रेखा खंड

Not to be confused with arc (geometry).

File:Segment definition.svg

एक बंद रेखा खंड की ज्यामितीय परिभाषा: सभी बिंदुओं का प्रतिच्छेदन (यूक्लिडियन ज्यामिति) A के दाईं ओर या B के बाईं ओर या सभी बिंदुओं के साथ

फ़ाइल: फोटोथेक डीएफ टीजी 0003359 ज्यामिति ^ निर्माण ^ मार्ग ^ Messinstrument.jpg|thumb|ऐतिहासिक छवि - एक रेखा खंड बनाएं (1699)

ज्यामिति में, रेखा खंड, रेखा (गणित) का एक अंश होता है जो दो अलग-अलग अंत बिंदु (ज्यामिति) से घिरा होता है, और उस रेखा पर प्रत्येक बिंदु होता है जो इसके अंत बिंदुओं के बीच होता है। एक रेखाखंड की लंबाई उसके अंतिम बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी द्वारा दी जाती है। एक बंद रेखा खंड में दोनों समापन बिंदु सम्मिलित होते हैं, जबकि एक खुली रेखा खंड में दोनों समापन बिंदु सम्मिलित नहीं होते हैं; आधे-खुले रेखा खंड में ठीक एक अंतिम बिंदु सम्मिलित होता है। ज्यामिति में, एक रेखा खंड को प्रायः दो समापन बिंदुओं के लिए प्रतीकों के ऊपर एक रेखा का उपयोग करके दर्शाया जाता है (जैसे- ${\overline {AB}}$). रेखाखंडों के उदाहरणों में त्रिभुज या वर्ग की भुजाएँ सम्मिलित हैं। आम तौर पर, जब दोनों खंड के अंत बिंदु बहुभुज या बहुतल के शिखर होते हैं, तो रेखा खंड या तो एक किनारा होता है (उस बहुभुज या पॉलीहेड्रॉन का) यदि वे आसन्न कोने हैं या विकर्ण होते हैं। जब दोनों अंत बिंदु एक वक्र (जैसे एक वृत्त) पर स्थित होते हैं, तो एक रेखा खंड को एक जीवा (ज्यामिति) (उस वक्र का) कहा जाता है।

वास्तविक या जटिल सदिश स्थानों में

यदि V एक सदिश समष्टि $\mathbb {R}$ या $\mathbb {C}$, और L, V का एक उपसमुच्चय है, तो L एक 'रेखाखंड' है, यदि L को इस प्रकार परिचालित किया जा सकता है:

$L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}$

कुछ सदिश के लिए $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!$. किस स्थिति में, सदिश u और u + v L के अंतिम बिंदु कहलाते हैं।

कभी-कभी, किसी को खुले और बंद रेखा खंडों के बीच अंतर करने की आवश्यकता होती है। इस मामले में, उत्तल के रूप में एक 'क्लोज्ड लाइन सेगमेंट' को परिभाषित किया जाएगा, और एक 'खुले रेखा खंड' को एक सबसेट L के रूप में परिभाषित किया जाएगा जिसे पैरामीट्रिज किया जा सकता है

$L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}$

कुछ सदिश के लिए $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!$.

समान रूप से, एक रेखा खंड दो बिंदुओं का उत्तल पतवार है। इस प्रकार, रेखा खंड को खंड के दो अंत बिंदुओं के उत्तल संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

ज्यामिति में, कोई बिंदु B को दो अन्य बिंदुओं A और C के बीच होने के रूप में परिभाषित कर सकता है, यदि दूरी BC में AB जोड़ी गई दूरी AC के बराबर है। इस प्रकार से $\mathbb {R} ^{2}$, अंतिम बिंदुओं वाला रेखा खंड A = (a_x, a_y) तथा C = (c_x, c_y) अंक का निम्नलिखित संग्रह है:

$\{(x,y)\mid <!--\; \mid \; -->\sqrt{{(x-<!--\; -\; -->c_x)}^2+{(y-<!--\; -\; -->c_y)}^2}+\sqrt{{(x-<!--\; -\; -->a_x)}^2+{(y-<!--\; -\; -->a_y)}^2}=\sqrt{{(c_x-<!--\; -\; -->}^{}}$