द्विघात सूत्र: Difference between revisions

{{confused|quadratic function|quadratic equation}}

इन दो समाधानों में से प्रत्येक को द्विघात समीकरण का मूल (या शून्य) भी कहा जाता है। ज्यामितीय रूप से, ये जड़ें x-मानों का प्रतिनिधित्व करती हैं जिस पर कोई [[परवलय]], जिसे स्पष्ट रूप से {{math|1=''y'' = ''ax''² + ''bx'' + ''c''}},के रूप में दिया गया है, x-अक्ष को पार करता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/quadratic-formula-explained-article|title=द्विघात सूत्र को समझना|website=Khan Academy|language=en|access-date=2019-11-10}}</ref>

#अगर b² − 4ac > 0 तो हमारे पास समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल/समाधान हैं {{nowrap|1=''ax''{{isup|2}} + ''bx'' + ''c'' = 0}}.

#अगर b² − 4ac< 0 तो हमारे पास दो अलग-अलग जटिल समाधान हैं, जो एक दूसरे के जटिल संयुग्म हैं।

== समतुल्य फॉर्मूलेशन ==

सूत्र का यह संस्करण कैलकुलेटर का उपयोग करते समय जड़ों को खोजना आसान बनाता है। <br />

 

मामले में जब भेदभाव करनेवाला <math>b^2 - 4ac</math> ऋणात्मक है, सम्मिश्र संख्याएँ जड़ें शामिल हैं। द्विघात सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एक कम ज्ञात द्विघात सूत्र, जिसका उपयोग मुलर की विधि में किया जाता है और जिसे वीटा के सूत्रों से पाया जा सकता है, समीकरण के माध्यम से समान मूल प्रदान करता है (मानते हुए) {{math|''a'' ≠ 0, ''c'' ≠ 0}}):

'''वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन पर आधारित सूत्रीकरण'''

द्विघात समीकरण का मानक पैरामीट्रिजेशन है

कुछ स्रोत, विशेष रूप से पुराने स्रोत, द्विघात समीकरण के वैकल्पिक पैरामीटरीकरण का उपयोग करते हैं जैसे कि

: <math>ax^2 - 2b_1 x + c = 0</math>, कहाँ पे <math>b_1 = -b/2</math>,<ref name="kahan">{{Citation |first=Willian |last=Kahan |title=On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic |url=http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/Qdrtcs.pdf |date=November 20, 2004 |access-date=2012-12-25}}</ref>

: <math>ax^2 + 2b_2 x + c = 0</math>, कहाँ पे <math>b_2 = b/2</math>.<ref>{{Citation |url=http://www.proofwiki.org/wiki/Quadratic_Formula |title=Quadratic Formula |journal=Proof Wiki |access-date=2016-10-08}}</ref>

इन वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन के परिणामस्वरूप समाधान के लिए थोड़ा अलग रूप होते हैं, लेकिन जो अन्यथा मानक पैरामीट्रिजेशन के बराबर होते हैं।

साहित्य में द्विघात सूत्र को प्राप्त करने के लिए कई अलग-अलग तरीके उपलब्ध हैं। मानक वर्ग वर्ग तकनीक को पूरा करने का एक सरल अनुप्रयोग है।<ref>{{citation

द्वारा द्विघात समीकरण को विभाजित करें <math>a</math>, जिसकी अनुमति है क्योंकि <math>a</math> गैर-शून्य है:

घटाना {{math|{{sfrac|''c''|''a''}}}} समीकरण के दोनों पक्षों से, उपज:

द्विघात समीकरण अब एक ऐसे रूप में है जिस पर वर्ग को पूर्ण करने की विधि लागू होती है। वास्तव में, समीकरण के दोनों पक्षों में एक स्थिरांक इस प्रकार जोड़ने पर कि बायां पक्ष एक पूर्ण वर्ग बन जाए, द्विघात समीकरण बन जाता है:

इस प्रकार वर्ग पूरा हो गया है। हम दोनों पक्षों का [[वर्गमूल]] निकाल कर निम्नलिखित समीकरण प्राप्त कर सकते हैं:

# प्रत्येक पक्ष को गुणा करें<math>4a</math>,

# जोड़ें<math>b^2</math>वर्ग को पूरा करने के लिए दोनों तरफ।

# बायां पक्ष बहुपद का परिणाम है<math>(2ax + b)^2</math>.

# आइसोलेट<math>x</math>.

द्विघात सूत्र की यह व्युत्पत्ति प्राचीन है और भारत में कम से कम 1025 के रूप में जाना जाता था।<ref name=Smith1958>{{cite book|last=Smith|first=David E.|title=गणित का इतिहास, वॉल्यूम। द्वितीय|year=1958|publisher=Dover Publications|isbn=0486204308|page=446}}</ref> मानक उपयोग में व्युत्पत्ति की तुलना में, यह वैकल्पिक व्युत्पत्ति अंतिम चरण तक अंशों और वर्ग अंशों से बचती है और इसलिए दाईं ओर एक सामान्य भाजक प्राप्त करने के लिए चरण 3 के बाद पुनर्व्यवस्था की आवश्यकता नहीं होती है।<ref name=Hoehn1975/>

एक अन्य तकनीक [[प्रतिस्थापन (बीजगणित)]] द्वारा समाधान है।<ref>Joseph J. Rotman. (2010). Advanced modern algebra (Vol. 114). American Mathematical Soc. Section 1.1</ref> इस तकनीक में, हम स्थानापन्न करते हैं <math>x = y+m</math> प्राप्त करने के लिए द्विघात में:

परिणाम का विस्तार करना और फिर की शक्तियों को एकत्रित करना <math>y</math> पैदा करता है:

हमने अभी तक दूसरी शर्त नहीं लगाई है <math>y</math> तथा <math>m</math>, तो अब हम चुनते हैं <math>m</math> ताकि मध्य पद लुप्त हो जाए। वह है, <math>2am + b = 0</math> या <math>\textstyle m = \frac{-b}{2a}</math>.

बता दें कि मानक द्विघात समीकरण की जड़ें हैं {{math|''r''₁}} तथा {{math|''r''₂}}. पहचान को याद करके व्युत्पत्ति शुरू होती है:

इससे हम देख सकते हैं कि मानक द्विघात समीकरण के मूलों का योग इस प्रकार दिया गया है {{math|−{{sfrac|''b''|''a''}}}}, और उन जड़ों का गुणनफल दिया जाता है {{math|{{sfrac|''c''|''a''}}}}.

}}, [https://books.google.com/books?id=fcp9IiZd3tQC&pg=PA134#PPA134,M1 §6.2, p. 134]</ref>इस विधि को क्यूबिक बहुपद और क्वार्टिक बहुपद की जड़ें देने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और गैलोज़ सिद्धांत की ओर जाता है, जो किसी को उनकी जड़ों के [[समरूपता समूह]],गैलोइस समूह के संदर्भ में किसी भी डिग्री के बीजगणितीय समीकरणों के समाधान को समझने की अनुमति देता है।

यह दृष्टिकोण मूल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने की तुलना में जड़ों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है। एक मोनिक द्विघात बहुपद दिया गया है

कहाँ पे {{math|''p'' {{=}} −(''α'' + ''β'')}} तथा {{math|''q'' {{=}} ''αβ''}}.

चूँकि गुणन का क्रम कोई मायने नहीं रखता है, कोई α और β स्विच कर सकता है और p और q के मान नहीं बदलेंगे: कोई कह सकता है कि p और q α और β में [[सममित बहुपद]]हैं। वास्तव में, वे [[प्राथमिक सममित बहुपद]]हैं - α और β में किसी भी सममित बहुपद को α + β और αβ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। बहुपदों का विश्लेषण और हल करने के लिए गैलोज़ सिद्धांत दृष्टिकोण है: बहुपद के गुणांक दिए गए हैं, जो जड़ों में सममित कार्य हैं, क्या कोई "समरूपता को तोड़ सकता है" और जड़ों को पुनर्प्राप्त कर सकता है? इस प्रकार घात n के बहुपद को हल करना n पदों को पुनर्व्यवस्थित करने ("क्रम[[परिवर्तन]])के तरीकों से संबंधित है, जिसे n अक्षरों पर [[सममित समूह]]हा जाता है, और Sn को निरूपित किया जाता है। द्विघात बहुपद के लिए, दो शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने का एकमात्र तरीका उन्हें छोड़ देना है या उन्हें स्वैप करना है ("उन्हें [[स्थानान्तरण (गणित)|स्थानांतरित करना]]), और इस प्रकार एक द्विघात बहुपद को हल करना सरल है।

जड़ें खोजने के लिए {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}}, उनके योग और अंतर पर विचार करें:

इन्हें बहुपद का लग्रेंज विलायक कहा जाता है, ध्यान दें कि इनमें से एक जड़ों के क्रम पर निर्भर करता है, जो कि मुख्य बिंदु है। उपरोक्त समीकरणों को उल्टा करके कोई भी रिज़ॉल्वेंट से जड़ों को पुनर्प्राप्त कर सकता है:

अब {{math|''r''{{sub|1}} {{=}} ''α'' + ''β''}} में एक सममित कार्य है {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}}, के रूप में व्यक्त किया जा सकता है {{math|''p''}} तथा {{math|''q''}}, और वास्तव में {{math|''r''{{sub|1}} {{=}} −''p''}} जैसा कि ऊपर उल्लेखित है। परंतु {{math|''r''{{sub|2}} {{=}} ''α'' − ''β''}} स्विचिंग के बाद से सममित नहीं है {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}} पैदावार {{math|−''r''{{sub|2}} {{=}} ''β'' − ''α''}} (औपचारिक रूप से, इसे जड़ों के सममित समूह की [[समूह क्रिया (गणित)]] कहा जाता है)। तब से {{math|''r''{{sub|2}}}} सममित नहीं है, इसे गुणांकों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है {{math|''p''}} तथा {{math|''q''}}, क्योंकि ये जड़ों में सममित हैं और इस प्रकार कोई भी बहुपद अभिव्यक्ति उनमें शामिल है। जड़ों का क्रम बदलने से ही परिवर्तन होता है {{math|''r''{{sub|2}}}} -1 के एक गुणक द्वारा, और इस प्रकार वर्ग {{math|''r''{{sub|2}}{{sup|2}} {{=}} (''α'' − ''β''){{sup|2}}}} जड़ों में सममित है, और इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है {{math|''p''}} तथा {{math|''q''}}. समीकरण का उपयोग करना

इस प्रकार जड़ें हैं

जो द्विघात सूत्र है। स्थानापन्न {{math|''p'' {{=}} {{sfrac|''b''|''a''}}, ''q'' {{=}} {{sfrac|''c''|''a''}}}} द्विघात मोनिक नहीं होने पर सामान्य रूप देता है। विलायक के रूप में पहचाना जा सकता है {{math|{{sfrac|''r''{{sub|1}}|2}} {{=}} {{sfrac|−''p''|2}} {{=}} {{sfrac|−''b''|2''a''}}}} शीर्ष होने के नाते, और {{math|''r''{{sub|2}}{{sup|2}} {{=}} ''p''{{sup|2}} − 4''q''}} विवेचक है (मोनिक बहुपद का)।

एक समान लेकिन अधिक जटिल विधि क्यूबिक समीकरणों के लिए काम करती है, जहां एक में तीन रिज़ॉल्वेंट होते हैं और एक द्विघात समीकरण (रिज़ॉल्विंग पॉलीनोमियल) संबंधित होता है। {{math|''r''{{sub|2}}}} तथा {{math|''r''{{sub|3}}}}, जिसे द्विघात समीकरण द्वारा हल किया जा सकता है, और इसी तरह एक क्वार्टिक समीकरण (बहुपद 4 की डिग्री) के लिए, जिसका हल करने वाला बहुपद एक घन है, जिसे बदले में हल किया जा सकता है।<ref name=Clark/>क्विंटिक समीकरण के लिए एक ही विधि 24 डिग्री का बहुपद उत्पन्न करती है, जो समस्या को सरल नहीं करती है, और वास्तव में, सामान्य रूप से क्विंटिक समीकरणों के समाधान केवल जड़ों का उपयोग करके व्यक्त नहीं किए जा सकते हैं।

श्रीधराचार्य (870-930 ईस्वी), एक भारतीय गणितज्ञ भी द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक समान एल्गोरिथ्म के साथ आए, हालांकि इस बात का कोई संकेत नहीं है कि उन्होंने दोनों जड़ों पर विचार किया।<ref>{{Citation |title=Sridhara-MacTutor |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Sridhara/}}</ref> 9वीं शताब्दी के फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने द्विघात समीकरणों को बीजगणितीय रूप से हल किया।<ref>{{cite book|last=Irving|first=Ron|title=द्विघात सूत्र से परे|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|page=42}}</ref> सभी मामलों को कवर करने वाला द्विघात सूत्र पहली बार 1594 में [[साइमन स्टीवन]] द्वारा प्राप्त किया गया था।<ref>{{Citation |title=The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics |volume=II-B |first1=D. J. |last1=Struik |first2=Simon |last2=Stevin |publisher=C. V. Swets & Zeitlinger |year=1958 |page=470 |url=http://www.dwc.knaw.nl/pub/bronnen/Simon_Stevin-%5bII_B%5d_The_Principal_Works_of_Simon_Stevin,_Mathematics.pdf}}</ref> 1637 में रेने डेसकार्टेस ने ला ज्योमेट्री को प्रकाशित किया जिसमें द्विघात सूत्र के विशेष मामले शामिल थे, जिस रूप में आज हम जानते हैं।<ref>{{Cite book|url=http://archive.org/details/TheGeometry|title=ज्यामिति|last=Rene Descartes|language=en}}</ref>

कहाँ पे {{math|''p''}} डिग्री 2 और के बहुपद का प्रतिनिधित्व करता है {{math|''a''₀, ''a''₁,}} तथा {{math|1=''a''₂ ≠ 0}} निरंतर गुणांक हैं जिनकी सदस्यता उनके संबंधित शब्द की डिग्री से मेल खाती है। द्विघात सूत्र की ज्यामितीय व्याख्या यह है कि यह बिंदुओं को परिभाषित करता है {{math|''x''}}-अक्ष जहां परवलय अक्ष को पार करेगा। इसके अतिरिक्त, यदि द्विघात सूत्र को दो पदों के रूप में देखा जाता है,