सदिश क्षेत्र: Difference between revisions
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[[File:VectorField.svg|right|thumb|250px|सदिश क्षेत्र का भाग (sin y, sin x)]] | [[File:VectorField.svg|right|thumb|250px|सदिश क्षेत्र का भाग (sin y, sin x)]]सदिश गणना और भौतिकी में, '''सदिश क्षेत्र''' किसी समष्टि के प्रत्येक बिंदु पर सदिश का असाइनमेंट होता है, सामान्यतः यूक्लिडियन समष्टि <math>\mathbb{R}^n</math>होता है।<ref name="Galbis-2012-p12" /> किसी समतल पर सदिश क्षेत्र को दिए गए परिमाण और दिशाओं वाले तीरों के संग्रह के रूप में देखा जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक समतल पर बिंदु से जुड़ा होता है। सदिश क्षेत्र का उपयोग प्रायः मॉडल करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए, तीन आयामी समिष्ट में चलती तरल पदार्थ की गति और दिशा, जैसे कि वायु, या कुछ बल की शक्ति और दिशा, जैसे [[चुंबकीय क्षेत्र]] या [[गुरुत्वाकर्षण]] बल, क्योंकि यह एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक परिवर्तित होता है। | ||
अवकल और अभिन्न कलन के तत्व स्वाभाविक रूप से सदिश क्षेत्रों तक विस्तारित होते हैं। जब सदिश क्षेत्र बल का प्रतिनिधित्व करता है, तो सदिश क्षेत्र का रेखा अभिन्न अंग पथ के साथ चलने वाले बल द्वारा किए गए [[कार्य (भौतिकी)|फलन]] का प्रतिनिधित्व करता है, और इस व्याख्या के अंतर्गत ऊर्जा के संरक्षण को गणना के मौलिक प्रमेय की विशेष स्थिति के रूप में प्रदर्शित किया जाता है। सदिश क्षेत्र को उपयोगी रूप से समिष्ट में गतिशील प्रवाह के वेग का प्रतिनिधित्व करने के रूप में सोचा जा सकता है, और यह भौतिक अंतर्ज्ञान [[विचलन]] (जो प्रवाह की मात्रा में परिवर्तन की दर का प्रतिनिधित्व करता है) और [[कर्ल (गणित)|कर्ल]] (जो प्रतिनिधित्व करता है) जैसी धारणाओं की ओर ले जाता है। | |||
सदिश क्षेत्र [[वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन|वेक्टर-वैल्यू | सदिश क्षेत्र [[वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन|वेक्टर-वैल्यू फलन]] की विशेष स्थिति है, जिसके डोमेन के आयाम का इसकी सीमा के आयाम से कोई संबंध नहीं है; उदाहरण के लिए, किसी समिष्ट वक्र की स्थिति सदिश को केवल परिवेशीय समष्टि के छोटे उपसमुच्चय के लिए परिभाषित किया गया है। इसी प्रकार, n निर्देशांक, n-आयामी यूक्लिडियन समष्टि में डोमेन पर सदिश क्षेत्र <math>\mathbb{R}^n</math> को वेक्टर-वैल्यू फलन के रूप में दर्शाया जा सकता है जो डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर वास्तविक संख्याओं के n-टुपल को जोड़ता है। सदिश क्षेत्र का यह प्रतिनिधित्व समन्वय प्रणाली पर निर्भर करता है, और एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में जाने में उचित प्रकार से परिभाषित परिवर्तन नियम (सदिश का सहप्रसरण और विरोधाभास) होता है। | ||
सदिश क्षेत्र का वर्णन प्रायः यूक्लिडियन | सदिश क्षेत्र का वर्णन प्रायः यूक्लिडियन समष्टि के विवृत उपसमुच्चय पर की जाती है, किन्तु यह [[सतह (टोपोलॉजी)|सतहों]] जैसे अन्य उपसमुच्चय पर भी समझ में आता है, जहां वे प्रत्येक बिंदु पर सतह पर स्पर्शरेखा वाले तीर को जोड़ते हैं (वक्रों की अवकल ज्यामिति)। सामान्यतः, सदिश क्षेत्र को भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित किया जाता है, जो ऐसे समष्टि होते हैं जो छोटे स्तर पर यूक्लिडियन समष्टि के जैसे दिखते हैं, किन्तु बड़े स्तर पर अधिक जटिल संरचना हो सकती है। इस सेटिंग में, सदिश क्षेत्र मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिश देता है (अर्थात, मैनिफोल्ड के [[स्पर्शरेखा बंडल]] का खंड)। सदिश क्षेत्र एक प्रकार का टेंसर क्षेत्र है। | ||
==परिभाषा== | ==परिभाषा== | ||
===यूक्लिडियन | ===यूक्लिडियन समष्टि के उपसमुच्चय पर सदिश क्षेत्र === | ||
{{multiple image | {{multiple image | ||
| footer = Two representations of the same vector field: {{nowrap|1='''v'''(''x'', ''y'') = −'''r'''}}. The arrows depict the field at discrete points, however, the field exists everywhere. | | footer = Two representations of the same vector field: {{nowrap|1='''v'''(''x'', ''y'') = −'''r'''}}. The arrows depict the field at discrete points, however, the field exists everywhere. | ||
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}} | }} | ||
{{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} के उपसमुच्चय {{math|''S''}} को देखते हुए, सदिश क्षेत्र को मानक कार्टेशियन निर्देशांक में {{math|(''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>)}} में वेक्टर-वैल्यू | {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} के उपसमुच्चय {{math|''S''}} को देखते हुए, सदिश क्षेत्र को मानक कार्टेशियन निर्देशांक में {{math|(''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>)}} में वेक्टर-वैल्यू फलन {{math|''V'': ''S'' → '''R'''<sup>''n''</sup>}} द्वारा दर्शाया जाता है। यदि {{math|''V''}} का प्रत्येक घटक सतत है तो {{math|''V''}} सतत सदिश क्षेत्र है। सुचारू सदिश क्षेत्र पर ध्यान केंद्रित करना सामान्य विषय है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक घटक सुचारू फलन है (किसी भी संख्या में भिन्न हो सकता है)। सदिश क्षेत्र को ''n''-आयामी समष्टि के अंदर भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर सदिश निर्दिष्ट करने के रूप में देखा जा सकता है।<ref name="Galbis-2012-p12">{{cite book|author1=Galbis, Antonio |author2=Maestre, Manuel |title=वेक्टर विश्लेषण बनाम वेक्टर कैलकुलस|publisher=Springer|year=2012|isbn=978-1-4614-2199-3|page=12|url=https://books.google.com/books?id=tdF8uTn2cnMC&pg=PA12}}</ref> | ||
मानक संकेतन <math>\frac{\partial}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}</math> निर्देशांक दिशाओं में इकाई सदिशों के लिए लिखना है। इन शब्दों में, प्रत्येक सहज सदिश क्षेत्र <math>V</math> विवृत उपसमुच्चय पर <math>S</math> को <math>{\mathbf R}^n</math> के रूप में लिखा जा सकता है: | मानक संकेतन <math>\frac{\partial}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}</math> निर्देशांक दिशाओं में इकाई सदिशों के लिए लिखना है। इन शब्दों में, प्रत्येक सहज सदिश क्षेत्र <math>V</math> विवृत उपसमुच्चय पर <math>S</math> को <math>{\mathbf R}^n</math> के रूप में लिखा जा सकता है: | ||
:<math> \sum_{i=1}^n V_i(x_1,\ldots,x_n)\frac{\partial}{\partial x_i}</math> | :<math> \sum_{i=1}^n V_i(x_1,\ldots,x_n)\frac{\partial}{\partial x_i}</math> | ||
कुछ सुचारु | कुछ सुचारु फलनों के लिए <math>V_1,\ldots,V_n</math> पर <math>S</math> है।<ref name="Tu-2010-p149" /> इस अंकन का कारण यह है कि सदिश क्षेत्र सुचारु फलनों के समष्टि से स्वयं तक [[रेखीय मानचित्र]] निर्धारित करता है, <math>V\colon C^{\infty}(S)\to C^{\infty}(S)</math>, सदिश क्षेत्र की दिशा में अंतर करके दिया गया है। | ||
'''उदाहरण:''' सदिश क्षेत्र <math>-x_2\frac{\partial}{\partial x_1}+x_1\frac{\partial}{\partial x_2}</math> में मूल के चारों ओर वामावर्त घुमाव <math>\mathbf{R}^2</math> का वर्णन करता है यह दिखाने के लिए कि | '''उदाहरण:''' सदिश क्षेत्र <math>-x_2\frac{\partial}{\partial x_1}+x_1\frac{\partial}{\partial x_2}</math> में मूल के चारों ओर वामावर्त घुमाव <math>\mathbf{R}^2</math> का वर्णन करता है यह दिखाने के लिए कि फलन <math>x_1^2+x_2^2</math> घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय है, गणना करें: | ||
:<math>\bigg(-x_2\frac{\partial}{\partial x_1}+x_1\frac{\partial}{\partial x_2}\bigg)(x_1^2+x_2^2) = -x_2(2x_1)+x_1(2x_2) = 0.</math> | :<math>\bigg(-x_2\frac{\partial}{\partial x_1}+x_1\frac{\partial}{\partial x_2}\bigg)(x_1^2+x_2^2) = -x_2(2x_1)+x_1(2x_2) = 0.</math> | ||
दिए गए सदिश क्षेत्र {{math|''V''}}, {{math|''W''}} पर परिभाषित किया गया {{math|''S''}} और सुचारू | दिए गए सदिश क्षेत्र {{math|''V''}}, {{math|''W''}} पर परिभाषित किया गया {{math|''S''}} और सुचारू फलन {{mvar|f}} पर {{math|''S''}} परिभाषित किया गया अदिश गुणन और सदिश जोड़ की संक्रियाएँ, | ||
<math display="block"> (fV)(p) := f(p)V(p)</math> | <math display="block"> (fV)(p) := f(p)V(p)</math> | ||
<math display="block"> (V+W)(p) := V(p) + W(p),</math> | <math display="block"> (V+W)(p) := V(p) + W(p),</math> | ||
स्मूथ सदिश फ़ील्ड्स को स्मूथ | स्मूथ सदिश फ़ील्ड्स को स्मूथ फलन के रिंग पर [[मॉड्यूल (गणित)|मॉड्यूल]] में बनाएं, जहां फलन के गुणन को बिंदुवार परिभाषित किया गया है। | ||
===समन्वय परिवर्तन नियम === | ===समन्वय परिवर्तन नियम === | ||
भौतिकी में, [[यूक्लिडियन वेक्टर|यूक्लिडियन]] सदिश को अतिरिक्त रूप से इस विषय से भिन्न किया जाता है कि जब कोई एक ही सदिश को भिन्न पृष्ठभूमि समन्वय प्रणाली के संबंध में मापता है तो उसके निर्देशांक कैसे परिवर्तित होते हैं। सदिश के परिवर्तन गुण सदिश को अदिश की साधारण सूची से, या | भौतिकी में, [[यूक्लिडियन वेक्टर|यूक्लिडियन]] सदिश को अतिरिक्त रूप से इस विषय से भिन्न किया जाता है कि जब कोई एक ही सदिश को भिन्न पृष्ठभूमि समन्वय प्रणाली के संबंध में मापता है तो उसके निर्देशांक कैसे परिवर्तित होते हैं। सदिश के परिवर्तन गुण सदिश को अदिश की साधारण सूची से, या सह सदिश से ज्यामितीय रूप से भिन्न इकाई के रूप में भिन्न करते हैं। | ||
इस प्रकार, मान लीजिये {{math|(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} कार्टेशियन निर्देशांक का विकल्प है, जिसके संदर्भ में सदिश {{mvar|V}} के घटक होते हैं: | इस प्रकार, मान लीजिये {{math|(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} कार्टेशियन निर्देशांक का विकल्प है, जिसके संदर्भ में सदिश {{mvar|V}} के घटक होते हैं: | ||
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ऐसे परिवर्तन नियम को सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण कहा जाता है। समान परिवर्तन नियम भौतिकी में सदिश क्षेत्रों की विशेषता बताता है: विशेष रूप से, सदिश क्षेत्र परिवर्तन नियम के अधीन प्रत्येक समन्वय प्रणाली में ''n'' फलन का विनिर्देश है ({{EquationNote|1}}) विभिन्न समन्वय प्रणालियों से संबंधित है। | ऐसे परिवर्तन नियम को सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण कहा जाता है। समान परिवर्तन नियम भौतिकी में सदिश क्षेत्रों की विशेषता बताता है: विशेष रूप से, सदिश क्षेत्र परिवर्तन नियम के अधीन प्रत्येक समन्वय प्रणाली में ''n'' फलन का विनिर्देश है ({{EquationNote|1}}) विभिन्न समन्वय प्रणालियों से संबंधित है। | ||
इस प्रकार सदिश क्षेत्र की तुलना [[अदिश क्षेत्र]] से की जाती है, जो | इस प्रकार सदिश क्षेत्र की तुलना [[अदिश क्षेत्र]] से की जाती है, जो समष्टि में प्रत्येक बिंदु पर संख्या या स्केलर को जोड़ती है, और स्केलर क्षेत्र की सरल सूचियों से भी विपरीत होती है, जो समन्वय परिवर्तनों के अंतर्गत परिवर्तित नहीं होती हैं। | ||
===मैनिफ़ोल्ड पर सदिश फ़ील्ड=== | ===मैनिफ़ोल्ड पर सदिश फ़ील्ड=== | ||
[[File:Vector sphere.svg|right|200px|thumb|गोले पर सदिश क्षेत्र]]भिन्न विविधता <math>M</math> दी गई है, सदिश क्षेत्र पर <math>M</math> प्रत्येक बिंदु के लिए [[स्पर्शरेखा स्थान|स्पर्शरेखा सदिश]] का असाइनमेंट <math>M</math> है।<ref name="Tu-2010-p149">{{cite book|author=Tu, Loring W.|chapter=Vector fields|title=मैनिफोल्ड्स का एक परिचय|publisher=Springer|year=2010|isbn=978-1-4419-7399-3|page=149|chapter-url=https://books.google.com/books?id=PZ8Pvk7b6bUC&pg=PA149}}</ref> अधिक त्रुटिहीन रूप से, सदिश क्षेत्र <math>F</math> से [[मानचित्र (गणित)|मानचित्र]] है <math>M</math> स्पर्शरेखा बंडल में <math>TM</math> जिससे कि<math> p\circ F </math> पहचान मानचित्रण है जहां <math>p</math> से प्रक्षेपण <math>TM</math> को <math>M</math> द्वारा दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, सदिश क्षेत्र स्पर्शरेखा बंडल का खंड है। | [[File:Vector sphere.svg|right|200px|thumb|गोले पर सदिश क्षेत्र]]भिन्न विविधता <math>M</math> दी गई है, सदिश क्षेत्र पर <math>M</math> प्रत्येक बिंदु के लिए [[स्पर्शरेखा स्थान|स्पर्शरेखा सदिश]] का असाइनमेंट <math>M</math> है।<ref name="Tu-2010-p149">{{cite book|author=Tu, Loring W.|chapter=Vector fields|title=मैनिफोल्ड्स का एक परिचय|publisher=Springer|year=2010|isbn=978-1-4419-7399-3|page=149|chapter-url=https://books.google.com/books?id=PZ8Pvk7b6bUC&pg=PA149}}</ref> अधिक त्रुटिहीन रूप से, सदिश क्षेत्र <math>F</math> से [[मानचित्र (गणित)|मानचित्र]] है <math>M</math> स्पर्शरेखा बंडल में <math>TM</math> जिससे कि<math> p\circ F </math> पहचान मानचित्रण है जहां <math>p</math> से प्रक्षेपण <math>TM</math> को <math>M</math> द्वारा दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, सदिश क्षेत्र स्पर्शरेखा बंडल का खंड है। | ||
'''वैकल्पिक परिभाषा:''' सहज सदिश क्षेत्र <math>X</math> मैनिफोल्ड पर <math>M</math> रेखीय मानचित्र है <math>X: C^\infty(M) \to C^\infty(M)</math> ऐसा है कि <math>X</math> | '''वैकल्पिक परिभाषा:''' सहज सदिश क्षेत्र <math>X</math> मैनिफोल्ड पर <math>M</math> रेखीय मानचित्र है <math>X: C^\infty(M) \to C^\infty(M)</math> ऐसा है कि <math>X</math> व्युत्पत्ति (अवकल बीजगणित) है: <math>X(fg) = fX(g)+X(f)g</math> सभी के लिए <math>f,g \in C^\infty(M)</math> है।<ref>{{cite web |title=विभेदक ज्यामिति का एक परिचय|first=Eugene |last=Lerman |date=August 19, 2011 |url=https://faculty.math.illinois.edu/~lerman/518/f11/8-19-11.pdf#page=18 |at=Definition 3.23 }}</ref> | ||
यदि मैनिफोल्ड <math>M</math> सुचारू या | यदि मैनिफोल्ड <math>M</math> सुचारू या विश्लेषणात्मक फलन है - अर्थात, निर्देशांक का परिवर्तन सुचारू (विश्लेषणात्मक) है - तब कोई सुचारू (विश्लेषणात्मक) सदिश क्षेत्रों की धारणा को समझ सकता है। स्मूथ मैनिफोल्ड पर सभी स्मूथ सदिश फ़ील्ड्स का संग्रह <math>M</math> प्रायः <math>\Gamma (TM)</math> या <math>C^\infty (M,TM)</math> द्वारा दर्शाया जाता है (विशेषकर जब सदिश क्षेत्र को अनुभाग (फाइबर बंडल) के रूप में सोचते हैं); सभी सुचारु सदिश क्षेत्रों के संग्रह को भी इसके <math display="inline"> \mathfrak{X} (M)</math> (फ्रैक्टुर (टाइपफेस उप-वर्गीकरण) एक्स) द्वारा निरूपित किया जाता है। | ||
==उदाहरण== | ==उदाहरण== | ||
[[File:Cessna 182 model-wingtip-vortex.jpg|thumb|250px|वायुयान के चारों ओर प्रवाह क्षेत्र R<sup>3</sup> में सदिश क्षेत्र है, यहां बुलबुले द्वारा कल्पना की गई है जो स्ट्रीमलाइन, स्ट्रीकलाइन और पथहीनता का अनुसरण करते हुए | [[File:Cessna 182 model-wingtip-vortex.jpg|thumb|250px|वायुयान के चारों ओर प्रवाह क्षेत्र R<sup>3</sup> में सदिश क्षेत्र है, यहां बुलबुले द्वारा कल्पना की गई है जो स्ट्रीमलाइन, स्ट्रीकलाइन और पथहीनता का अनुसरण करते हुए विंगटिप भंवर दिखाते हैं।]] | ||
[[File:Bezier curves composition ray-traced in 3D.png|thumb|सदिश क्षेत्र का उपयोग सामान्यतः[[कंप्यूटर चित्रलेख]] में पैटर्न बनाने के लिए किया जाता है। यहां: [[ओपनसिम्पलेक्स शोर]] से उत्पन्न सदिश क्षेत्र के पश्चात वक्रों की अमूर्त संरचना है।]]* पृथ्वी पर वायु की गति के लिए सदिश क्षेत्र पृथ्वी की सतह पर प्रत्येक बिंदु के लिए वायु की गति और उस बिंदु की दिशा के साथ सदिश को संबद्ध करेगा। इसे वायु का प्रतिनिधित्व करने के लिए तीरों का उपयोग करके खींचा जा सकता है; तीर की लंबाई ([[परिमाण (गणित)|परिमाण]]) वायु की गति का संकेत होगी। सामान्य बैरोमीटर के दबाव मानचित्र पर "उच्च" तब स्रोत के रूप में | [[File:Bezier curves composition ray-traced in 3D.png|thumb|सदिश क्षेत्र का उपयोग सामान्यतः[[कंप्यूटर चित्रलेख]] में पैटर्न बनाने के लिए किया जाता है। यहां: [[ओपनसिम्पलेक्स शोर]] से उत्पन्न सदिश क्षेत्र के पश्चात वक्रों की अमूर्त संरचना है।]]* पृथ्वी पर वायु की गति के लिए सदिश क्षेत्र पृथ्वी की सतह पर प्रत्येक बिंदु के लिए वायु की गति और उस बिंदु की दिशा के साथ सदिश को संबद्ध करेगा। इसे वायु का प्रतिनिधित्व करने के लिए तीरों का उपयोग करके खींचा जा सकता है; तीर की लंबाई ([[परिमाण (गणित)|परिमाण]]) वायु की गति का संकेत होगी। सामान्य बैरोमीटर के दबाव मानचित्र पर "उच्च" तब स्रोत के रूप में फलन करेगा (तीर दूर कीओर संकेत करता है) और "निम्न" सिंक (तीर की ओर संकेत करता है) होगा, क्योंकि वायु उच्च दबाव वाले क्षेत्रों से कम दबाव वाले क्षेत्रों की ओर बढ़ती है। | ||
* किसी गतिशील तरल पदार्थ का [[वेग]] क्षेत्र इस स्थिति में, द्रव में प्रत्येक बिंदु से वेग सदिश जुड़ा होता है। | * किसी गतिशील तरल पदार्थ का [[वेग]] क्षेत्र इस स्थिति में, द्रव में प्रत्येक बिंदु से वेग सदिश जुड़ा होता है। | ||
* स्ट्रीमलाइन्स, स्ट्रीकलाइन्स और पाथलाइन्स 3 प्रकार की रेखाएं हैं जिन्हें (समय-निर्भर) सदिश क्षेत्र से बनाया जा सकता है। वे हैं: | * स्ट्रीमलाइन्स, स्ट्रीकलाइन्स और पाथलाइन्स 3 प्रकार की रेखाएं हैं जिन्हें (समय-निर्भर) सदिश क्षेत्र से बनाया जा सकता है। वे हैं: | ||
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** '''स्ट्रीमलाइन (या फील्डलाइन):''' तात्कालिक क्षेत्र से प्रभावित कण का पथ (अर्थात, यदि क्षेत्र को स्थिर रखा जाता है तो कण का पथ) होता है। | ** '''स्ट्रीमलाइन (या फील्डलाइन):''' तात्कालिक क्षेत्र से प्रभावित कण का पथ (अर्थात, यदि क्षेत्र को स्थिर रखा जाता है तो कण का पथ) होता है। | ||
* '''चुंबकीय क्षेत्र:''' छोटे लोहे के बुरादे का उपयोग करके फ़ील्डलाइन को प्रकट किया जा सकता है। | * '''चुंबकीय क्षेत्र:''' छोटे लोहे के बुरादे का उपयोग करके फ़ील्डलाइन को प्रकट किया जा सकता है। | ||
* मैक्सवेल के समीकरण हमें यूक्लिडियन | * मैक्सवेल के समीकरण हमें यूक्लिडियन समष्टि में प्रत्येक बिंदु के लिए, उस बिंदु पर चार्ज किए गए परीक्षण कण द्वारा अनुभव किए गए बल के लिए परिमाण और दिशा निकालने के लिए प्रारंभिक और सीमा स्थितियों के दिए गए सेट का उपयोग करने की अनुमति देते हैं; परिणामी सदिश क्षेत्र विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र है। | ||
* किसी भी विशाल वस्तु द्वारा उत्पन्न | * किसी भी विशाल वस्तु द्वारा उत्पन्न गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र भी सदिश क्षेत्र होता है। उदाहरण के लिए, गोलाकार रूप से सममित पिंड के लिए गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के सभी सदिश गोले के केंद्र की ओर प्रदर्शित करेंगे और पिंड से रेडियल दूरी बढ़ने पर सदिशों का परिमाण कम हो जाएगा। | ||
===यूक्लिडियन | ===यूक्लिडियन समष्टियों में प्रवणता क्षेत्र=== | ||
[[File:Irrotationalfield.svg|thumb|300px|सदिश क्षेत्र जिसमें बिंदु के विषय में परिसंचरण होता है उसे किसी | [[File:Irrotationalfield.svg|thumb|300px|सदिश क्षेत्र जिसमें बिंदु के विषय में परिसंचरण होता है उसे किसी फलन के ग्रेडिएंट के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।]] | ||
{{details|प्रवणता}} | {{details|प्रवणता}} | ||
[[ ग्रेडियेंट | प्रवणता]] ऑपरेटर ([[ की |डेल]]: ∇ द्वारा चिह्नित) का उपयोग करके अदिश क्षेत्र से सदिश क्षेत्र का निर्माण किया जा सकता है।<ref>{{cite book|author=Dawber, P.G. | title=वेक्टर और वेक्टर ऑपरेटर| publisher=CRC Press| isbn=978-0-85274-585-4| year=1987| page=29 |url=https://books.google.com/books?id=luBlL7oGgUIC&pg=PA29}}</ref> | [[ ग्रेडियेंट | प्रवणता]] ऑपरेटर ([[ की |डेल]]: ∇ द्वारा चिह्नित) का उपयोग करके अदिश क्षेत्र से सदिश क्षेत्र का निर्माण किया जा सकता है।<ref>{{cite book|author=Dawber, P.G. | title=वेक्टर और वेक्टर ऑपरेटर| publisher=CRC Press| isbn=978-0-85274-585-4| year=1987| page=29 |url=https://books.google.com/books?id=luBlL7oGgUIC&pg=PA29}}</ref> | ||
विवृत समुच्चय S पर परिभाषित सदिश क्षेत्र V को 'प्रवणता क्षेत्र' या 'रूढ़िवादी क्षेत्र' कहा जाता है यदि S पर कोई वास्तविक-मूल्य | विवृत समुच्चय S पर परिभाषित सदिश क्षेत्र V को 'प्रवणता क्षेत्र' या 'रूढ़िवादी क्षेत्र' कहा जाता है यदि S पर कोई वास्तविक-मूल्य फलन (अदिश क्षेत्र) f उपस्थित है जैसे कि; | ||
<math display="block">V = \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \frac{\partial f}{\partial x_3}, \dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right).</math> | <math display="block">V = \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \frac{\partial f}{\partial x_3}, \dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right).</math> | ||
सम्बद्ध [[प्रवाह (गणित)|प्रवाह]] को {{visible anchor|प्रवणता प्रवाह}} कहा जाता है, और इसका उपयोग | सम्बद्ध [[प्रवाह (गणित)|प्रवाह]] को {{visible anchor|प्रवणता प्रवाह}} कहा जाता है, और इसका उपयोग ग्रेडिएंट डिसेंट की विधि में किया जाता है। | ||
रूढ़िवादी क्षेत्र में किसी भी | रूढ़िवादी क्षेत्र में किसी भी संवृत वक्र ''γ'' (''γ''(0) = ''γ''(1)) के साथ अभिन्न पथ शून्य है: | ||
<math display="block"> \oint_\gamma V(\mathbf {x})\cdot \mathrm{d}\mathbf {x} = \oint_\gamma \nabla f(\mathbf {x}) \cdot \mathrm{d}\mathbf {x} = f(\gamma(1)) - f(\gamma(0)).</math> | <math display="block"> \oint_\gamma V(\mathbf {x})\cdot \mathrm{d}\mathbf {x} = \oint_\gamma \nabla f(\mathbf {x}) \cdot \mathrm{d}\mathbf {x} = f(\gamma(1)) - f(\gamma(0)).</math> | ||
===यूक्लिडियन | ===यूक्लिडियन समष्टियों में केंद्रीय क्षेत्र=== | ||
{{math|'''R'''<sup>''n''</sup> \ {0}<nowiki/>}} पर {{math|''C''<sup>∞</sup>}}-सदिश क्षेत्र को केंद्रीय क्षेत्र कहा जाता है यदि; | {{math|'''R'''<sup>''n''</sup> \ {0}<nowiki/>}} पर {{math|''C''<sup>∞</sup>}}-सदिश क्षेत्र को केंद्रीय क्षेत्र कहा जाता है यदि; | ||
<math display="block">V(T(p)) = T(V(p)) \qquad (T \in \mathrm{O}(n, \R))</math> | <math display="block">V(T(p)) = T(V(p)) \qquad (T \in \mathrm{O}(n, \R))</math> | ||
जहां {{math|O(''n'', '''R''')}} | जहां {{math|O(''n'', '''R''')}} लंबकोणीय समूह है। हम कहते हैं कि केंद्रीय क्षेत्र 0 के निकट [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|लंबकोणीय परिवर्तनों]] के अंतर्गत [[अपरिवर्तनीय (गणित)|अपरिवर्तनीय]] हैं। | ||
बिंदु 0 को क्षेत्र का केंद्र कहा जाता है। | बिंदु 0 को क्षेत्र का केंद्र कहा जाता है। | ||
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{{Main|रेखा समाकलन}} | {{Main|रेखा समाकलन}} | ||
भौतिकी में सामान्य प्रौद्योगिकी सदिश क्षेत्र को वक्रों की | भौतिकी में सामान्य प्रौद्योगिकी सदिश क्षेत्र को वक्रों की अवकल ज्यामिति के साथ एकीकृत करना है, जिसे इसकी रेखा समाकलन का निर्धारण भी कहा जाता है। सहज रूप से यह सभी सदिश घटकों को वक्र की स्पर्शरेखाओं के अनुरूप सारांशित करता है, जिसे उनके अदिश उत्पादों के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, बल क्षेत्र (जैसे गुरुत्वाकर्षण) में कण दिया गया है, जहां समष्टि में किसी बिंदु पर प्रत्येक सदिश कण पर फलनरत बल का प्रतिनिधित्व करता है, निश्चित पथ के साथ अभिन्न रेखा कण पर किया गया फलन है, जब यह यात्रा करता है इस पथ पर सहज रूप से, यह बल सदिश के अदिश उत्पादों और वक्र के प्रत्येक बिंदु पर छोटे स्पर्शरेखा सदिश का योग है। | ||
रेखा समाकलन का निर्माण | रेखा समाकलन का निर्माण रीमैन समाकलन के अनुरूप किया जाता है और यह तब उपस्थित होता है जब वक्र सुधार योग्य होता है (परिमित लंबाई होती है) और सदिश क्षेत्र निरंतर होता है। | ||
सदिश क्षेत्र दिया गया है {{mvar|V}} और वक्र {{mvar|γ}} को देखते हुए, {{closed-closed|''a'', ''b''}} में {{mvar|t}} द्वारा | सदिश क्षेत्र दिया गया है {{mvar|V}} और वक्र {{mvar|γ}} को देखते हुए, {{closed-closed|''a'', ''b''}} में {{mvar|t}} द्वारा पैरामीट्रिक समीकरण (जहाँ {{mvar|a}} और {{mvar|b}} [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याएँ]] हैं), रेखा समाकलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: | ||
<math display="block">\int_\gamma V(\mathbf {x}) \cdot \mathrm{d}\mathbf {x} = \int_a^b V(\gamma(t)) \cdot \dot \gamma(t)\, \mathrm{d}t.</math> | <math display="block">\int_\gamma V(\mathbf {x}) \cdot \mathrm{d}\mathbf {x} = \int_a^b V(\gamma(t)) \cdot \dot \gamma(t)\, \mathrm{d}t.</math> | ||
सदिश क्षेत्र टोपोलॉजी दिखाने के लिए कोई | सदिश क्षेत्र टोपोलॉजी दिखाने के लिए कोई रेखा समाकलन कनवल्शन का उपयोग कर सकता है। | ||
===विचलन=== | ===विचलन=== | ||
{{Main|विचलन}} | {{Main|विचलन}} | ||
यूक्लिडियन | यूक्लिडियन समष्टि पर सदिश क्षेत्र का विचलन फलन (या अदिश क्षेत्र) है। तीन-आयामों में, विचलन को परिभाषित किया गया है: | ||
<math display="block">\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z},</math> | <math display="block">\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z},</math> | ||
इच्छानुसार आयामों के स्पष्ट सामान्यीकरण के साथ बिंदु पर विचलन उस डिग्री का प्रतिनिधित्व करता है जिस तक बिंदु के चारों ओर छोटी मात्रा सदिश प्रवाह के लिए स्रोत या सिंक है, जिसका परिणाम [[विचलन प्रमेय]] द्वारा त्रुटिहीन बनाया गया है। | इच्छानुसार आयामों के स्पष्ट सामान्यीकरण के साथ बिंदु पर विचलन उस डिग्री का प्रतिनिधित्व करता है जिस तक बिंदु के चारों ओर छोटी मात्रा सदिश प्रवाह के लिए स्रोत या सिंक है, जिसका परिणाम [[विचलन प्रमेय]] द्वारा त्रुटिहीन बनाया गया है। | ||
विचलन को | विचलन को रीमैनियन मैनिफोल्ड पर भी परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात, रीमैनियन मीट्रिक के साथ मैनिफोल्ड जो सदिश की लंबाई को मापता है। | ||
===तीन आयामों में कर्ल=== | ===तीन आयामों में कर्ल=== | ||
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संपूर्ण सदिश क्षेत्र का सूचकांक तब परिभाषित किया जाता है जब इसमें अत्यधिक शून्य होते हैं। इस स्थिति में, सभी शून्य भिन्न-भिन्न हैं, और सदिश क्षेत्र के सूचकांक को सभी शून्यों पर सूचकांकों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है। | संपूर्ण सदिश क्षेत्र का सूचकांक तब परिभाषित किया जाता है जब इसमें अत्यधिक शून्य होते हैं। इस स्थिति में, सभी शून्य भिन्न-भिन्न हैं, और सदिश क्षेत्र के सूचकांक को सभी शून्यों पर सूचकांकों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है। | ||
त्रि-आयामी | त्रि-आयामी समष्टि में साधारण (2-आयामी) क्षेत्र के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि गोले पर किसी भी सदिश क्षेत्र का सूचकांक 2 होना चाहिए। इससे ज्ञात होता है कि ऐसे प्रत्येक सदिश क्षेत्र में शून्य होना चाहिए। इसका तात्पर्य [[बालों वाली गेंद प्रमेय|हेयरी बॉल प्रमेय]] से है। | ||
सीमित संख्या में शून्य वाले कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड पर सदिश क्षेत्र के लिए, पोंकारे-हॉप प्रमेय बताता है कि सदिश क्षेत्र का सूचकांक मैनिफोल्ड की [[यूलर विशेषता]] है। | सीमित संख्या में शून्य वाले कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड पर सदिश क्षेत्र के लिए, पोंकारे-हॉप प्रमेय बताता है कि सदिश क्षेत्र का सूचकांक मैनिफोल्ड की [[यूलर विशेषता]] है। | ||
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परिभाषा के अनुसार, सदिश क्षेत्र पर <math>M</math> पूर्ण कहा जाता है यदि इसका प्रत्येक प्रवाह वक्र सदैव विद्यमान रहता है।<ref>{{cite book |last=Sharpe | first= R.|title=विभेदक ज्यामिति|publisher=Springer-Verlag|year=1997|isbn=0-387-94732-9}}</ref> विशेष रूप से, मैनिफोल्ड पर [[ कॉम्पैक्ट समर्थन |कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित]] सदिश क्षेत्र पूर्ण हैं। यदि <math>X</math> <math>M</math> पर पूर्ण सदिश क्षेत्र है, फिर प्रवाह द्वारा उत्पन्न [[भिन्नता|भिन्नताओं]] का [[एक-पैरामीटर समूह]] <math>X</math> प्रत्येक समय उपस्थित है; इसका वर्णन सहज मानचित्रण द्वारा किया गया है: | परिभाषा के अनुसार, सदिश क्षेत्र पर <math>M</math> पूर्ण कहा जाता है यदि इसका प्रत्येक प्रवाह वक्र सदैव विद्यमान रहता है।<ref>{{cite book |last=Sharpe | first= R.|title=विभेदक ज्यामिति|publisher=Springer-Verlag|year=1997|isbn=0-387-94732-9}}</ref> विशेष रूप से, मैनिफोल्ड पर [[ कॉम्पैक्ट समर्थन |कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित]] सदिश क्षेत्र पूर्ण हैं। यदि <math>X</math> | ||