कोटैंजेंट बंडल

गणित में, विशेष रूप से विभेदक ज्यामिति में, स्मूथ मैनिफोल्ड का कोटैंजेंट बंडल मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर सभी कोटैंजेंट समष्टि का सदिश बंडल होता है। इसे स्पर्शरेखा बंडल के दोहरे बंडल के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है। इसे श्रेणी (गणित) में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें स्मूथ मैनिफोल्ड की तुलना में अधिक संरचना होती है, जैसे सम्मिश्र मैनिफोल्ड, या (कोटैंजेंट शीफ के रूप में) बीजगणितीय विविधता या योजना (गणित) की सहज स्थिति में, कोई भी रीमैनियन मीट्रिक या सिंपलेक्टिक रूप कोटैंजेंट बंडल और स्पर्शरेखा बंडल के बीच एक समरूपता देता है, लेकिन वे अन्य श्रेणियों में सामान्य समरूपी नहीं होते हैं।

विकर्ण आकारिकी के माध्यम से औपचारिक परिभाषा

कोटैंजेंट बंडल को परिभाषित करने की कई समान विधि हैं। कोटैंजेंट शीफ एक विकर्ण आकारिकी के माध्यम से निर्माण एक विकर्ण मानचित्रण Δ और रोगाणु (गणित) के माध्यम से होता है।

मान लीजिए कि M एक सहज मैनिफोल्ड है और M×M स्वयं M का कार्तीय गुणनफल है। विकर्ण मानचित्रण Δ M में एक बिंदु p को M×M के बिंदु (p,p) पर भेजता है। Δ की छवि को विकर्ण कहा जाता है। मान लीजिए कि ${\mathcal {I}}$, M×M पर सुचारु कार्यों के रोगाणुओं का समूह है जो विकर्ण पर लुप्त हो जाते हैं। इसके अतिरिक्त फिर भागफल शीफ़ (गणित) ${\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}$ में कार्यों के तुल्यता वर्ग सम्मलित होते हैं जो विकर्ण मॉड्यूलो उच्च क्रम की शर्तों पर विलुप्त हो जाते हैं। कोटैंजेंट शीफ को इस शीफ के M से पुलबैक के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\Gamma T^{*}M=\Delta ^{*}\left({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\right)$

टेलर के प्रमेय के अनुसार, यह M के सुचारु कार्यों के रोगाणुओं के शीफ के संबंध में मॉड्यूल का एक स्थानीय रूप से मुक्त शीफ है। 'कोटैंजेंट बंडल' इस प्रकार यह M पर एक सदिश बंडल को परिभाषित करता है।

इसी प्रकार कोटैंजेंट बंडल के सुचारू कार्य अनुभाग (फाइबर बंडल) को (अवकल) एक प्रपत्र कहा जाता है।

विरोधाभासी गुण

एक सहज रूपवाद $\phi \colon M\to N$ कई गुना, एक पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) प्रेरित करता है, $\phi ^{*}T^{*}N$ M पर एक पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) है, कोटैंजेंट सदिश और सदिश बंडलों के 1-रूपों का पुलबैक $\phi ^{*}(T^{*}N)\to T^{*}M$ है।

उदाहरण

सदिश समष्टि का स्पर्शरेखा बंडल $\mathbb {R} ^{n}$ है और $T\,\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$, कोटैंजेंट बंडल है, $T^{*}\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times (\mathbb {R} ^{n})^{*}$, जहाँ $(\mathbb {R} ^{n})^{*}$ सहसदिशों की दोहरी समष्टि, रैखिक कार्यों को $v^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ इस प्रकार दर्शाता है।

एक सहज विविधता $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ दी गई है, किसी फ़ंक्शन के लुप्त हो रहे समष्टि द्वारा दर्शाए गए ऊनविम पृष्ठ के रूप में एम्बेडेड $f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ करता है, इस शर्त के साथ कि $\nabla f\neq 0,$ स्पर्शरेखा बंडल है।

$TM=\{(x,v)\in T\,\mathbb {R} ^{n}\ :\ f(x)=0,\ \,df_{x}(v)=0\},$

जहाँ $df_{x}\in T_{x}^{*}M$ का दिशात्मक व्युत्पन्न $df_{x}(v)=\nabla \!f(x)\cdot v$ है, परिभाषा के अनुसार, इस स्थिति में यह कोटैंजेंट बंडल है,

$T^{*}M={\bigl \{}(x,v^{*})\in T^{*}\mathbb {R} ^{n}\ :\ f(x)=0,\ v^{*}\in T_{x}^{*}M{\bigr \}},$

जहाँ $T_x^{\ast <!--\; \ast \; -->}M={\{v\in <!--\; \in \; -->T_x{\mathbb{R}}^n}^{}$