अवकल फलन: Difference between revisions
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{{Short description|Notion in calculus}} | {{Short description|Notion in calculus}}[[ गणना |गणना]] में, '''अवकल फलन (गणित''') स्वतंत्र वेरिएबल्स में परिवर्तन के संबंध में फलन <math>y=f(x)</math> में परिवर्तन के मुख्य भाग का प्रतिनिधित्व करता है। अवकल <math>dy</math> द्वारा परिभाषित किया गया है | ||
[[ गणना |गणना]] में, | |||
:<math>dy = f'(x)\,dx,</math> | :<math>dy = f'(x)\,dx,</math> | ||
जहाँ <math>f'(x)</math> <math>x</math> के संबंध में f का व्युत्पन्न है, और <math>dx</math> एक अतिरिक्त वास्तविक [[चर (गणित)|वेरिएबल्स (गणित)]] (जिससे <math>dy</math> <math>x</math> और <math>dx</math> का एक फलन हो) है। अंकन ऐसा है कि समीकरण | जहाँ <math>f'(x)</math> <math>x</math> के संबंध में f का व्युत्पन्न है, और <math>dx</math> एक अतिरिक्त वास्तविक [[चर (गणित)|वेरिएबल्स (गणित)]] (जिससे <math>dy</math> <math>x</math> और <math>dx</math> का एक फलन हो) है। अंकन ऐसा है कि समीकरण | ||
:<math>dy = \frac{dy}{dx}\, dx</math> | :<math>dy = \frac{dy}{dx}\, dx</math> | ||
धारण करता है, जहां [[लीबनिज संकेतन]] <math>dy/dx</math> में व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व किया जाता है, और यह | धारण करता है, जहां [[लीबनिज संकेतन]] <math>dy/dx</math> में व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व किया जाता है, और यह अवकल के भागफल के रूप में व्युत्पन्न के संबंध में संगत है। लिखता भी है | ||
:<math>df(x) = f'(x)\,dx.</math> | :<math>df(x) = f'(x)\,dx.</math> | ||
वेरिएबल्स का सटीक अर्थ <math>dy</math> और <math>dx</math> आवेदन के संदर्भ और गणितीय कठोरता के आवश्यक स्तर पर निर्भर करता है। इन वेरिएबल्स का डोमेन विशेष ज्यामितीय महत्व पर ले सकता है यदि | वेरिएबल्स का सटीक अर्थ <math>dy</math> और <math>dx</math> आवेदन के संदर्भ और गणितीय कठोरता के आवश्यक स्तर पर निर्भर करता है। इन वेरिएबल्स का डोमेन विशेष ज्यामितीय महत्व पर ले सकता है यदि अवकल को विशेष अवकल रूप, या विश्लेषणात्मक महत्व के रूप में माना जाता है, यदि अवकल को किसी फलन की वृद्धि के लिए [[रैखिक सन्निकटन]] के रूप में माना जाता है। परंपरागत रूप से, वेरिएबल्स <math>dx</math> और <math>dy</math> बहुत छोटा (अनंत) माना जाता है, और इस व्याख्या को गैर-मानक विश्लेषण में कठोर बनाया जाता है। | ||
== इतिहास और उपयोग == | == इतिहास और उपयोग == | ||
अवकल को पहली बार [[आइजैक न्यूटन]] द्वारा सहज या अनुमानी परिभाषा के माध्यम से प्रस्तुत किया गया था और [[लाइबनिट्स|गॉटफ्रीड लाइबनिट्स]] द्वारा आगे बढ़ाया गया था,जिन्होंने फ़ंक्शन के तर्क <math>x</math> में एक अनंत रूप से छोटे परिवर्तन <math>dx</math> के अनुरूप फ़ंक्शन के मान <math>y</math> में एक अनंत रूप से छोटे परिवर्तन (या अनंत) के रूप में अंतर <math>dy</math> के बारे में सोचा था। उस कारण से, <math>x</math> के संबंध में <math>x</math> के परिवर्तन की तात्कालिक दर, जो फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान है, <math> \frac{dy}{dx} </math> को अंश द्वारा दर्शाया गया है | |||
डेरिवेटिव के लिए लाइबनिज संकेतन कहा जाता है। भागफल <math>dy/dx</math> अनंत रूप से छोटा नहीं है; किन्तु यह [[वास्तविक संख्या]] है। | डेरिवेटिव के लिए लाइबनिज संकेतन कहा जाता है। भागफल <math>dy/dx</math> अनंत रूप से छोटा नहीं है; किन्तु यह [[वास्तविक संख्या]] है। | ||
उदाहरण के लिए, बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट [[विश्लेषक]] द्वारा इस रूप में इनफिनिटिमल्स के उपयोग की व्यापक रूप से आलोचना की गई थी। [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] (1823) ने लीबनिज के इनफिनिटिमल्स के परमाणुवाद की अपील के बिना अंतर को परिभाषित किया।<ref>For a detailed historical account of the differential, see {{harvnb|Boyer|1959}}, especially page 275 for Cauchy's contribution on the subject. An abbreviated account appears in {{harvnb|Kline|1972|loc=Chapter 40}}.</ref><ref>Cauchy explicitly denied the possibility of actual infinitesimal and infinite quantities {{harv|Boyer|1959|pp=273–275}}, and took the radically different point of view that "a variable quantity becomes infinitely small when its numerical value decreases indefinitely in such a way as to converge to zero" ({{harvnb|Cauchy|1823|p=12}}; translation from {{harvnb|Boyer|1959|p=273}}).</ref> इसके अतिरिक्त, कॉची, जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट का अनुसरण करते हुए, लीबनिज़ और उनके उत्तराधिकारियों के तार्किक क्रम को उल्टा कर दिया: व्युत्पन्न ही मौलिक वस्तु बन गया, जिसे | उदाहरण के लिए, बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट [[विश्लेषक]] द्वारा इस रूप में इनफिनिटिमल्स के उपयोग की व्यापक रूप से आलोचना की गई थी। [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] (1823) ने लीबनिज के इनफिनिटिमल्स के परमाणुवाद की अपील के बिना अंतर को परिभाषित किया।<ref>For a detailed historical account of the differential, see {{harvnb|Boyer|1959}}, especially page 275 for Cauchy's contribution on the subject. An abbreviated account appears in {{harvnb|Kline|1972|loc=Chapter 40}}.</ref><ref>Cauchy explicitly denied the possibility of actual infinitesimal and infinite quantities {{harv|Boyer|1959|pp=273–275}}, and took the radically different point of view that "a variable quantity becomes infinitely small when its numerical value decreases indefinitely in such a way as to converge to zero" ({{harvnb|Cauchy|1823|p=12}}; translation from {{harvnb|Boyer|1959|p=273}}).</ref> इसके अतिरिक्त, कॉची, जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट का अनुसरण करते हुए, लीबनिज़ और उनके उत्तराधिकारियों के तार्किक क्रम को उल्टा कर दिया: व्युत्पन्न ही मौलिक वस्तु बन गया, जिसे अवकल भागफलों की [[सीमा (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया था, और अवकल तब थे इसके संदर्भ में परिभाषित किया गया है। अर्थात्, अवकल <math>dy</math> को परिभाषित करने के लिए कोई भी स्वतंत्र था अभिव्यक्ति द्वारा | ||
:<math>dy = f'(x)\,dx</math> | :<math>dy = f'(x)\,dx</math> | ||
जिसमें <math>dy</math> और <math>dx</math> परिमित वास्तविक मान लेने वाले बस नए वेरिएबल्स हैं,<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=275}}</ref> नियत अतिसूक्ष्म नहीं जैसा कि लाइबनिज के लिए था।<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=12}}: "The differentials as thus defined are only new ''variables'', and not fixed infinitesimals..."</ref> | जिसमें <math>dy</math> और <math>dx</math> परिमित वास्तविक मान लेने वाले बस नए वेरिएबल्स हैं,<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=275}}</ref> नियत अतिसूक्ष्म नहीं जैसा कि लाइबनिज के लिए था।<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=12}}: "The differentials as thus defined are only new ''variables'', and not fixed infinitesimals..."</ref> | ||
के अनुसार {{harvtxt|Boyer|1959|p=12}}, कॉची का दृष्टिकोण लीबनिज के अतिसूक्ष्म दृष्टिकोण पर महत्वपूर्ण तार्किक सुधार था, क्योंकि, अत्यल्प मात्राओं की आध्यात्मिक धारणा को प्रायुक्त करने के अतिरिक्त, मात्राएँ <math>dy</math> और <math>dx</math> अब किसी भी अन्य वास्तविक मात्राएँ सार्थक विधि के समान ही हेरफेर किया जा सकता है। | के अनुसार {{harvtxt|Boyer|1959|p=12}}, कॉची का दृष्टिकोण लीबनिज के अतिसूक्ष्म दृष्टिकोण पर महत्वपूर्ण तार्किक सुधार था, क्योंकि, अत्यल्प मात्राओं की आध्यात्मिक धारणा को प्रायुक्त करने के अतिरिक्त, मात्राएँ <math>dy</math> और <math>dx</math> अब किसी भी अन्य वास्तविक मात्राएँ सार्थक विधि के समान ही हेरफेर किया जा सकता है। अवकलों के प्रति कॉची का समग्र अवधारणात्मक दृष्टिकोण आधुनिक विश्लेषणात्मक उपचारों में मानक बना हुआ है,<ref>{{harvnb|Courant|1937a|loc=II, §9}}: "Here we remark merely in passing that it is possible to use this approximate representation of the increment <math>\Delta y</math> by the linear expression <math>hf(x)</math> to construct a logically satisfactory definition of a "differential", as was done by Cauchy in particular."</ref> चूंकि कठोरता पर अंतिम शब्द, सीमा की पूरी तरह से आधुनिक धारणा, अंततः [[कार्ल वीयरस्ट्रास]] के कारण थी।<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=284}}</ref> | ||
भौतिक उपचारों में, जैसे कि [[ऊष्मप्रवैगिकी]] के सिद्धांत पर प्रायुक्त होने वाले, अनंत दृश्य अभी भी प्रबल है। {{harvtxt|कुरेंट |जॉन|1999|p=184}} इनफिनिटिमल डिफरेंशियल के भौतिक उपयोग को उनकी गणितीय असंभवता के साथ इस प्रकार मिलाते हैं। | भौतिक उपचारों में, जैसे कि [[ऊष्मप्रवैगिकी]] के सिद्धांत पर प्रायुक्त होने वाले, अनंत दृश्य अभी भी प्रबल है। {{harvtxt|कुरेंट |जॉन|1999|p=184}} इनफिनिटिमल डिफरेंशियल के भौतिक उपयोग को उनकी गणितीय असंभवता के साथ इस प्रकार मिलाते हैं। अवकल परिमित गैर-शून्य मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो उस विशेष उद्देश्य के लिए आवश्यक शुद्धता की डिग्री से छोटे होते हैं जिसके लिए उनका लक्ष्य होता है। इस प्रकार भौतिक अतिसूक्ष्मों को त्रुटिहीन अर्थ रखने के लिए संबंधित गणितीय अतिसूक्ष्म से अपील करने की आवश्यकता नहीं है। | ||
[[गणितीय विश्लेषण]] और विभेदक ज्यामिति में बीसवीं शताब्दी के विकास के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि फलन के | [[गणितीय विश्लेषण]] और विभेदक ज्यामिति में बीसवीं शताब्दी के विकास के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि फलन के अवकल की धारणा को विभिन्न तरीकों से विस्तारित किया जा सकता है। [[वास्तविक विश्लेषण]] में, किसी फलन की वृद्धि के प्रमुख भाग के रूप में सीधे अवकल से निपटना अधिक वांछनीय है। यह सीधे इस धारणा की ओर जाता है कि बिंदु पर फलन का अवकल वेतन वृद्धि <math>\Delta x</math> का रैखिक फलन है। यह दृष्टिकोण विभिन्न प्रकार के अधिक परिष्कृत स्थानों के लिए अवकल (रेखीय मानचित्र के रूप में) को विकसित करने की अनुमति देता है, अंततः इस तरह की धारणाओं को जन्म देता है जैसे कि फ्रेचेट या गेटॉक्स व्युत्पन्न। इसी तरह, विभेदक ज्यामिति में, बिंदु पर फलन का अवकल स्पर्शरेखा सदिश (अनंत रूप से छोटा विस्थापन) का रैखिक फलन है, जो इसे प्रकार के रूप के रूप में प्रदर्शित करता है: फलन का [[बाहरी व्युत्पन्न]]। गैर-मानक कैलकुलस में, अवकलों को इनफिनिटिमल्स के रूप में माना जाता है, जिसे स्वयं कठोर (देखें अवकल (इनफिनिटिमल)) आधार पर रखा जा सकता है। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
[[File:Sentido geometrico del diferencial de una funcion.png|thumb|upright=1.25|फलन का | [[File:Sentido geometrico del diferencial de una funcion.png|thumb|upright=1.25|फलन का अवकल <math>f(x)</math> बिंदु पर <math>x_0</math>.]]अवकल कैलकुलस के आधुनिक उपचारों में अवकल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है।<ref>See, for instance, the influential treatises of {{harvnb|Courant|1937a}}, {{harvnb|Kline|1977}}, {{harvnb|Goursat|1904}}, and {{harvnb|Hardy|1908}}. Tertiary sources for this definition include also {{harvnb|Tolstov|2001}} and {{harvnb|Itô|1993|loc=§106}}.</ref> एकल वास्तविक वेरिएबल्स <math>x</math> के फलन <math>f(x)</math> का अवकल दो स्वतंत्र वास्तविक वेरिएबल्स <math>x</math> और <math>\Delta x</math> का फलन <math>df</math> है | ||
:<math>df(x, \Delta x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} f'(x)\,\Delta x.</math> | :<math>df(x, \Delta x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} f'(x)\,\Delta x.</math> | ||
या दोनों तर्कों को दबा दिया जा सकता है, अर्थात् कोई <math>df(x)</math> या केवल <math>df</math> देख सकता है। यदि <math>y=f(x)</math>, | या दोनों तर्कों को दबा दिया जा सकता है, अर्थात् कोई <math>df(x)</math> या केवल <math>df</math> देख सकता है। यदि <math>y=f(x)</math>, अवकल को <math>dy</math> के रूप में भी लिखा जा सकता है। तब से <math>dx(x,\Delta x)=\Delta x</math>, यह लिखने के लिए पारंपरिक है <math>dx=\Delta x</math> जिससे निम्नलिखित समानता हो: | ||
:<math>df(x) = f'(x) \, dx</math> | :<math>df(x) = f'(x) \, dx</math> | ||
अवकल की यह धारणा सामान्यतः तब प्रायुक्त होती है जब किसी फलन के लिए रैखिक सन्निकटन मांगा जाता है, जिसमें वृद्धि का मान <math>\Delta x</math> काफी छोटा है। अधिक सटीक, यदि <math>f</math> पर अवकलीय फलन है <math>x</math>, फिर में अवकल <math>y</math>-मान | |||
:<math>\Delta y \stackrel{\rm{def}}{=} f(x+\Delta x) - f(x)</math> | :<math>\Delta y \stackrel{\rm{def}}{=} f(x+\Delta x) - f(x)</math> | ||
| Line 46: | Line 42: | ||
जिसमें <math>\Delta x</math> को पर्याप्त रूप से छोटा करने के लिए बाध्य करके त्रुटि को <math>\Delta x</math> के सापेक्ष वांछित के रूप में छोटा किया जा सकता है; अर्थात्, | जिसमें <math>\Delta x</math> को पर्याप्त रूप से छोटा करने के लिए बाध्य करके त्रुटि को <math>\Delta x</math> के सापेक्ष वांछित के रूप में छोटा किया जा सकता है; अर्थात्, | ||
:<math>\frac{\Delta y - dy}{\Delta x}\to 0</math> | :<math>\frac{\Delta y - dy}{\Delta x}\to 0</math> | ||
जैसा <math>\Delta x\rightarrow 0</math>. इस कारण से, किसी फलन के | जैसा <math>\Delta x\rightarrow 0</math>. इस कारण से, किसी फलन के अवकल को मुख्य भाग के रूप में जाना जाता है | [[प्रमुख भाग]] (रैखिक) भाग फलन के वृद्धि में होता है: अवकल वृद्धि <math>\Delta x</math> का रैखिक फलन है, और यद्यपि त्रुटि <math>\varepsilon</math> अरेखीय हो सकता है, यह तेजी से शून्य हो जाता है क्योंकि <math>\Delta x</math> शून्य हो जाता है। | ||
== कई वेरिएबल्स में | == कई वेरिएबल्स में अवकल == | ||
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!<math>f(x, y, u(x, y), v(x, y))</math> | !<math>f(x, y, u(x, y), v(x, y))</math> | ||
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| | |अवकल | ||
|1: <math>df \, \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \, f'_x\,dx</math> | |1: <math>df \, \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \, f'_x\,dx</math> | ||
|2: <math>d_x f \, | |2: <math>d_x f \, | ||
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: <math> \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 </math> | : <math> \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 </math> | ||
x<sub>1</sub> के संबंध में y का आंशिक अवकलज सम्मिलित है. सभी स्वतंत्र वेरिएबल्स के संबंध में आंशिक | x<sub>1</sub> के संबंध में y का आंशिक अवकलज सम्मिलित है. सभी स्वतंत्र वेरिएबल्स के संबंध में आंशिक अवकलों का योग कुल अवकल है | ||
: <math> dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n, </math> | : <math> dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n, </math> | ||
जो y में परिवर्तन का मुख्य भाग है जो स्वतंत्र वेरिएबल्स x<sub>''i''</sub> में परिवर्तनों के परिणामस्वरूप होता है. | जो y में परिवर्तन का मुख्य भाग है जो स्वतंत्र वेरिएबल्स x<sub>''i''</sub> में परिवर्तनों के परिणामस्वरूप होता है. | ||
अधिक सटीक रूप से, बहुभिन्नरूपी कलन के संदर्भ में, निम्नलिखित {{harvtxt|कुरंट|1937b}}, यदि f | अधिक सटीक रूप से, बहुभिन्नरूपी कलन के संदर्भ में, निम्नलिखित {{harvtxt|कुरंट|1937b}}, यदि f अवकलीय फलन है, तो फ्रेचेट व्युत्पन्न द्वारा, वृद्धि | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
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&{}= \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n + \varepsilon_1\Delta x_1 +\cdots+\varepsilon_n\Delta x_n | &{}= \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n + \varepsilon_1\Delta x_1 +\cdots+\varepsilon_n\Delta x_n | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
जहां त्रुटि शब्द ε<sub>''i''</sub> वृद्धि Δx<sub>''i''</sub> के रूप में शून्य हो जाती है संयुक्त रूप से शून्य हो जाते हैं। कुल | जहां त्रुटि शब्द ε<sub>''i''</sub> वृद्धि Δx<sub>''i''</sub> के रूप में शून्य हो जाती है संयुक्त रूप से शून्य हो जाते हैं। कुल अवकल को तब कड़ाई से परिभाषित किया जाता है | ||
:<math>dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n.</math> | :<math>dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n.</math> | ||
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जिसमें पर्याप्त रूप से छोटे वेतन वृद्धि पर ध्यान केंद्रित करके <math>\sqrt{\Delta x_1^2+\cdots +\Delta x_n^2}</math> के सापेक्ष कुल त्रुटि को वांछित के रूप में छोटा किया जा सकता है। | जिसमें पर्याप्त रूप से छोटे वेतन वृद्धि पर ध्यान केंद्रित करके <math>\sqrt{\Delta x_1^2+\cdots +\Delta x_n^2}</math> के सापेक्ष कुल त्रुटि को वांछित के रूप में छोटा किया जा सकता है। | ||
=== त्रुटि अनुमान के लिए कुल | === त्रुटि अनुमान के लिए कुल अवकल का अनुप्रयोग === | ||
मापन में, [[प्रायोगिक अनिश्चितता विश्लेषण]] में कुल अंतर का उपयोग पैरामीटर <math>x, y, \ldots</math>, के <math>\Delta x,\Delta y,\ldots </math> की त्रुटियों के आधार पर फ़लन <math>f</math> की त्रुटि <math>\Delta f</math> का अनुमान लगाने में किया जाता है। यह मानते हुए कि परिवर्तन लगभग रैखिक होने के लिए पर्याप्त छोटा है: | मापन में, [[प्रायोगिक अनिश्चितता विश्लेषण]] में कुल अंतर का उपयोग पैरामीटर <math>x, y, \ldots</math>, के <math>\Delta x,\Delta y,\ldots </math> की त्रुटियों के आधार पर फ़लन <math>f</math> की त्रुटि <math>\Delta f</math> का अनुमान लगाने में किया जाता है। यह मानते हुए कि परिवर्तन लगभग रैखिक होने के लिए पर्याप्त छोटा है: | ||
| Line 133: | Line 129: | ||
एक साधारण उत्पाद के मामले में एक अतिरिक्त '{{nowrap|ln ''b''}}' कारक नहीं मिला थ। यह अतिरिक्त कारक त्रुटि को छोटा करता है, क्योंकि {{nowrap|ln ''b''}} एक नंगे b जितना बड़ा नहीं है। | एक साधारण उत्पाद के मामले में एक अतिरिक्त '{{nowrap|ln ''b''}}' कारक नहीं मिला थ। यह अतिरिक्त कारक त्रुटि को छोटा करता है, क्योंकि {{nowrap|ln ''b''}} एक नंगे b जितना बड़ा नहीं है। | ||
== उच्च-क्रम | == उच्च-क्रम अवकल == | ||
किसी एकल वेरिएबल्स x के फलन y = f(x) के उच्च-क्रम के | किसी एकल वेरिएबल्स x के फलन y = f(x) के उच्च-क्रम के अवकलों को इसके माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है:<ref>{{harvnb|Cauchy|1823}}. See also, for instance, {{harvnb|Goursat|1904|loc=I, §14}}.</ref> | ||
:<math>d^2y = d(dy) = d(f'(x)dx) = (df'(x))dx = f''(x)\,(dx)^2,</math> | :<math>d^2y = d(dy) = d(f'(x)dx) = (df'(x))dx = f''(x)\,(dx)^2,</math> | ||
और, सामान्य तौर पर, | और, सामान्य तौर पर, | ||
| Line 140: | Line 136: | ||
अनौपचारिक रूप से, यह उच्च क्रम के डेरिवेटिव के लिए लिबनिज़ के अंकन को प्रेरित करता है | अनौपचारिक रूप से, यह उच्च क्रम के डेरिवेटिव के लिए लिबनिज़ के अंकन को प्रेरित करता है | ||
:<math>f^{(n)}(x) = \frac{d^n f}{dx^n}.</math> | :<math>f^{(n)}(x) = \frac{d^n f}{dx^n}.</math> | ||
जब स्वतंत्र वेरिएबल्स x को स्वयं अन्य वेरिएबल्स पर निर्भर रहने की अनुमति दी जाती है, तो अभिव्यक्ति अधिक जटिल हो जाती है, क्योंकि इसमें x में ही उच्च क्रम के | जब स्वतंत्र वेरिएबल्स x को स्वयं अन्य वेरिएबल्स पर निर्भर रहने की अनुमति दी जाती है, तो अभिव्यक्ति अधिक जटिल हो जाती है, क्योंकि इसमें x में ही उच्च क्रम के अवकल भी सम्मिलित होने चाहिए। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, | ||
:<math> | :<math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
| Line 148: | Line 144: | ||
इत्यादि। | इत्यादि। | ||
इसी तरह के विचार कई वेरिएबल्स के फलनों के उच्च क्रम के | इसी तरह के विचार कई वेरिएबल्स के फलनों के उच्च क्रम के अवकल को परिभाषित करने के लिए प्रायुक्त होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि f दो वेरिएबल्स x और y का फलन है, तो | ||
:<math>d^nf = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{\partial^n f}{\partial x^k \partial y^{n-k}}(dx)^k(dy)^{n-k},</math> | :<math>d^nf = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{\partial^n f}{\partial x^k \partial y^{n-k}}(dx)^k(dy)^{n-k},</math> | ||
जहाँ <math display="inline">\binom{n}{k}</math> [[द्विपद गुणांक]] है। अधिक वेरिएबल्स में, समान अभिव्यक्ति धारण करती है, लेकिन द्विपद विस्तार के अतिरिक्त उपयुक्त [[बहुपद गुणांक]] विस्तार के साथ।<ref>{{harvnb|Goursat|1904|loc=I, §14}}</ref> | जहाँ <math display="inline">\binom{n}{k}</math> [[द्विपद गुणांक]] है। अधिक वेरिएबल्स में, समान अभिव्यक्ति धारण करती है, लेकिन द्विपद विस्तार के अतिरिक्त उपयुक्त [[बहुपद गुणांक]] विस्तार के साथ।<ref>{{harvnb|Goursat|1904|loc=I, §14}}</ref> | ||
कई वेरिएबल्स में उच्च क्रम के | कई वेरिएबल्स में उच्च क्रम के अवकल भी अधिक जटिल हो जाते हैं जब स्वतंत्र वेरिएबल्स को स्वयं अन्य वेरिएबल्स पर निर्भर रहने की अनुमति दी जाती है। उदाहरण के लिए, x और y के फलन f के लिए, जिन्हें सहायक वेरिएबल्स पर निर्भर रहने की अनुमति है, के पास है | ||
:<math>d^2f = \left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(dx)^2+2\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}dx\,dy + \frac{\partial^2f}{\partial y^2}(dy)^2\right) + \frac{\partial f}{\partial x}d^2x + \frac{\partial f}{\partial y}d^2y.</math> | :<math>d^2f = \left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(dx)^2+2\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}dx\,dy + \frac{\partial^2f}{\partial y^2}(dy)^2\right) + \frac{\partial f}{\partial x}d^2x + \frac{\partial f}{\partial y}d^2y.</math> | ||
इस सांकेतिक अक्षमता के कारण, उच्च क्रम के | इस सांकेतिक अक्षमता के कारण, उच्च क्रम के अवकलों के उपयोग की व्यापक रूप से आलोचना की गई थी {{harvnb|हैडमार्ड|1935}}, जिन्होंने निष्कर्ष निकाला: | ||
: अंत में, समानता का अर्थ या प्रतिनिधित्व क्या है? | : अंत में, समानता का अर्थ या प्रतिनिधित्व क्या है? | ||
::<math>d^2z = r\,dx^2 + 2s\,dx\,dy + t\,dy^2\,?</math> | ::<math>d^2z = r\,dx^2 + 2s\,dx\,dy + t\,dy^2\,?</math> | ||
: ए मोन एविस, रिएन डू टाउट। | : ए मोन एविस, रिएन डू टाउट। | ||
वह है: अंत में, समानता [...] का क्या अर्थ है, या प्रतिनिधित्व किया गया है? मेरी राय में, कुछ भी नहीं। इस संशयवाद के अतिरिक्त, उच्च क्रम के | वह है: अंत में, समानता [...] का क्या अर्थ है, या प्रतिनिधित्व किया गया है? मेरी राय में, कुछ भी नहीं। इस संशयवाद के अतिरिक्त, उच्च क्रम के अवकल विश्लेषण में महत्वपूर्ण उपकरण के रूप में उभरे थे।<ref>In particular to [[infinite dimensional holomorphy]] {{harv|Hille|Phillips|1974}} and [[numerical analysis]] via the calculus of [[finite differences]].</ref> | ||
इन संदर्भों में, वृद्धि Δx पर प्रायुक्त फलन f के nवें क्रम के | इन संदर्भों में, वृद्धि Δx पर प्रायुक्त फलन f के nवें क्रम के अवकल को इसके द्वारा परिभाषित किया जाता है | ||
:<math>d^nf(x,\Delta x) = \left.\frac{d^n}{dt^n} f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}</math> | :<math>d^nf(x,\Delta x) = \left.\frac{d^n}{dt^n} f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}</math> | ||
या समकक्ष अभिव्यक्ति, जैसे | या समकक्ष अभिव्यक्ति, जैसे | ||
:<math>\lim_{t\to 0}\frac{\Delta^n_{t\Delta x} f}{t^n}</math> | :<math>\lim_{t\to 0}\frac{\Delta^n_{t\Delta x} f}{t^n}</math> | ||
जहाँ <math>\Delta^n_{t\Delta x} f</math> वृद्धि tΔx के साथ nवां [[आगे का अंतर|आगे का | जहाँ <math>\Delta^n_{t\Delta x} f</math> वृद्धि tΔx के साथ nवां [[आगे का अंतर|आगे का अवकल]] है। | ||
यह परिभाषा तब भी समझ में आती है जब f कई वेरिएबल्स का फलन है (सादगी के लिए यहाँ वेक्टर तर्क के रूप में लिया गया है)। फिर इस तरह से परिभाषित nवां | यह परिभाषा तब भी समझ में आती है जब f कई वेरिएबल्स का फलन है (सादगी के लिए यहाँ वेक्टर तर्क के रूप में लिया गया है)। फिर इस तरह से परिभाषित nवां अवकल सदिश वृद्धि Δx में डिग्री n का सजातीय फलन है। इसके अतिरिक्त, बिंदु x पर f की [[टेलर श्रृंखला]] द्वारा दी गई है | ||
:<math>f(x+\Delta x)\sim f(x) + df(x,\Delta x) + \frac{1}{2}d^2f(x,\Delta x) + \cdots + \frac{1}{n!}d^nf(x,\Delta x) + \cdots</math> | :<math>f(x+\Delta x)\sim f(x) + df(x,\Delta x) + \frac{1}{2}d^2f(x,\Delta x) + \cdots + \frac{1}{n!}d^nf(x,\Delta x) + \cdots</math> | ||
उच्च क्रम गैटॉक्स व्युत्पन्न इन विचारों को अनंत आयामी स्थानों के लिए सामान्यीकृत करता है। | उच्च क्रम गैटॉक्स व्युत्पन्न इन विचारों को अनंत आयामी स्थानों के लिए सामान्यीकृत करता है। | ||
== गुण == | == गुण == | ||
अवकल के कई गुण व्युत्पन्न, आंशिक व्युत्पन्न और कुल व्युत्पन्न के संबंधित गुणों से सीधे विधि से अनुसरण करते हैं। इसमे सम्मिलित है:<ref>{{harvnb|Goursat|1904|loc=I, §17}}</ref> | |||
* [[रैखिकता]]: स्थिरांक a और b और | * [[रैखिकता]]: स्थिरांक a और b और अवकलीय फलन f और g के लिए, | ||
::<math>d(af+bg) = a\,df + b\,dg.</math> | ::<math>d(af+bg) = a\,df + b\,dg.</math> | ||
* उत्पाद नियम: दो अलग-अलग फलनों f और g के लिए, | * उत्पाद नियम: दो अलग-अलग फलनों f और g के लिए, | ||
| Line 179: | Line 175: | ||
::<math> d( f^n ) = n f^{n-1} df </math> | ::<math> d( f^n ) = n f^{n-1} df </math> | ||
इसके अतिरिक्त, व्यापकता के बढ़ते स्तर में [[श्रृंखला नियम]] के विभिन्न रूप धारण करते हैं:<ref>{{harvnb|Goursat|1904|loc=I, §§14,16}}</ref> | इसके अतिरिक्त, व्यापकता के बढ़ते स्तर में [[श्रृंखला नियम]] के विभिन्न रूप धारण करते हैं:<ref>{{harvnb|Goursat|1904|loc=I, §§14,16}}</ref> | ||
* यदि y = f(u) वेरिएबल u का | * यदि y = f(u) वेरिएबल u का अवकलीय फलन है और u = g(x) x का अवकलीय फलन है, तो | ||
::<math>dy = f'(u)\,du = f'(g(x))g'(x)\,dx.</math> | ::<math>dy = f'(u)\,du = f'(g(x))g'(x)\,dx.</math> | ||
* यदि {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} और सभी वेरिएबल्स x<sub>1</sub>, ..., x<sub>''n''</sub> दूसरे वेरिएबल t पर निर्भर करते हैं, फिर चेन रूल द्वारा कई वेरिएबल्स के लिए, के पास है | * यदि {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} और सभी वेरिएबल्स x<sub>1</sub>, ..., x<sub>''n''</sub> दूसरे वेरिएबल t पर निर्भर करते हैं, फिर चेन रूल द्वारा कई वेरिएबल्स के लिए, के पास है | ||
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{{See also|फ्रेचेट व्युत्पन्न|गेटॉक्स व्युत्पन्न}} | {{See also|फ्रेचेट व्युत्पन्न|गेटॉक्स व्युत्पन्न}} | ||
फलन {{nowrap|''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} दो [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन | फलन {{nowrap|''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} दो [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन अवकलिक्ष]] स्थान के बीच के लिए अवकल की सुसंगत धारणा विकसित की जा सकती है। माना x,Δx ∈ R<sup>n</sup> यूक्लिडियन सदिशों का युग्म हो। फलन f में वृद्धि है | ||
:<math>\Delta f = f(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}).</math> | :<math>\Delta f = f(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}).</math> | ||
यदि कोई m × n [[मैट्रिक्स (गणित)]] A उपस्थित है, जैसे कि | यदि कोई m × n [[मैट्रिक्स (गणित)]] A उपस्थित है, जैसे कि | ||
:<math>\Delta f = A\Delta\mathbf{x} + \|\Delta\mathbf{x}\|\boldsymbol{\varepsilon}</math> | :<math>\Delta f = A\Delta\mathbf{x} + \|\Delta\mathbf{x}\|\boldsymbol{\varepsilon}</math> | ||
जिसमें वेक्टर ''ε'' → 0 के रूप में Δx → 0, फिर ''f'' परिभाषा के अनुसार बिंदु x पर | जिसमें वेक्टर ''ε'' → 0 के रूप में Δx → 0, फिर ''f'' परिभाषा के अनुसार बिंदु x पर अवकलीय है। मैट्रिक्स ''A'' को कभी-कभी [[ जैकबियन मैट्रिक्स |जैकबियन मैट्रिक्स]] के रूप में जाना जाता है, और [[रैखिक परिवर्तन]] जो वेतन वृद्धि Δx ∈ R<sup>n</sup> से जुड़ा होता है सदिश AΔ'x' ∈ 'R'<sup>m</sup>, इस सामान्य सेटिंग में, बिंदु x पर f के अवकल df(x) के रूप में जाना जाता है। यह बिल्कुल फ्रेचेट डेरिवेटिव है, और किसी भी बनच रिक्त स्थान के बीच फलन के लिए काम करने के लिए ही निर्माण किया जा सकता है। | ||
और उपयोगी दृष्टिकोण | और उपयोगी दृष्टिकोण अवकल को सीधे प्रकार के [[दिशात्मक व्युत्पन्न]] के रूप में परिभाषित करना है: | ||
:<math>df(\mathbf{x},\mathbf{h}) = \lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf{x}+t\mathbf{h})-f(\mathbf{x})}{t} = \left.\frac{d}{dt}f(\mathbf{x}+t\mathbf{h})\right|_{t=0},</math> | :<math>df(\mathbf{x},\mathbf{h}) = \lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf{x}+t\mathbf{h})-f(\mathbf{x})}{t} = \left.\frac{d}{dt}f(\mathbf{x}+t\mathbf{h})\right|_{t=0},</math> | ||
जो उच्च क्रम के | |||