श्रृंखला जटिल: Difference between revisions

Revision as of 13:08, 10 July 2023

गणित में, श्रृंखला संकेतन बीजगणितीय संरचना है जिसमें एबेलियन समूहो (या मॉड्यूल (गणित)) का अनुक्रम होता है और इस प्रकार निरंतर समूहों के बीच समूह समरूपता का अनुक्रम होता रहता है और जैसे कि प्रत्येक समरूपता की छवि (गणित) कर्नेल में सम्मिलित होती है यह ( बीजगणित) या अगले श्रंखला की समूह समरूपताएँ श्रृंखला परिसर से जुड़ी संबद्ध इसकी सह-समरूपत होमोलॉजी होती है, जो बताती है कि छवियों को कर्नेल में कैसे सम्मिलित किया जाता है।

कोचेन कॉम्प्लेक्स श्रंखला कॉम्प्लेक्स के समान होता है,और सिवाय इसके कि इसकी समरूपताएं विपरीत दिशा में होती हैं। कोचेन कॉम्प्लेक्स की समरूपता को इसकी सहसंयोजकता भी कहा जाता है।

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, टोपोलॉजिकल स्पेस इस श्रृंखला परिसर की समरूपता को X की एकवचन समरूपता कहा जाता है, और यह टोपोलॉजिकल स्पेस का सामान्यतः उपयोग किया जाने वाला टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय होता है।

श्रृंखला परिसरों का अध्ययन होमोलॉजिकल बीजगणित में किया जाता है, किन्तु गणित के कई क्षेत्रों में भी इसका उपयोग किया जाता है, जिसमें अमूर्त बीजगणित, गैलोइस सिद्धांत, अंतर ज्यामिति और बीजगणितीय ज्यामिति सम्मिलित होते हैं।इस प्रकार इन्हें सामान्यतः एबेलियन श्रेणियों में परिभाषित किया जा सकता है।

परिभाषाएँ

एक शृंखला परिसर $(A_{\bullet },d_{\bullet })$ एबेलियन समूहों या मॉड्यूल का क्रम इस प्रकार है ..., A₀, A₁, A₂, A₃, A₄, ... समरूपताओं के द्वारा जुड़ा हुआ होता हैं| (जिसे सीमा ऑपरेटर या अंतर कहा जाता है) और d_n : A_n → A_n−1, इस प्रकार कि किन्हीं दो निरंतर मानचित्रों की संरचना शून्य मानचित्र होते है। स्पष्ट रूप से, अंतर d_n ∘ d_n+1 = 0, संतुष्ट करते हैं या सूचकांकों को दबाए जानेपर d² = 0. संतुष्ट करते हैं। और कॉम्प्लेक्स को इस प्रकार लिखा जा सकता है|

\cdots \xleftarrow {d_{0}} A_{0}\xleftarrow {d_{1}} A_{1}\xleftarrow {d_{2}} A_{2}\xleftarrow {d_{3}} A_{3}\xleftarrow {d_{4}} A_{4}\xleftarrow {d_{5}} \cdots

कोचेन कॉम्प्लेक्स $(A^{\bullet },d^{\bullet })$ श्रृंखला परिसर के लिए दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) धारणा है।और इस प्रकार इसमें एबेलियन समूहों या मॉड्यूल का अनुक्रम सम्मिलित है जो ..., A⁰, A¹, A², A³, A⁴,... समरूपता से जुड़ा हुआ हैं और यह dⁿ : Aⁿ → Aⁿ⁺¹ संतुष्टि देने वाला dⁿ⁺¹ ∘ dⁿ = 0. कोचेन कॉम्प्लेक्स हो सकता हैं और श्रंखला कॉम्प्लेक्स के समान तरीके से लिखा जा सकता है|

\cdots \xrightarrow {d^{-1}} A^{0}\xrightarrow {d^{0}} A^{1}\xrightarrow {d^{1}} A^{2}\xrightarrow {d^{2}} A^{3}\xrightarrow {d^{3}} A^{4}\xrightarrow {d^{4}} \cdots

किसी भी n में सूचकांक A_n या Aⁿ को 'डिग्री' (या 'आयाम') के रूप में जाना जाता हैं| श्रंखला और कोचेन कॉम्प्लेक्स के बीच अंतर यह है कि, श्रंखला कॉम्प्लेक्स में, अंतर आयाम को कम करते हैं, जबकि कोचेन कॉम्प्लेक्स में वे आयाम बढ़ाते हैं। इस प्रकार श्रंखला कॉम्प्लेक्स के लिए सभी अवधारणाएं और परिभाषाएं कोचेन कॉम्प्लेक्स पर प्रयुक्त होती हैं, सिवाय इसके कि वे आयाम के लिए इस अलग सम्मेलन का पालन करेंगे, और अधिकांशतः शब्दों को उपसर्ग सह- दिया जाएगा। और इस लेख में, श्रृंखला परिसरों के लिए परिभाषाएँ तब दी जाएंगी जब भेद की आवश्यकता नहीं होगी।

एक 'परिबद्ध श्रृंखला कॉम्प्लेक्स' वह है जिसमें लगभग या सभी कार्डिनैलिटी A_n 0 होती है अर्थात्, परिमित संकुल को बायीं और दायीं ओर 0 से बढ़ाया गया है। उदाहरण श्रृंखला संकुल होता है जो परिमित सरल संकुल की सरल समरूपता को परिभाषित करता है। और यदि यह किसी निश्चित डिग्री N से ऊपर के सभी मॉड्यूल 0 हैं, तो श्रंखला कॉम्प्लेक्स ऊपर से घिरा हुआ होता है, और यदि कुछ निश्चित डिग्री N से नीचे के सभी मॉड्यूल 0 होते हैं, तो नीचे से घिरा हुआ होता है। इस प्रकार स्पष्ट रूप से, कॉम्प्लेक्स ऊपर और नीचे दोनों से घिरा हुआ होता है यदि केवल जटिल घिरा हुआ है|

(सह)श्रृंखला परिसर के व्यक्तिगत समूहों के तत्वों को (सह)श्रृंखला कहा जाता है। और d के कर्नेल में तत्वों को ( सीओ)चक्र (या बंद तत्व) कहा जाता है, और इस प्रकार d की छवि में तत्वों को ( सीओ) सीमाएँ (या स्पष्ट तत्व) कहा जाता है। अंतर की परिभाषा से ही, सभी सीमाएँ चक्र होते हैं। अर्थात,n-वें ( सीओ) होमोलॉजी समूह H_n (Hⁿ) डिग्री n में ( सीओ) चक्र मॉड्यूलो (शब्दजाल)या संरचनाओं ( सीओ) सीमाओं का समूह होता है|

H_{n}=\ker d_{n}/{\mbox{im }}d_{n+1}\quad \left(H^{n}=\ker d^{n}/{\mbox{im }}d^{n-1}\right)

स्पष्ट अनुक्रम

एक स्पष्ट अनुक्रम (या स्पष्ट कॉम्प्लेक्स) श्रृंखला कॉम्प्लेक्स होता है जिसके सभी समरूप समूह शून्य होते हैं। इसका कारण यह है कि कॉम्प्लेक्स में सभी बंद तत्व स्पष्ट होते हैं।और संक्षिप्त स्पष्ट अनुक्रम परिबद्ध स्पष्ट अनुक्रम होते है जिसमें केवल समूहA_k, A_k₊₁, A_k₊₂ शून्येतर हो सकता है. उदाहरण के लिए, निम्नलिखित श्रृंखला परिसर संक्षिप्त स्पष्ट अनुक्रम होता है।

\cdots \xrightarrow {} \;0\;\xrightarrow {} \;\mathbf {Z} \;\xrightarrow {\times p} \;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \;\xrightarrow {} \;0\;\xrightarrow {} \cdots

मध्य समूह में, बंद तत्व तत्व pZ हैं; और ये स्पष्ट रूप से इस समूह के स्पष्ट तत्व होते हैं।

श्रृंखला मानचित्र

दो श्रृंखला परिसरों के बीच श्रृंखला मानचित्र f $(A_{\bullet },d_{A,\bullet })$ और $(B_{\bullet },d_{B,\bullet })$ क्रम है $f_{\bullet }$

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 {{See also|श्रृंखला परिसरों की होमोटोपी श्रेणी}}
-एक श्रृंखला समरूपता दो श्रृंखला मानचित्रों को जोड़ने की विधि प्रदान करती है जो समरूपता समूहों पर ही मानचित्र को प्रेरित करती है, तथापि मानचित्र भिन्न हो सकते हैं। दो श्रृंखला परिसर ''A''और ''B'' और दो श्रृंखला मानचित्र दिए गए हैं ''f'', ''g'' : ''A'' → ''B'', श्रृंखला समरूपता समरूपता का क्रम है {{nowrap|''h''<sub>''n''</sub> : ''A''<sub>''n''</sub> → ''B''<sub>''n''+1</sub>}} ऐसा है कि {{nowrap|1=''hd''<sub>''A''</sub> + ''d''<sub>''B''</sub>''h'' = ''f'' − ''g''}}. मानचित्रों को इस प्रकार आरेख में लिखा जा सकता है, किन्तुयह आरेख क्रमविनिमेय नहीं है।
+एक श्रृंखला समरूपता दो श्रृंखला मानचित्रों को जोड़ने की विधि प्रदान करती है जो समरूपता समूहों पर ही मानचित्र को प्रेरित करती है, तथापि मानचित्र भिन्न हो सकते हैं। और दो श्रृंखला परिसर ''A''और ''B'' दो श्रृंखला मानचित्र दिए गए हैं और ''f'', ''g'' : ''A'' → ''B'', श्रृंखला समरूपता '''समरूपता''' का क्रम है| {{nowrap|''h''<sub>''n''</sub> : ''A''<sub>''n''</sub> → ''B''<sub>''n''+1</sub>}} ऐसा है कि {{nowrap|1=''hd''<sub>''A''</sub> + ''d''<sub>''B''</sub>''h'' = ''f'' − ''g''}}. मानचित्रों को इस प्रकार आरेख में लिखा जा सकता है, किन्तु यह आरेख क्रम विनिमेय नहीं होता है।
 :[[Image:Chain homotopy between chain complexes.svg|650 पीएक्स]]
-:मानचित्र ''hd<sub>A</sub>'' + ''d<sub>B</sub>h'' किसी भी '''एच''' के लिए [[होमोटॉपी]] पर शून्य मानचित्र को प्रेरित करने के लिए ''h'' को आसानी से सत्यापित किया जाता है। यह तुरंत इस प्रकार है कि ''f'' और ''g'' होमोलॉजी पर ही मानचित्र उत्पन्न करते हैं। का कहना है कि ''f'' और ''g'' 'श्रृंखला होमोटोपिक' (या बस 'होमोटोपिक') हैं, और यह संपत्ति श्रृंखला मानचित्रों के बीच तुल्यता संबंध को परिभाषित करती है।
+:मानचित्र ''hd<sub>A</sub>'' + ''d<sub>B</sub>h'' किसी भी ''h'' के लिए [[होमोटॉपी]] पर शून्य मानचित्र को प्रेरित करने के लिए ''h'' को आसानी से सत्यापित किया जाता है। यह '''तुरंत''' इस प्रकार है कि ''f'' और ''g'' होमोलॉजी पर ही मानचित्र उत्पन्न करते हैं। जिसका कहना है कि ''f'' और ''g'' 'श्रृंखला होमोटोपिक' (या बस 'होमोटोपिक') होता हैं, और यह संपत्ति श्रृंखला मानचित्रों के बीच तुल्यता संबंध को परिभाषित करती है।
-मान लीजिए कि X और Y टोपोलॉजिकल स्पेस हैं। एकवचन समरूपता के स्थितियोंमें, निरंतर मानचित्रों {{nowrap|''f'', ''g'' : ''X'' → ''Y''}} के बीच समरूपता
+मान लीजिए कि X और Y टोपोलॉजिकल स्पेस हैं। एकवचन समरूपता के स्थितियों में, निरंतर मानचित्रों {{nowrap|''f'', ''g'' : ''X'' → ''Y''}} के बीच समरूपता होती हैं |
-f और g के अनुरूप श्रृंखला मानचित्रों के बीच श्रृंखला समरूपता उत्पन्न करता है। इससे पता चलता है कि दो समस्थानिक मानचित्र एकवचन समरूपता पर ही मानचित्र को प्रेरित करते हैं। नाम श्रृंखला होमोटॉपी इस उदाहरण से प्रेरित है।
+f और g के अनुरूप श्रृंखला मानचित्रों के बीच श्रृंखला समरूपता उत्पन्न करता है। इससे पता चलता है कि दो समस्थानिक मानचित्र एकवचन समरूपता पर ही मानचित्र को प्रेरित करते हैं।और नाम श्रृंखला होमोटॉपी इस उदाहरण से प्रेरित करती है।
-मान लीजिए कि X और Y टोपोलॉजिकल स्पेस हैं। एकवचन समरूपता के मामले में, निरंतर मानचित्रों f, g : X → Y के बीच समरूपता, f और g के अनुरूप श्रृंखला मानचित्रों के बीच श्रृंखला समरूपता उत्पन्न करती है। इससे पता चलता है कि दो समस्थानिक मानचित्र एकवचन समरूपता पर ही मानचित्र को प्रेरित करते हैं। "श्रंखला होमोटॉपी" नाम इस उदाहरण से प्रेरित है।
+मान लीजिए कि X और Y टोपोलॉजिकल स्पेस हैं। एकवचन समरूपता के स्तिथियों में, निरंतर मानचित्रों f, g : X → Y के बीच समरूपता, f और g के अनुरूप श्रृंखला मानचित्रों के बीच श्रृंखला समरूपता उत्पन्न करती है। तथा इससे पता चलता है कि दो समस्थानिक मानचित्र एकवचन समरूपता पर ही मानचित्र को प्रेरित करते हैं। और "श्रंखला होमोटॉपी" नाम इस उदाहरण से प्रेरित करती है।
 ==उदाहरण==
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 {{main|एकवचन समरूपता}}
-''X'' को टपॉलजी का मूल्य रहने दें। [[प्राकृतिक संख्या]] ''n'' के लिए ''C<sub>n</sub>''(''X'') को परिभाषित करें स्वतंत्र एबेलियन समूह औपचारिक रूप से एकवचन होमोलॉजी द्वारा उत्पन्न होता है | ''X'' में एकवचन n- सिम्प्लिसेस, और सीमा मानचित्र को परिभाषित करें <math>\partial_n: C_n(X) \to C_{n-1}(X)</math> होना
+''X'' को टपॉलजी का मूल्य रहने दें। [[प्राकृतिक संख्या]] ''n'' के लिए ''C<sub>n</sub>''(''X'') को परिभाषित करें स्वतंत्र एबेलियन समूह औपचारिक रूप से एकवचन होमोलॉजी द्वारा उत्पन्न होता है |और ''X'' में एकवचन n- सिम्प्लिसेस, और सीमा मानचित्र <math>\partial_n: C_n(X) \to C_{n-1}(X)</math> को परिभाषित करें |
 ::<math>\partial_n : \, (\sigma: [v_0,\ldots,v_n] \to X) \mapsto (\sum_{i=0}^n (-1)^i \sigma: [v_0,\ldots, \hat v_i, \ldots, v_n] \to X)</math>
-जहां टोपी [[शीर्ष (ज्यामिति)]] के लोप को दर्शाती है। अर्थात्, विलक्षण सिम्प्लेक्स की सीमा उसके चेहरों पर प्रतिबंधों का वैकल्पिक योग है। यह दिखाया जा सकता है कि ∂<sup>2</sup>=0, अतः <math>(C_\bullet, \partial_\bullet)</math> श्रृंखला जटिल है; एकवचन समरूपता <math>H_\bullet(X)</math> इस परिसर की समरूपता है।
+जहां टोपी [[शीर्ष (ज्यामिति)]] के लोप को दर्शाती है। अर्थात्, विलक्षण सिम्प्लेक्स की सीमा उसके चेहरों पर प्रतिबंधों का वैकल्पिक योग होता है।और यह दिखाया जा सकता है कि ∂<sup>2</sup>=0, अतः <math>(C_\bullet, \partial_\bullet)</math> श्रृंखला जटिल है;और एकवचन समरूपता <math>H_\bullet(X)</math> इस परिसर की समरूपता है।
-सिंगुलर होमोलॉजी होमोटॉपी या होमोटॉपी समकक्ष तक टोपोलॉजिकल स्पेस का उपयोगी अपरिवर्तनीय है। डिग्री शून्य होमोलॉजी समूह ''X'' के पथ-घटकों पर मुक्त एबेलियन समूह है।
+सिंगुलर होमोलॉजी होमोटॉपी या होमोटॉपी समकक्ष तक टोपोलॉजिकल स्पेस का उपयोगी अपरिवर्तनीय है।इस प्रकार डिग्री शून्य होमोलॉजी समूह ''X'' के पथ-घटकों पर मुक्त एबेलियन समूह होता है।
-सिंगुलर होमोलॉजी, होमोटॉपी तुल्यता तक टोपोलॉजिकल स्पेस का उपयोगी अपरिवर्तनीय है। डिग्री शून्य होमोलॉजी समूह एक्स के पथ-घटकों पर मुक्त एबेलियन समूह है।
+सिंगुलर होमोलॉजी, होमोटॉपी तुल्यता तक टोपोलॉजिकल स्पेस का उपयोगी अपरिवर्तनीय है। तथा डिग्री शून्य होमोलॉजी समूह ''X'' के पथ-घटकों पर मुक्त एबेलियन समूह है।
 === मेमने जैसा गर्भ ===

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