संयुक्त समष्टि: Difference between revisions

Revision as of 15:45, 12 October 2023

R² के जुड़े और विभक्त किए गए उप-स्थान

ऊपर से नीचे: लाल स्थान A, गुलाबी स्थान B, पीला स्थान

C और नारंगी स्थान D सभी जुड़ा हुआ स्थान हैं,जबकि हरा स्थान E उपसमुच्चय से बना है E₁, E₂, E₃, and E₄)  विभक्त किया गया है. आगे, A और B भी [[ केवल जुड़े हुए स्थान]]हैं (वर्ग

0), जबकिC तथाD नहीं हैं: C वर्ग है 1 तथाD वर्ग 4 है।

टोपोलॉजी और गणित की संबंधित शाखाओं में, संयुक्त समष्टि टोपोलॉजिकल समष्टि है जिसे दो या दो से अधिक असंयुक्त अरिक्त विवृत उप-समुच्चय के संघ के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। कनेक्टेडनेस मुख्य टोपोलॉजिकल गुण है जिसका उपयोग टोपोलॉजिकल रिक्त समष्टि को पृथक करने के लिए किया जाता है।

टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ का उपसमुच्चय संयुक्त समुच्चय है, $X$ के उपसमष्टि के रूप में देखे जाने पर यह संयुक्त समष्टि है।

कुछ संबंधित किन्तु दृढ़ स्थितियाँ पथ से जुड़ी हुई हैं, बस जुड़ी हुई हैं, और $n$ -कनेक्टेड हैं। अन्य संबंधित धारणा स्थानीय रूप से जुड़ी हुई है, जिसका न तो अर्थ है और न ही संबद्धता का यह अनुसरण करती है।

औपचारिक परिभाषा

टोपोलॉजिकल समष्टि $X$ को विभक्त करता है यदि दो अरिक्त विवृत समूहों का संयुग्मित है।अन्यथा, $X$ जुड़ा है तब टोपोलॉजिकल समष्टि, उप-स्थान टोपोलॉजी के अंतर्गत संयुग्मित है। कुछ लेखक रिक्त समूह को जुड़े हुए स्थान के रूप में बाहर करते हैं, लेकिन यह लेख उस अभ्यास का पालन नहीं करता है।

टोपोलॉजिकल समष्टि $X$ के लिए निम्नलिखित कारण हैं:

$X$ संयुग्मित है, इसे दो भिन्न -भिन्न अरिक्त विवृत समूहों में विभाजित नहीं किया जा सकता है।
$X$ उप-समुच्चय विवृत और बंद (क्लोपेन समूह) दोनों प्रकार के होते हैं $X$ रिक्त समूह हैं।
रिक्त सीमा में उप-समुच्चय और रिक्त समूह भी $X$ हैं।
$X$ को अरिक्त भिन्न समूहों के संघ के रूप में नहीं लिखा जा सकता हैI
$X$ से $\{0,1\}$ तक सभी निरंतर कार्य स्थिर हैं, जहां $\{0,1\}$ असतत टोपोलॉजी से संपन्न दो-बिंदु स्थान है| ^[1]

ऐतिहासिक रूप से जुड़ाव की धारणा का यह आधुनिक सूत्रीकरण (दो भिन्न -भिन्न समूहों में $X$ के विभाजन के बिना) पहली बार (स्वतंत्र रूप से) 20वीं दशक की शुरुआत में एन. विवरण के लिए देखें |

जुड़े हुए घटक

टोपोलॉजिकल समष्टि $X,$ में कुछ बिंदु $x$ दिए गए हैं, जुड़े हुए उप-समुच्चयों के किसी भी संग्रह का संघ जैसे कि प्रत्येक में $x$ सम्मलित है| $X$ बिंदु में $x$ के जुड़े हुए घटक $X$ सभी उप-समूहों का संघ है जिसमें $x;$ सम्मलित है| सबसे बड़ा अद्वितीय (के संबंध में $\subseteq$ ) $X$ का उप-समुच्चयों जिसमे $x.$ सम्मिलित है | अरिक्त टोपोलॉजिकल समष्टि के अधिकतम तत्वों को उपसमुच्चय (समावेशी द्वारा आदेशित $\subseteq$ ) के स्थान को घटक कहा जाता है। किसी भी टोपोलॉजिकल समष्टि के घटक $X$ का विभाजन भिन्न, अरिक्त और संपूर्ण स्थान संयुग्मित है। प्रत्येक घटक मूल स्थान का बंद उप-समुच्चय है। इसी प्रकार, इस स्थिति में संख्या परिमित है, प्रत्येक घटक भी खुला उप-समुच्चय है। चूंकि, यदि संख्या अनंत है, तो यह स्थिति नहीं हो सकती हैI उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं के समुच्चय से जुड़े घटक बिंदु समुच्चय (सिंगलटन ) हैं, जो विवृत नहीं हैं। उपपत्ति: कोई भी दो भिन्न परिमेय संख्याएँ $q_{1}<q_{2}$ विभिन्न घटकों में हैं। अपरिमेय संख्या $q_{1}<r<q_{2},$ लीजिए और फिर $A=\{q\in \mathbb {Q} :q<r\}$ तथा $B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.$ का $(A,B)$ का वियोग हैI $\mathbb {Q} ,$ तथा $q_{1}\in A,q_{2}\in B$ . इस प्रकार प्रत्येक घटक बिंदु समुच्चय है।

मान लीजिए कि $x$

[1]

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 }}
-[[टोपोलॉजी]] और गणित की संबंधित शाखाओं में, जुड़ा हुआ स्थान [[टोपोलॉजिकल स्पेस|संस्थानिक स्थान]] है जिसे दो या दो से अधिक [[अलग करना सेट|असंयुक्त अरिक्त]] [[खुला (टोपोलॉजी)|खुले]] उप-समुच्चय के संघ के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। जुड़ाव मुख्य [[टोपोलॉजिकल गुण|टोपोलॉजिकल गुणों]] में से है जो संस्थानिक स्थान को विभक्त करता है।
+[[टोपोलॉजी]] और गणित की संबंधित शाखाओं में, संयुक्त समष्टि [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल समष्टि]] है जिसे दो या दो से अधिक [[अलग करना सेट|असंयुक्त अरिक्त]] [[खुला (टोपोलॉजी)|विवृत]] उप-समुच्चय के संघ के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। कनेक्टेडनेस मुख्य [[टोपोलॉजिकल गुण]] है जिसका उपयोग टोपोलॉजिकल रिक्त समष्टि को पृथक करने के लिए किया जाता है।
-संस्थानिक स्थान उप-समुच्चय के <math>X</math> से {{visible anchor|जुड़ा हुआ समूह
+टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> का उपसमुच्चय संयुक्त समुच्चय है, <math>X</math> के [[सबस्पेस टोपोलॉजी|उपसमष्टि]] के रूप में देखे जाने पर यह संयुक्त समष्टि है।
-}}है, यदि इस <math>X</math> को [[सबस्पेस टोपोलॉजी|उप-स्थान टोपोलॉजी]] के रूप में देखा जाए तो यह जुड़ा हुआ स्थान है|
-कुछ स्थितियाँ पथ जुड़ाव से भी संबंधित हैं, सरल रूप से <math>n</math>-जुड़ा हुआ स्थान हैं। अन्य संबंधित धारणा स्थानीय रूप से जुड़ी हुई है, जिसका न तो अर्थ है और न ही संबद्धता का अनुसरण करती है।
+कुछ संबंधित किन्तु दृढ़ स्थितियाँ पथ से जुड़ी हुई हैं, बस जुड़ी हुई हैं, और <math>n</math>-कनेक्टेड हैं। अन्य संबंधित धारणा स्थानीय रूप से जुड़ी हुई है, जिसका न तो अर्थ है और न ही संबद्धता का यह अनुसरण करती है।
 == औपचारिक परिभाषा ==
-संस्थानिक स्थान  <math>X</math> को {{visible anchor|विभक्त }} करता है यदि दो अरिक्त खुले समूहों का संयुग्मित है।अन्यथा, <math>X</math> जुड़ा है तब संस्थानिक स्थान, [[सबसेट|उप-स्थान]] टोपोलॉजी के अंतर्गत संयुग्मित है। कुछ लेखक रिक्त समूह को जुड़े हुए स्थान के रूप में बाहर करते हैं, लेकिन यह लेख उस अभ्यास का पालन नहीं करता है।
+टोपोलॉजिकल समष्टि  <math>X</math> को {{visible anchor|विभक्त }} करता है यदि दो अरिक्त विवृत समूहों का संयुग्मित है।अन्यथा, <math>X</math> जुड़ा है तब टोपोलॉजिकल समष्टि, [[सबसेट|उप-स्थान]] टोपोलॉजी के अंतर्गत संयुग्मित है। कुछ लेखक रिक्त समूह को जुड़े हुए स्थान के रूप में बाहर करते हैं, लेकिन यह लेख उस अभ्यास का पालन नहीं करता है।
-संस्थानिक स्थान <math>X</math> के लिए निम्नलिखित कारण हैं:
+टोपोलॉजिकल समष्टि <math>X</math> के लिए निम्नलिखित कारण हैं:
-#<math>X</math> संयुग्मित है, इसे दो भिन्न -भिन्न अरिक्त खुले समूहों में विभाजित नहीं किया जा सकता है।
+#<math>X</math> संयुग्मित है, इसे दो भिन्न -भिन्न अरिक्त विवृत समूहों में विभाजित नहीं किया जा सकता है।
-# <math>X</math> उप-समुच्चय खुले और बंद ([[क्लोपेन सेट|क्लोपेन समूह]]) दोनों प्रकार के होते हैं <math>X</math> रिक्त समूह हैं।
+# <math>X</math> उप-समुच्चय विवृत और बंद ([[क्लोपेन सेट|क्लोपेन समूह]]) दोनों प्रकार के होते हैं <math>X</math> रिक्त समूह हैं।
 # रिक्त [[सीमा (टोपोलॉजी)|सीमा]] में उप-समुच्चय और रिक्त समूह भी <math>X</math> हैं।
 #<math>X</math> को अरिक्त [[अलग सेट|भिन्न समूहों]] के संघ के रूप में नहीं लिखा जा सकता हैI
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 === जुड़े हुए घटक ===
-संस्थानिक स्थान  <math>X,</math> में कुछ बिंदु  <math>x</math> दिए गए हैं,  जुड़े हुए उप-समुच्चयों के किसी भी संग्रह का संघ जैसे कि प्रत्येक में <math>x</math> सम्मलित है| <math>X</math> बिंदु में <math>x</math> के जुड़े हुए घटक <math>X</math> सभी उप-समूहों का संघ है जिसमें <math>x;</math> सम्मलित है| सबसे बड़ा अद्वितीय (के संबंध में <math>\subseteq</math>) <math>X</math> का उप-समुच्चयों जिसमे <math>x.</math> सम्मिलित है | अरिक्त संस्थानिक स्थान के [[अधिकतम तत्व|अधिकतम तत्वों]]  को उपसमुच्चय (समावेशी द्वारा आदेशित <math>\subseteq</math>) के स्थान को घटक कहा जाता है। किसी भी संस्थानिक स्थान के घटक <math>X</math> का विभाजन भिन्न, अरिक्त और संपूर्ण स्थान संयुग्मित है। प्रत्येक घटक मूल स्थान का [[बंद उपसमुच्चय|बंद उप-समुच्चय]] है। इसी प्रकार, इस स्थिति में संख्या परिमित है, प्रत्येक घटक भी खुला उप-समुच्चय है। चूंकि, यदि संख्या अनंत है, तो यह स्थिति नहीं हो सकती हैI उदाहरण के लिए, [[परिमेय संख्या|परिमेय संख्याओं]] के समुच्चय से जुड़े घटक बिंदु समुच्चय ([[सिंगलटन (गणित)|सिंगलटन]] ) हैं, जो खुले नहीं हैं। उपपत्ति: कोई भी दो भिन्न परिमेय संख्याएँ <math>q_1<q_2</math> विभिन्न घटकों में हैं। अपरिमेय संख्या <math>q_1 < r < q_2,</math> लीजिए और फिर  <math>A = \{q \in \Q : q < r\}</math> तथा <math>B = \{q \in \Q : q > r\}.</math> का <math>(A,B)</math> का वियोग हैI <math>\Q,</math> तथा <math>q_1 \in A, q_2 \in B</math>. इस प्रकार प्रत्येक घटक बिंदु समुच्चय है।
+टोपोलॉजिकल समष्टि  <math>X,</math> में कुछ बिंदु  <math>x</math> दिए गए हैं,  जुड़े हुए उप-समुच्चयों के किसी भी संग्रह का संघ जैसे कि प्रत्येक में <math>x</math> सम्मलित है| <math>X</math> बिंदु में <math>x</math> के जुड़े हुए घटक <math>X</math> सभी उप-समूहों का संघ है जिसमें <math>x;</math> सम्मलित है| सबसे बड़ा अद्वितीय (के संबंध में <math>\subseteq</math>) <math>X</math> का उप-समुच्चयों जिसमे <math>x.</math> सम्मिलित है | अरिक्त टोपोलॉजिकल समष्टि के [[अधिकतम तत्व|अधिकतम तत्वों]]  को उपसमुच्चय (समावेशी द्वारा आदेशित <math>\subseteq</math>) के स्थान को घटक कहा जाता है। किसी भी टोपोलॉजिकल समष्टि के घटक <math>X</math> का विभाजन भिन्न, अरिक्त और संपूर्ण स्थान संयुग्मित है। प्रत्येक घटक मूल स्थान का [[बंद उपसमुच्चय|बंद उप-समुच्चय]] है। इसी प्रकार, इस स्थिति में संख्या परिमित है, प्रत्येक घटक भी खुला उप-समुच्चय है। चूंकि, यदि संख्या अनंत है, तो यह स्थिति नहीं हो सकती हैI उदाहरण के लिए, [[परिमेय संख्या|परिमेय संख्याओं]] के समुच्चय से जुड़े घटक बिंदु समुच्चय ([[सिंगलटन (गणित)|सिंगलटन]] ) हैं, जो विवृत नहीं हैं। उपपत्ति: कोई भी दो भिन्न परिमेय संख्याएँ <math>q_1<q_2</math> विभिन्न घटकों में हैं। अपरिमेय संख्या <math>q_1 < r < q_2,</math> लीजिए और फिर  <math>A = \{q \in \Q : q < r\}</math> तथा <math>B = \{q \in \Q : q > r\}.</math> का <math>(A,B)</math> का वियोग हैI <math>\Q,</math> तथा <math>q_1 \in A, q_2 \in B</math>. इस प्रकार प्रत्येक घटक बिंदु समुच्चय है।
-मान लीजिए कि <math>x</math> का संस्थानिक स्थान <math>X,</math> से जुड़ा हुआ है। [[clopen|क्लोपेन]] भी समुच्चय का प्रतिच्छेदन है(जिसे  <math>x.</math> का अर्ध-घटक कहा जाता है)I अर्थात <math>\Gamma_x \subset \Gamma'_x</math> में समानता होती है यदि <math>X</math>  कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ या स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है। <ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/questions/1314013/components-of-the-set-of-rational-numbers|title=सामान्य टोपोलॉजी - परिमेय संख्याओं के समुच्चय के घटक}}</ref>
+मान लीजिए कि <math>x</math> का टोपोलॉजिकल समष्टि <math>X,</math> से जुड़ा हुआ है। [[clopen|क्लोपेन]] भी समुच्चय का प्रतिच्छेदन है(जिसे  <math>x.</math> का अर्ध-घटक कहा जाता है)I अर्थात <math>\Gamma_x \subset \Gamma'_x</math> में समानता होती है यदि <math>X</math>  कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ या स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है। <ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/questions/1314013/components-of-the-set-of-rational-numbers|title=सामान्य टोपोलॉजी - परिमेय संख्याओं के समुच्चय के घटक}}</ref>
 === पृथक किए गए रिक्त स्थान ===
-स्थान जिसमें सभी घटक बिंदु उप-समुच्चय से पूरी तरह विभक्त हो जाते हैं। इस संपत्ति से संबंधित, स्थान <math>X</math> को  {{visible anchor|पूरी तरह }}से विभक्त किया जाता है यदि, <math>x</math> और <math>y</math>, <math>X</math> के दो भिन्न -भिन्न तत्वों में, भिन्न -भिन्न [[खुले सेट|खुले समुच्चय]] में सम्मलित हैं | <math>U</math> ऐसा युक्त है कि जिसमें  <math>x</math> , <math>y</math> तथा <math>V</math> का संघ हैI अर्थात <math>X</math>, <math>U</math> तथा <math>V</math> का संयुग्मित हैI स्पष्ट रूप से, कोई भी पूर्ण रूप से भिन्न स्थान से विभक्त हो गया है, लेकिन विभक्त होने का कारण नहीं स्पष्ट है। उदाहरण के लिए परिमेय संख्याओं की दो प्रतियाँ लें <math>\Q</math>, और शून्य को छोड़कर सभी बिंदु पर उन्हें पहचानें। परिणामी स्थान, [[भागफल टोपोलॉजी|विभाजित संस्थानिक]]  के साथ, पूरी तरह से विभक्त हो गया है। चूंकि, शून्य की दो प्रतियों पर विचार करने से, यह प्रदर्शित होता है कि स्थान पूर्ण रूप से विभक्त नहीं हुआ है। वास्तव में, यह हॉसडॉर्फ स्थान भी नहीं है, और पूर्ण रूप से विभक्त होने की स्थिति से अधिक शक्तिशाली है।
+स्थान जिसमें सभी घटक बिंदु उप-समुच्चय से पूरी तरह विभक्त हो जाते हैं। इस संपत्ति से संबंधित, स्थान <math>X</math> को  {{visible anchor|पूरी तरह }}से विभक्त किया जाता है यदि, <math>x</math> और <math>y</math>, <math>X</math> के दो भिन्न -भिन्न तत्वों में, भिन्न -भिन्न [[खुले सेट|विवृत समुच्चय]] में सम्मलित हैं | <math>U</math> ऐसा युक्त है कि जिसमें  <math>x</math> , <math>y</math> तथा <math>V</math> का संघ हैI अर्थात <math>X</math>, <math>U</math> तथा <math>V</math> का संयुग्मित हैI स्पष्ट रूप से, कोई भी पूर्ण रूप से भिन्न स्थान से विभक्त हो गया है, लेकिन विभक्त होने का कारण नहीं स्पष्ट है। उदाहरण के लिए परिमेय संख्याओं की दो प्रतियाँ लें <math>\Q</math>, और शून्य को छोड़कर सभी बिंदु पर उन्हें पहचानें। परिणामी स्थान, [[भागफल टोपोलॉजी|विभाजित संस्थानिक]]  के साथ, पूरी तरह से विभक्त हो गया है। चूंकि, शून्य की दो प्रतियों पर विचार करने से, यह प्रदर्शित होता है कि स्थान पूर्ण रूप से विभक्त नहीं हुआ है। वास्तव में, यह हॉसडॉर्फ स्थान भी नहीं है, और पूर्ण रूप से विभक्त होने की स्थिति से अधिक शक्तिशाली है।
 == उदाहरण ==
-* मानक उप-स्थान टोपोलॉजी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन स्थान]] में  <math>[0, 2]</math> बंद अंतराल में जुड़ा हुआ है| चूंकि, उदाहरण के लिए, इसे <math>[0, 1]</math> तथा <math>[1, 2]</math> संघ के रूप में लिखा जा सकता हैI <math>[0, 2]</math> चुने हुए दूसरे खुले समुच्चय टोपोलॉजी में से नहीं है I
+* मानक उप-स्थान टोपोलॉजी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन स्थान]] में  <math>[0, 2]</math> बंद अंतराल में जुड़ा हुआ है| चूंकि, उदाहरण के लिए, इसे <math>[0, 1]</math> तथा <math>[1, 2]</math> संघ के रूप में लिखा जा सकता हैI <math>[0, 2]</math> चुने हुए दूसरे विवृत समुच्चय टोपोलॉजी में से नहीं है I
-* <math>[0, 1]</math> तथा <math>[1, 2]</math> का संघ विभक्त हो गया है; इसके दोनों मानक संस्थानिक स्थान अंतराल खुले हैं <math>[0, 1) \cup (1, 2].</math>
+* <math>[0, 1]</math> तथा <math>[1, 2]</math> का संघ विभक्त हो गया है; इसके दोनों मानक टोपोलॉजिकल समष्टि अंतराल विवृत हैं <math>[0, 1) \cup (1, 2].</math>
 * <math>(0, 1) \cup \{ 3 \}</math> विभक्त किया गया है।
 * <math>\R^n</math> का [[उत्तल सेट|उत्तल उप-समुच्चय]] [[बस जुड़ा हुआ सेट|जुड़ा हुआ]]हुआ है।

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