रिक्की वक्रता: Difference between revisions

[[विभेदक ज्यामिति]] में, रिक्की वक्रता टेंसर, जिसका नाम [[ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्ट्रो]] के नाम पर रखा गया है, एक ज्यामितीय वस्तु है जो [[ कई गुना ]] पर [[रीमैनियन मैनिफोल्ड]] या [[छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड]]|छद्म-रीमैनियन मीट्रिक की पसंद से निर्धारित होती है। मोटे तौर पर, इसे उस डिग्री के माप के रूप में माना जा सकता है, जिस तक किसी दिए गए मीट्रिक टेंसर की ज्यामिति सामान्य [[छद्म-[[यूक्लिडियन स्थान]]]] या छद्म-यूक्लिडियन स्पेस से स्थानीय रूप से भिन्न होती है।

रिक्की टेंसर को इस माप से पहचाना जा सकता है कि अंतरिक्ष में [[जियोडेसिक]]्स के साथ चलते समय एक आकृति कैसे विकृत हो जाती है। [[सामान्य सापेक्षता]] में, जिसमें छद्म-रिमानियन सेटिंग शामिल है, यह रायचौधुरी समीकरण में रिक्की टेंसर की उपस्थिति से परिलक्षित होता है। आंशिक रूप से इसी कारण से, आइंस्टीन फ़ील्ड समीकरणों का प्रस्ताव है कि स्पेसटाइम को छद्म-रीमैनियन मीट्रिक द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसमें रिक्की टेंसर और ब्रह्मांड की पदार्थ सामग्री के बीच एक आश्चर्यजनक सरल संबंध है।

मीट्रिक टेंसर की तरह, रिक्की टेंसर मैनिफ़ोल्ड के प्रत्येक [[स्पर्शरेखा स्थान]] को एक [[सममित द्विरेखीय रूप]] प्रदान करता है {{harv|Besse|1987|p=43}}.<ref>Here it is assumed that the manifold carries its unique [[Levi-Civita connection]]. For a general [[affine connection]], the Ricci tensor need not be symmetric.</ref> मोटे तौर पर, कोई रीमैनियन ज्यामिति में रिक्की वक्रता की भूमिका को कार्यों के विश्लेषण में [[लाप्लास ऑपरेटर]] की भूमिका के अनुरूप बना सकता है; इस सादृश्य में, [[रीमैन वक्रता टेंसर]], जिसमें से रिक्की वक्रता एक प्राकृतिक उप-उत्पाद है, एक फ़ंक्शन के दूसरे डेरिवेटिव के पूर्ण मैट्रिक्स के अनुरूप होगा। हालाँकि, समान सादृश्य निकालने के लिए लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर हैं।

विभेदक ज्यामिति में, रीमैनियन मैनिफोल्ड पर रिक्की टेंसर पर निचली सीमाएं एक स्थिर वक्रता वाले [[अंतरिक्ष रूप]] की ज्यामिति के साथ तुलना करके वैश्विक ज्यामितीय और टोपोलॉजिकल जानकारी निकालने की अनुमति देती हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि रिक्की टेंसर पर निचली सीमाओं का उपयोग रीमानियन ज्यामिति में लंबाई कार्यात्मकता का अध्ययन करने में सफलतापूर्वक किया जा सकता है, जैसा कि पहली बार 1941 में मायर्स प्रमेय के माध्यम से दिखाया गया था।

रिक्की टेंसर का एक सामान्य स्रोत यह है कि यह तब उत्पन्न होता है जब कोई टेंसर लाप्लासियन के साथ सहसंयोजक व्युत्पन्न को स्थानांतरित करता है। उदाहरण के लिए, यह बोचनर के सूत्र में इसकी उपस्थिति की व्याख्या करता है, जिसका उपयोग रीमैनियन ज्यामिति में सर्वव्यापी रूप से किया जाता है। उदाहरण के लिए, यह सूत्र बताता है कि क्यों [[शिंग-तुंग याउ]] (और चेंग-याउ और ली-याउ असमानताओं जैसे उनके विकास) के कारण ग्रेडिएंट अनुमान लगभग हमेशा रिक्की वक्रता के लिए निचली सीमा पर निर्भर करते हैं।

2007 में, [[जॉन लोट (गणितज्ञ)]], [[कार्ल-थियोडोर स्टर्म]] और [[सेड्रिक विलानी]] ने निर्णायक रूप से प्रदर्शित किया कि रिक्की वक्रता पर निचली सीमा को पूरी तरह से रीमैनियन मैनिफोल्ड की मीट्रिक अंतरिक्ष संरचना के साथ-साथ इसके वॉल्यूम फॉर्म के संदर्भ में समझा जा सकता है।<ref>{{cite arXiv|last1=Lott|first1=John|last2=Villani|first2=Cedric|date=2006-06-23|title=इष्टतम परिवहन के माध्यम से मीट्रिक-माप स्थानों के लिए रिक्की वक्रता|eprint=math/0412127}}</ref> इसने रिक्की वक्रता और [[वासेरस्टीन मीट्रिक]] और [[परिवहन सिद्धांत (गणित)]] के बीच एक गहरा संबंध स्थापित किया, जो वर्तमान में बहुत शोध का विषय है।{{Citation needed|reason=Needs citation both to 2007 paper of Lott, Sturm and Villani, as well as citations to the "much research" which has come since. |date=January 2021}}

लगता है कि <math>\left( M, g \right)</math> एक <math>n</math>आयामी

[[रीमैनियन वक्रता टेंसर]] <math>M</math> एक नक्शा है जो

और वेक्टर फ़ील्ड लौटाता है<math display="block">R(X,Y)Z := \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y\nabla_XZ - \nabla_{[X,Y]}Z</math>[[वेक्टर फ़ील्ड]] पर <math>X, Y, Z</math>. तब से <math>R</math> के लिए एक टेंसर फ़ील्ड है

प्रत्येक बिंदु <math>p \in M</math>, यह एक (बहुरेखीय) मानचित्र को जन्म देता है:<math display="block">\operatorname{R}_p:T_pM\times T_pM\times T_pM\to T_pM.</math>प्रत्येक बिंदु के लिए परिभाषित करें <math>p \in M</math> वो नक्शा <math>\operatorname{Ric}_p:T_pM\times T_pM\to\mathbb{R}</math> द्वारा

यह (मल्टी)लीनियर का एक मानक अभ्यास है

होने देना <math>\left( M, g \right)</math> एक चिकनी रीमैनियन मैनिफोल्ड बनें

एक सहज चार्ट दिया गया <math>\left( U, \varphi \right)</math> एक के पास कार्य हैं

किसी के लिए <math>p \in U</math>, एक द्विरेखीय मानचित्र को परिभाषित करें

उपरोक्त दोनों परिभाषाएँ समान हैं। परिभाषित करने वाले सूत्र <math>\Gamma_{ij}^k</math> और <math>R_{ij}</math> समन्वय दृष्टिकोण में लेवी-सिविटा कनेक्शन और लेवी-सिविटा कनेक्शन के माध्यम से रीमैन वक्रता को परिभाषित करने वाले सूत्रों में एक सटीक समानता है। तर्कसंगत रूप से, सीधे स्थानीय निर्देशांक का उपयोग करने वाली परिभाषाएँ बेहतर हैं, क्योंकि ऊपर उल्लिखित रीमैन टेंसर की महत्वपूर्ण संपत्ति की आवश्यकता है <math>M</math> धारण करने के लिए हॉसडॉर्फ होना। इसके विपरीत, स्थानीय समन्वय दृष्टिकोण के लिए केवल एक सहज एटलस की आवश्यकता होती है। स्थानीय दृष्टिकोण में अंतर्निहित अपरिवर्तनवादी दर्शन को [[स्पिनर क्षेत्र]] जैसे अधिक विदेशी ज्यामितीय वस्तुओं के निर्माण के तरीकों से जोड़ना भी कुछ हद तक आसान है।

जैसा कि बियांची पहचान से देखा जा सकता है, एक रीमैनियन का रिक्की टेंसर

कई गुना, लेकिन आम तौर पर इसमें कम जानकारी होती है। वास्तव में, यदि <math>\xi</math> एक है

युक्त <math>\xi</math>. वहाँ है एक <math>(n - 2)</math>-आयामी परिवार

पूर्ण वक्रता टेंसर. एक उल्लेखनीय अपवाद तब होता है जब मैनिफ़ोल्ड को a दिया जाता है

[[ ऊनविम पृष्ठ ]] की रिक्की टेंसर की ईजेनदिशाएं भी हैं।

जैसा कि दूसरी बियांची पहचान से देखा जा सकता है, एक के पास है

रिक्की वक्रता को कभी-कभी (का एक नकारात्मक गुणज) माना जाता है

एक वेक्टर की दिशा में <math>\xi</math>, शंक्वाकार क्षेत्र में <math>M</math> लंबाई के जियोडेसिक खंडों के एक कसकर केंद्रित परिवार द्वारा बह गया

के बारे में एक छोटा सा शंकु <math>\xi</math>, संगत की तुलना में छोटी मात्रा होगी

<math>\xi</math>. इस प्रकार यदि एक शंकु प्रारंभ में गोलाकार (या गोलाकार) से उत्सर्जित होता है

[[प्रधान अक्ष प्रमेय]] एक दूसरे का प्रतिकार करते हैं। रिक्की

स्थानीय स्तर पर किसी द्रव्यमान की उपस्थिति; यदि एक शंकु का आरंभिक वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट है

रिक्की वक्रता सामान्य सापेक्षता में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, जहां यह है

रिक्की प्रवाह, मुख्य रूप से हैमिल्टन और [[ त्वरित पेरेलमैन ]] के कारण, दर्शाता है कि

यहां सकारात्मक रिक्की वक्रता वाले मैनिफोल्ड्स से संबंधित वैश्विक परिणामों की एक छोटी सूची दी गई है; रीमैनियन ज्यामिति#स्थानीय से वैश्विक प्रमेय भी देखें। संक्षेप में, रीमैनियन मैनिफोल्ड के सकारात्मक रिक्की वक्रता के मजबूत टोपोलॉजिकल परिणाम होते हैं, जबकि (कम से कम 3 आयाम के लिए), नकारात्मक रिक्की वक्रता का कोई टोपोलॉजिकल निहितार्थ नहीं होता है। (यदि रिक्की वक्रता कार्य करती है तो रिक्की वक्रता को 'सकारात्मक' कहा जाता है <math>\operatorname{Ric}(\xi, \xi)</math> गैर-शून्य स्पर्शरेखा सदिशों के समुच्चय पर धनात्मक है <math>\xi</math>.) कुछ परिणाम छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के लिए भी जाने जाते हैं।

#मायर्स प्रमेय|मायर्स प्रमेय (1941) में कहा गया है कि यदि रिक्की वक्रता नीचे से पूर्ण रीमैनियन एन-मैनिफोल्ड पर बंधी है <math>(n - 1)k > 0</math>, तो मैनिफोल्ड का व्यास होता है <math>\leq \pi / \sqrt{k}</math>. कवरिंग-स्पेस तर्क से, यह इस प्रकार है कि सकारात्मक रिक्की वक्रता के किसी भी कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड में एक सीमित [[मौलिक समूह]] होना चाहिए। [[शि यू-वाई यू एन चेंग]] (1975) ने दिखाया कि, इस सेटिंग में, व्यास असमानता में समानता तब होती है जब मैनिफोल्ड एक निरंतर वक्रता के क्षेत्र में [[आइसोमेट्री]] है <math>k</math>.

#बिशप-ग्रोमोव असमानता बताती है कि यदि पूर्ण <math>n</math>-आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड में गैर-नकारात्मक रिक्की वक्रता है, तो एक जियोडेसिक गेंद का आयतन यूक्लिडियन में समान त्रिज्या के एक जियोडेसिक गेंद के आयतन से कम या बराबर होता है <math>n</math>-अंतरिक्ष। इसके अलावा, यदि <math>v_p(R)</math> केंद्र के साथ गेंद के आयतन को दर्शाता है <math>p</math> और त्रिज्या <math>R</math> अनेक गुना में और <math>V(R) = c_n R^n</math> त्रिज्या की गेंद के आयतन को दर्शाता है <math>R</math> यूक्लिडियन में <math>n</math>-स्पेस फिर फ़ंक्शन <math>v_p(R) / V(R)</math> नहीं बढ़ रहा है. इसे रिक्की वक्रता (केवल गैर-नकारात्मकता नहीं) पर किसी भी निचली सीमा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और यह ग्रोमोव की कॉम्पैक्टनेस प्रमेय (ज्यामिति) | ग्रोमोव की कॉम्पैक्टनेस प्रमेय के प्रमाण में मुख्य बिंदु है।)

#चीगर-ग्रोमोल [[विभाजन प्रमेय]] में कहा गया है कि यदि एक पूर्ण रीमानियन मैनिफोल्ड है <math>\left( M, g \right)</math> साथ <math>\operatorname{Ric} \geq 0</math> इसमें एक पंक्ति है, जिसका अर्थ है जियोडेसिक <math>\gamma : \mathbb{R} \to M</math> ऐसा है कि <math>d(\gamma(u), \gamma(v)) = \left| u - v \right|</math> सभी के लिए <math>u, v \in \mathbb{R}</math>, तो यह उत्पाद स्थान के लिए सममितीय है <math>\mathbb{R} \times L</math>. नतीजतन, सकारात्मक रिक्की वक्रता की पूरी विविधता का अधिकतम एक टोपोलॉजिकल अंत हो सकता है। संपूर्ण [[लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड]] (मीट्रिक हस्ताक्षर के) के लिए कुछ अतिरिक्त परिकल्पनाओं के तहत भी प्रमेय सत्य है <math>\left( + - - \ldots \right)</math>) गैर-नकारात्मक रिक्की टेंसर के साथ ({{harvnb|Galloway|2000}}).

  <math>\tilde{g} = e^{2f} g</math> दिया हुआ है {{harv|Besse|1987|p=59}} द्वारा

 

<math display="block">\widetilde{\operatorname{Ric}}=\operatorname{Ric}+(2-n)\left[ \nabla df-df\otimes df\right]+\left[\Delta f -(n-2)\|df\|^2\right]g ,</math>

खास तौर पर एक बात बताई गई है <math>p</math> रीमैनियन मैनिफोल्ड में, यह हमेशा होता है

द्वि-आयामी मैनिफोल्ड के लिए, उपरोक्त सूत्र दर्शाता है कि यदि <math>f</math> एक है