एडेल रिंग: Difference between revisions
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{{Short description|Central object of class field theory}} | {{Short description|Central object of class field theory}}गणित में, वैश्विक क्षेत्र की '''एडेल वलय''' (एडेलिक वलय या एडेल्स की वलय<ref>{{Cite journal|last=Groechenig|first=Michael|date=August 2017|title=एडेलिक डिसेंट थ्योरी|journal=Compositio Mathematica|volume=153|issue=8|pages=1706–1746|doi=10.1112/S0010437X17007217|issn=0010-437X|arxiv=1511.06271|s2cid=54016389}}</ref>) [[बीजगणितीय संख्या सिद्धांत]] की शाखा [[वर्ग क्षेत्र सिद्धांत]] का केंद्रीय उद्देश्य है। यह वैश्विक क्षेत्र के सभी पूर्ण मीट्रिक समष्टि का [[प्रतिबंधित उत्पाद|प्रतिबंधित गुणनफल]] है और द्वैत [[टोपोलॉजिकल रिंग|टोपोलॉजिकल वलय]] का उदाहरण है। | ||
गणित में, | |||
एडेल विशेष प्रकार के आइडल से प्राप्त होता है। इडेल फ्रांसीसी आइडेल से प्राप्त हुआ है और इसे फ्रांसीसी गणितज्ञ [[क्लाउड चेवेली]] द्वारा गढ़ा गया था। शब्द 'आदर्श तत्व' (संक्षिप्त: आईडी.ईएल) के लिए है। एडेल (फ्रेंच: एडेल) का अर्थ एडिटिव आइडल है (जो कि एडिटिव [[आईडीई]] तत्व है)। | एडेल विशेष प्रकार के आइडल से प्राप्त होता है। इडेल फ्रांसीसी आइडेल से प्राप्त हुआ है और इसे फ्रांसीसी गणितज्ञ [[क्लाउड चेवेली]] द्वारा गढ़ा गया था। शब्द 'आदर्श तत्व' (संक्षिप्त: आईडी.ईएल) के लिए है। एडेल (फ्रेंच: एडेल) का अर्थ एडिटिव आइडल है (जो कि एडिटिव [[आईडीई]] तत्व है)। | ||
एडेल्स की | एडेल्स की वलय आर्टिन [[पारस्परिकता कानून|पारस्परिकता नियम]] का वर्णन करने की अनुमति प्रदान करती है, जो परिमित क्षेत्रों पर [[द्विघात पारस्परिकता]] और अन्य पारस्परिक नियमों का सामान्यीकरण है। इसके अतिरिक्त, यह वेइल द्वारा शास्त्रीय प्रमेय है जिसे परिमित क्षेत्र के [[बीजगणितीय वक्र]] पर <math>G</math>-बंडलों के रिडक्टिव समूह <math>G</math> के लिए एडेल्स के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। एडेल्स भी [[एडेलिक बीजगणितीय समूह|एडेलिक बीजगणितीय समूहों]] और [[ एडिलिक वक्र | एडिलिक वक्रों]] से संबंधित हैं। | ||
किसी [[संख्या क्षेत्र]] के एडेल | किसी [[संख्या क्षेत्र]] के एडेल वलय पर [[संख्याओं की ज्यामिति]] के अध्ययन को एडेलिक ज्यामिति कहते हैं। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
मान लीजिए <math>K</math> वैश्विक क्षेत्र (<math>\mathbf{Q}</math> का परिमित विस्तार या परिमित क्षेत्र पर वक्र X/F<sub>q</sub> का फलन क्षेत्र) है। <math>K</math> की 'एडेल | मान लीजिए <math>K</math> वैश्विक क्षेत्र (<math>\mathbf{Q}</math> का परिमित विस्तार या परिमित क्षेत्र पर वक्र X/F<sub>q</sub> का फलन क्षेत्र) है। <math>K</math> की 'एडेल वलय' उपवलय है- | ||
:<math>\mathbf{A}_K\ = \ \prod (K_\nu,\mathcal{O}_\nu) \ \subseteq \ \prod K_\nu</math> | :<math>\mathbf{A}_K\ = \ \prod (K_\nu,\mathcal{O}_\nu) \ \subseteq \ \prod K_\nu</math> | ||
जिसमें टुपल्स <math>(a_\nu)</math> सम्मिलित हैं, जहाँ <math>a_\nu</math> सभी के लिए उपवलय <math>\mathcal{O}_\nu \subset K_\nu</math> में स्थित है, किन्तु कई [[स्थान (गणित)| | जिसमें टुपल्स <math>(a_\nu)</math> सम्मिलित हैं, जहाँ <math>a_\nu</math> सभी के लिए उपवलय <math>\mathcal{O}_\nu \subset K_\nu</math> में स्थित है, किन्तु कई [[स्थान (गणित)|समष्टिों (गणित)]] पर <math>\nu</math> है। यहाँ सूचकांक <math>\nu</math> वैश्विक क्षेत्र <math>K</math> के सभी [[मूल्यांकन (बीजगणित)|मूल्यांकनों (बीजगणित)]] पर है, <math>K_\nu</math> उस मूल्यांकन पर [[एक अंगूठी का समापन|पूर्णता]] है और संबंधित [[ मूल्यांकन की अंगूठी |मूल्यांकन वलय]] <math>\mathcal{O}_\nu</math> है। | ||
=== प्रेरणा === | === प्रेरणा === | ||
एडेल्स की | एडेल्स की वलय परिमेय संख्या <math>\mathbf{Q}</math> पर विश्लेषण करने की तकनीकी समस्या को हल करती है। शास्त्रीय समाधान मानक मीट्रिक पूर्णता <math>\mathbf{R}</math> को पारित करना था और वहां विश्लेषणात्मक तकनीकों का उपयोग करना था। किन्तु, जैसा कि पश्चात में ज्ञात हुआ था कि [[यूक्लिडियन दूरी]] के अतिरिक्त और भी कई निरपेक्ष मान हैं, जो प्रत्येक अभाज्य संख्या <math>p \in \mathbf{Z}</math> के लिए है, जिसे ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय द्वारा वर्गीकृत किया गया था। यूक्लिडियन निरपेक्ष मान <math>|\cdot|_\infty</math>, कई अन्य <math>|\cdot |_p</math> में से केवल एक है, किन्तु एडेल्स की वलय सभी मूल्यांकनों से सम्मति करना और उनका उपयोग करना संभव बनाती है। यह विश्लेषणात्मक तकनीकों को सक्षम करने का लाभ है, जबकि अभाज्यों के संबंध में सूचना को यथावत रखने के पश्चात उनकी संरचना प्रतिबंधित अनंत गुणनफल द्वारा एम्बेडेड है। | ||
==== प्रतिबंधित गुणनफल क्यों? ==== | ==== प्रतिबंधित गुणनफल क्यों? ==== | ||
प्रतिबंधित अनंत गुणनफल संख्या क्षेत्र <math>\mathbf{Q}</math> को <math>\mathbf{A}_\mathbf{Q}</math> के अंदर जाली संरचना देने के लिए आवश्यक तकनीकी स्थिति है, जिससे एडेलिक सेटिंग में फूरियर विश्लेषण ([[हार्मोनिक विश्लेषण]]) के सिद्धांत का निर्माण संभव हो जाता है। यह बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में उस स्थिति के अनुरूप है जहाँ बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों की | प्रतिबंधित अनंत गुणनफल संख्या क्षेत्र <math>\mathbf{Q}</math> को <math>\mathbf{A}_\mathbf{Q}</math> के अंदर जाली संरचना देने के लिए आवश्यक तकनीकी स्थिति है, जिससे एडेलिक सेटिंग में फूरियर विश्लेषण ([[हार्मोनिक विश्लेषण]]) के सिद्धांत का निर्माण संभव हो जाता है। यह बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में उस स्थिति के अनुरूप है जहाँ बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों की वलय जाली के रूप में एम्बेड होती है।<blockquote><math>\mathcal{O}_K \hookrightarrow K</math></blockquote>फूरियर विश्लेषण के नए सिद्धांत की शक्ति के साथ, [[जॉन टेट (गणितज्ञ)]] [[एल समारोह|एल-फलनों]] के विशेष वर्ग को प्रमाणित करने में सक्षम थे और [[डेडेकाइंड जीटा फंक्शन]] जटिल तल पर [[मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन|मेरोमॉर्फिक]] थे। | ||
इस तकनीकी स्थिति के बने रहने का अन्य प्राकृतिक कारण वलयों के टेन्सर गुणनफल के रूप में एडेल्स के | इस तकनीकी स्थिति के बने रहने का अन्य प्राकृतिक कारण वलयों के टेन्सर गुणनफल के रूप में एडेल्स के वलय का निर्माण करके देखा जा सकता है। यदि वलय के रूप में इंटीग्रल एडेल की वलय <math>\mathbf{A}_\mathbf{Z}</math> को परिभाषित किया जाए | ||
<math>\mathbf{A}_\mathbf{Z} = \mathbf{R}\times\hat{\mathbf{Z}} = \mathbf{R}\times \prod_p \mathbf{Z}_p,</math> | <math>\mathbf{A}_\mathbf{Z} = \mathbf{R}\times\hat{\mathbf{Z}} = \mathbf{R}\times \prod_p \mathbf{Z}_p,</math> | ||
तब एडेल्स की | तब एडेल्स की वलय को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है- | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
इस | इस वलय में स्पष्ट तत्वों को देखने के पश्चात प्रतिबंधित गुणनफल संरचना पारदर्शी हो जाती है। अप्रतिबंधित गुणनफल <math display="inline"> \mathbf{R}\times \prod_p \mathbf{Q}_p</math> के भीतर तत्व <math>b/c\otimes(r,(a_p)) \in \mathbf{A}_\mathbf{Q}</math> की छवि है- <blockquote> <math> | ||
\left(\frac{br}{c}, \left(\frac{ba_p}{c}\right) \right). </math></blockquote> गुणक <math>ba_p/c</math>, <math>\mathbf{Z}_p</math> में स्थित होता है जब भी <math>p</math>, <math>c</math> का अभाज्य गुणनखंड नहीं होता है, किन्तु अधिक अभाज्य <math>p</math> होते हैं।<ref>https://ncatlab.org/nlab/show/ring+of+adeles</ref> | \left(\frac{br}{c}, \left(\frac{ba_p}{c}\right) \right). </math></blockquote> गुणक <math>ba_p/c</math>, <math>\mathbf{Z}_p</math> में स्थित होता है जब भी <math>p</math>, <math>c</math> का अभाज्य गुणनखंड नहीं होता है, किन्तु अधिक अभाज्य <math>p</math> होते हैं।<ref>https://ncatlab.org/nlab/show/ring+of+adeles</ref> | ||
=== नाम की उत्पत्ति === | === नाम की उत्पत्ति === | ||
समष्टिीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत में, क्षेत्र की इकाइयों का समूह केंद्रीय भूमिका निभाता है। वैश्विक वर्ग क्षेत्र सिद्धांत में, आइडल वर्ग समूह यह भूमिका निभाता है। आइडल शब्द ({{lang-fr|idèle}}) फ्रांसीसी गणितज्ञ क्लॉड चेवेली (1909-1984) का आविष्कार है और आदर्श तत्व (संक्षिप्त: आईडी.ईएल.) का उपयोग है। शब्द एडेल ({{lang|fr|adèle}}) एडिटिव आइडल के लिए उपयोग किया जाता है। | |||
एडेल | एडेल वलय का विचार सभी पूर्णताओं <math>K</math> को देखना है। कार्तीय गुणन उचित उम्मीदवार हो सकता है। चूँकि, एडेल वलय को प्रतिबंधित गुणनफल के साथ परिभाषित किया गया है। इसके दो कारण हैं: | ||
* <math>K</math> के प्रत्येक तत्व के लिए मूल्यांकन परिमित संख्या के अतिरिक्त प्रायः सभी | * <math>K</math> के प्रत्येक तत्व के लिए मूल्यांकन परिमित संख्या के अतिरिक्त प्रायः सभी समष्टिों के लिए शून्य है। इसलिए, वैश्विक क्षेत्र को प्रतिबंधित गुणनफल में एम्बेड किया जा सकता है। | ||
* प्रतिबंधित गुणनफल | * प्रतिबंधित गुणनफल समष्टिय रूप से सघन समष्टि है, जबकि कार्तीय गुणनफल नहीं है। इसलिए, कार्तीय गुणन के लिए हार्मोनिक विश्लेषण का कोई अनुप्रयोग नहीं हो सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सामान्य रूप से समूहों पर विश्लेषण में महत्वपूर्ण उपकरण, प्रत्येक माप के अस्तित्व (और विशिष्टता) को समष्टिीय उपकरण सुनिश्चित करता है। | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
'''परिमेय संख्याओं के लिए एडेल्स की | '''परिमेय संख्याओं के लिए एडेल्स की वलय''' | ||
परिमेय K=Q में (K<sub>ν</sub>, O<sub>ν</sub>)=(Q<sub>p</sub>, Z<sub>p</sub>) के साथ प्रत्येक अभाज्य संख्या p के लिए मूल्यांकन है और Q<sub>∞</sub>=R के साथ अनंत मूल्यांकन ∞ है। इस प्रकार <math>\mathbf{A}_\mathbf{Q}\ = \ \mathbf{R}\times \prod_p (\mathbf{Q}_p,\mathbf{Z}_p)</math> का अवयव, प्रत्येक p के लिए p-एडिक परिमेय के साथ वास्तविक संख्या है, जिनमें से सभी p-एडिक पूर्णांक हैं। | परिमेय K=Q में (K<sub>ν</sub>, O<sub>ν</sub>)=(Q<sub>p</sub>, Z<sub>p</sub>) के साथ प्रत्येक अभाज्य संख्या p के लिए मूल्यांकन है और Q<sub>∞</sub>=R के साथ अनंत मूल्यांकन ∞ है। इस प्रकार <math>\mathbf{A}_\mathbf{Q}\ = \ \mathbf{R}\times \prod_p (\mathbf{Q}_p,\mathbf{Z}_p)</math> का अवयव, प्रत्येक p के लिए p-एडिक परिमेय के साथ वास्तविक संख्या है, जिनमें से सभी p-एडिक पूर्णांक हैं। | ||
'''प्रक्षेपी रेखा के फंक्शन फील्ड के लिए एडेल्स की | '''प्रक्षेपी रेखा के फंक्शन फील्ड के लिए एडेल्स की वलय''' | ||
दूसरा, परिमित क्षेत्र पर [[ प्रक्षेपण रेखा |प्रक्षेपी रेखा]] का फलन क्षेत्र '''K=F<sub>q</sub>(P<sup>1</sup>)=F<sub>q</sub>(t)''' है। इसका मूल्यांकन X=P<sup>1</sup> के बिंदु x के अनुरूप है, अर्थात Spec'''F<sub>q</sub>''' पर मानचित्र है- | दूसरा, परिमित क्षेत्र पर [[ प्रक्षेपण रेखा |प्रक्षेपी रेखा]] का फलन क्षेत्र '''K=F<sub>q</sub>(P<sup>1</sup>)=F<sub>q</sub>(t)''' है। इसका मूल्यांकन X=P<sup>1</sup> के बिंदु x के अनुरूप है, अर्थात Spec'''F<sub>q</sub>''' पर मानचित्र है- | ||
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== संबंधित धारणाएं == | == संबंधित धारणाएं == | ||
एडेल | एडेल वलय में इकाइयों के समूह को आइडल समूह कहा जाता है | ||
:<math>I_K\ =\ \mathbf{A}_K^\times.</math> | :<math>I_K\ =\ \mathbf{A}_K^\times.</math> | ||
उपसमूह '''K<sup>×</sup>⊆I<sub>K</sub>''' द्वारा आइडल्स के भागफल को आइडल वर्ग समूह कहा जाता है | उपसमूह '''K<sup>×</sup>⊆I<sub>K</sub>''' द्वारा आइडल्स के भागफल को आइडल वर्ग समूह कहा जाता है | ||
| Line 82: | Line 81: | ||
=== टेट की थीसिस === | === टेट की थीसिस === | ||
A<sub>K</sub> पर टोपोलॉजी के लिए भागफल A<sub>K</sub>/K सघन है, जिससे कोई उस पर हार्मोनिक विश्लेषण कर सकता है। जॉन टी. टेट ने अपनी थीसिस संख्या क्षेत्रों में फूरियर विश्लेषण और हेके ज़ेटा फलनों में{{sfn|Cassels|Fröhlich|1967}} एडेल | A<sub>K</sub> पर टोपोलॉजी के लिए भागफल A<sub>K</sub>/K सघन है, जिससे कोई उस पर हार्मोनिक विश्लेषण कर सकता है। जॉन टी. टेट ने अपनी थीसिस संख्या क्षेत्रों में फूरियर विश्लेषण और हेके ज़ेटा फलनों में{{sfn|Cassels|Fröhlich|1967}} एडेल वलय और आइडल समूह पर फूरियर विश्लेषण का उपयोग करके डिरिचलेट एल-फलन के संबंध में परिणाम सिद्ध किए। इसलिए, एडेल वलय और आइडल समूह को रीमैन जीटा फलन और अधिक सामान्य जीटा फलन और एल-फलन का अध्ययन करने के लिए प्रयुक्त किया गया है। | ||
=== निष्कोण वक्र पर सेरे द्वैत सिद्ध करना === | === निष्कोण वक्र पर सेरे द्वैत सिद्ध करना === | ||
यदि X सम्मिश्र संख्याओं पर निष्कोण उचित वक्र है, तो C(X) फलन क्षेत्र के एडील्स को परिमित क्षेत्र स्तिथि के रूप में परिभाषित कर सकता है। जॉन टेट ने सिद्ध किया कि इस एडेल | यदि X सम्मिश्र संख्याओं पर निष्कोण उचित वक्र है, तो C(X) फलन क्षेत्र के एडील्स को परिमित क्षेत्र स्तिथि के रूप में परिभाषित कर सकता है। जॉन टेट ने सिद्ध किया कि इस एडेल वलय A<sub>'''C'''(''X'')</sub> के साथ कार्य करके X पर सेरे द्वैत का अनुमान लगाया जा सकता है<ref>{{Citation | title=Residues of differentials on curves | year=1968| doi=10.24033/asens.1162| url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1968_4_1_1/ASENS_1968_4_1_1_149_0/ASENS_1968_4_1_1_149_0.pdf| last1=Tate| first1=John| journal=Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure| volume=1| pages=149–159}}.</ref> | ||
:<math>H^1(X,\mathcal{L})\ \simeq \ H^0(X,\Omega_X\otimes\mathcal{L}^{-1})^*</math> | :<math>H^1(X,\mathcal{L})\ \simeq \ H^0(X,\Omega_X\otimes\mathcal{L}^{-1})^*</math> | ||
जहाँ L, X पर रेखा बंडल है। | जहाँ L, X पर रेखा बंडल है। | ||
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इस पूर्ण लेख में, <math>K</math> वैश्विक क्षेत्र है, जिसका अर्थ है कि यह या तो [[बीजगणितीय संख्या क्षेत्र]] है (<math>\Q</math> का परिमित विस्तार) या वैश्विक फलन क्षेत्र है (<math>p</math> अभाज्य और <math>r \in \N</math> के लिए <math>\mathbb{F}_{p^r}(t)</math> का परिमित विस्तार है)। परिभाषा के अनुसार वैश्विक क्षेत्र का परिमित विस्तार स्वयं में वैश्विक क्षेत्र है। | इस पूर्ण लेख में, <math>K</math> वैश्विक क्षेत्र है, जिसका अर्थ है कि यह या तो [[बीजगणितीय संख्या क्षेत्र]] है (<math>\Q</math> का परिमित विस्तार) या वैश्विक फलन क्षेत्र है (<math>p</math> अभाज्य और <math>r \in \N</math> के लिए <math>\mathbb{F}_{p^r}(t)</math> का परिमित विस्तार है)। परिभाषा के अनुसार वैश्विक क्षेत्र का परिमित विस्तार स्वयं में वैश्विक क्षेत्र है। | ||
=== मूल्यांकन === | === मूल्यांकन === | ||
<math>K</math> के मूल्यांकन (बीजगणित) <math>v</math> के लिए इसे <math>v</math> के संबंध में <math>K</math> की पूर्णता के लिए <math>K_v</math> के रूप में अंकित किया जा सकता है। यदि <math>v</math> असतत है, तो इसे <math>O_v</math> के अधिकतम आदर्श के लिए <math>K_v</math> और <math>\mathfrak{m}_v</math> के मूल्यांकन | <math>K</math> के मूल्यांकन (बीजगणित) <math>v</math> के लिए इसे <math>v</math> के संबंध में <math>K</math> की पूर्णता के लिए <math>K_v</math> के रूप में अंकित किया जा सकता है। यदि <math>v</math> असतत है, तो इसे <math>O_v</math> के अधिकतम आदर्श के लिए <math>K_v</math> और <math>\mathfrak{m}_v</math> के मूल्यांकन वलय के लिए <math>O_v</math> लिखा जा सकता है। यदि यह प्रमुख आदर्श है जो समान तत्व को <math>\pi_v.</math> द्वारा निरूपित करता है। गैर-आर्किमिडीयन मूल्यांकन को <math>v<\infty</math> या <math>v \nmid \infty</math> के रूप में लिखा जाता है और आर्किमिडीयन मूल्यांकन को <math>v | \infty.</math> के रूप में लिखा जाता है, तत्पश्चात मान लें कि सभी मूल्यांकन गैर-तुच्छ हैं। | ||
मूल्यांकन और निरपेक्ष मानों के विभिन्न प्रमाण है। स्थिरांक <math>C>1,</math> को निश्चित करें, मूल्यांकन <math>v</math> को निरपेक्ष मान <math>|\cdot|_v,</math> दिया गया है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है- | मूल्यांकन और निरपेक्ष मानों के विभिन्न प्रमाण है। स्थिरांक <math>C>1,</math> को निश्चित करें, मूल्यांकन <math>v</math> को निरपेक्ष मान <math>|\cdot|_v,</math> दिया गया है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है- | ||
| Line 104: | Line 103: | ||
इसके विपरीत, निरपेक्ष मान <math>|\cdot|</math> को मूल्यांकन <math>v_{|\cdot|},</math> के रूप में परिभाषित किया गया है- | इसके विपरीत, निरपेक्ष मान <math>|\cdot|</math> को मूल्यांकन <math>v_{|\cdot|},</math> के रूप में परिभाषित किया गया है- | ||
:<math>\forall x \in K^\times: \quad v_{|\cdot|}(x):= - \log_C(|x|).</math> | :<math>\forall x \in K^\times: \quad v_{|\cdot|}(x):= - \log_C(|x|).</math> | ||
<math>K</math> का बीजगणितीय संख्या सिद्धांत <math>K</math> के मूल्यांकन (या निरपेक्ष मान) के समतुल्य वर्ग का प्रतिनिधि है। गैर-आर्किमिडीयन मूल्यांकनों के अनुरूप | <math>K</math> का बीजगणितीय संख्या सिद्धांत <math>K</math> के मूल्यांकन (या निरपेक्ष मान) के समतुल्य वर्ग का प्रतिनिधि है। गैर-आर्किमिडीयन मूल्यांकनों के अनुरूप समष्टिों को परिमित कहा जाता है, यद्यपि आर्किमिडीयन मूल्यांकनों के अनुरूप समष्टिों को अनंत कहा जाता है। वैश्विक क्षेत्र के अनंत समष्टि परिमित समुच्चय बनाते हैं, जिसे <math>P_{\infty}.</math> द्वारा निरूपित किया जाता है। | ||
<math>\textstyle \widehat{O}:= \prod_{v < \infty}O_v</math> को परिभाषित कीजिए और <math>\widehat{O}^{\times}</math> को इसकी इकाइयों का समूह मान लीजिए, तब <math>\textstyle \widehat{O}^{\times}=\prod_{v < \infty} O_v^{\times}.</math> | <math>\textstyle \widehat{O}:= \prod_{v < \infty}O_v</math> को परिभाषित कीजिए और <math>\widehat{O}^{\times}</math> को इसकी इकाइयों का समूह मान लीजिए, तब <math>\textstyle \widehat{O}^{\times}=\prod_{v < \infty} O_v^{\times}.</math> | ||
=== परिमित विस्तार === | === परिमित विस्तार === | ||
मान लीजिए <math>L/K</math> वैश्विक क्षेत्र <math>K</math> का परिमित विस्तार है। मान लीजिए <math>w</math>, <math>L</math> का | मान लीजिए <math>L/K</math> वैश्विक क्षेत्र <math>K</math> का परिमित विस्तार है। मान लीजिए <math>w</math>, <math>L</math> का समष्टि है और <math>v</math>, <math>K</math> का समष्टि है। यदि <math>K</math> तक सीमित निरपेक्ष मान <math>|\cdot|_w</math>, <math>v</math> के समतुल्य वर्ग में है, तो <math>w</math>, <math>v</math> के ऊपर स्थित होता है, जिसे <math>w | v,</math> द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है- | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
L_v&:=\prod_{w | v} L_w,\\ | L_v&:=\prod_{w | v} L_w,\\ | ||
| Line 118: | Line 117: | ||
यदि <math>w|v</math>, <math>K_v</math> को <math>L_w.</math> में एम्बेड किया जा सकता है। इसलिए <math>K_v</math>, <math>L_v</math> में विकर्णीय रूप से सन्निहित है। इस एम्बेडिंग <math>L_v</math> के साथ <math>K_v</math> पर डिग्री का क्रमविनिमेय बीजगणित है- | यदि <math>w|v</math>, <math>K_v</math> को <math>L_w.</math> में एम्बेड किया जा सकता है। इसलिए <math>K_v</math>, <math>L_v</math> में विकर्णीय रूप से सन्निहित है। इस एम्बेडिंग <math>L_v</math> के साथ <math>K_v</math> पर डिग्री का क्रमविनिमेय बीजगणित है- | ||
:<math>\sum_{w|v}[L_w:K_v]=[L:K].</math> | :<math>\sum_{w|v}[L_w:K_v]=[L:K].</math> | ||
== एडेल | == एडेल वलय == | ||
वैश्विक क्षेत्र <math>K</math> निरूपित <math>\mathbb{A}_{K,\text{fin}},</math> के परिमित एडेल के समुच्चय को <math>O_v</math> के संबंध में <math>K_v</math> के प्रतिबंधित गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है- | वैश्विक क्षेत्र <math>K</math> निरूपित <math>\mathbb{A}_{K,\text{fin}},</math> के परिमित एडेल के समुच्चय को <math>O_v</math> के संबंध में <math>K_v</math> के प्रतिबंधित गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है- | ||
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:<math>U=\prod_{v \in E} U_v \times \prod_{v \notin E} O_v \subset {\prod_{v<\infty}}^' K_v ,</math> | :<math>U=\prod_{v \in E} U_v \times \prod_{v \notin E} O_v \subset {\prod_{v<\infty}}^' K_v ,</math> | ||
जहाँ <math>E</math> (परिमित) | जहाँ <math>E</math> (परिमित) समष्टिों का परिमित समुच्चय है और <math>U_v \subset K_v</math> विवृत हैं। घटक के अनुसार जोड़ और गुणन के साथ <math>\mathbb{A}_{K,\text{fin}}</math> भी वलय है। | ||
वैश्विक क्षेत्र <math>K</math> के एडेल | वैश्विक क्षेत्र <math>K</math> के एडेल वलय को <math>\mathbb{A}_{K,\text{fin}}</math> के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है, जो <math>K</math> के अनंत समष्टिों पर पूर्णता के गुणनफल के साथ है। अनंत समष्टिों की संख्या परिमित है और पूर्णताएँ या तो <math>\R</math> अथवा <math>\C.</math> हैं। संक्षेप में: | ||
:<math>\mathbb{A}_K:=\mathbb{A}_{K,\text{fin}}\times \prod_{v | \infty} K_v= {\prod_{v < \infty}}^' K_v \times \prod_{v | \infty}K_v.</math> | :<math>\mathbb{A}_K:=\mathbb{A}_{K,\text{fin}}\times \prod_{v | \infty} K_v= {\prod_{v < \infty}}^' K_v \times \prod_{v | \infty}K_v.</math> | ||
जोड़ और गुणन के साथ घटक के रूप में परिभाषित एडेल | जोड़ और गुणन के साथ घटक के रूप में परिभाषित एडेल वलय है। एडेल वलय के तत्वों को <math>K</math> का एडेल कहा जाता है। निम्नलिखित में इसे इस प्रकार लिखा गया है- | ||
:<math>\mathbb{A}_K= {\prod_v}^' K_v,</math> | :<math>\mathbb{A}_K= {\prod_v}^' K_v,</math> | ||
चूँकि यह सामान्यतः प्रतिबंधित गुणनफल नहीं है। | चूँकि यह सामान्यतः प्रतिबंधित गुणनफल नहीं है। | ||
'''टिप्पणी-''' वैश्विक फलन क्षेत्रों में कोई अनंत | '''टिप्पणी-''' वैश्विक फलन क्षेत्रों में कोई अनंत समष्टि नहीं है और इसलिए परिमित एडेल वलय, एडेलिक वलय के समतुल्य है। | ||
: '''लेम्मा-''' विकर्ण मानचित्र <math>a \mapsto (a,a,\ldots).</math> द्वारा दिए गए <math>\mathbb{A}_K</math> में <math>K</math> का स्वाभाविक बन्धन है। | : '''लेम्मा-''' विकर्ण मानचित्र <math>a \mapsto (a,a,\ldots).</math> द्वारा दिए गए <math>\mathbb{A}_K</math> में <math>K</math> का स्वाभाविक बन्धन है। | ||
| Line 142: | Line 141: | ||
'''टिप्पणी-''' विकर्ण मानचित्र के नीचे अपनी छवि के साथ <math>K</math> को प्रमाणित करके इसे <math>\mathbb{A}_K.</math> का उपसमूह माना जाता है। <math>K</math> के तत्वों को <math>\mathbb{A}_K.</math> का प्रमुख एडेल कहा जाता है। | '''टिप्पणी-''' विकर्ण मानचित्र के नीचे अपनी छवि के साथ <math>K</math> को प्रमाणित करके इसे <math>\mathbb{A}_K.</math> का उपसमूह माना जाता है। <math>K</math> के तत्वों को <math>\mathbb{A}_K.</math> का प्रमुख एडेल कहा जाता है। | ||
'''परिभाषा-''' माना <math>S</math>, <math>K</math> के | '''परिभाषा-''' माना <math>S</math>, <math>K</math> के समष्टिों का समुच्चय है। <math>K</math> के <math>S</math>-एडेल्स के समुच्चय को इस रूप में परिभाषित कीजिए- | ||
: <math>\mathbb{A}_{K,S} := {\prod_{v \in S}}^' K_v.</math> | : <math>\mathbb{A}_{K,S} := {\prod_{v \in S}}^' K_v.</math> | ||
| Line 152: | Line 151: | ||
=== परिमेय का एडेल | === परिमेय का एडेल वलय === | ||
ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय द्वारा <math>\Q</math> का | ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय द्वारा <math>\Q</math> का समष्टि <math>\{p \in \N :p \text{ prime}\} \cup \{\infty\},</math> है, <math>p</math>-एडिक निरपेक्ष मान के तुल्यता वर्ग के साथ अभाज्य <math>p</math> की पहचान करना संभव है और निरपेक्ष मान <math>|\cdot|_\infty</math> के तुल्यता वर्ग के साथ <math>\infty</math> को इस प्रकार परिभाषित किया गया है- | ||
:<math>\forall x \in \Q: \quad |x|_\infty:= | :<math>\forall x \in \Q: \quad |x|_\infty:= | ||
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-x & x < 0 | -x & x < 0 | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
समष्टि <math>p</math> के संबंध में <math>\Q</math> की पूर्णता मूल्यांकन वलय <math>\Z_p.</math> के साथ <math>\Q_p</math> है। समष्टि <math>\infty</math> के लिए पूर्णता <math>\R.</math> है। इस प्रकार- | |||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
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: गुणनफल टोपोलॉजी में यह अभिसरण करता है <math>(1,1,\ldots)</math>, किन्तु यह प्रतिबंधित गुणनफल टोपोलॉजी में अभिसरण नहीं करता है। | : गुणनफल टोपोलॉजी में यह अभिसरण करता है <math>(1,1,\ldots)</math>, किन्तु यह प्रतिबंधित गुणनफल टोपोलॉजी में अभिसरण नहीं करता है। | ||
'''प्रमाण-''' गुणनफल टोपोलॉजी में अभिसरण प्रत्येक समन्वय में अभिसरण से युग्मित होता है, जो महत्वहीन है क्योंकि अनुक्रम स्थिर हो जाते हैं। अनुक्रम प्रतिबंधित गुणनफल टोपोलॉजी में परिवर्तित नहीं होता है। प्रत्येक एडेल के लिए <math>a=(a_p)_p \in \mathbb{A}_{\Q}</math> और प्रत्येक प्रतिबंधित विवृत आयत के लिए <math>\textstyle U=\prod_{p \in E}U_p \times \prod_{p \notin E}\Z_p,</math> इसमें <math>a_p \in \Z_p</math> के लिए <math>\tfrac{1}{p}-a_p \notin \Z_p</math> है और इसलिए सभी <math>p \notin F.</math> के लिए <math>\tfrac{1}{p}-a_p \notin \Z_p</math> है। परिणामस्वरूप प्रायः सभी <math>n \in \N.</math> के लिए <math>x_n-a \notin U</math> है। इस विचार में, <math>E</math> और <math>F</math> सभी | '''प्रमाण-''' गुणनफल टोपोलॉजी में अभिसरण प्रत्येक समन्वय में अभिसरण से युग्मित होता है, जो महत्वहीन है क्योंकि अनुक्रम स्थिर हो जाते हैं। अनुक्रम प्रतिबंधित गुणनफल टोपोलॉजी में परिवर्तित नहीं होता है। प्रत्येक एडेल के लिए <math>a=(a_p)_p \in \mathbb{A}_{\Q}</math> और प्रत्येक प्रतिबंधित विवृत आयत के लिए <math>\textstyle U=\prod_{p \in E}U_p \times \prod_{p \notin E}\Z_p,</math> इसमें <math>a_p \in \Z_p</math> के लिए <math>\tfrac{1}{p}-a_p \notin \Z_p</math> है और इसलिए सभी <math>p \notin F.</math> के लिए <math>\tfrac{1}{p}-a_p \notin \Z_p</math> है। परिणामस्वरूप प्रायः सभी <math>n \in \N.</math> के लिए <math>x_n-a \notin U</math> है। इस विचार में, <math>E</math> और <math>F</math> सभी समष्टिों के समुच्चय के परिमित उपसमुच्चय हैं। | ||
=== संख्या क्षेत्रों के लिए वैकल्पिक परिभाषा === | === संख्या क्षेत्रों के लिए वैकल्पिक परिभाषा === | ||
'''परिभाषा ([[अनंत पूर्णांक]])'''- अनंत पूर्णांकों को आंशिक क्रम <math>n \geq m \Leftrightarrow m | n,</math> के साथ | '''परिभाषा ([[अनंत पूर्णांक]])'''- अनंत पूर्णांकों को आंशिक क्रम <math>n \geq m \Leftrightarrow m | n,</math> के साथ वलय <math>\Z /n\Z</math> की [[अनंत पूर्णता]] के रूप में परिभाषित किया गया है। अर्थात, | ||
:<math>\widehat{\Z}:=\varprojlim_n \Z /n\Z,</math> | :<math>\widehat{\Z}:=\varprojlim_n \Z /n\Z,</math> | ||
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=== परिमित विस्तार की एडेल | === परिमित विस्तार की एडेल वलय === | ||
यदि <math>L/K</math> परिमित विस्तार है, और <math>L</math> वैश्विक क्षेत्र है। इस प्रकार <math>\mathbb{A}_L</math> परिभाषित किया गया है, और <math>\textstyle \mathbb{A}_L= {\prod_v}^' L_v.</math> है। <math>\mathbb{A}_K</math> की पहचान <math>\mathbb{A}_L</math> के उपसमूह से की जा सकती है। मानचित्र <math>a=(a_v)_v \in \mathbb{A}_K</math> और <math>a'=(a'_w)_w \in \mathbb{A}_L</math> जहाँ, <math>w|v.</math> के लिए <math>a'_w=a_v \in K_v \subset L_w</math> है, तब <math>a=(a_w)_w \in \mathbb{A}_L</math> उपसमूह <math>\mathbb{A}_K,</math> में है, यदि <math>w | v</math> के लिए <math>a_w \in K_v</math> और <math>w, w'</math> के लिए <math>a_w=a_{w'}</math>, <math>K</ma | |||