प्रत्येक को द्विघात समीकरण का मूल (या शून्य) भी कहा जाता है। ज्यामितीय रूप से, ये मूल x-मानों का प्रतिनिधित्व करती हैं जिस पर कोई [[परवलय]], जिसे स्पष्ट रूप से {{math|1=''y'' = ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}},के रूप में दिया गया है, x-अक्ष को पार करता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/quadratic-formula-explained-article|title=द्विघात सूत्र को समझना|website=Khan Academy|language=en|access-date=2019-11-10}}</ref> | ||
साथ ही सूत्र होने के नाते जो किसी भी परवलय के शून्य उत्पन्न करता है, द्विघात समीकरण का उपयोग परवलय की समरूपता के धुरी की | साथ ही सूत्र होने के नाते जो किसी भी परवलय के शून्य उत्पन्न करता है, द्विघात समीकरण का उपयोग परवलय की समरूपता के धुरी की सर्वसमिका के लिए भी किया जा सकता है,<ref>{{Cite web|url=https://www.mathwarehouse.com/geometry/parabola/axis-of-symmetry.php|title=परवलय की सममिति का अक्ष। समीकरण या ग्राफ़ से अक्ष कैसे पता करें। समरूपता की धुरी खोजने के लिए ...|website=www.mathwarehouse.com|access-date=2019-11-10}}</ref>और [[वास्तविक संख्या]] शून्य की संख्या में द्विघात समीकरण शामिल है।<ref>{{Cite web|url=https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/discriminant-review|title=भेदभावपूर्ण समीक्षा|website=Khan Academy|language=en|access-date=2019-11-10}}</ref> | ||
यदि b<sup>2</sup> − 4ac को विविक्तकर के रूप में जाना जाता है। यदि {{nowrap|''b''<sup>2</sup> − 4''ac'' ≥ 0}} तो विविक्तकर का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या होगी, अन्यथा यह सम्मिश्र संख्या होगी। यदि a ≠ 0, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं तो | यदि b<sup>2</sup> − 4ac को विविक्तकर के रूप में जाना जाता है। यदि {{nowrap|''b''<sup>2</sup> − 4''ac'' ≥ 0}} तो विविक्तकर का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या होगी, अन्यथा यह सम्मिश्र संख्या होगी। यदि a ≠ 0, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं तो | ||
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=== बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके === | === बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके === | ||
निम्नलिखित विधि का उपयोग कई ऐतिहासिक गणितज्ञों द्वारा किया गया था:<ref>{{Cite journal |doi = 10.1080/00207390802642237|title = लियोनहार्ड यूलर की विरासत - एक त्रिशतवार्षिक श्रद्धांजलि|year = 2009|last1 = Debnath|first1 = Lokenath|journal = International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|volume = 40|issue = 3|pages = 353–388|s2cid = 123048345}}</ref> | निम्नलिखित विधि का उपयोग कई ऐतिहासिक गणितज्ञों द्वारा किया गया था:<ref>{{Cite journal |doi = 10.1080/00207390802642237|title = लियोनहार्ड यूलर की विरासत - एक त्रिशतवार्षिक श्रद्धांजलि|year = 2009|last1 = Debnath|first1 = Lokenath|journal = International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|volume = 40|issue = 3|pages = 353–388|s2cid = 123048345}}</ref> | ||
बता दें कि मानक द्विघात समीकरण | |||
बता दें कि मानक द्विघात समीकरण का मूल हैं {{math|''r''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''r''<sub>2</sub>}}। सर्वसमिका को याद करके व्युत्पत्ति शुरू होती है: | |||
:<math>(r_1 - r_2)^2 = (r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2\ \ .</math> | :<math>(r_1 - r_2)^2 = (r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2\ \ .</math> | ||
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:<math>r_1 - r_2 = \pm\sqrt{(r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2}\ \ .</math> | :<math>r_1 - r_2 = \pm\sqrt{(r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2}\ \ .</math> | ||
गुणांक | चूँकि गुणांक {{math|1=''a'' ≠ 0}},है, हम समान मूल वाले द्विघात बहुपद प्राप्त करने के लिए मानक समीकरण को {{math|''a''}} से विभाजित कर सकते हैं। अर्थात्, | ||
:<math> x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = (x - r_1)(x-r_2) = x^2 - (r_1 + r_2)x + r_1 r_2\ \ .</math> | :<math> x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = (x - r_1)(x-r_2) = x^2 - (r_1 + r_2)x + r_1 r_2\ \ .</math> | ||
इससे हम देख सकते हैं कि मानक द्विघात समीकरण के मूलों का योग इस प्रकार दिया गया है {{math|−{{sfrac|''b''|''a''}}}}, और उन मूल का गुणनफल | इससे हम देख सकते हैं कि मानक द्विघात समीकरण के मूलों का योग इस प्रकार दिया गया है {{math|−{{sfrac|''b''|''a''}}}}, और उन मूल का गुणनफल {{math|{{sfrac|''c''|''a''}}}}दिया जाता है। इसलिए सर्वसमिका को फिर से लिखा जा सकता है: | ||
इसलिए | |||
:<math>r_1 - r_2 = \pm\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-4\frac{c}{a}} = \pm\sqrt{\frac{b^2}{a^2} - \frac{4ac}{a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\ \ .</math> | :<math>r_1 - r_2 = \pm\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-4\frac{c}{a}} = \pm\sqrt{\frac{b^2}{a^2} - \frac{4ac}{a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\ \ .</math> | ||
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:<math> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .</math> | :<math> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .</math> | ||
===लैग्रेंज विलायकों द्वारा=== | |||
{{details|लैग्रेंज विलायकों}} | |||
द्विघात सूत्र निकालने का वैकल्पिक तरीका लैग्रेंज विलायक की विधि है,<ref name=Clark>Clark, A. (1984). ''Elements of abstract algebra''. Courier Corporation. p. 146.</ref> जो गैलोज़ सिद्धांत का प्रारंभिक हिस्सा है।<ref name="efei">{{citation | |||
द्विघात सूत्र निकालने का | |||
|title=Elliptic functions and elliptic integrals | |title=Elliptic functions and elliptic integrals | ||
|first1=Viktor | |first1=Viktor | ||
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|isbn=978-0-8218-0587-9 | |isbn=978-0-8218-0587-9 | ||
|url=https://books.google.com/books?id=fcp9IiZd3tQC | |url=https://books.google.com/books?id=fcp9IiZd3tQC | ||
}}, [https://books.google.com/books?id=fcp9IiZd3tQC&pg=PA134#PPA134,M1 §6.2, p. 134]</ref>इस विधि को | }}, [https://books.google.com/books?id=fcp9IiZd3tQC&pg=PA134#PPA134,M1 §6.2, p. 134]</ref>इस विधि को घन बहुपद और चतुर्थांश बहुपद की मूल देने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और गैलोज़ सिद्धांत की ओर जाता है, जो किसी को उनकी मूल के [[समरूपता समूह]], गैलोइस समूह के संदर्भ में किसी भी डिग्री के बीजगणितीय समीकरणों के समाधान को समझने की अनुमति देता है। | ||
यह दृष्टिकोण मूल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने की तुलना में मूल पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है। | यह दृष्टिकोण मूल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने की तुलना में मूल पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है। मोनिक द्विघात बहुपद दिया गया है | ||
:<math>x^2+px+q\ \ ,</math> | :<math>x^2+px+q\ \ ,</math> | ||
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जो द्विघात सूत्र है। प्रतिस्थापी {{math|''p'' {{=}} {{sfrac|''b''|''a''}}, ''q'' {{=}} {{sfrac|''c''|''a''}}}} द्विघात मोनिक नहीं होने पर सामान्य रूप देता है। विलायक के रूप में पहचाना जा सकता है {{math|{{sfrac|''r''{{sub|1}}|2}} {{=}} {{sfrac|−''p''|2}} {{=}} {{sfrac|−''b''|2''a''}}}} शीर्ष होने के नाते, और {{math|''r''{{sub|2}}{{sup|2}} {{=}} ''p''{{sup|2}} − 4''q''}} विवेचक है (मोनिक बहुपद का)। | जो द्विघात सूत्र है। प्रतिस्थापी {{math|''p'' {{=}} {{sfrac|''b''|''a''}}, ''q'' {{=}} {{sfrac|''c''|''a''}}}} द्विघात मोनिक नहीं होने पर सामान्य रूप देता है। विलायक के रूप में पहचाना जा सकता है {{math|{{sfrac|''r''{{sub|1}}|2}} {{=}} {{sfrac|−''p''|2}} {{=}} {{sfrac|−''b''|2''a''}}}} शीर्ष होने के नाते, और {{math|''r''{{sub|2}}{{sup|2}} {{=}} ''p''{{sup|2}} − 4''q''}} विवेचक है (मोनिक बहुपद का)। | ||
एक समान लेकिन अधिक जटिल विधि | एक समान लेकिन अधिक जटिल विधि घन समीकरणों के लिए काम करती है, जहां एक में तीन रिज़ॉल्वेंट होते हैं और एक द्विघात समीकरण (रिज़ॉल्विंग पॉलीनोमियल) संबंधित होता है। {{math|''r''{{sub|2}}}} तथा {{math|''r''{{sub|3}}}}, जिसे द्विघात समीकरण द्वारा हल किया जा सकता है, और इसी तरह एक चतुर्थांश समीकरण (बहुपद 4 की डिग्री) के लिए, जिसका हल करने वाला बहुपद एक घन है, जिसे बदले में हल किया जा सकता है।<ref name=Clark/>क्विंटिक समीकरण के लिए एक ही विधि 24 डिग्री का बहुपद उत्पन्न करती है, जो समस्या को सरल नहीं करती है, और वास्तव में, सामान्य रूप से क्विंटिक समीकरणों के समाधान केवल मूल का उपयोग करके व्यक्त नहीं किए जा सकते हैं। | ||
== ऐतिहासिक विकास == | == ऐतिहासिक विकास == | ||
Revision as of 17:01, 1 December 2022
प्रारंभिक बीजगणित में, द्विघात सूत्र द्विघात समीकरण का हल प्रदान करता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने के बजाय द्विघात समीकरण को हल करने के अन्य तरीके हैं, जैसे गुणनखंडन (प्रत्यक्ष गुणनखंडन, समूहीकरण, एसी विधि), वर्ग को पूरा करना, रेखांकन और अन्य।
प्रपत्र के सामान्य द्विघात समीकरण को देखते हुए
x के साथ अज्ञात का प्रतिनिधित्व करता है, a, b और c स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है, और a ≠ 0 के साथ, द्विघात सूत्र है:
जहाँ धन–ऋण चिह्न ± इंगित करता है कि द्विघात समीकरण के दो समाधान हैं।[1] अलग से लिखे जाने पर वे बन जाते हैं:
इन दो समाधानों में से प्रत्येक को द्विघात समीकरण का मूल (या शून्य) भी कहा जाता है। ज्यामितीय रूप से, ये मूल x-मानों का प्रतिनिधित्व करती हैं जिस पर कोई परवलय, जिसे स्पष्ट रूप से y = ax2 + bx + c,के रूप में दिया गया है, x-अक्ष को पार करता है।[2]
साथ ही सूत्र होने के नाते जो किसी भी परवलय के शून्य उत्पन्न करता है, द्विघात समीकरण का उपयोग परवलय की समरूपता के धुरी की सर्वसमिका के लिए भी किया जा सकता है,[3]और वास्तविक संख्या शून्य की संख्या में द्विघात समीकरण शामिल है।[4]
यदि b2 − 4ac को विविक्तकर के रूप में जाना जाता है। यदि b2 − 4ac ≥ 0 तो विविक्तकर का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या होगी, अन्यथा यह सम्मिश्र संख्या होगी। यदि a ≠ 0, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं तो
- अगर b2 − 4ac > 0 तो हमारे पास समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल/समाधान हैं ax2 + bx + c= 0.
- अगर b2 − 4ac = 0 तो हमारे पास पुनरावृत्त वास्तविक हल है।
- अगर b2 − 4ac < 0 तो हमारे पास दो अलग-अलग जटिल समाधान हैं, जो एक दूसरे के जटिल संयुग्म हैं।
समतुल्य सूत्रीकरण
द्विघात सूत्र को इस रूप में भी लिखा जा सकता है
जिसे सरल बनाया जा सकता है
सूत्र का यह संस्करण कैलकुलेटर (गणक यंत्र) का उपयोग करते समय मूल को खोजना आसान बनाता है।
मामले में विभेदक ऋणात्मक है, सम्मिश्र संख्याएँ मूल शामिल होती हैं। द्विघात सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
मुलर की विधि
कम ज्ञात द्विघात सूत्र, जिसका उपयोग मुलर की विधि में किया जाता है और जिसे वीटा के सूत्रों से पाया जा सकता है, समीकरण के माध्यम से समान मूल प्रदान करता है (मानते हुए) a ≠ 0, c ≠ 0):