एक बहुपद की घात

गणित में, एक बहुपद की घात, शून्य गुणांकों वाले बहुपद मोनोमियल(अलग-अलग शब्दों) की उच्चतम घात होती है। एक शब्द की घात उस में दिखाई देने वाले चर (गणित) के प्रतिपादकों का योग है, और इस प्रकार एक गैर नकारात्मक पूर्णांक है। एक बहुपद के लिए, बहुपद की घात केवल बहुपद में उत्पन्न उच्चतम प्रतिपादक है। शब्द क्रम का प्रयोग घात के पर्यायार्थ के रूप में किया गया है, लेकिन आजकल, यह अनेक अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में(बहुपद) बहुविकल्पी व्यवस्था को दर्शाता है।)

उदाहरण के लिए, बहुपद $7x^{2}y^{3}+4x-9,$ जो भी लिखा जा सकता है $7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},$ तीन शब्द है। पहले पद का घात 5 है(घातांक 2 और 3 का योग), दूसरे पद का घात 1 है, और अंतिम पद का घात 0 है। इसलिए बहुपद की घात 5 है जो किसी भी पद की उच्चतम घात है।

एक बहुपद की घात निर्धारित करने के लिए जो मानक रूप में नहीं है, जैसे कि $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}$, कोई भी इसे उत्पादों (वितरण द्वारा) के विस्तार और समान शर्तों के संयोजन द्वारा मानक रूप में रख सकता है; उदाहरण के लिए, $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x$ की घात 1 है, चूंकि प्रत्येक शिखर की घात 2 है। चूंकि, यह तब आवश्यक नहीं है जब बहुपद को मानक रूप में एक उत्पाद के रूप में लिखा जाता है क्योंकि एक उत्पाद की घात कारकों की घात का योग है।

घात के अनुसार बहुपदों के नाम

बहुपदों को उनकी घात के अनुसार निम्नलिखित नाम दिए गए हैं:

• विशेष स्थिति - शून्य बहुपद(नीचे शून्य बहुपद की घात देखें)
• घात 0 - गैर-शून्य निरंतर
• घात 1 - रैखिक
• घात 2 - द्विघात
• घात 3 - घन
• घात 4 - क्वार्टिक (या, यदि सभी शर्तों में भी घात, द्विद्विघात है)
• घात 5 - क्विंटिक
• घात 6 - सेक्स्टिक (या, सामान्य रूप से कम, हेसिक)
• घात 7 - सेप्टिक (या, सामान्य रूप से कम, हेप्टिक)

उच्चतर पद के लिए, कभी-कभी प्रस्ताव रखा जाता है, लेकिन वे शायद ही कभी उपयोग किया जाता है:

• घात 8 - ओक्टिक
• घात 9 - नॉनिक
• घात 10 - डेसिक

तीन से ऊपर की घात के लिए नाम लैटिन क्रम संख्या पर आधारित होते हैं, और अंत-आईसी (ic) में होते हैं। यह चर की संख्या के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों से अलग होना चाहिए, एरिटी, जो लैटिन में वितरण संख्या पर आधारित है, और -ary में समाप्त होता है। उदाहरण के लिए, एक घात दो बहुपद जैसे दो चर में दो बहुपद $x^{2}+xy+y^{2}$, को "द्विआधारी द्विघात" कहा जाता है: द्विआधारी कारण दो चर, द्विघात घात दो के कारण होता है। शब्दों की संख्या के लिए भी नाम हैं, जो भी लैटिन वितरक संख्याओं पर आधारित हैं, जो कि -नॉमियल में समाप्त होता है; आम एकपद, द्विपद और (कम सामान्यतः) त्रिपद होते हैं; इस प्रकार $x^{2}+y^{2}$ एक "द्विआधारी द्विपद" होता है।

उदाहरण

बहुपद $(y-3)(2y+6)(-4y-21)$ एक घन बहुपद हैः बाहर गुणा और एक ही घात के शब्दों का संग्रह के बाद, यह हो जाता है $-8y^{3}-42y^{2}+72y+378$, उच्चतम घातांक 3 के साथ।

बहुपद $(3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)$ एक क्विंटिक बहुपद है: समान पदों को मिलाने पर, घात 8 के दो पद रद्द हो जाते हैं, छोड़कर $z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6$, सर्वोच्च घातांक 5 के साथ।

बहुपद संचालन के तहत व्यवहार

योग की घात, उत्पाद या दो बहुपदों का संयोजन निवेश बहुपदों की घात से दृढ़ता से संबंधित है।

जोड़

दो बहुपदों के योग (या अंतर) की घात उनकी उपाधियों से कम या बराबर है;अर्थात्,

$\deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}$ तथा $\deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}$.

उदाहरण के लिए, की घात $$