होमोटोपी समूह

गणित में, टोपोलॉजिकल समिष्ट को वर्गीकृत करने के लिए बीजगणितीय टोपोलॉजी में होमोटॉपी समूहों का उपयोग किया जाता है। चूंकि प्रथम और साधारणतम समरूप समूह मौलिक समूह है, जिसे $\pi _{1}(X),$ द्वारा दर्शाया गया है जो की गणितीय समिष्ट में लूप (टोपोलॉजी) के अतिरिक्त सूचना रिकॉर्ड करता है। और सहज रूप से, होमोटॉपी समूह टोपोलॉजिकल समिष्ट के मूल आकार, या होल (टोपोलॉजी) के विषय में सूचना रिकॉर्ड करते हैं।

इस प्रकार n-th होमोटोपी समूह को परिभाषित करने के लिए, n-आयामी क्षेत्र (आधार बिंदु के साथ) से आधार-बिंदु-संरक्षित मानचित्रों को किसी दिए गए समिष्ट (आधार बिंदु के साथ) में समतुल्य वर्गों में एकत्र किया जाता है, जिन्हें 'होमोटॉपी वर्ग' वर्ग कहा जाता है। यदि एक को निरंतर दूसरे में विकृत किया जा सकता है तो दो मैपिंग समसमिष्ट िक हैं। ये समरूप वर्ग एक समूह (गणित) बनाते हैं, जिसे आधार बिंदु के साथ दिए गए समिष्ट X का n-th समरूप समूह $\pi _{n}(X),$ कहा जाता है। अलग-अलग होमोटॉपी समूहों वाले टोपोलॉजिकल समिष्ट कभी भी समतुल्य (होम्योमॉर्फिक) नहीं होते हैं, किन्तु जो टोपोलॉजिकल समिष्ट होमियोमॉर्फिक नहीं होते हैं उनमें समान होमोटॉपी समूह हो सकते हैं।

पथ (टोपोलॉजी) की समरूपता की धारणा केमिली जॉर्डन द्वारा प्रस्तुत की गई थी।

परिचय

आधुनिक गणित में परिचालक द्वारा श्रेणी (गणित) का अध्ययन करना साधारण विषय है, इस श्रेणी की प्रत्येक वस्तु के लिए साधारण वस्तु जो अभी भी रुचि की वस्तु के विषय में पर्याप्त सूचना को विद्यमान रखती है। चूंकि होमोटोपी समूह समूह (गणित) को टोपोलॉजिकल समिष्ट ों से जोड़ने की विधि है।

File:Torus.png

एक टोरस्र्स

File:2sphere 2.png

गोला

इस प्रकार से टोपोलॉजी और समूहों के मध्य का लिंक गणितज्ञों को समूह सिद्धांत से टोपोलॉजी तक अंतर्दृष्टि प्रयुक्त करते रहते है।अर्थात उदाहरण के लिए, यदि दो टोपोलॉजिकल ऑब्जेक्ट में अलग-अलग समरूप समूह में विद्यमान रहते हैं, तो उनकी टोपोलॉजिकल संरचना समान नहीं हो सकती है किन्तु - ऐसा तथ्य जिसे केवल टोपोलॉजिकल साधनों का उपयोग करके प्रमाणित करना कठिन हो सकता है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, टोरस वृत्त से भिन्न होते है: तथा टोरस में छिद्र होता है; और गोला में छिद्र नहीं होते है , चूँकि निरंतरता (टोपोलॉजी की मूल धारणा) केवल समिष्ट ीय संरचना से संबंधित होती है, इसलिए स्पष्ट वैश्विक अंतर को औपचारिक रूप से परिभाषित करना कठिन हो सकता है। चूँकि , होमोटॉपी समूह वैश्विक संरचना के विषय में सूचना एकत्रित रखते हैं।

इस प्रकार से उदाहरण के लिए: टोरस का प्रथम होमोटॉपी समूह $T$ है

$$\pi _{1}(T)=\mathbb {Z} ^{2},$$

किन्तु टोरस का सार्वभौमिक आवरण यूक्लिडियन तल $\mathbb {R} ^{2},$ है टोरस के लिए मानचित्रण $T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.$ यहां भागफल समूहों या रिंगों के अतिरिक्त टोपोलॉजिकल समिष्ट की श्रेणी में है। दूसरी ओर, गोला $S^{2}$ संतुष्ट करता है:

$$\pi _{1}\left(S^{2}\right)=0,$$

इस प्रकार से प्रत्येक लूप को स्थिर मानचित्र पर अनुबंधित किया जा सकता है (इसके लिए वृत्त के होमोटॉपी समूह और होमोटॉपी समूहों के अधिक जटिल उदाहरण देखें)। इसलिए टोरस वृत्त के समरूप नहीं है।

परिभाषा

n-समिष्ट $S^{n}$ में हम एक आधार बिंदु a चुनते हैं। आधार बिंदु b वाले समिष्ट X के लिए, हम $\pi _{n}(X)$ को मानचित्रों के समरूप वर्गों के समुच्चय के रूप में परिभाषित करते हैं

$$f:S^{n}\to X\mid f(a)=b$$

यह आधार बिंदु a को आधार बिंदु b पर मैप करता है। विशेष रूप से, समतुल्य वर्ग समरूपताओं द्वारा दिए जाते हैं जो की वृत्त के आधार बिंदु पर स्थिर होते हैं। समान रूप से, $\pi _{n}(X)$ को n-क्यूब से X तक मानचित्र $g:[0,1]^{n}\to X$ के समरूप वर्गों के समूह के रूप में परिभाषित करें जो n-क्यूब की सीमा (टोपोलॉजी)को b तक ले जाते हैं।

File:Homotopy group addition.svg

मौलिक समूह में रचना

$n\geq 1,$ के लिए समरूप वर्ग एक समूह बनाते हैं। समूह संचालन को परिभाषित करने के लिए, याद रखें कि मौलिक समूह में, दो लूप $f,g:[0,1]\to X$ के उत्पाद $f\ast g$को सेटिंग द्वारा परिभाषित किया गया है

$$f*g={\begin{cases}f(2t)&t\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t-1)&t\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}$$

इस प्रकार से मूल समूह में रचना का विचार प्रथम पथ और दूसरे पथ पर क्रमिक रूप से यात्रा करना है , या, समकक्ष रूप से, उनके दो डोमेन को साथ स्थापित करना है। जिससे रचना की अवधारणा जो हम n-th होमोटॉपी समूह के लिए उपयोग किये जाते हैं, वे घन होते हैं, इसके अतिरिक्त जिन डोमेन को हम एकत्र करके समान रूप से चिपका देते हैं वे क्यूब्स हैं, और हमें उन्हें मुख के साथ चिपकाना होगा। इसलिए हम मानचित्रों के योग को $f,g:[0,1]^{n}\to X$ सूत्र द्वारा परिभाषित करते हैं

$$(f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})={\begin{cases}f(2t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}$$

इस प्रकार से वृत्त के संदर्भ में संगत परिभाषा के लिए, योग को परिभाषित करें $f+g$ नक्शों का $f,g:S^{n}\to X$ होना $\Psi$ एच, कहां से बना है $\Psi$ से मानचित्र है $S^{n}$ दो n-वृत्त के पच्चर योग के लिए जो भूमध्य रेखा को ढहा देता है और h दो n-वृत्त के पच्चर योग से X तक का मानचित्र है जिसे पहले वृत्त पर f और दूसरे पर g के रूप में परिभाषित किया गया है।

यदि $n\geq 2,$ तब $\pi _{n}$ एबेलियन समूह है. इसके अतिरिक्त , मौलिक समूह के समान, पथ से जुड़े समिष्ट के लिए आधार बिंदु के कोई भी दो विकल्प समूह समरूपता $\pi _{n}.$ को दर्शाते हैं

किन्तु आधार बिंदुओं को छोड़कर होमोटॉपी समूहों की परिभाषा को साधारण बनाने का प्रयास करना आकर्षक होता है, किन्तु यह सामान्यतः उन समिष्ट ों के लिए काम नहीं करता है जो केवल पथ से जुड़े समिष्ट ों के लिए भी जुड़े नहीं हैं, यहां तक ​​​​कि पथ से जुड़े समिष्ट ों के लिए भी वृत्त से पथ से जुड़े समिष्ट तक मानचित्रों के होमोटॉपी वर्गों का समुच्चय होमोटॉपी समूह नहीं है, किन्तु मूल रूप से होमोटॉपी समूह पर मौलिक समूह की कक्षाओं का समुच्चय है, और सामान्यतः इसमें कोई प्राकृतिक समूह संरचना नहीं होती है।

अतः फ़िल्टर किए गए समिष्ट ों और रिक्त समिष्ट के n-क्यूब्स के उच्च समरूप समूह को परिभाषित करके इन कठिनाइयों से बाहर निकलने का रास्ता खोजा गया है। ये क्रमशः सापेक्ष समरूप समूहों और n-एडिक समरूप समूहों से संबंधित हैं। इस प्रकार से उच्चतर होमोटॉपी वैन कम्पेन प्रमेय व्यक्ति को होमोटॉपी समूहों और यहां तक ​​कि होमोटॉपी प्रकारों पर कुछ नई सूचना प्राप्त करने में सक्षम बनाता है। अधिक पृष्ठभूमि और संदर्भों के लिए, उच्च आयामी समूह सिद्धांत और नीचे दिए गए संदर्भ इस प्रकार है ।

समरूपी समूह और छिद्र

इस प्रकार से टोपोलॉजिकल समिष्ट में d-आयामी सीमा वाला एक छिद्र होता है यदि और केवल तभी-यदि इसमें d-आयामी क्षेत्र होता है जिसे निरंतर एक बिंदु तक सिकुड़ा नहीं जा सकता है। यह तभी-और-केवल-यदि कोई मैपिंग ${\textstyle S^{d}\to X}$ है जो निरंतर फलन के लिए होमोटोपिक नहीं है, तो मान्य यह है। की यह केवल और केवल तभी मान्य है जब X का d-th होमोटॉपी समूह नगण्य नहीं है। संक्षेप में, X में d-आयामी सीमा वाला छिद्र है यदि $\pi _{d}(X)\not \cong 0$ है ।

फाइब्रेशन का अधिक स्पष्ट अनुक्रम

मान लीजिये $p:E\to B$ फाइबर के साथ बेसपॉइंट-संरक्षण फाइबर ग्रीनहाउस बनें $F,$ अर्थात , सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स के संबंध में होमोटोपी उठाने की संपत्ति वाला मानचित्र है । मान लीजिए कि B पथ से जुड़ा हुआ है। फिर समरूप समूहों का अधिक स्पष्ट अनुक्रम होता है

$$\cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to 0.$$

जहाँ $\pi _{0}$ से जुड़े मानचित्र समूह समरूपताएँ नहीं हैं क्योंकि $\pi _{0}$ समूह नहीं हैं, किन्तु वे इस अर्थ में स्पष्ट हैं कि मानचित्र (गणित) कर्नेल (बीजगणित) के समान है।

इस प्रकार से उदाहरण: हॉफ फ़िब्रेशन। मान लीजिए B समान $S^{2}$ है और E समान $S^{3}.$ मान लीजिए कि p हॉपफ़ फ़िब्रेशन है, जिसमें फ़ाइबर $S^{1}.$ है अधिक स्पष्ट अनुक्रम से है:

$$\cdots \to \pi _{n}(S^{1})\to \pi _{n}(S^{3})\to \pi _{n}(S^{2})\to \pi _{n-1}(S^{1})\to \cdots$$

और तथ्य यह है कि $\pi _{n}(S^{1})=0$ के लिए $n\geq 2,$ हम उसे ढूंढते हैं $\pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})$ के लिए $n\geq 3.$ विशेष रूप से, $\pi _{3}(S^{2})=\pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z} .$

इस प्रकार से कवर समिष्ट के स्थितियों में, जब फाइबर अलग होता है, तो हमारे पास यह होता है कि $\pi _{n}(E)$ $n>1,$ के लिए $\pi _{n}(B)$ के समरूपी है, $\pi _{n}(E)$सभी सकारात्मक $n,$ के लिए $\pi _{n}(B)$ में इंजेक्टिव रूप से एम्बेड करता है और $\pi _{1}(B)$ का उपसमूह जो की $\pi _{1}(E)$ के एम्बेडिंग से मेल खाता है। फाइबर के अव्यवों के साथ आक्षेप में को समुच्चय है।

जब फ़िब्रेशन होमोटॉपी फाइबर होता है, या दोहरी रूप से, सह-फाइब्रेशन मैपिंग शंकु (टोपोलॉजी) होता है, तो परिणामी स्पष्ट (या दोहरी, सह-स्पष्ट ) अनुक्रम पप्पे अनुक्रम द्वारा दिया जाता है।

सजातीय समिष्ट और वृत्त

सजातीय समिष्ट के रूप में वृत्त के कई अनुभव हैं, जो लाई समूहों के समरूप समूहों की गणना करने और वृत्त से बने समिष्ट पर प्रमुख बंडलों के वर्गीकरण के लिए सही उपकरण प्रदान करते हैं।

विशेष ऑर्थोगोनल समूह

एक फ़िब्रेशन है

$$SO(n-1)\to SO(n)\to SO(n)/SO(n-1)\cong S^{n-1}$$

अधिक स्पष्ट क्रम दे रहा हूँ

$$\cdots \to \pi _{i}(SO(n-1))\to \pi _{i}(SO(n))\to \pi _{i}\left(S^{n-1}\right)\to \pi _{i-1}(SO(n-1))\to \cdots$$

जो निम्न क्रम के समरूप समूहों की गणना करता है $\pi _{i}(SO(n-1))\cong \pi _{i}(SO(n))$ के लिए $i<n-1,$ तब से $S^{n-1}$ है $(n-2)$-जुड़े हुए। विशेष रूप से, फ़िब्रेशन है

$$SO(3)\to SO(4)\to S^{3}$$

जिनके निचले समरूप समूहों की स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है। तब से $SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3},$ और जहाँ फ़िब्रेशन है

$$\mathbb {Z} /2\to S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}$$

हमारे पास $\pi _{i}(SO(3))\cong \pi _{i}(S^{3})$ के लिए $i>1.$ इसका उपयोग करना, और तथ्य यह है कि $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2,$ जिसकी गणना पोस्टनिकोव प्रणाली का उपयोग करके की जा सकती है, हमारे पास अधिक स्पष्ट अनुक्रम है

$${\begin{aligned}\cdots \to {}&\pi _{4}(SO(3))\to \pi _{4}(SO(4))\to \pi _{4}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{3}(SO(3))\to \pi _{3}(SO(4))\to \pi _{3}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{2}(SO(3))\to \pi _{2}(SO(4))\to \pi _{2}(S^{3})\to \cdots \\\end{aligned}}$$

तब से $\pi _{2}\left(S^{3}\right)=0$ अपने पास $\pi _{2}(SO(4))=0.$ इसके अतिरिक्त , मध्य पंक्ति भी देती है $\pi _{3}(SO(4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ कनेक्टिंग मानचित्र के बाद से $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}\left(\mathbb {RP} ^{3}\right)$ नगण्य है. साथ ही हम जान सकते हैं $\pi _{4}(SO(4))$ दो-मरोड़ वाला है।

वृत्त बंडलों के लिए आवेदन

इस प्रकार से मिल्नोर ने विशेष रूप से $S^{4},$ पर 3-वृत्त बंडलों को वर्गीकृत करने के लिए $\pi _{3}(SO(4))=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ तथ्य का उपयोग किया, वह विदेशी क्षेत्रों को खोजने में सक्षम थे जो चिकने मैनिफोल्ड हैं जिन्हें मिल्नोर के वृत्त केवल $S^{7},$ के होमियोमोर्फिक कहा जाता है, डिफोमोर्फिक नहीं। ध्यान दें कि किसी भी वृत्त के बंडल का निर्माण $4$-वेक्टर बंडल, से किया जा सकता है, जिसमें संरचना समूह $SO(4)$ होता है क्योंकि $S^{3}$ में एक उन्मुख रीमैनियन मैनिफोल्ड की संरचना हो सकती है।

जटिल प्रक्षेप्य समिष्ट

एक फ़िब्रेशन है

$$S^{1}\to S^{2n+1}\to \mathbb {CP} ^{n}$$

जहाँ $S^{2n+1}$ $\mathbb {C} ^{n+1}.$ में इकाई क्षेत्र है इस अनुक्रम का उपयोग सभी $n.$ के लिए $\mathbb {CP} ^{n}$ की साधारण-जुड़ेपन दर्शाने के लिए किया जा सकता है

गणना की विधियाँ

इस प्रकार से बीजगणितीय टोपोलॉजी में सीखे गए कुछ अन्य होमोटॉपी इनवेरिएंट (गणित) की तुलना में होमोटॉपी समूहों की गणना सामान्यतः बहुत अधिक कठिन होती है। और मौलिक समूह के लिए सेफर्ट-वैन कम्पेन प्रमेय और एकवचन समरूपता और सह-समरूपता के लिए उच्छेदनात्मक प्रमेय के विपरीत, किसी समिष्ट के समरूप समूहों को छोटे समिष्ट में तोड़कर गणना करने का कोई साधारण ज्ञात विधि नहीं है। चूँकि , 1980 के दशक में उच्च होमोटॉपी ग्रुपोइड के लिए वैन कम्पेन प्रकार प्रमेय को सम्मिलित करने वाली विधियों ने होमोटॉपी प्रकारों और इसी प्रकार होमोटॉपी समूहों पर नई गणना की अनुमति दी है। किन्तु नमूना परिणाम के लिए एलिस और मिखाइलोव का 2010 का पेपर देखिये ।

अतः कुछ समिष्ट के लिए, जैसे टोरस, सभी उच्च समरूप समूह (अर्थात, दूसरे और उच्च समरूप समूह) नगण्य समूह कहलाते हैं। ये तथाकथित वृत्ताकार समिष्ट हैं। चूँकि , वृत्त के समरूप समूहों की गणना में गहन शोध के अतिरिक्त , दो आयामों में भी पूर्ण सूची ज्ञात नहीं है। और चौथे होमोटॉपी समूह की भी गणना करने के लिए $S^{2}$ किसी को परिभाषाओं से कहीं अधिक उन्नत विधियों की आवश्यकता होती है। विशेष रूप से सेरे वर्णक्रमीय अनुक्रम का निर्माण इसी उद्देश्य के लिए किया गया था।

n-कनेक्टेड|एन-कनेक्टेड समिष्ट के कुछ समरूप समूहों की गणना ह्यूरविक्ज़ प्रमेय के माध्यम से समरूपता समूह के साथ तुलना करके की जा सकती है।

समरूप समूहों की गणना के लिए तरीकों की सूची

• फाइब्रेशन के समरूप समूहों का अधिक स्पष्ट क्रम है ।
• ह्यूरविक्ज़ प्रमेय, जिसके कई संस्करण हैं।
• ब्लेकर्स-मैसी प्रमेय, जिसे समरूप समूहों के लिए उच्छेदनात्मक के रूप में भी जाना जाता है।
• फ्रायडेन्थल निलंबन प्रमेय, समरूप समूहों के लिए उच्छेदनात्मक का परिणाम है ।

सापेक्ष समरूपी समूह

समरूप समूहों का उपयोगी सामान्यीकरण $\pi _{n}(X),$ भी है, सापेक्ष समरूप समूह कहलाते हैं $\pi _{n}(X,A)$ जोड़ी के लिए $(X,A),$ जहां A सबसमिष्ट टोपोलॉजी $X.$ है

$i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),$ निर्माण समावेशन के अवलोकन से प्रेरित है प्रत्येक समरूप समूह पर प्रेरित मानचित्र होता है $i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)$ जो सामान्यतः कोई अन्तःक्षेपण नहीं है. दरअसल, कर्नेल के अव्यवों को प्रतिनिधि मानकर जाना जाता है $f:I^{n}\to X$ और आधारित होमोटॉपी लेना $F:I^{n}\times I\to X$ निरंतर मानचित्र के लिए $x_{0},$ या दूसरे शब्दों में $H_{I^{n}\times 1}=f,$ जबकि किसी अन्य सीमा घटक पर प्रतिबंध $I^{n+1}$ नगण्य है. इसलिए, हमारे पास निम्नलिखित निर्माण है:

ऐसे समूह के अव्यव आधारित मानचित्रों $D^{n}\to X$ के समरूप वर्ग हैं जो सीमा को ले जाता है $S^{n-1}$ A में दो मानचित्र $f,g$ A के सापेक्ष होमोटोपिक कहलाते हैं यदि वे बेसपॉइंट-संरक्षण होमोटॉपी द्वारा होमोटोपिक हैं जो $F:D_{n}\times [0,1]\to X$ है ऐसा कि, प्रत्येक p के लिए $S^{n-1}$ और t में $[0,1],$ अव्यव $F(p,t)$ A में है। ध्यान दें कि साधारण समरूप समूहों को विशेष स्थितियों के लिए पुनर्प्राप्त किया जाता है $A=\{x_{0}\}$ आधार बिंदु वाला सिंगलटन है।

$n\geq 3(E)$ ये समूह एबेलियन हैं किन्तु $n=2$ के लिए निचले समूह $\pi _{1}(A).$ के साथ क्रॉस किए गए मॉड्यूल का शीर्ष समूह बनाएं जाते है

सापेक्ष समरूप समूहों का अधिक स्पष्ट अनुक्रम भी है जिसे पप्पे अनुक्रम के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है:

जैसे:

$\cdots \to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)\to \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n-1}(A)\to \cdots$

संबंधित धारणाएँ

होमोटॉपी समूह होमोटॉपी सिद्धांत के लिए मौलिक हैं, जिसने बदले में मॉडल श्रेणी के विकास को प्रेरित किया। साधारण समुच्चय के लिए अमूर्त समरूप समूहों को परिभाषित करना संभव है।

होमोलॉजी समूह होमोटॉपी समूहों के समान हैं, क्योंकि वे टोपोलॉजिकल समिष्ट में छिद्र का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। चूँकि , होमोटॉपी समूह अधिकांशतः बहुत जटिल और गणना करने में कठिन होते हैं। इसके विपरीत, होमोलॉजी समूह क्रमविनिमेय होते हैं (जैसा कि उच्च होमोलॉजी समूह होते हैं)। इसलिए, कभी-कभी यह कहा जाता है कि समरूपता समरूपता का क्रमविनिमेय विकल्प है। टोपोलॉजिकल समिष्ट $X,$ दिया गया इसके n-th समरूप समूह को सामान्यतः इसके $\pi _{n}(X),$ द्वारा निरूपित किया जाता है और इसके n-th समरूपता समूह को सामान्यतः इसके $H_{n}(X).$ द्वारा निरूपित किया जाता है

यह भी देखें

• फ़िब्रेशन
• हॉफ़ फ़िब्रेशन
• हॉपफ़ अपरिवर्तनीय
• नॉट सिद्धांत
• होमोटॉपी क्लास
• व्रत के समरूपी समूह
• टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय
• गुणांकों के साथ समरूप समूह
• पॉइंट समुच्चय

संदर्भ

• Ronald Brown, `Groupoids and crossed objects in algebraic topology', Homology, Homotopy and Applications, 1 (1999) 1–78.
• Ronald Brown, Philip J. Higgins, Rafael Sivera, Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids, EMS Tracts in Mathematics Vol. 15, 703 pages, European Math. Society, Zürich, 2011. doi:10.4171/083 MR2841564
• Čech, Eduard (1932), "Höherdimensionale Homotopiegruppen", Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Zürich.
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1
• "Homotopy group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen, 104 (1): 637–665, doi:10.1007/BF01457962.
• Kamps, Klaus H.; Porter, Timothy (1997). Abstract homotopy and simple homotopy theory. River Edge, NJ: World Scientific Publishing. doi:10.1142/9789812831989. ISBN 981-02-1602-5. MR 1464944.
• Toda, Hiroshi (1962). Composition methods in homotopy groups of spheres. Annals of Mathematics Studies. Vol. 49. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 0-691-09586-8. MR 0143217.
• Whitehead, George William (1978). Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 61 (3rd ed.). New York-Berlin: Springer-Verlag. pp. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. MR 0516508.