तर्कवाद: Difference between revisions
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गणित के दर्शन में, [[तर्क]]वाद | गणित के दर्शन में, '''[[तर्क]]वाद''' फलन है जो एक या एक से अधिक सिद्धांतों से मिलकर बना है - 'तर्क' के कुछ सुसंगत अर्थ के लिए - गणित तर्क का विस्तार है, कुछ या सभी गणित तर्क में [[कमी (दर्शन)]] है, या कुछ या संपूर्ण गणित तर्क में [[मॉडल सिद्धांत]] हो सकता है।<ref>[http://www.philosophyprofessor.com/philosophies/logicism.php Logicism]. {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080220075703/http://www.philosophyprofessor.com/philosophies/logicism.php|date=2008-02-20}}.</ref> [[बर्ट्रेंड रसेल]] और [[अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड]] ने इस फलन का समर्थन किया, जो [[भगवान का शुक्र है फ्रीज]] द्वारा शुरू किया गया था और बाद में [[रिचर्ड डेडेकाइंड]] और ग्यूसेप पीनो द्वारा विकसित किया गया था। | ||
== सिंहावलोकन == | == सिंहावलोकन == | ||
डेडेकाइंड के तर्कवाद के पथ में महत्वपूर्ण मोड़ आया जब वह परिमेय संख्या के कुछ सेटों का उपयोग करके [[वास्तविक संख्या]]ओं की विशेषता बताने वाले [[स्वयंसिद्ध]] को संतुष्ट करने वाला मॉडल बनाने में सक्षम हुआ। इससे और संबंधित विचारों ने उन्हें आश्वस्त किया कि अंकगणित, बीजगणित और विश्लेषण को प्राकृतिक संख्याओं के साथ-साथ कक्षाओं के तर्क में भी घटाया जा सकता है। इसके अलावा 1872 तक उन्होंने यह निष्कर्ष निकाला था कि नेचुरल्स स्वयं सेट और मैपिंग के लिए कम करने योग्य थे। यह संभव है कि अन्य तर्कशास्त्री, विशेष रूप से फ़्रीज, भी वर्ष 1872 में प्रकाशित वास्तविक संख्याओं के नए सिद्धांतों द्वारा निर्देशित थे। | डेडेकाइंड के तर्कवाद के पथ में महत्वपूर्ण मोड़ आया जब वह परिमेय संख्या के कुछ सेटों का उपयोग करके [[वास्तविक संख्या]]ओं की विशेषता बताने वाले [[स्वयंसिद्ध]] को संतुष्ट करने वाला मॉडल बनाने में सक्षम हुआ। इससे और संबंधित विचारों ने उन्हें आश्वस्त किया कि अंकगणित, बीजगणित और विश्लेषण को प्राकृतिक संख्याओं के साथ-साथ कक्षाओं के तर्क में भी घटाया जा सकता है। इसके अलावा 1872 तक उन्होंने यह निष्कर्ष निकाला था कि नेचुरल्स स्वयं सेट और मैपिंग के लिए कम करने योग्य थे। यह संभव है कि अन्य तर्कशास्त्री, विशेष रूप से फ़्रीज, भी वर्ष 1872 में प्रकाशित वास्तविक संख्याओं के नए सिद्धांतों द्वारा निर्देशित थे। | ||
[[अंकगणित की नींव]] के बाद से फ़्रेगे के तर्कशास्त्री | [[अंकगणित की नींव]] के बाद से फ़्रेगे के तर्कशास्त्री फलन के पीछे दार्शनिक प्रेरणा आंशिक रूप से प्राकृतिक संख्याओं के तत्कालीन प्रचलित खातों की [[ज्ञानमीमांसा]] और [[आंटलजी]] प्रतिबद्धताओं के प्रति उनका असंतोष था, और उनका दृढ़ विश्वास था कि कांट ने उदाहरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं के बारे में सत्य का उपयोग किया था। A_priori_and_a_posterii#Relation_to_the_analytic-synthetic गलत था। | ||
इससे तर्कवाद के विस्तार का दौर शुरू हुआ, जिसके मुख्य प्रतिपादक डेडेकाइंड और फ़्रीज थे। हालाँकि, तर्कवादी | इससे तर्कवाद के विस्तार का दौर शुरू हुआ, जिसके मुख्य प्रतिपादक डेडेकाइंड और फ़्रीज थे। हालाँकि, तर्कवादी फलन के इस प्रारंभिक चरण को सेट सिद्धांत (कैंटर 1896, ज़र्मेलो और रसेल 1900-1901) के शास्त्रीय विरोधाभासों की खोज के साथ संकट में लाया गया था। रसेल द्वारा ग्रुंडगेसेट्ज़ डेर अरिथमेटिक में निर्धारित फ्रेज की प्रणाली में असंगतता की पहचान करने वाले रसेल के विरोधाभास को पहचानने और संचारित करने के बाद फ्रीज ने परियोजना छोड़ दी। ध्यान दें कि [[अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत]] भी इस कठिनाई से ग्रस्त है। | ||
दूसरी ओर, रसेल ने 1903 में ग्यूसेप पीनो के ज्यामिति स्कूल के विरोधाभास और विकास का उपयोग करते हुए [[गणित के सिद्धांत]] लिखे। चूँकि उन्होंने ज्यामिति और सेट सिद्धांत में [[आदिम धारणा]]ओं के विषय पर विचार किया, यह पाठ तर्कवाद के विकास में महत्वपूर्ण मोड़ है। तर्कवाद के दावे का साक्ष्य रसेल और व्हाइटहेड ने अपने [[गणितीय सिद्धांत]] में एकत्र किया था।<ref>{{cite SEP |url-id=principia-mathematica |title=Principia Mathematica}}</ref> | दूसरी ओर, रसेल ने 1903 में ग्यूसेप पीनो के ज्यामिति स्कूल के विरोधाभास और विकास का उपयोग करते हुए [[गणित के सिद्धांत]] लिखे। चूँकि उन्होंने ज्यामिति और सेट सिद्धांत में [[आदिम धारणा]]ओं के विषय पर विचार किया, यह पाठ तर्कवाद के विकास में महत्वपूर्ण मोड़ है। तर्कवाद के दावे का साक्ष्य रसेल और व्हाइटहेड ने अपने [[गणितीय सिद्धांत]] में एकत्र किया था।<ref>{{cite SEP |url-id=principia-mathematica |title=Principia Mathematica}}</ref> | ||
आज, माना जाता है कि मौजूदा गणित का बड़ा हिस्सा तार्किक रूप से छोटी संख्या में एक्स्ट्रालॉजिकल स्वयंसिद्धों से प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत (या इसके विस्तार [[ZFC]]) के स्वयंसिद्ध, जिनसे अभी तक कोई विसंगतियां उत्पन्न नहीं हुई हैं। इस प्रकार, तर्कवादी | आज, माना जाता है कि मौजूदा गणित का बड़ा हिस्सा तार्किक रूप से छोटी संख्या में एक्स्ट्रालॉजिकल स्वयंसिद्धों से प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत (या इसके विस्तार [[ZFC]]) के स्वयंसिद्ध, जिनसे अभी तक कोई विसंगतियां उत्पन्न नहीं हुई हैं। इस प्रकार, तर्कवादी फलनों के तत्व व्यवहार्य साबित हुए हैं, लेकिन इस प्रक्रिया में कक्षाओं, सेटों और मैपिंग के सिद्धांतों और दूसरे-क्रम_लॉजिक#सिमेंटिक्स के अलावा अन्य उच्च-क्रम वाले तर्कों को आंशिक रूप से प्रकृति में एक्सट्रालॉजिकल माना जाने लगा है। [[विलार्ड वान ऑरमैन क्विन]] के बाद के विचार का प्रभाव। | ||
कर्ट गोडेल के गोडेल की अपूर्णता प्रमेय से पता चलता है कि कोई भी औपचारिक प्रणाली जिससे प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीनो स्वयंसिद्ध प्राप्त नहीं किया जा सकता है - जैसे कि पीएम में रसेल की प्रणाली - उस प्रणाली के सभी अच्छी तरह से गठित वाक्यों का निर्णय नहीं कर सकती है।<ref>[http://philpapers.org/rec/RAAOTP "On the philosophical relevance of Gödel's incompleteness theorems"]</ref> इस परिणाम ने गणित की नींव के लिए [[डेविड हिल्बर्ट]] के | कर्ट गोडेल के गोडेल की अपूर्णता प्रमेय से पता चलता है कि कोई भी औपचारिक प्रणाली जिससे प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीनो स्वयंसिद्ध प्राप्त नहीं किया जा सकता है - जैसे कि पीएम में रसेल की प्रणाली - उस प्रणाली के सभी अच्छी तरह से गठित वाक्यों का निर्णय नहीं कर सकती है।<ref>[http://philpapers.org/rec/RAAOTP "On the philosophical relevance of Gödel's incompleteness theorems"]</ref> इस परिणाम ने गणित की नींव के लिए [[डेविड हिल्बर्ट]] के फलन को नुकसान पहुंचाया, जिसके तहत 'अनंत' सिद्धांतों - जैसे कि पीएम - को अंतिम सिद्धांतों से सुसंगत साबित किया जाना था, इस उद्देश्य से कि 'अनंत तरीकों' के बारे में असहज लोगों को आश्वस्त किया जा सके कि उनका उपयोग सिद्ध होना चाहिए किसी विरोधाभास की व्युत्पत्ति नहीं होती। गोडेल के परिणाम से पता चलता है कि तर्कशास्त्री स्थिति को बनाए रखने के लिए, शास्त्रीय गणित को यथासंभव बरकरार रखते हुए, किसी को तर्क के हिस्से के रूप में अनंत के कुछ सिद्धांतों को स्वीकार करना चाहिए। प्रथम दृष्टया, यह तर्कवादी फलन को भी नुकसान पहुँचाता है, भले ही केवल उन लोगों के लिए जो पहले से ही 'अनंत तरीकों' के बारे में संदिग्ध हों। बहरहाल, गोडेल के परिणाम के प्रकाशन के बाद से तर्कवाद और हिल्बर्टियन फ़िनिटिज़्म दोनों से प्राप्त पदों का प्रतिपादन जारी है। | ||
तर्क कि तर्कवाद से प्राप्त | तर्क कि तर्कवाद से प्राप्त फलन वैध रहते हैं, वह यह हो सकता है कि अपूर्णता प्रमेय 'किसी भी अन्य प्रमेयों की तरह ही तर्क के साथ सिद्ध होते हैं'। हालाँकि, ऐसा प्रतीत होता है कि वह तर्क [[प्रथम-क्रम तर्क]] के प्रमेयों और [[उच्च-क्रम तर्क]] के प्रमेयों के बीच अंतर को स्वीकार नहीं करता है। पूर्व को अंतिम तरीकों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जबकि बाद वाला - सामान्य तौर पर - नहीं किया जा सकता है। टार्स्की की अपरिभाषितता प्रमेय से पता चलता है कि गोडेल नंबरिंग का उपयोग वाक्यात्मक निर्माणों को साबित करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन अर्थ संबंधी दावों को नहीं। इसलिए, यह दावा कि तर्कवाद वैध फलन बना हुआ है, किसी को यह मानने के लिए प्रतिबद्ध कर सकता है कि प्राकृतिक संख्याओं के अस्तित्व और गुणों पर आधारित प्रमाण की प्रणाली किसी विशेष औपचारिक प्रणाली पर आधारित प्रणाली की तुलना में कम विश्वसनीय है।<ref>{{cite book |last1=Gabbay |first1=Dov M. |title=तर्क और गणित की नींव में अध्ययन|date=2009 |publisher=Elsevier, inc. |location=Amsterdam |isbn=978-0-444-52012-8 |pages=59–90 |edition=Volume 153 |url=https://www.sciencedirect.com/bookseries/studies-in-logic-and-the-foundations-of-mathematics/vol/153/suppl/C |access-date=1 September 2019}}</ref> | ||
तर्कवाद - विशेष रूप से रसेल और विट्गेन्स्टाइन पर फ़्रीज के प्रभाव के माध्यम से<ref>{{Citation|last=Reck|first=Erich|year=1997|title=''Frege's Influence on Wittgenstein: Reversing Metaphysics via the Context Principle''|s2cid=31255155 |url=https://pdfs.semanticscholar.org/a5e1/f41223452caf0775fe03ed08417e3530a9b8.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20180824183548/https://pdfs.semanticscholar.org/a5e1/f41223452caf0775fe03ed08417e3530a9b8.pdf|url-status=dead|archive-date=2018-08-24}}</ref> और बाद में ड्यूमेट - बीसवीं सदी के दौरान [[विश्लेषणात्मक दर्शन]] के विकास में महत्वपूर्ण योगदानकर्ता था। | तर्कवाद - विशेष रूप से रसेल और विट्गेन्स्टाइन पर फ़्रीज के प्रभाव के माध्यम से<ref>{{Citation|last=Reck|first=Erich|year=1997|title=''Frege's Influence on Wittgenstein: Reversing Metaphysics via the Context Principle''|s2cid=31255155 |url=https://pdfs.semanticscholar.org/a5e1/f41223452caf0775fe03ed08417e3530a9b8.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20180824183548/https://pdfs.semanticscholar.org/a5e1/f41223452caf0775fe03ed08417e3530a9b8.pdf|url-status=dead|archive-date=2018-08-24}}</ref> और बाद में ड्यूमेट - बीसवीं सदी के दौरान [[विश्लेषणात्मक दर्शन]] के विकास में महत्वपूर्ण योगदानकर्ता था। | ||
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: यहां का दृष्टिकोण [क्रोनकर] की कहावत से बहुत अलग है कि 'भगवान ने पूर्णांक बनाए' और पीनो के संख्या और गणितीय प्रेरण के सिद्धांत], जहां हमने प्राकृतिक संख्या अनुक्रम की सहज अवधारणा की कल्पना की थी, और इससे प्राप्त किया था सिद्धांत है कि, जब भी प्राकृतिक संख्याओं का कोई विशेष गुण P इस प्रकार दिया जाता है कि (1) और (2), तो किसी भी प्राकृतिक संख्या में गुण P अवश्य होना चाहिए। (क्लीन 1952:44)। | : यहां का दृष्टिकोण [क्रोनकर] की कहावत से बहुत अलग है कि 'भगवान ने पूर्णांक बनाए' और पीनो के संख्या और गणितीय प्रेरण के सिद्धांत], जहां हमने प्राकृतिक संख्या अनुक्रम की सहज अवधारणा की कल्पना की थी, और इससे प्राप्त किया था सिद्धांत है कि, जब भी प्राकृतिक संख्याओं का कोई विशेष गुण P इस प्रकार दिया जाता है कि (1) और (2), तो किसी भी प्राकृतिक संख्या में गुण P अवश्य होना चाहिए। (क्लीन 1952:44)। | ||
प्राकृतिक संख्याओं के निर्माण के तर्कवादी | प्राकृतिक संख्याओं के निर्माण के तर्कवादी फलन का महत्व रसेल के इस तर्क से मिलता है कि सभी पारंपरिक शुद्ध गणित प्राकृतिक संख्याओं से प्राप्त किया जा सकता है, यह हालिया खोज है, हालांकि इस पर लंबे समय से संदेह था (1919:4)। वास्तविक संख्याओं की व्युत्पत्ति [[डेडेकाइंड कट]] सिद्धांत से प्राप्त होती है, जो तर्कसंगत संख्याओं में कटौती करती है, तर्कसंगत संख्याएँ स्वाभाविक रूप से प्राप्त होती हैं। हालाँकि यह कैसे किया जाता है इसका उदाहरण उपयोगी है, यह पहले प्राकृतिक संख्याओं की व्युत्पत्ति पर निर्भर करता है। इसलिए, यदि प्राकृतिक संख्याओं की तार्किक व्युत्पत्ति में दार्शनिक कठिनाइयाँ दिखाई देती हैं, तो ये समस्याएँ हल होने तक फलन को रोकने के लिए पर्याप्त होनी चाहिए (नीचे आलोचनाएँ देखें)। | ||
प्राकृतिक संख्याओं के निर्माण का प्रयास बर्नेज़ 1930-1931 द्वारा संक्षेपित किया गया है।<ref>Cf. ''The Philosophy of Mathematics and Hilbert's Proof Theory'' 1930:1931 in Mancosu, p. 242.</ref> लेकिन बर्नेज़ के संक्षेपण का उपयोग करने के बजाय, जो कुछ विवरणों में अधूरा है, रसेल के निर्माण के संक्षिप्त विवरण का प्रयास, जिसमें कुछ सीमित चित्रण शामिल हैं, नीचे दिया गया है: | प्राकृतिक संख्याओं के निर्माण का प्रयास बर्नेज़ 1930-1931 द्वारा संक्षेपित किया गया है।<ref>Cf. ''The Philosophy of Mathematics and Hilbert's Proof Theory'' 1930:1931 in Mancosu, p. 242.</ref> लेकिन बर्नेज़ के संक्षेपण का उपयोग करने के बजाय, जो कुछ विवरणों में अधूरा है, रसेल के निर्माण के संक्षिप्त विवरण का प्रयास, जिसमें कुछ सीमित चित्रण शामिल हैं, नीचे दिया गया है: | ||
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मान लीजिए, परिमेय संख्याओं के बीजगणित में समीकरण तब संतुष्ट होता है जब α = 0.5 होता है। लेकिन उदाहरण के लिए, बूलियन बीजगणित में, जहां केवल सत्य मान 0 और 1 की अनुमति है, तो समानता को संतुष्ट नहीं किया जा सकता है। | मान लीजिए, परिमेय संख्याओं के बीजगणित में समीकरण तब संतुष्ट होता है जब α = 0.5 होता है। लेकिन उदाहरण के लिए, बूलियन बीजगणित में, जहां केवल सत्य मान 0 और 1 की अनुमति है, तो समानता को संतुष्ट नहीं किया जा सकता है। | ||
तर्कशास्त्री | तर्कशास्त्री फलन में कुछ कठिनाइयाँ α = NOT-α विरोधाभास से उत्पन्न हो सकती हैं<ref> One source for more detail is Fairouz Kamareddine, Twan Laan and Rob Nderpelt, 2004, ''A Modern Perspective on Type Theory, From its Origins Until Today'', Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, ISBN. They give a demonstration of how to create the paradox (pages 1–2), as follows: Define an aggregate/class/set y this way: ∃y∀x[x ε y ↔ Φ(x)]. (This says: There exists a class y such that for ''ANY'' input x, x is an element of set y if and only if x satisfies the given function Φ.) Note that (i) input x is unrestricted as to the "type" of thing that it can be (it can be a thing, or a class), and (ii) function Φ is unrestricted as well. Pick the following tricky function Φ(x) = ¬(x ε x). (This says: Φ(x) is satisfied when x is NOT an element of x)). Because y (a class) is also "unrestricted" we can plug "y" in as input: ∃y[y ε y ↔ ¬(y ε y)]. This says that "there exists a class y that is an element of itself only if it is NOT and element of itself. That is the paradox.</ref> रसेल ने फ्रेज के 1879 टर्म पेपर में खोजा<ref>Russell's letter to Frege announcing the "discovery", and Frege's letter back to Russell in sad response, together with commentary, can be found in van Heijenoort 1967:124-128. Zermelo in his 1908 claimed priority to the discovery; cf. footnote 9 on page 191 in van Heijenoort.</ref> फ़्रीज ने फ़ंक्शन को अपने इनपुट फ़ंक्शनल (इसके वेरिएबल का मान) को न केवल किसी ऑब्जेक्ट (वस्तु, शब्द) से प्राप्त करने की अनुमति दी थी, बल्कि फ़ंक्शन के स्वयं के आउटपुट से भी प्राप्त करने की अनुमति दी थी।<ref>van Heijenoort 1967:3 and pages 124-128</ref> | ||
जैसा कि ऊपर बताया गया है, फ़्रीज और रसेल दोनों की प्राकृतिक संख्याओं का निर्माण समतुल्य वर्गों (बंडलों) के गठन से शुरू होता है, इसके बाद प्रत्येक बंडल के लिए अद्वितीय अंक निर्दिष्ट किया जाता है, और फिर बंडलों को क्रम में रखा जाता है। संबंध S जो असममित है: x S y ≠ y S x। लेकिन फ्रेगे ने, रसेल के विपरीत, इकाई वर्गों के वर्ग को इकाई के रूप में पहचानने की अनुमति दी: | जैसा कि ऊपर बताया गया है, फ़्रीज और रसेल दोनों की प्राकृतिक संख्याओं का निर्माण समतुल्य वर्गों (बंडलों) के गठन से शुरू होता है, इसके बाद प्रत्येक बंडल के लिए अद्वितीय अंक निर्दिष्ट किया जाता है, और फिर बंडलों को क्रम में रखा जाता है। संबंध S जो असममित है: x S y ≠ y S x। लेकिन फ्रेगे ने, रसेल के विपरीत, इकाई वर्गों के वर्ग को इकाई के रूप में पहचानने की अनुमति दी: | ||
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== नव-तर्कवाद == | == नव-तर्कवाद == | ||
नव-तर्कवाद उनके समर्थकों द्वारा मूल तर्कवादी | नव-तर्कवाद उनके समर्थकों द्वारा मूल तर्कवादी फलन के उत्तराधिकारी माने जाने वाले विचारों की श्रृंखला का वर्णन किया गया है।<ref>Bernard Linsky and [[Edward N. Zalta]], [http://mally.stanford.edu/Papers/neologicism2.pdf "What is Neologicism?"], ''The Bulletin of Symbolic Logic'', '''12'''(1) (2006): 60–99.</ref> अधिक संकीर्ण रूप से, नव-तर्कवाद को गॉटलोब फ़्रीज के कुछ या सभी तत्वों को बचाने के प्रयास के रूप में देखा जा सकता है# तर्कशास्त्री के रूप में कार्य करें|ग्रंडगेसेट्ज़ में फ़्रीज की प्रणाली के संशोधित संस्करण के उपयोग के माध्यम से फ़्रीज का फलन (जिसे प्रकार के रूप में देखा जा सकता है) दूसरे क्रम के तर्क का)। | ||
उदाहरण के लिए, कोई [[बुनियादी कानून वी]] (भोले सेट सिद्धांत में [[अप्रतिबंधित समझ की स्वयंसिद्ध स्कीमा]] के अनुरूप) को कुछ 'सुरक्षित' सिद्धांतों से बदल सकता है ताकि ज्ञात विरोधाभासों की व्युत्पत्ति को रोका जा सके। बीएलवी को प्रतिस्थापित करने के लिए सबसे अधिक उद्धृत उम्मीदवार ह्यूम का सिद्धांत है, '#' की प्रासंगिक परिभाषा '#F = #G द्वारा दी गई है यदि और केवल यदि F और G के बीच कोई आपत्ति है।'<ref>[http://seis.bris.ac.uk/~plxol/Courses/PHIL30067/Syllabus.htm PHIL 30067: Logicism and Neo-Logicism] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110717200246/http://seis.bris.ac.uk/~plxol/Courses/PHIL30067/Syllabus.htm|date=2011-07-17}}.</ref> इस प्रकार के नव-तर्कवाद को अक्सर नव-फ्रीजिज्म कहा जाता है.<ref name=SEP>{{cite SEP |url-id=logicism |title=Logicism and Neologicism}}</ref> नव-फ्रीजियनवाद के समर्थकों में [[क्रिस्पिन राइट]] और [[बॉब हेल (दार्शनिक)]] शामिल हैं, जिन्हें कभी-कभी स्कॉटिश स्कूल भी कहा जाता है। या अमूर्तवादी प्लैटोनिज्म,<ref>Bob Hale and Crispin Wright (2002), "Benacerraf's dilemma revisited", ''European Journal of Philosophy'' '''10'''(1):101–129, esp. "6. Objections and Qualifications".</ref> जो ज्ञानमीमांसीय आधारवाद के रूप का समर्थन करते हैं।<ref name="st-andrews">[http://www.st-andrews.ac.uk/~mr30/papers/EbertRossbergPurpose.pdf st-andrews.ac.uk]. {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061224165534/http://www.st-andrews.ac.uk/~mr30/papers/EbertRossbergPurpose.pdf|date=2006-12-24}}.</ref> | उदाहरण के लिए, कोई [[बुनियादी कानून वी]] (भोले सेट सिद्धांत में [[अप्रतिबंधित समझ की स्वयंसिद्ध स्कीमा]] के अनुरूप) को कुछ 'सुरक्षित' सिद्धांतों से बदल सकता है ताकि ज्ञात विरोधाभासों की व्युत्पत्ति को रोका जा सके। बीएलवी को प्रतिस्थापित करने के लिए सबसे अधिक उद्धृत उम्मीदवार ह्यूम का सिद्धांत है, '#' की प्रासंगिक परिभाषा '#F = #G द्वारा दी गई है यदि और केवल यदि F और G के बीच कोई आपत्ति है।'<ref>[http://seis.bris.ac.uk/~plxol/Courses/PHIL30067/Syllabus.htm PHIL 30067: Logicism and Neo-Logicism] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110717200246/http://seis.bris.ac.uk/~plxol/Courses/PHIL30067/Syllabus.htm|date=2011-07-17}}.</ref> इस प्रकार के नव-तर्कवाद को अक्सर नव-फ्रीजिज्म कहा जाता है.<ref name=SEP>{{cite SEP |url-id=logicism |title=Logicism and Neologicism}}</ref> नव-फ्रीजियनवाद के समर्थकों में [[क्रिस्पिन राइट]] और [[बॉब हेल (दार्शनिक)]] शामिल हैं, जिन्हें कभी-कभी स्कॉटिश स्कूल भी कहा जाता है। या अमूर्तवादी प्लैटोनिज्म,<ref>Bob Hale and Crispin Wright (2002), "Benacerraf's dilemma revisited", ''European Journal of Philosophy'' '''10'''(1):101–129, esp. "6. Objections and Qualifications".</ref> जो ज्ञानमीमांसीय आधारवाद के रूप का समर्थन करते हैं।<ref name="st-andrews">[http://www.st-andrews.ac.uk/~mr30/papers/EbertRossbergPurpose.pdf st-andrews.ac.uk]. {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061224165534/http://www.st-andrews.ac.uk/~mr30/papers/EbertRossbergPurpose.pdf|date=2006-12-24}}.</ref> | ||
Revision as of 20:28, 21 July 2023
गणित के दर्शन में, तर्कवाद फलन है जो एक या एक से अधिक सिद्धांतों से मिलकर बना है - 'तर्क' के कुछ सुसंगत अर्थ के लिए - गणित तर्क का विस्तार है, कुछ या सभी गणित तर्क में कमी (दर्शन) है, या कुछ या संपूर्ण गणित तर्क में मॉडल सिद्धांत हो सकता है।[1] बर्ट्रेंड रसेल और अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड ने इस फलन का समर्थन किया, जो भगवान का शुक्र है फ्रीज द्वारा शुरू किया गया था और बाद में रिचर्ड डेडेकाइंड और ग्यूसेप पीनो द्वारा विकसित किया गया था।
सिंहावलोकन
डेडेकाइंड के तर्कवाद के पथ में महत्वपूर्ण मोड़ आया जब वह परिमेय संख्या के कुछ सेटों का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं की विशेषता बताने वाले स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने वाला मॉडल बनाने में सक्षम हुआ। इससे और संबंधित विचारों ने उन्हें आश्वस्त किया कि अंकगणित, बीजगणित और विश्लेषण को प्राकृतिक संख्याओं के साथ-साथ कक्षाओं के तर्क में भी घटाया जा सकता है। इसके अलावा 1872 तक उन्होंने यह निष्कर्ष निकाला था कि नेचुरल्स स्वयं सेट और मैपिंग के लिए कम करने योग्य थे। यह संभव है कि अन्य तर्कशास्त्री, विशेष रूप से फ़्रीज, भी वर्ष 1872 में प्रकाशित वास्तविक संख्याओं के नए सिद्धांतों द्वारा निर्देशित थे।
अंकगणित की नींव के बाद से फ़्रेगे के तर्कशास्त्री फलन के पीछे दार्शनिक प्रेरणा आंशिक रूप से प्राकृतिक संख्याओं के तत्कालीन प्रचलित खातों की ज्ञानमीमांसा और आंटलजी प्रतिबद्धताओं के प्रति उनका असंतोष था, और उनका दृढ़ विश्वास था कि कांट ने उदाहरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं के बारे में सत्य का उपयोग किया था। A_priori_and_a_posterii#Relation_to_the_analytic-synthetic गलत था।
इससे तर्कवाद के विस्तार का दौर शुरू हुआ, जिसके मुख्य प्रतिपादक डेडेकाइंड और फ़्रीज थे। हालाँकि, तर्कवादी फलन के इस प्रारंभिक चरण को सेट सिद्धांत (कैंटर 1896, ज़र्मेलो और रसेल 1900-1901) के शास्त्रीय विरोधाभासों की खोज के साथ संकट में लाया गया था। रसेल द्वारा ग्रुंडगेसेट्ज़ डेर अरिथमेटिक में निर्धारित फ्रेज की प्रणाली में असंगतता की पहचान करने वाले रसेल के विरोधाभास को पहचानने और संचारित करने के बाद फ्रीज ने परियोजना छोड़ दी। ध्यान दें कि अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत भी इस कठिनाई से ग्रस्त है।
दूसरी ओर, रसेल ने 1903 में ग्यूसेप पीनो के ज्यामिति स्कूल के विरोधाभास और विकास का उपयोग करते हुए गणित के सिद्धांत लिखे। चूँकि उन्होंने ज्यामिति और सेट सिद्धांत में आदिम धारणाओं के विषय पर विचार किया, यह पाठ तर्कवाद के विकास में महत्वपूर्ण मोड़ है। तर्कवाद के दावे का साक्ष्य रसेल और व्हाइटहेड ने अपने गणितीय सिद्धांत में एकत्र किया था।[2] आज, माना जाता है कि मौजूदा गणित का बड़ा हिस्सा तार्किक रूप से छोटी संख्या में एक्स्ट्रालॉजिकल स्वयंसिद्धों से प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत (या इसके विस्तार ZFC) के स्वयंसिद्ध, जिनसे अभी तक कोई विसंगतियां उत्पन्न नहीं हुई हैं। इस प्रकार, तर्कवादी फलनों के तत्व व्यवहार्य साबित हुए हैं, लेकिन इस प्रक्रिया में कक्षाओं, सेटों और मैपिंग के सिद्धांतों और दूसरे-क्रम_लॉजिक#सिमेंटिक्स के अलावा अन्य उच्च-क्रम वाले तर्कों को आंशिक रूप से प्रकृति में एक्सट्रालॉजिकल माना जाने लगा है। विलार्ड वान ऑरमैन क्विन के बाद के विचार का प्रभाव।
कर्ट गोडेल के गोडेल की अपूर्णता प्रमेय से पता चलता है कि कोई भी औपचारिक प्रणाली जिससे प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीनो स्वयंसिद्ध प्राप्त नहीं किया जा सकता है - जैसे कि पीएम में रसेल की प्रणाली - उस प्रणाली के सभी अच्छी तरह से गठित वाक्यों का निर्णय नहीं कर सकती है।[3] इस परिणाम ने गणित की नींव के लिए डेविड हिल्बर्ट के फलन को नुकसान पहुंचाया, जिसके तहत 'अनंत' सिद्धांतों - जैसे कि पीएम - को अंतिम सिद्धांतों से सुसंगत साबित किया जाना था, इस उद्देश्य से कि 'अनंत तरीकों' के बारे में असहज लोगों को आश्वस्त किया जा सके कि उनका उपयोग सिद्ध होना चाहिए किसी विरोधाभास की व्युत्पत्ति नहीं होती। गोडेल के परिणाम से पता चलता है कि तर्कशास्त्री स्थिति को बनाए रखने के लिए, शास्त्रीय गणित को यथासंभव बरकरार रखते हुए, किसी को तर्क के हिस्से के रूप में अनंत के कुछ सिद्धांतों को स्वीकार करना चाहिए। प्रथम दृष्टया, यह तर्कवादी फलन को भी नुकसान पहुँचाता है, भले ही केवल उन लोगों के लिए जो पहले से ही 'अनंत तरीकों' के बारे में संदिग्ध हों। बहरहाल, गोडेल के परिणाम के प्रकाशन के बाद से तर्कवाद और हिल्बर्टियन फ़िनिटिज़्म दोनों से प्राप्त पदों का प्रतिपादन जारी है।
तर्क कि तर्कवाद से प्राप्त फलन वैध रहते हैं, वह यह हो सकता है कि अपूर्णता प्रमेय 'किसी भी अन्य प्रमेयों की तरह ही तर्क के साथ सिद्ध होते हैं'। हालाँकि, ऐसा प्रतीत होता है कि वह तर्क प्रथम-क्रम तर्क के प्रमेयों और उच्च-क्रम तर्क के प्रमेयों के बीच अंतर को स्वीकार नहीं करता है। पूर्व को अंतिम तरीकों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जबकि बाद वाला - सामान्य तौर पर - नहीं किया जा सकता है। टार्स्की की अपरिभाषितता प्रमेय से पता चलता है कि गोडेल नंबरिंग का उपयोग वाक्यात्मक निर्माणों को साबित करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन अर्थ संबंधी दावों को नहीं। इसलिए, यह दावा कि तर्कवाद वैध फलन बना हुआ है, किसी को यह मानने के लिए प्रतिबद्ध कर सकता है कि प्राकृतिक संख्याओं के अस्तित्व और गुणों पर आधारित प्रमाण की प्रणाली किसी विशेष औपचारिक प्रणाली पर आधारित प्रणाली की तुलना में कम विश्वसनीय है।[4] तर्कवाद - विशेष रूप से रसेल और विट्गेन्स्टाइन पर फ़्रीज के प्रभाव के माध्यम से[5] और बाद में ड्यूमेट - बीसवीं सदी के दौरान विश्लेषणात्मक दर्शन के विकास में महत्वपूर्ण योगदानकर्ता था।
'तर्कवाद' नाम की उत्पत्ति
आइवर ग्राटन-गिनीज का कहना है कि फ्रांसीसी शब्द 'लॉजिस्टिक' को 1904 के विश्व दर्शनशास्त्र कांग्रेस में लुई कॉटुरेट और अन्य लोगों द्वारा पेश किया गया था, और तब से रसेल और अन्य लोगों द्वारा विभिन्न भाषाओं के लिए उपयुक्त संस्करणों में इसका उपयोग किया गया था। (जी-जी 2000:501)।
जाहिरा तौर पर रसेल द्वारा पहला (और एकमात्र) उपयोग उनके 1919 में दिखाई दिया: रसेल ने फ़्रीज को कई बार संदर्भित किया, उन्हें ऐसे व्यक्ति के रूप में पेश किया जो 'गणित को तार्किक बनाने में सबसे पहले सफल हुआ' (पृष्ठ 7)। गलत बयानी के अलावा (जिसे रसेल ने गणित में अंकगणित की भूमिका के बारे में अपने स्वयं के दृष्टिकोण को समझाकर आंशिक रूप से ठीक किया था), यह परिच्छेद उस शब्द के लिए उल्लेखनीय है जिसे उन्होंने उद्धरण चिह्नों में रखा था, लेकिन उनकी उपस्थिति घबराहट का संकेत देती है, और उन्होंने फिर कभी इस शब्द का उपयोग नहीं किया। , ताकि 'तर्कवाद' 1920 के दशक के उत्तरार्ध तक उभर न सके (जी-जी 2002:434)।[6] रुडोल्फ कार्नाप (1929) के लगभग उसी समय, लेकिन स्पष्ट रूप से स्वतंत्र रूप से, फ्रेंकेल (1928) ने इस शब्द का इस्तेमाल किया: बिना किसी टिप्पणी के उन्होंने व्हाइटहेड/रसेल स्थिति को चित्रित करने के लिए 'तर्कवाद' नाम का इस्तेमाल किया (पृष्ठ 244 पर अनुभाग के शीर्षक में) , पृष्ठ 263 पर स्पष्टीकरण) (जी-जी 2002:269)। कार्नैप ने थोड़ा अलग शब्द 'लॉजिस्टिक' का इस्तेमाल किया; बेहमैन ने कार्नैप की पांडुलिपि में इसके उपयोग के बारे में शिकायत की, इसलिए कार्नैप ने 'लॉजिज्मस' शब्द का प्रस्ताव रखा, लेकिन वह अंततः अपने शब्द-चयन 'लॉजिस्टिक' (जी-जी 2002:501) पर अड़े रहे। अंततः 1930 के बाद से इसका प्रसार मुख्य रूप से कार्नैप के कारण हुआ। (जी-जी 2000:502)।
तर्कवाद का इरादा, या लक्ष्य
तर्कवाद का प्रत्यक्ष उद्देश्य संपूर्ण गणित को प्रतीकात्मक तर्क (फ़्रिज, डेडेकाइंड, पीनो, रसेल) से प्राप्त करना है। बीजगणितीय तर्क (बूलियन तर्क) के विपरीत, जो अंकगणितीय अवधारणाओं को नियोजित करता है, प्रतीकात्मक तर्क बहुत कम अंकों के सेट (गैर) से शुरू होता है। -अंकगणितीय प्रतीक), कुछ तार्किक सिद्धांत जो विचार के नियमों को मूर्त रूप देते हैं, और अनुमान के नियम जो यह तय करते हैं कि अंकों को कैसे इकट्ठा किया जाए और हेरफेर किया जाए - उदाहरण के लिए प्रतिस्थापन और मूड सेट करना (यानी [1] ए से भौतिक रूप से बी और [का तात्पर्य है) 2] ए, कोई बी प्राप्त कर सकता है)। तर्कवाद भी फ्रेज के आधारभूत कार्य से प्राकृतिक भाषा के कथनों को विषय से घटाकर या तो प्रस्तावात्मक परमाणुओं या तर्क के सामान्यीकरण के कार्य में अपनाता है - सभी, कुछ, वर्ग (संग्रह, समुच्चय) और संबंध की धारणाएं।
प्राकृतिक संख्याओं और उनके गुणों की तर्कवादी व्युत्पत्ति में, संख्या का कोई भी अंतर्ज्ञान या तो सिद्धांत के रूप में या दुर्घटनावश नहीं आना चाहिए। लक्ष्य गिनती की संख्याओं और फिर वास्तविक संख्याओं से शुरू करके, केवल विचार के कुछ चुने हुए नियमों से, पहले और बाद या कम और अधिक या बिंदु तक: उत्तराधिकारी और पूर्ववर्ती की किसी भी मौन धारणा के बिना, सभी गणित को प्राप्त करना है। गोडेल 1944 ने अंतर्ज्ञानवाद और औपचारिकता (गणित के दर्शन) (हिल्बर्ट स्कूल) की मूलभूत प्रणालियों में निर्माणों की तुलना में रसेल के तार्किक निर्माणों का सारांश इस प्रकार दिया: ये दोनों स्कूल अपने निर्माणों को गणितीय अंतर्ज्ञान पर आधारित करते हैं जिसका परिहार वास्तव में इनमें से है रसेल के रचनावाद (गणित का दर्शन) के प्रमुख उद्देश्य (कलेक्टेड वर्क्स 1990:119 में गोडेल 1944)।
इतिहास
गोडेल 1944 ने लिबनिज की कैरेक्टरिस्टिका युनिवर्सलिस से लेकर फ्रेज और पीनो से होते हुए रसेल तक की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि को संक्षेप में प्रस्तुत किया: फ्रेज मुख्य रूप से विचार के विश्लेषण में रुचि रखते थे और शुद्ध तर्क से अंकगणित प्राप्त करने के लिए सबसे पहले अपने कैलकुलस का उपयोग करते थे, जबकि पीनो को इसमें अधिक रुचि थी। गणित के अंतर्गत अनुप्रयोग. लेकिन यह केवल [रसेल की] प्रिंसिपिया मैथमैटिका ही थी जिसमें बहुत कम तार्किक अवधारणाओं और सिद्धांतों से गणित के बड़े हिस्से को वास्तव में प्राप्त करने के लिए नई पद्धति का पूरा उपयोग किया गया था। इसके अलावा, युवा विज्ञान को नए उपकरण, संबंधों के अमूर्त सिद्धांत (पृष्ठ 120-121) द्वारा समृद्ध किया गया था।
क्लेन 1952 इसे इस प्रकार बताता है: लीबनिज़ (1666) ने सबसे पहले तर्क को ऐसे विज्ञान के रूप में देखा जिसमें अन्य सभी विज्ञानों के अंतर्निहित विचार और सिद्धांत शामिल थे। डेडेकाइंड (1888) और फ़्रीज (1884, 1893, 1903) तार्किक अवधारणाओं के संदर्भ में गणितीय धारणाओं को परिभाषित करने में लगे हुए थे, और पीनो (1889, 1894-1908) गणितीय प्रमेयों को तार्किक प्रतीकवाद में व्यक्त करने में लगे हुए थे (पृष्ठ 43); पिछले पैराग्राफ में उन्होंने रसेल और व्हाइटहेड को तर्कवादी स्कूल के उदाहरण के रूप में शामिल किया है, अन्य दो मूलभूत स्कूल अंतर्ज्ञानवादी और औपचारिक या स्वयंसिद्ध स्कूल हैं (पृष्ठ 43)।
फ़्रीज 1879 ने अपने 1879 बेग्रिफ़्सक्रिफ्ट की प्रस्तावना में अपने इरादे का वर्णन किया है: उन्होंने अंकगणित के विचार से शुरुआत की: क्या यह तर्क से निकला या अनुभव के तथ्यों से?
- मुझे सबसे पहले यह पता लगाना था कि