श्रृंखला जटिल

गणित में, श्रृंखला संकेतन बीजगणितीय संरचना है जिसमें एबेलियन समूहो (या मॉड्यूल (गणित)) का अनुक्रम होता है और इस प्रकार निरंतर समूहों के बीच समूह समरूपता का अनुक्रम होता रहता है और जैसे कि प्रत्येक समरूपता की छवि (गणित) कर्नेल में सम्मिलित होती है यह ( बीजगणित) या अगले श्रंखला की समूह समरूपताएँ श्रृंखला परिसर से जुड़ी संबद्ध इसकी सह-समरूपत होमोलॉजी होती है, जो बताती है कि छवियों को कर्नेल में कैसे सम्मिलित किया जाता है।

कोचेन कॉम्प्लेक्स श्रंखला कॉम्प्लेक्स के समान होता है,और अतिरिक्त इसके कि इसकी समरूपताएं विपरीत दिशा में होती हैं। कोचेन कॉम्प्लेक्स की समरूपता को इसकी सहसंयोजकता भी कहा जाता है।

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, टोपोलॉजिकल स्पेस इस श्रृंखला परिसर की समरूपता को X की एकवचन समरूपता कहा जाता है, और यह टोपोलॉजिकल स्पेस का सामान्यतः उपयोग किया जाने वाला टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय होता है।

श्रृंखला परिसरों का अध्ययन होमोलॉजिकल बीजगणित में किया जाता है, किन्तु गणित के अनेक क्षेत्रों में भी इसका उपयोग किया जाता है, जिसमें अमूर्त बीजगणित, गैलोइस सिद्धांत, अंतर ज्यामिति और बीजगणितीय ज्यामिति सम्मिलित होते हैं।इस प्रकार इन्हें सामान्यतः एबेलियन श्रेणियों में परिभाषित किया जा सकता है।

परिभाषाएँ

वह शृंखला परिसर $(A_{\bullet },d_{\bullet })$ एबेलियन समूहों या मॉड्यूल का क्रम इस प्रकार है ..., A₀, A₁, A₂, A₃, A₄, ... समरूपताओं के द्वारा जुड़ा हुआ होता हैं| (जिसे सीमा ऑपरेटर या अंतर कहा जाता है) और d_n : A_n → A_n−1, इस प्रकार कि किन्हीं दो निरंतर मानचित्रों की संरचना शून्य मानचित्र होते है। स्पष्ट रूप से, अंतर d_n ∘ d_n+1 = 0, संतुष्ट करते हैं या सूचकांकों को दबाए जानेपर d² = 0. संतुष्ट करते हैं। और कॉम्प्लेक्स को इस प्रकार लिखा जा सकता है|

$\cdots \xleftarrow {d_{0}} A_{0}\xleftarrow {d_{1}} A_{1}\xleftarrow {d_{2}} A_{2}\xleftarrow {d_{3}} A_{3}\xleftarrow {d_{4}} A_{4}\xleftarrow {d_{5}} \cdots$

कोचेन कॉम्प्लेक्स $(A^{\bullet },d^{\bullet })$ श्रृंखला परिसर के लिए दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) धारणा है।और इस प्रकार इसमें एबेलियन समूहों या मॉड्यूल का अनुक्रम सम्मिलित है जो ..., A⁰, A¹, A², A³, A⁴,... समरूपता से जुड़ा हुआ हैं और यह dⁿ : Aⁿ → Aⁿ⁺¹ संतुष्टि देने वाला dⁿ⁺¹ ∘ dⁿ = 0. कोचेन कॉम्प्लेक्स हो सकता हैं और श्रंखला कॉम्प्लेक्स के समान विधियों से लिखा जा सकता है|

$\cdots \xrightarrow {d^{-1}} A^{0}\xrightarrow {d^{0}} A^{1}\xrightarrow {d^{1}} A^{2}\xrightarrow {d^{2}} A^{3}\xrightarrow {d^{3}} A^{4}\xrightarrow {d^{4}} \cdots$

किसी भी n में सूचकांक A_n या Aⁿ को 'डिग्री' (या 'आयाम') के रूप में जाना जाता हैं| श्रंखला और कोचेन कॉम्प्लेक्स के बीच अंतर यह है कि, श्रंखला कॉम्प्लेक्स में, अंतर आयाम को कम करते हैं, जबकि कोचेन कॉम्प्लेक्स में वे आयाम बढ़ाते हैं। इस प्रकार श्रंखला कॉम्प्लेक्स के लिए सभी अवधारणाएं और परिभाषाएं कोचेन कॉम्प्लेक्स पर प्रयुक्त होती हैं, अतिरिक्त इसके कि वे आयाम के लिए इस भिन्न सम्मेलन का पालन करेंगे, और अधिकांशतः शब्दों को उपसर्ग सह- दिया जाएगा। और इस लेख में, श्रृंखला परिसरों के लिए परिभाषाएँ तब दी जाएंगी जब भेद की आवश्यकता नहीं होगी।

एक 'परिबद्ध श्रृंखला कॉम्प्लेक्स' वह है जिसमें लगभग या सभी कार्डिनैलिटी A_n 0 होती है अर्थात्, परिमित संकुल को बायीं और दायीं ओर 0 से बढ़ाया गया है। उदाहरण श्रृंखला संकुल होता है जो परिमित सरल संकुल की सरल समरूपता को परिभाषित करता है। और यदि यह किसी निश्चित डिग्री N से ऊपर के सभी मॉड्यूल 0 हैं, तो श्रंखला कॉम्प्लेक्स ऊपर से घिरा हुआ होता है, और यदि कुछ निश्चित डिग्री N से नीचे के सभी मॉड्यूल 0 होते हैं, तो नीचे से घिरा हुआ होता है। इस प्रकार स्पष्ट रूप से, कॉम्प्लेक्स ऊपर और नीचे दोनों से घिरा हुआ होता है यदि केवल सम्मिश्र घिरा हुआ है|

(सह)श्रृंखला परिसर के व्यक्तिगत समूहों के अवयवों को (सह)श्रृंखला कहा जाता है। और d के कर्नेल में अवयवों को ( सीओ)चक्र (या संवर्त अवयव ) कहा जाता है, और इस प्रकार d की छवि में अवयवों को ( सीओ) सीमाएँ (या स्पष्ट अवयव ) कहा जाता है। अंतर की परिभाषा से ही, सभी सीमाएँ चक्र होते हैं। अर्थात,n-वें ( सीओ) होमोलॉजी समूह H_n (Hⁿ) डिग्री n में ( सीओ) चक्र मॉड्यूलो (शब्दजाल)या संरचनाओं ( सीओ) सीमाओं का समूह होता है|

$H_{n}=\ker d_{n}/{\mbox{im }}d_{n+1}\quad \left(H^{n}=\ker d^{n}/{\mbox{im }}d^{n-1}\right)$

स्पष्ट अनुक्रम

Main article: सटीक क्रम

एक स्पष्ट अनुक्रम (या स्पष्ट कॉम्प्लेक्स) श्रृंखला कॉम्प्लेक्स होता है जिसके सभी समरूप समूह शून्य होते हैं। इसका कारण यह है कि कॉम्प्लेक्स में सभी संवर्त अवयव स्पष्ट होते हैं।और संक्षिप्त स्पष्ट अनुक्रम परिबद्ध स्पष्ट अनुक्रम होते है जिसमें केवल समूह A_k, A_k+1, A_k+2 शून्येतर हो सकता है. उदाहरण के लिए, निम्नलिखित श्रृंखला परिसर संक्षिप्त स्पष्ट अनुक्रम होता है।

$\cdots \xrightarrow {} \;0\;\xrightarrow {} \;\mathbf {Z} \;\xrightarrow {\times p} \;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \;\xrightarrow {} \;0\;\xrightarrow {} \cdots$

मध्य समूह में, संवर्त अवयव अवयव pZ हैं; और ये स्पष्ट रूप से इस समूह के स्पष्ट अवयव होते हैं।

श्रृंखला मानचित्र

दो श्रृंखला परिसरों के बीच श्रृंखला मानचित्र f $(A_{\bullet },d_{A,\bullet })$ और $(B_{\bullet },d_{B,\bullet })$ क्रम है $f_{\bullet }$ समरूपता का $f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}$ प्रत्येक n के लिए जो दो श्रृंखला परिसरों पर सीमा संचालकों के साथ आवागमन करता रहता है, इसलिए $d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}$. इसे निम्नलिखित क्रमविनिमेय चित्र में लिखा गया है।

श्रृंखला मानचित्र चक्रों को चक्रों और सीमाओं को सीमाओं पर भेजता रहता है, और इस प्रकार समरूपता पर मानचित्र उत्पन्न करता है |

$(f_{\bullet })_{*}:H_{\bullet }(A_{\bullet },d_{A,\bullet })\rightarrow H_{\bullet }(B_{\bullet },d_{B,\bullet })$.

टोपोलॉजिकल स्पेस X और Y के बीच सतत मानचित्र f, X और Y के एकल श्रृंखला परिसरों के बीच श्रृंखला मानचित्र को प्रेरित करता है, और इसलिए जब मानचित्र f X और Y की एकवचन समरूपता f के सामान्य होते हैं, तो होमोलॉजी पर प्रेरित मानचित्र निरंतर मानचित्रण की f डिग्री को परिभाषित करता है|

श्रृंखला मानचित्र की अवधारणा श्रृंखला मानचित्र के मानचित्रण शंकु (होमोलॉजिकल बीजगणित) के निर्माण के माध्यम से सीमा तक कम हो जाती है।

श्रृंखला समरूपता

See also: श्रृंखला परिसरों की होमोटोपी श्रेणी

एक श्रृंखला समरूपता दो श्रृंखला मानचित्रों को जोड़ने की विधि प्रदान करती है जो समरूपता समूहों पर ही मानचित्र को प्रेरित करती है, तथापि मानचित्र भिन्न हो सकते हैं। और दो श्रृंखला परिसर Aऔर B दो श्रृंखला मानचित्र दिए गए हैं और f, g : A → B, श्रृंखला समरूपता का क्रम है| h_n : A_n → B_n+1 ऐसा है कि hd_A + d_Bh = f − g. मानचित्रों को इस प्रकार आरेख में लिखा जा सकता है, किन्तु यह आरेख क्रमविनिमेय नहीं होता है।