K3 सतह: Difference between revisions

Revision as of 07:25, 22 July 2023

3-स्पेस में स्मूथ चतुर्थक सतह यह आंकड़ा निश्चित जटिल K3 सतह (जटिल आयाम 2, इसलिए वास्तविक आयाम 4) में तर्कसंगत बिंदु (वास्तविक आयाम 2 का) का भाग प्रदर्शित करता है।

Dans la seconde partie de mon rapport, il s'agit des variétés kählériennes dites K3, ainsi nommées en l'honneur de Kummer, Kähler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire.

In the second part of my report, we deal with the Kähler varieties known as K3, named in honor of Kummer, Kähler, Kodaira and of the beautiful mountain K2 in Kashmir.

André Weil (1958, p. 546), describing the reason for the name "K3 surface"

गणित में, जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह तुच्छ विहित बंडल और सतह शून्य की अनियमितता के साथ आयाम 2 का कॉम्पैक्ट कनेक्टेड जटिल विविध है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर (बीजगणितीय) K3 सतह का अर्थ है स्मूथ योजना उचित आकारवाद ज्यामितीय रूप से जुड़ी बीजगणितीय सतह जो समान स्थितियों को संतुष्ट करती है। सतहों के एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण में, K3 सतहें कोडैरा आयाम शून्य की न्यूनतम सतहों के चार वर्गों में से एक बनाती हैं। सरल उदाहरण फ़र्मेट चतुर्थक सतह है:-

x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0

जटिल प्रक्षेप्य 3-स्थान में द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट जटिल टोरी के साथ, K3 सतहें आयाम दो के कैलाबी-याउ विविध (और हाइपरकेहलर विविध) हैं। इस प्रकार, वे सकारात्मक रूप से घुमावदार डेल पेज़ो सतहों (जिन्हें वर्गीकृत करना सरल है) और सामान्य प्रकार की नकारात्मक घुमावदार सतहों (जो अनिवार्य रूप से अवर्गीकृत हैं) के मध्य, बीजीय सतहों के वर्गीकरण के केंद्र में हैं। K3 सतहों को सबसे सरल बीजगणितीय प्रकारें माना जा सकता है जिनकी संरचना बीजगणितीय वक्र या एबेलियन प्रकारों तक कम नहीं होती है, और फिर भी जहां पर्याप्त समझ संभव है। जटिल K3 सतह का वास्तविक आयाम 4 है, और यह स्मूथ 4-कई गुना के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। K3 सतहों को काक-मूडी बीजगणित, दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत) और स्ट्रिंग सिद्धांत पर प्रस्तावित किया गया है।

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के भाग के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के सम्बन्ध में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय प्रकारो में ऐसी गैर-बीजगणितीय विकृतियाँ नहीं होती हैं।

परिभाषा

K3 सतहों को परिभाषित करने के कई समान उपाय हैं। तुच्छ विहित बंडल वाली मात्र कॉम्पैक्ट जटिल सतहें K3 और कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी हैं, और इसलिए कोई K3 सतहों को परिभाषित करने के लिए पश्चात् वाले को त्यागकर किसी भी नियम को जोड़ सकता है। उदाहरण के लिए, यह जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह को आयाम 2 के सरल रूप से जुड़े हुए कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित करने के समान है, जिसमें कहीं भी गायब नहीं होने वाला होलोमोर्फिक विभेदक रूप है। (पश्चात् वाले नियम यही कहते है कि विहित बंडल तुच्छ है।)

परिभाषा के कुछ प्रकार भी हैं। जटिल संख्याओं पर, कुछ लेखक केवल बीजीय K3 सतहों पर विचार करते हैं। ( बीजगणितीय K3 सतह स्वचालित रूप से प्रक्षेप्य प्रकार है।^[1]) या कोई K3 सतहों को स्मूथ होने के अतिरिक्त डु वैल विलक्षणताएं (आयाम 2 की विहित विलक्षणताएं) रखने की अनुमति प्रदान कर सकता है।

बेट्टी संख्या की गणना

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह की बेट्टी संख्याओं की गणना निम्नानुसार की जाती है।^[2] ( समान तर्क एल-एडिक कोहोमोलॉजी का उपयोग करके परिभाषित किसी भी क्षेत्र पर बीजगणितीय K3 सतह की बेट्टी संख्याओं के लिए समान उत्तर देता है।) परिभाषा के अनुसार, विहित बंडल $K_{X}=\Omega _{X}^{2}$ तुच्छ है, और अनियमितता q(X) (आयाम $h^{1}(X,O_{X})$ सुसंगत शीफ़ कोहोमोलॉजी समूह का $H^{1}(X,O_{X})$ ) शून्य है. सेरे द्वैत द्वारा,

h^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=h^{0}(X,K_{X})=1.

परिणामस्वरूप, X का अंकगणितीय जीनस (या होलोमोर्फिक यूलर विशेषता) है:

\chi (X,{\mathcal {O}}_{X}):=\sum _{i}(-1)^{i}h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X})=1-0+1=2.

दूसरी ओर, सतहों के लिए रीमैन-रोच प्रमेय (नोएदर का सूत्र) कहता है:

\chi (X,{\mathcal {O}}_{X})={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right),

जहाँ $c_{i}(X)$ स्पर्शरेखा बंडल का i-वाँ चेर्न वर्ग है। तब से $K_{X}$ तुच्छ है, इसकी प्रथम चेर्न क्लास $c_{1} (K_{X}) = - c_{1}$

[1]

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 == पिकार्ड जाली ==
-जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के [[पिकार्ड समूह]] Pic(X) का अर्थ है X पर जटिल विश्लेषणात्मक रेखा बंडलों का एबेलियन समूह। बीजीय K3 सतह के लिए, Pic(X) का अर्थ है [[ जीन पियरे सेरे |जीन पियरे सेरे]] के [[GAGA]] प्रमेय द्वारा जटिल बीजगणितीय K3 सतह के लिए।
+जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के [[पिकार्ड समूह]] पिक(X) का अर्थ है X पर जटिल विश्लेषणात्मक रेखा बंडलों का एबेलियन समूह बीजीय K3 सतह के लिए, पिक(X) का अर्थ है [[ जीन पियरे सेरे |जीन पियरे सेरे]] के [[GAGA]] प्रमेय द्वारा जटिल बीजगणितीय K3 सतह के लिए।
-K3 सतह X का पिकार्ड समूह हमेशा सीमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह मुक्त एबेलियन समूह होता है; इसकी रैंक को 'पिकार्ड नंबर' कहा जाता है <math>\rho</math>. जटिल  सम्बन्ध में, Pic(X) का उपसमूह है <math>H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}</math>. यह K3 सतहों की महत्वपूर्ण विशेषता है कि कई अलग-अलग पिकार्ड संख्याएँ हो सकती हैं। X के लिए जटिल बीजगणितीय K3 सतह, <math>\rho</math> 1 और 20 के मध्य कोई भी पूर्णांक हो सकता है। जटिल विश्लेषणात्मक  सम्बन्ध में, <math>\rho</math> शून्य भी हो सकता है. (उस स्थिति में, K3 सतह पर, पिकार्ड संख्या 22 के साथ।
+K3 सतह X का पिकार्ड समूह हमेशा सीमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह मुक्त एबेलियन समूह होता है; इसकी रैंक को 'पिकार्ड नंबर' कहा जाता है <math>\rho</math>. जटिल  सम्बन्ध में, पिक(X) का उपसमूह है <math>H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}</math>. यह K3 सतहों की महत्वपूर्ण विशेषता है कि कई अलग-अलग पिकार्ड संख्याएँ हो सकती हैं। X के लिए जटिल बीजगणितीय K3 सतह, <math>\rho</math> 1 और 20 के मध्य कोई भी पूर्णांक हो सकता है। जटिल विश्लेषणात्मक  सम्बन्ध में, <math>\rho</math> शून्य भी हो सकता है. (उस स्थिति में, K3 सतह पर, पिकार्ड संख्या 22 के साथ।
-K3 सतह के 'पिकार्ड जाली' का अर्थ है एबेलियन समूह Pic(X) इसके प्रतिच्छेदन रूप के साथ, पूर्णांकों में मानों के साथ सममित द्विरेखीय रूप। (ऊपर <math>\Complex</math>, प्रतिच्छेदन प्रपत्र का अर्थ है प्रतिच्छेदन प्रपत्र पर प्रतिबंध <math>H^2(X,\Z)</math>. सामान्य क्षेत्र पर, [[विभाजक वर्ग समूह]] के साथ पिकार्ड समूह की पहचान करके, सतह पर वक्रों के [[प्रतिच्छेदन सिद्धांत]] का उपयोग करके प्रतिच्छेदन रूप को परिभाषित किया जा सकता है।) K3 सतह का पिकार्ड जाली हमेशा सम होती है, जिसका अर्थ है कि पूर्णांक <math>u^2</math> प्रत्येक के लिए सम है <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math>.
+K3 सतह के 'पिकार्ड जाली' का अर्थ है एबेलियन समूह पिक(X) इसके प्रतिच्छेदन रूप के साथ, पूर्णांकों में मानों के साथ सममित द्विरेखीय रूप। (ऊपर <math>\Complex</math>, प्रतिच्छेदन प्रपत्र का अर्थ है प्रतिच्छेदन प्रपत्र पर प्रतिबंध <math>H^2(X,\Z)</math>. सामान्य क्षेत्र पर, [[विभाजक वर्ग समूह]] के साथ पिकार्ड समूह की पहचान करके, सतह पर वक्रों के [[प्रतिच्छेदन सिद्धांत]] का उपयोग करके प्रतिच्छेदन रूप को परिभाषित किया जा सकता है।) K3 सतह का पिकार्ड जाली हमेशा सम होती है, जिसका अर्थ है कि पूर्णांक <math>u^2</math> प्रत्येक के लिए सम है <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math>.
 [[हॉज सूचकांक प्रमेय]] का तात्पर्य है कि बीजगणितीय K3 सतह के पिकार्ड जाली में हस्ताक्षर हैं <math>(1,\rho-1)</math>. K3 सतह के कई गुण पूर्णांकों पर सममित द्विरेखीय रूप के रूप में, इसके पिकार्ड जाली द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। इससे K3 सतहों के सिद्धांत और सममित द्विरेखीय रूपों के अंकगणित के मध्य मजबूत संबंध बनता है। इस कनेक्शन के पहले उदाहरण के रूप में: जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह बीजगणितीय है यदि और केवल यदि कोई तत्व है <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math> साथ <math>u^2>0</math>.<ref>Barth et al. (2004), Theorem 6.1.</ref>
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 बीजगणितीय K3 सतहों की उल्लेखनीय विशेषता यह है कि पिकार्ड जाली सतह के कई ज्यामितीय गुणों को निर्धारित करती है, जिसमें पर्याप्त विभाजक के [[उत्तल शंकु]] (पिकार्ड जाली के ऑटोमोर्फिज्म तक) शामिल हैं। पर्याप्त शंकु पिकार्ड जाली द्वारा निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है। हॉज इंडेक्स प्रमेय के अनुसार, वास्तविक वेक्टर स्थान पर प्रतिच्छेदन बनता है <math>N^1(X):=\operatorname{Pic}(X)\otimes\R</math> हस्ताक्षर है <math>(1,\rho-1)</math>. यह इस प्रकार है कि तत्वों का सेट <math>N^1(X)</math> सकारात्मक स्व-प्रतिच्छेदन के साथ दो जुड़े हुए घटक (टोपोलॉजी) हैं। धनात्मक शंकु को वह घटक कहें जिसमें ''X'' पर कोई पर्याप्त भाजक हो।
-केस 1: Pic(''X'') का कोई तत्व ''u'' नहीं है <math>u^2=-2</math>. तब पर्याप्त शंकु धनात्मक शंकु के समान होता है। इस प्रकार यह मानक गोल शंकु है।
+केस 1: पिक(''X'') का कोई तत्व ''u'' नहीं है <math>u^2=-2</math>. तब पर्याप्त शंकु धनात्मक शंकु के समान होता है। इस प्रकार यह मानक गोल शंकु है।
 केस 2: अन्यथा, चलो <math>\Delta=\{u\in\operatorname{Pic}(X):u^2=-2\}</math>, पिकार्ड जाली की जड़ों का समूह। जड़ों के [[ऑर्थोगोनल पूरक]] हाइपरप्लेन का सेट बनाते हैं जो सभी सकारात्मक शंकु से गुजरते हैं। फिर पर्याप्त शंकु सकारात्मक शंकु में इन हाइपरप्लेन के पूरक का जुड़ा घटक है। ऐसे कोई भी दो घटक जाली पिक (''्स'') के ऑर्थोगोनल समूह के माध्यम से आइसोमोर्फिक हैं, क्योंकि इसमें प्रत्येक रूट हाइपरप्लेन में [[प्रतिबिंब (गणित)]] शामिल है। इस अर्थ में, पिकार्ड जाली समरूपता तक पर्याप्त शंकु निर्धारित करती है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.2.11.</ref>
-सैंडोर कोवाक्स के कारण संबंधित कथन यह है कि Pic(X) में पर्याप्त भाजक A को जानने से X के वक्रों का पूरा शंकु निर्धारित होता है। अर्थात्, मान लीजिए कि X के पास पिकार्ड संख्या है <math>\rho\geq 3</math>. यदि जड़ों का समुच्चय <math>\Delta</math> खाली है, तो वक्रों का बंद शंकु धनात्मक शंकु का बंद होना है। अन्यथा, वक्रों का बंद शंकु सभी तत्वों द्वारा फैला हुआ बंद उत्तल शंकु है <math>u\in\Delta</math> साथ <math>A\cdot u>0</math>. पहले  सम्बन्ध में, X में कोई (−2)-वक्र नहीं है; दूसरे  सम्बन्ध में, वक्रों का बंद शंकु सभी (−2)-वक्रों द्वारा फैला हुआ बंद उत्तल शंकु है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.3.12.</ref> (अगर <math>\rho=2</math>, अन्य संभावना है: वक्रों का शंकु (−2)-वक्र और स्व-प्रतिच्छेदन 0 के साथ वक्र द्वारा फैलाया जा सकता है।) इसलिए वक्रों का शंकु या तो मानक गोल शंकु है, या फिर इसमें तेज कोने हैं (क्योंकि प्रत्येक (−2)-वक्र वक्रों के शंकु की पृथक चरम किरण तक फैला होता है)।
+सैंडोर कोवाक्स के कारण संबंधित कथन यह है कि पिक(X) में पर्याप्त भाजक A को जानने से X के वक्रों का पूरा शंकु निर्धारित होता है। अर्थात्, मान लीजिए कि X के पास पिकार्ड संख्या है <math>\rho\geq 3</math>. यदि जड़ों का समुच्चय <math>\Delta</math> खाली है, तो वक्रों का बंद शंकु धनात्मक शंकु का बंद होना है। अन्यथा, वक्रों का बंद शंकु सभी तत्वों द्वारा फैला हुआ बंद उत्तल शंकु है <math>u\in\Delta</math> साथ <math>A\cdot u>0</math>. पहले  सम्बन्ध में, X में कोई (−2)-वक्र नहीं है; दूसरे  सम्बन्ध में, वक्रों का बंद शंकु सभी (−2)-वक्रों द्वारा फैला हुआ बंद उत्तल शंकु है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.3.12.</ref> (अगर <math>\rho=2</math>, अन्य संभावना है: वक्रों का शंकु (−2)-वक्र और स्व-प्रतिच्छेदन 0 के साथ वक्र द्वारा फैलाया जा सकता है।) इसलिए वक्रों का शंकु या तो मानक गोल शंकु है, या फिर इसमें तेज कोने हैं (क्योंकि प्रत्येक (−2)-वक्र वक्रों के शंकु की पृथक चरम किरण तक फैला होता है)।
 ==ऑटोमोर्फिज्म समूह==
-बीजगणितीय प्रकारों के मध्य K3 सतहें कुछ हद तक असामान्य हैं क्योंकि उनके ऑटोमोर्फिज्म समूह अनंत, असतत और अत्यधिक नॉनबेलियन हो सकते हैं। टोरेली प्रमेय के संस्करण के अनुसार, जटिल बीजगणितीय K3 सतह X का पिकार्ड जाली [[अनुरूपता (समूह सिद्धांत)]] तक X के ऑटोमोर्फिज्म समूह को निर्धारित करता है। अर्थात्, मान लें कि 'वेइल समूह' W जड़ों के सेट में प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न ऑर्थोगोनल समूह O(Pic(X)) का उपसमूह है <math>\Delta</math>. तब W, O(Pic(X)) का [[सामान्य उपसमूह]] है, और X का ऑटोमोर्फिज्म समूह भागफल समूह O(Pic(X))/W के अनुरूप है। हंस स्टर्क के कारण संबंधित कथन यह है कि ऑट (्स) तर्कसंगत पॉलीहेड्रल [[मौलिक डोमेन]] के साथ ्स के नेफ शंकु पर कार्य करता है।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 8.4.2.</ref>
+बीजगणितीय प्रकारों के मध्य K3 सतहें कुछ हद तक असामान्य हैं क्योंकि उनके ऑटोमोर्फिज्म समूह अनंत, असतत और अत्यधिक नॉनबेलियन हो सकते हैं। टोरेली प्रमेय के संस्करण के अनुसार, जटिल बीजगणितीय K3 सतह X का पिकार्ड जाली [[अनुरूपता (समूह सिद्धांत)]] तक X के ऑटोमोर्फिज्म समूह को निर्धारित करता है। अर्थात्, मान लें कि 'वेइल समूह' W जड़ों के सेट में प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न ऑर्थोगोनल समूह O(पिक(X)) का उपसमूह है <math>\Delta</math>. तब W, O(पिक(X)) का [[सामान्य उपसमूह]] है, और X का ऑटोमोर्फिज्म समूह भागफल समूह O(पिक(X))/W के अनुरूप है। हंस स्टर्क के कारण संबंधित कथन यह है कि ऑट (्स) तर्कसंगत पॉलीहेड्रल [[मौलिक डोमेन]] के साथ ्स के नेफ शंकु पर कार्य करता है।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 8.4.2.</ref>
 == स्ट्रिंग द्वंद्व से संबंध ==

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