उत्तल संयुग्म: Difference between revisions

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गणित और [[गणितीय अनुकूलन]] में, किसी फलन का उत्तल संयुग्म लीजेंड्रे रूपांतरण का एक सामान्यीकरण है जो गैर-उत्तल कार्यों पर लागू होता है। इसे [[पौराणिक परिवर्तन|लेजेंड्रे–फेंचेल रूपांतरण]], फेनचेल रूपांतरण, या फेनचेल संयुग्मन ([[एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे]] और [[वर्नर फेनेल]] के बाद) के रूप में भी जाना जाता है। यह विशेष रूप से लैग्रेंजियन द्वैत के दूरगामी सामान्यीकरण की अनुमति देता है।
गणित और [[गणितीय अनुकूलन]] में, किसी फलन का '''उत्तल संयुग्म''' लीजेंड्रे रूपांतरण का एक सामान्यीकरण है जो गैर-उत्तल कार्यों पर लागू होता है। इसे [[पौराणिक परिवर्तन|लेजेंड्रे–फेंचेल रूपांतरण]], फेनचेल रूपांतरण, या फेनचेल संयुग्मन ([[एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे]] और [[वर्नर फेनेल]] के बाद) के रूप में भी जाना जाता है। यह विशेष रूप से लैग्रेंजियन द्वैत के दूरगामी सामान्यीकरण की अनुमति देता है।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
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जिसे <math>\left( x^*, x \right) \mapsto x^* (x)</math> द्वारा परिभाषित किया गया है  
जिसे <math>\left( x^*, x \right) \mapsto x^* (x)</math> द्वारा परिभाषित किया गया है  


'''एक समारोह के लिए''' <math>f : X \to \mathbb{R} \cup \{ - \infty, + \infty \}</math> [[विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा]] पर मान लेते हुए, यह{{em|convex conjugate}} फलन है
एक फलन <math>f : X \to \mathbb{R} \cup \{ - \infty, + \infty \}</math> के लिए  [[विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा]] पर मान लेते हुए, इसका ''{{em|मध्योन्नत संयुग्मन}}'' निम्न फलन है


:<math>f^{*} : X^{*} \to \mathbb{R} \cup \{ - \infty, + \infty \}</math>
:<math>f^{*} : X^{*} \to \mathbb{R} \cup \{ - \infty, + \infty \}</math>
जिसका मूल्य पर <math>x^* \in X^{*}</math> सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है:
जिसका मूल्य <math>x^* \in X^{*}</math> पर सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है:


:<math>f^{*} \left( x^{*} \right) := \sup \left\{ \left\langle x^{*}, x \right\rangle - f (x) ~\colon~ x \in X \right\},</math>
:<math>f^{*} \left( x^{*} \right) := \sup \left\{ \left\langle x^{*}, x \right\rangle - f (x) ~\colon~ x \in X \right\},</math>
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:<math>f^{*} \left( x^{*} \right) := - \inf \left\{ f (x) - \left\langle x^{*}, x \right\rangle ~\colon~ x \in X \right\}.</math>
:<math>f^{*} \left( x^{*} \right) := - \inf \left\{ f (x) - \left\langle x^{*}, x \right\rangle ~\colon~ x \in X \right\}.</math>
इस परिभाषा की व्याख्या इसके सहायक हाइपरप्लेन के संदर्भ में फलन के [[एपिग्राफ (गणित)]] के उत्तल पतवार के एन्कोडिंग के रूप में की जा सकती है।<ref>{{cite web|url=https://physics.stackexchange.com/a/9360/821 |title=लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्म|accessdate=April 14, 2019}}</ref>
इस परिभाषा की व्याख्या इसके सहायक अधिसमतल के संदर्भ में फलन के [[एपिग्राफ (गणित)|अभिलेख (गणित)]] के अवमुख समावरक के संकेतन के रूप में की जा सकती है। <ref>{{cite web|url=https://physics.stackexchange.com/a/9360/821 |title=लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्म|accessdate=April 14, 2019}}</ref>




== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
अधिक उदाहरणों के लिए देखें {{Section link||Table of selected convex conjugates}}.
अधिक उदाहरणों के लिए देखें {{Section link||चयनित उत्तल संयुग्मों की तालिका}}.
* एक [[एफ़िन फ़ंक्शन|एफ़िन फलन]] का उत्तल संयुग्म <math> f(x) = \left\langle a, x \right\rangle - b</math> है <math display="block"> f^{*}\left(x^{*} \right)
* एक [[एफ़िन फ़ंक्शन|सजातीय फलन]] का उत्तल संयुग्म <math> f(x) = \left\langle a, x \right\rangle - b</math> है <math display="block"> f^{*}\left(x^{*} \right)
= \begin{cases} b,      & x^{*}  =  a
= \begin{cases} b,      & x^{*}  =  a
             \\ +\infty, & x^{*}  \ne a.
             \\ +\infty, & x^{*}  \ne a.
   \end{cases}
   \end{cases}
</math>
</math>
* किसी शक्ति फलन का उत्तल संयुग्म <math> f(x) = \frac{1}{p}|x|^p, 1 < p < \infty </math> है <math display="block">
* किसी घातांक फलन का उत्तल संयुग्म <math> f(x) = \frac{1}{p}|x|^p, 1 < p < \infty </math> है <math display="block">
f^{*}\left(x^{*} \right) = \frac{1}{q}|x^{*}|^q, 1<q<\infty, \text{where} \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1.</math>
f^{*}\left(x^{*} \right) = \frac{1}{q}|x^{*}|^q, 1<q<\infty, \text{where} \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1.</math>
* निरपेक्ष मान फलन का उत्तल संयुग्म <math>f(x) = \left| x \right|</math> है <math display="block">
* निरपेक्ष मान फलन का उत्तल संयुग्म <math>f(x) = \left| x \right|</math> है <math display="block">
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   \end{cases}
   \end{cases}
</math>
</math>
घातीय फलन के उत्तल संयुग्म और लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्म सहमत हैं, सिवाय इसके कि उत्तल संयुग्म के फलन का डोमेन सख्ती से बड़ा है क्योंकि लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्म केवल सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है।
घातीय फलन के उत्तल संयुग्म और लीजेंड्रे रूपांतर सहमत हैं, सिवाय इसके कि उत्तल संयुग्म के फलन का कार्यछेत्र अनुशासनपूर्वक से बड़ा है क्योंकि लीजेंड्रे रूपांतर केवल सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है।


===अपेक्षित कमी के साथ संबंध (जोखिम पर औसत मूल्य)===
===अपेक्षित कमी के साथ संबंध (जोखिम पर औसत मूल्य)===
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=== ऑर्डर करना ===
=== क्रमण ===
एक विशेष व्याख्या में रूपांतरण होता है
एक विशेष व्याख्या में रूपांतरण होता है
<math display="block">f^\text{inc}(x):= \arg \sup_t t\cdot x-\int_0^1 \max\{t-f(u),0\} \, du,</math>
<math display="block">f^\text{inc}(x):= \arg \sup_t t\cdot x-\int_0^1 \max\{t-f(u),0\} \, du,</math>
चूँकि यह प्रारंभिक फलन f की गैर-घटती पुनर्व्यवस्था है; विशेष रूप से, <math>f^\text{inc}= f</math> एफ गैर-घटने के लिए।
चूँकि यह प्रारंभिक फलन f की गैर-घटती पुनर्व्यवस्था है; विशेष रूप से, <math>f^\text{inc}= f</math> एफ गैर-घटने के लिए होता है।


== गुण ==
== गुण ==


एक बंद उत्तल फलन का उत्तल संयुग्म फिर से एक बंद उत्तल फलन है। एक [[बहुफलकीय उत्तल कार्य]] का उत्तल संयुग्म ([[ बहुतल ]] एपिग्राफ (गणित) के साथ एक उत्तल फलन) फिर से एक पॉलीहेड्रल उत्तल फलन है।
एक सीमित उत्तल फलन का उत्तल संयुग्म फिर से एक सीमित उत्तल फलन है। एक [[बहुफलकीय उत्तल कार्य]] का उत्तल संयुग्म ([[ बहुतल ]] अभिलेख (गणित) के साथ एक उत्तल फलन) फिर से एक बहुफलकीय उत्तल फलन है।


=== आदेश उलटना ===
=== क्रम उत्क्रम ===


इसकी घोषणा करें <math>f \le g</math> अगर और केवल अगर <math>f(x) \le g(x)</math> सभी के लिए <math>x.</math> फिर उत्तल-संयुग्मन ऑर्डर सिद्धांत | ऑर्डर-रिवर्सिंग है, जिसकी परिभाषा का अर्थ है कि यदि <math>f \le g</math> तब <math>f^* \ge g^*.</math> कार्यों के एक परिवार के लिए <math>\left(f_\alpha\right)_\alpha</math> यह इस तथ्य से निकलता है कि सर्वोच्चों को आपस में बदला जा सकता है
घोषित करें कि <math>f \le g</math> यदि और केवल यदि सभी <math>x</math> के लिए <math>f(x) \le g(x)</math> है। तब उत्तल-संयुग्मन क्रम-विपरीत होता है, जिसका परिभाषा के अनुसार अर्थ यह है कि यदि <math>f \le g</math> तो <math>f^* \ge g^*</math>  


:
:फलन के एक परिवार <math>\left(f_\alpha\right)_\alpha</math> के लिए यह इस तथ्य से निकलता है कि उच्चकों को आपस में बदला जा सकता है
:<math>\left(\inf_\alpha f_\alpha\right)^*(x^*) = \sup_\alpha f_\alpha^*(x^*),</math>
:<math>\left(\inf_\alpha f_\alpha\right)^*(x^*) = \sup_\alpha f_\alpha^*(x^*),</math>
और अधिकतम-न्यूनतम असमानता से
और अधिकतम-न्यूनतम असमानता से  


:<math>\left(\sup_\alpha f_\alpha\right)^*(x^*) \le \inf_\alpha f_\alpha^*(x^*).</math>
:<math>\left(\sup_\alpha f_\alpha\right)^*(x^*) \le \inf_\alpha f_\alpha^*(x^*).</math>




=== उभयलिंगी ===
=== द्विसंयुग्मी ===
किसी फलन का उत्तल संयुग्म हमेशा [[निचला अर्ध-निरंतर]] होता है। उभयलिंगी <math>f^{**}</math> (उत्तल संयुग्म का उत्तल संयुग्म) [[बंद उत्तल पतवार]] भी है, यानी सबसे बड़ा निचला अर्ध-निरंतर उत्तल कार्य <math>f^{**} \le f.</math> [[उचित उत्तल कार्य]] के लिए <math>f,</math> :<math>f = f^{**}</math> [[अगर और केवल अगर]] <math>f</math> फ़ेंशेल-मोरो प्रमेय द्वारा उत्तल और निचला अर्ध-निरंतर है।
किसी फलन का उत्तल संयुग्म हमेशा [[निचला अर्ध-निरंतर]] होता है। द्विसंयुग्मी <math>f^{**}</math> (उत्तल संयुग्म का उत्तल संयुग्म) [[बंद उत्तल पतवार|सीमित अवमुख समावरक]] भी है, यानी सबसे बड़ा निचला अर्ध-निरंतर उत्तल कार्य <math>f^{**} \le f</math> है। [[उचित उत्तल कार्य]] <math>f,</math> के लिए  :<math>f = f^{**}</math> [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल]] यदि <math>f</math> फ़ेंशेल-मोरो प्रमेय द्वारा उत्तल और निचला अर्ध-निरंतर है।


=== फ़ेंशेल की असमानता ===
=== फ़ेंशेल की असमानता ===
किसी भी समारोह के लिए {{mvar|f}} और इसका उत्तल संयुग्म {{math|''f'' *}}, फ़ेंचेल की असमानता (जिसे फ़ेंचेल-यंग असमानता के रूप में भी जाना जाता है) प्रत्येक के लिए लागू होती है <math>x \in X</math> और {{nowrap|<math>p \in X^{*}</math>:}}
किसी भी फलन {{mvar|f}} और इसका उत्तल संयुग्म {{math|''f'' *}} के लिए, फ़ेंचेल की असमानता (जिसे फ़ेंचेल-यंग असमानता के रूप में भी जाना जाता है) प्रत्येक <math>x \in X</math> और {{nowrap|<math>p \in X^{*}</math>}} के लिए लागू होती है:


:<math>\left\langle p,x \right\rangle \le f(x) + f^*(p).</math>
:<math>\left\langle p,x \right\rangle \le f(x) + f^*(p).</math>
इसके अलावा, समानता तभी कायम रहती है जब <math>p \in \partial f(x)</math>.
इसके अतिरिक्त, समानता तभी कायम रहती है जब <math>p \in \partial f(x)</math> है।
प्रमाण उत्तल संयुग्म की परिभाषा से मिलता है: <math>f^*(p) = \sup_{\tilde x} \left\{ \langle p,\tilde x \rangle - f(\tilde x) \right\} \ge \langle p,x \rangle - f(x).</math>
 
प्रमाण उत्तल संयुग्म की परिभाषा <math>f^*(p) = \sup_{\tilde x} \left\{ \langle p,\tilde x \rangle - f(\tilde x) \right\} \ge \langle p,x \rangle - f(x)</math> से मिलता है।
 




=== उत्तलता ===
=== उत्तलता ===
दो कार्यों के लिए <math>f_0</math> और <math>f_1</math> और एक संख्या <math>0 \le \lambda \le 1</math> उत्तलता संबंध
दो कार्यों <math>f_0</math> और <math>f_1</math> और एक संख्या <math>0 \le \lambda \le 1</math> उत्तलता संबंध के लिए


:<math>\left((1-\lambda) f_0 + \lambda f_1\right)^{*} \le (1-\lambda) f_0^{*} + \lambda f_1^{*}</math>
:<math>\left((1-\lambda) f_0 + \lambda f_1\right)^{*} \le (1-\lambda) f_0^{*} + \lambda f_1^{*}</math>
धारण करता है. <math>{*}</math> h> ऑपरेशन स्वयं उत्तल मानचित्रण है।
धारण करता है। <math>{*}</math> संचालन स्वयं उत्तल मानचित्रण है।


=== अनंत कनवल्शन ===
=== अनंत संवलन ===
दो कार्यों का अनंत कनवल्शन (या एपि-सम)। <math>f</math> और <math>g</math> परिभाषित किया जाता है
दो कार्यों का अनंत संवलन (या एपि-सम) <math>f</math> और <math>g</math> निम्न रूप में परिभाषित किया जाता है


:<math>\left( f \operatorname{\Box} g \right)(x) = \inf \left\{ f(x-y) + g(y) \mid y \in \mathbb{R}^n \right\}.</math>
:<math>\left( f \operatorname{\Box} g \right)(x) = \inf \left\{ f(x-y) + g(y) \mid y \in \mathbb{R}^n \right\}.</math>
मान लीजिये <math>f_1, \ldots, f_{m}</math> उचित उत्तल कार्य, उत्तल और अर्ध-निरंतरता कार्य पर होना <math>\mathbb{R}^{n}.</math> फिर अनंत कनवल्शन उत्तल और निचला अर्धविराम है (लेकिन जरूरी नहीं कि उचित हो),<ref>{{cite book |last=Phelps |first=Robert |authorlink=Robert R. Phelps |title=उत्तल कार्य, मोनोटोन संचालक और भिन्नता|url=https://archive.org/details/convexfunctionsm00phel |url-access=limited | edition=2 |year=1993|publisher=Springer |isbn= 0-387-56715-1|page= [https://archive.org/details/convexfunctionsm00phel/page/n50 42]}}</ref> और संतुष्ट करता है
मान लीजिये <math>f_1, \ldots, f_{m}</math> उचित उत्तल कार्य, उत्तल और अर्ध-निरंतरता <math>\mathbb{R}^{n}</math> पर कार्य करता है, फिर अनंत संवलन उत्तल और निचला अर्धविराम है (लेकिन जरूरी नहीं कि उचित हो),<ref>{{cite book |last=Phelps |first=Robert |authorlink=Robert R. Phelps |title=उत्तल कार्य, मोनोटोन संचालक और भिन्नता|url=https://archive.org/details/convexfunctionsm00phel |url-access=limited | edition=2 |year=1993|publisher=Springer |isbn= 0-387-56715-1|page= [https://archive.org/details/convexfunctionsm00phel/page/n50 42]}}</ref> और निम्न को संतुष्ट करता है


:<math>\left( f_1 \operatorname{\Box} \cdots \operatorname{\Box} f_m \right)^{*} = f_1^{*} + \cdots + f_m^{*}.</math>
:<math>\left( f_1 \operatorname{\Box} \cdots \operatorname{\Box} f_m \right)^{*} = f_1^{*} + \cdots + f_m^{*}.</math>
दो कार्यों के अनंत कनवल्शन की एक ज्यामितीय व्याख्या होती है: दो कार्यों के अनंत कनवल्शन का (सख्त) एपिग्राफ (गणित) उन कार्यों के (सख्त) एपिग्राफ का मिन्कोव्स्की योग है।<ref>{{cite journal |doi=10.1137/070687542 |title=The Proximal Average: Basic Theory |year=2008 |last1=Bauschke |first1=Heinz H. |last2=Goebel |first2=Rafal |last3=Lucet |first3=Yves |last4=Wang |first4=Xianfu |journal=SIAM Journal on Optimization |volume=19 |issue=2 |pages=766|citeseerx=10.1.1.546.4270 }}</ref>
दो कार्यों के अनंत संवलन की एक ज्यामितीय व्याख्या होती है: दो कार्यों के अनंत संवलन का (निश्चित) अभिलेख (गणित) उन कार्यों के (निश्चित) अभिलेख का मिन्कोव्स्की योग है। <ref>{{cite journal |doi=10.1137/070687542 |title=The Proximal Average: Basic Theory |year=2008 |last1=Bauschke |first1=Heinz H. |last2=Goebel |first2=Rafal |last3=Lucet |first3=Yves |last4=Wang |first4=Xianfu |journal=SIAM Journal on Optimization |volume=19 |issue=2 |pages=766|citeseerx=10.1.1.546.4270 }}</ref>




=== तर्क को अधिकतम करना ===
=== तर्क अधिकतमीकरण ===
यदि फलन <math>f</math> अवकलनीय है, तो इसका व्युत्पन्न उत्तल संयुग्म की गणना में अधिकतम तर्क है:
यदि फलन <math>f</math> अवकलनीय है, तो इसका व्युत्पन्न उत्तल संयुग्म की गणना में अधिकतम तर्क है:
:<math>f^\prime(x) = x^*(x):= \arg\sup_{x^{*}} {\langle x, x^{*}\rangle} -f^{*}\left( x^{*} \right)</math> और
:<math>f^\prime(x) = x^*(x):= \arg\sup_{x^{*}} {\langle x, x^{*}\rangle} -f^{*}\left( x^{*} \right)</math> और
Line 108: Line 112:
:<math>x = \nabla f^{{*}}\left( \nabla f(x) \right),</math>
:<math>x = \nabla f^{{*}}\left( \nabla f(x) \right),</math>
:<math>x^{*} = \nabla f\left( \nabla f^{{*}}\left( x^{*} \right)\right),</math>
:<math>x^{*} = \nabla f\left( \nabla f^{{*}}\left( x^{*} \right)\right),</math>
और इसके अलावा
और इसके अतिरिक्त
:<math>f^{\prime\prime}(x) \cdot f^{{*}\prime\prime}\left( x^{*}(x) \right) = 1,</math>
:<math>f^{\prime\prime}(x) \cdot f^{{*}\prime\prime}\left( x^{*}(x) \right) = 1,</math>
:<math>f^{{*}\prime\prime}\left( x^{*} \right) \cdot f^{\prime\prime}\left( x(x^{*}) \right) = 1.</math>
:<math>f^{{*}\prime\prime}\left( x^{*} \right) \cdot f^{\prime\prime}\left( x(x^{*}) \right) = 1.</math>




=== स्केलिंग गुण ===
=== प्रवर्धन गुण ===
अगर कुछ के लिए <math>\gamma>0,</math> <math>g(x) = \alpha + \beta x + \gamma \cdot f\left( \lambda x + \delta \right)</math>, तब
यदि कुछ <math>\gamma>0</math> के लिए  <math>g(x) = \alpha + \beta x + \gamma \cdot f\left( \lambda x + \delta \right)</math> है, तब
:<math>g^{*}\left( x^{*} \right)= - \alpha - \delta\frac{x^{*}-\beta} \lambda + \gamma \cdot f^{*}\left(\frac {x^{*}-\beta}{\lambda \gamma}\right).</math>
:<math>g^{*}\left( x^{*} \right)= - \alpha - \delta\frac{x^{*}-\beta} \lambda + \gamma \cdot f^{*}\left(\frac {x^{*}-\beta}{\lambda \gamma}\right).</math>




=== रैखिक परिवर्तनों के तहत व्यवहार ===
=== रैखिक परिवर्तनों के अंतर्गत व्यवहार ===
मान लीजिये <math>A : X \to Y</math> एक [[परिबद्ध रैखिक संचालिका]] बनें। किसी भी उत्तल फलन के लिए <math>f</math> पर <math>X,</math> :<math>\left(A f\right)^{*} = f^{*} A^{*}</math>
मान लीजिये <math>A : X \to Y</math> एक [[परिबद्ध रैखिक संचालिका]] है। किसी भी उत्तल फलन <math>f</math> के लिए <math>X</math> पर :<math>\left(A f\right)^{*} = f^{*} A^{*}</math>है
कहाँ
 
जहाँ


:<math>(A f)(y) = \inf\{ f(x) : x \in X , A x = y \}</math>
:<math>(A f)(y) = \inf\{ f(x) : x \in X , A x = y \}</math>
की पूर्व छवि है <math>f</math> इसके संबंध में <math>A</math> और <math>A^{*}</math> का सहायक संचालक है <math>A.</math><ref>Ioffe, A.D. and Tichomirov, V.M. (1979), ''Theorie der Extremalaufgaben''. [[Deutscher Verlag der Wissenschaften]]. Satz 3.4.3</ref>
<math>f</math> की पूर्व छवि है इसके संबंध में <math>A</math> और <math>A^{*}</math> का सहायक संचालक <math>A</math> है। <ref>Ioffe, A.D. and Tichomirov, V.M. (1979), ''Theorie der Extremalaufgaben''. [[Deutscher Verlag der Wissenschaften]]. Satz 3.4.3</ref><math>G</math>
एक बंद उत्तल फलन <math>f</math> किसी दिए गए सेट के संबंध में सममित है <math>G</math> [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स]] का,
 
:<math>f(A x) = f(x)</math> सभी के लिए <math>x</math> और सभी <math>A \in G</math>
एक बंद उत्तल फलन <math>f</math> आयतीय रैखिक परिवर्तनों के दिए गए सम्मुच्चय G के संबंध में सममित है,
यदि और केवल यदि यह उत्तल संयुग्म है <math>f^{*}</math> के संबंध में सममित है <math>G.</math>
:<math>f(A x) = f(x)</math> सभी <math>x</math> और सभी <math>A \in G</math> के लिए
यदि और केवल यदि यह उत्तल संयुग्म <math>f^{*}</math> <math>G</math> के संबंध में सममित है
 




== चयनित उत्तल संयुग्मों की तालिका ==
== चयनित उत्तल संयुग्मों की तालिका ==
निम्न तालिका कई सामान्य कार्यों के साथ-साथ कुछ उपयोगी गुणों के लिए लीजेंड्रे रूपांतरण प्रदान करती है।<ref>{{cite book |last1=Borwein |first1=Jonathan |authorlink1=Jonathan Borwein|last2=Lewis |first2=Adrian |title=Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples|url=https://archive.org/details/convexanalysisno00borw_812 |url-access=limited | edition=2 |year=2006 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-29570-1|pages=[https://archive.org/details/convexanalysisno00borw_812/page/n62 50]–51}}</ref>
निम्न तालिका कई सामान्य कार्यों के साथ-साथ कुछ उपयोगी गुणों के लिए लीजेंड्रे रूपांतरण प्रदान करती है। <ref>{{cite book |last1=Borwein |first1=Jonathan |authorlink1=Jonathan Borwein|last2=Lewis |first2=Adrian |title=Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples|url=https://archive.org/details/convexanalysisno00borw_812 |url-access=limited | edition=2 |year=2006 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-29570-1|pages=[https://archive.org/details/convexanalysisno00borw_812/page/n62 50]–51}}</ref>


{| class="wikitable"
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!<math>g(x)</math> !! <math>\operatorname{dom}(g)</math> !! <math>g^*(x^*)</math> !! <math>\operatorname{dom}(g^*)</math>
!<math>g(x)</math> !! <math>\operatorname{dom}(g)</math> !! <math>g^*(x^*)</math> !! <math>\operatorname{dom}(g^*)</math>
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| <math>f(ax)</math> (where <math>a \neq 0</math>) || <math>X</math> || <math>f^*\left(\frac{x^*}{a}\right)</math> || <math>X^*</math>
| <math>f(ax)</math> (जहाँ <math>a \neq 0</math>) || <math>X</math> || <math>f^*\left(\frac{x^*}{a}\right)</math> || <math>X^*</math>
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| <math>f(x + b)</math> || <math>X</math> || <math>f^*(x^*) - \langle b,x^* \rangle</math> || <math>X^*</math>
| <math>f(x + b)</math> || <math>X</math> || <math>f^*(x^*) - \langle b,x^* \rangle</math> || <math>X^*</math>
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| <math>a f(x)</math> (where <math>a > 0</math>) || <math>X</math> || <math>a f^*\left(\frac{x^*}{a}\right)</math> || <math>X^*</math>
| <math>a f(x)</math> (जहाँ <math>a > 0</math>) || <math>X</math> || <math>a f^*\left(\frac{x^*}{a}\right)</math> || <math>X^*</math>
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| <math>\alpha+ \beta x+ \gamma \cdot f(\lambda x+\delta)</math> || <math>X</math> ||<math>-\alpha- \delta\frac{x^*-\beta}\lambda+ \gamma \cdot f^* \left(\frac {x^*-\beta}{\gamma \lambda}\right)\quad (\gamma>0)</math> || <math>X^*</math>
| <math>\alpha+ \beta x+ \gamma \cdot f(\lambda x+\delta)</math> || <math>X</math> ||<math>-\alpha- \delta\frac{x^*-\beta}\lambda+ \gamma \cdot f^* \left(\frac {x^*-\beta}{\gamma \lambda}\right)\quad (\gamma>0)</math> || <math>X^*</math>
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| <math>\frac{|x|^p}{p}</math> (where <math>p > 1</math>) || <math>\mathbb{R}</math> || <math>\frac{|x^*|^q}{q} </math> (where <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>) || <math>\mathbb{R}</math>
| <math>\frac{|x|^p}{p}</math> (जहाँ <math>p > 1</math>) || <math>\mathbb{R}</math> || <math>\frac{|x^*|^q}{q} </math> (जहाँ <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>) || <math>\mathbb{R}</math>
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| <math>\frac{-x^p}{p}</math> (where <math>0 < p < 1</math>) || <math>\mathbb{R}_+</math> || <math>\frac{-(-x^*)^q}q</math> (where <math>\frac 1 p + \frac 1 q = 1</math>) || <math>\mathbb{R}_{--}</math>
| <math>\frac{-x^p}{p}</math> (जहाँ <math>0 < p < 1</math>) || <math>\mathbb{R}_+</math> || <math>\frac{-(-x^*)^q}q</math> (जहाँ <math>\frac 1 p + \frac 1 q = 1</math>) || <math>\mathbb{R}_{--}</math>
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| <math>\sqrt{1 + x^2}</math> || <math>\mathbb{R}</math> || <math>-\sqrt{1 - (x^*)^2}</math> || <math>[-1,1]</math>
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* {{cite web |title=Introduction to Series-Parallel Duality |author-first=David Patterson |author-last=Ellerman |author-link=David Patterson Ellerman |publisher=[[University of California at Riverside]] |date=May 2004 |orig-year=1995-03-21 |citeseerx=10.1.1.90.3666 |url=http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2012/12/Series-Parallel-Duality.CV_.pdf |access-date=2019-08-09 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20190810011716/http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.90.3666&rep=rep1&type=pdf<!-- https://archive.today/20190810080659/http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.90.3666&rep=rep1&type=pdf --> |archive-date=2019-08-10}} [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.90.3666&rep=rep1&type=pdf] (24 pages)
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{{Convex analysis and variational analysis}}
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Revision as of 00:19, 29 November 2023

गणित और गणितीय अनुकूलन में, किसी फलन का उत्तल संयुग्म लीजेंड्रे रूपांतरण का एक सामान्यीकरण है जो गैर-उत्तल कार्यों पर लागू होता है। इसे लेजेंड्रे–फेंचेल रूपांतरण, फेनचेल रूपांतरण, या फेनचेल संयुग्मन (एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे और वर्नर फेनेल के बाद) के रूप में भी जाना जाता है। यह विशेष रूप से लैग्रेंजियन द्वैत के दूरगामी सामान्यीकरण की अनुमति देता है।

परिभाषा

मान लीजिये एक वास्तविक संख्या सांस्थितिक सदिश समष्टि है और मान लीजिये करने के लिए द्वैतसमष्‍टि हो। जिसे विहित द्वैध युग्मन रूप में दर्शाया जा सकता है

जिसे द्वारा परिभाषित किया गया है

एक फलन के लिए विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा पर मान लेते हुए, इसका मध्योन्नत संयुग्मन निम्न फलन है