मिश्रित टेंसर

टेन्सर विश्लेषण में, मिश्रित टेन्सर होता है जो न तो पूर्ण रूप से सहपरिवर्ती है और न ही पूर्ण रूप से विपरीत परिवर्ती है, मिश्रित टेन्सर में कम से कम सूचकांक सबस्क्रिप्ट (सहसंयोजक) और सुपरस्क्रिप्ट (प्रतिपरिवर्ती) होता है।

प्रकार या वैलेंस का मिश्रित टेंसर ${\textstyle {\binom {M}{N}}}$, जिसे "टाइप (M, N)" भी लिखा गया है, M > 0 और N > 0 दोनों के साथ टेन्सर है जिसमें M प्रतिपरिवर्ती सूचकांक और N सहपरिवर्ती सूचकांक हैं। इस प्रकार के टेंसर को रैखिक फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो M प्रपत्र और N वेक्टर (ज्यामिति) के (M + N) -ट्यूपल को स्केलर (गणित) में मैप करता है।

टेंसर प्रकार परिवर्तन

संबंधित टेंसरों के निम्नलिखित ऑक्टेट पर विचार करें:

$$T_{\alpha \beta \gamma },\ T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },\ T^{\alpha \beta }{}_{\gamma },\ T^{\alpha \beta \gamma }.$$

प्रथम सहपरिवर्ती है, अंतिम प्रतिपरिवर्ती है, और शेष मिश्रित हैं। सांकेतिक रूप से, ये टेन्सर एक दूसरे से उनके सूचकांकों के सहप्रसरण/प्रतिप्रसरण द्वारा भिन्न होते हैं। टेंसर के दिए गए प्रतिपरिवर्ती सूचकांक को मीट्रिक टेंसर g_μν का उपयोग करके कम किया जा सकता है , और दिए गए सहपरिवर्ती सूचकांक को व्युत्क्रम मीट्रिक टेंसर g^μν का उपयोग करके बढ़ाया जा सकता है। इस प्रकार, g_μν को इंडेक्स लोअरिंग ऑपरेटर और g^μν सूचकांक बढ़ाने वाला ऑपरेटर कहा जा सकता है।

सामान्यतः, सहपरिवर्ती मीट्रिक टेन्सर, प्रकार (M, N) के टेंसर के साथ अनुबंधित होता है, प्रकार (M-1, N+ 1) का टेंसर उत्पन्न करता है, जबकि इसका प्रतिपरिवर्ती व्युत्क्रम, प्रकार (M, N) के टेंसर के साथ अनुबंधित होता है। प्रकार (M + 1, N − 1) का टेंसर देता है।

उदाहरण

उदाहरण के रूप में, प्रकार (1, 2) का मिश्रित टेन्सर प्रकार (0, 3) के सहसंयोजक टेन्सर के सूचकांक को बढ़ाकर प्राप्त किया जा सकता है,

$$T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\gamma \lambda },$$

जहाँ $T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }$ के समान टेंसर $T_{\alpha \beta }{}^{\gamma }$ है, क्योंकि इस प्रकार:

$$T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }\,\delta _{\lambda }{}^{\gamma }=T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },$$

क्रोनकर δ के साथ यहां पहचान मैट्रिक्स के जैसे कार्य कर रहा है:

वैसे ही,

$$T_{\alpha }{}^{\lambda }{}_{\gamma }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda },$$

$$T_{\alpha }{}^{\lambda \epsilon }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda }\,g^{\gamma \epsilon },$$

$$T^{\alpha \beta }{}_{\gamma }=g_{\gamma \lambda }\,T^{\alpha \beta \lambda },$$

$$T^{\alpha }{}_{\lambda \epsilon }=g_{\lambda \beta }\,g_{\epsilon \gamma }\,T^{\alpha \beta \gamma }.$$

मेट्रिक टेन्सर के सूचकांक को ऊपर उठाना इसके व्युत्क्रम के साथ इसे अनुबंधित करने के समान है, जो क्रोनकर डेल्टा को प्राप्त करता है,

$$g^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{g}_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=g^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}={}^{}$$