गुणनफल

गणित में, एक गुणनफल गुणन का परिणाम होता है, या एक व्यंजक जो गुणन के लिए वस्तुओं (संख्याओं या चरों) की पहचान करता है, गुणक कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, 30 6 और 5 (गुणा का परिणाम) का गुणनफल है, और $x\cdot (2+x)$ का गुणनफल है $x$ और $(2+x)$ (यह दर्शाता है कि दो कारकों को एक साथ गुणा किया जाना चाहिए)।

जिस क्रम में वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्याओ को गुणा किया जाता है, उसका गुणनफल पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता; इसे गुणन की क्रमविनिमेयता के रूप में जाना जाता है। जब आव्यूह (गणित) या विभिन्न अन्य साहचर्य बीजगणित के इकाइयों को गुणा किया जाता है, तो गुणनफल सामान्य रूप से कारकों के क्रम पर निर्भर करता है। आव्यूह गुणन, उदाहरण के लिए, गैर-क्रमविनिमेय है, और ऐसा ही सामान्य रूप से अन्य बीजगणितों में भी गुणन है।

गणित में कई अलग-अलग प्रकार के गुणनफल हैं: केवल संख्याओं, बहुपदों या आव्यूहों का गुणन करने में सक्षम होने के अतिरिक्त, कोई भी अनेक भिन्न बीजगणितीय संरचनाओं पर गुणनफलों को परिभाषित कर सकता है।

दो संख्याओं का गुणनफल

यह खंड गुणन § परिभाषाओं का एक अंश है।

दो संख्याओं का गुणनफल या दो संख्याओं के बीच गुणन को सामान्य विशेष स्थितियों के लिए परिभाषित किया जा सकता है: पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न वास्तविक संख्याएँ, सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण।

अनुक्रम का गुणनफल

See also: गुणन § एक क्रम का गुणनफल

अनुक्रम के गुणनफल के लिए गुणनफल संक्रियक को बड़े ग्रीक अक्षर φ Π द्वारा (बड़े सिग्मा Σ के योग प्रतीक के रूप में उपयोग के अनुरूप) द्वारा निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति $\textstyle \prod _{i=1}^{6}i^{2}$लिखने का एक और तरीका $1\cdot 4\cdot 9\cdot 16\cdot 25\cdot 36$ है।

केवल एक संख्या वाले अनुक्रम का गुणनफल केवल वही संख्या होती है; बिना किसी कारक के गुणनफल को रिक्‍त गुणनफल के रूप में जाना जाता है, और यह 1 के बराबर है।

क्रमविनिमेय वलय

क्रमविनिमेय वलय का एक गुणनफल संक्रिया होती है।

पूर्णांकों के अवशेष वर्ग

Main article: अवशेष वर्ग

वलयों में अवशेष कक्षाएं $\mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$ जोड़ा जा सकता है:

$(a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z}$

और गुणा:

$(a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z}$

संवलन

Main article: संवलन

स्क्वायर वेव का संवलन अपने आप में त्रिकोणीय फलन देता है

वास्तविक से दोफलन को दूसरे तरीके से गुणा किया जा सकता है, जिसे संवलन कहा जाता है।

यदि