अनंत संख्या: Difference between revisions

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गणित में, पारपरिमित संख्याएँ या अनंत संख्याएँ ऐसी संख्याएँ होती हैं जो इस अर्थ में अनंत होती हैं कि वे सभी परिमित संख्याओं से बड़ी होती हैं। इनमें अनंत गणनसंख्या सम्मिलित हैं, जो कि गणन संख्याएँ हैं जिनका उपयोग अनंत सेटों के आकार को निर्धारित करने के लिए किया जाता है, और पारपरिमित क्रमवाचक संख्या, जो कि अनंत सेटों का क्रम प्रदान करने के लिए उपयोग की जाने वाली क्रमिक संख्याएँ हैं।^[1]^[2] अनंत शब्द 1895 में जॉर्ज कैंटर द्वारा प्रदान किया गया था,^[3]^[4]^[5]^[6] जो इन वस्तुओं के संबंध में अनंत शब्द के कुछ निहितार्थों से बचना चाहते थे, जो, फिर भी, सीमित नहीं थे।^{[citation needed]} कुछ समकालीन लेखक इन चिंताओं को साझा करते हैं लेकिन अब पारपरिमित गणनसंख्या और क्रमवाचक संख्या को अनंत संख्याओं के रूप में संदर्भित करने के लिए इसे स्वीकार कर लिया गया है। फिर भी, पारपरिमित शब्द भी प्रयोग में रहता है।

अनंत नंबरों पर उल्लेखनीय कार्य वाकलॉ सिएरपिंस्की द्वारा किया गया था और लेकन्स सुर लेस नॉम्ब्रेस ट्रांसफ़िनिस (1928 पुस्तक) को गणनसंख्या और क्रमसूचक संख्याएँ (1958^[7] दूसरा संस्करण 1965^[8]) में विस्तारित किया गया।.

परिभाषा

किसी भी परिमित प्राकृतिक संख्या का उपयोग कम से कम दो तरीकों से किया जा सकता है: क्रमसूचक के रूप में और गणनसंख्या के रूप में। गणनसंख्या संख्याएं सेट का आकार निर्दिष्ट करती हैं (उदाहरण के लिए, का एक बैग)। five मार्बल्स), जबकि क्रमसूचक संख्याएँ एक क्रमबद्ध सेट के भीतर एक सदस्य के क्रम को निर्दिष्ट करती हैं^[9] (उदा., द third बाएं ओर से आदमी या twenty-seventh जनवरी का दिन ). जब अनंत संख्याओं तक विस्तारित किया जाता है, तो ये दोनों अवधारणाएं एक-से-एक पत्राचार में नहीं रह जाती हैं। एक अनंत गणनसंख्या संख्या का उपयोग एक अनंत बड़े सेट के आकार का वर्णन करने के लिए किया जाता है,^[2]जबकि एक अनंत ऑर्डिनल का उपयोग ऑर्डर किए गए एक अनंत बड़े सेट के भीतर स्थान का वर्णन करने के लिए किया जाता है।^[9]^{[failed verification]} सबसे उल्लेखनीय क्रमिक और गणनसंख्या संख्याएँ क्रमशः हैं:

$\omega$ (क्रमसूचक संख्या#ऑर्डिनल्स प्राकृतिक संख्याओं का विस्तार करते हैं): सबसे कम अनंत क्रमिक संख्या। यह उनके सामान्य रैखिक क्रम के तहत प्राकृतिक संख्याओं का क्रम प्रकार भी है।
$\aleph _{0}$ (aleph-एक): पहला अनंत गणनसंख्या नंबर। यह प्राकृतिक संख्याओं की प्रमुखता भी है। यदि पसंद का सिद्धांत कायम रहता है, तो अगली उच्चतर गणनसंख्या संख्या एलेफ़-वन है, $\aleph _{1}.$ यदि नहीं, तो ऐसे अन्य गणनसंख्या भी हो सकते हैं जो एलेफ़-वन के साथ अतुलनीय हों और एलेफ़-नल से बड़े हों। किसी भी तरह से, एलेफ़-नल और एलेफ़-वन के बीच कोई गणनसंख्या नहीं हैं।

सातत्य परिकल्पना यह प्रस्ताव है कि बीच में कोई मध्यवर्ती गणनसंख्या संख्याएँ नहीं हैं $\aleph _{0}$ और सातत्य की प्रमुखता (वास्तविक संख्याओं के समुच्चय की प्रमुखता):^[2]या समकक्ष वह $\aleph _{1}$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय की प्रमुखता है। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में, न तो सातत्य परिकल्पना और न ही इसके निषेध को सिद्ध किया जा सकता है।

पी. सुप्प्स और जे. रुबिन सहित कुछ लेखक, डेडेकाइंड-अनंत सेट की कार्डिनैलिटी को संदर्भित करने के लिए पारपरिमित गणनसंख्या शब्द का उपयोग उन संदर्भों में करते हैं जहां यह अनंत गणनसंख्या के बराबर नहीं हो सकता है; अर्थात्, उन संदर्भों में जहां गणनीय विकल्प के सिद्धांत को नहीं माना जाता है या माना नहीं जाता है। इस परिभाषा को देखते हुए, निम्नलिखित सभी समकक्ष हैं:

${\mathfrak {m}}$ एक अनंत गणनसंख्या है. अर्थात् एक डेडेकाइंड अनंत समुच्चय है $A$ ऐसी कि प्रमुखता $A$ है ${\mathfrak {m}}.$
${\mathfrak {m}}+1={\mathfrak {m}}.$
$\aleph _{0}\leq {\mathfrak {m}}.$
एक गणनसंख्या है ${\mathfrak {n}}$ ऐसा है कि $\aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.$

हालाँकि अनंत ऑर्डिनल्स और गणनसंख्या दोनों केवल प्राकृतिक संख्याओं का सामान्यीकरण करते हैं, हाइपररियल संख्याओं और अतियथार्थवादी संख्याओं सहित संख्याओं की अन्य प्रणालियाँ, वास्तविक संख्याओं का सामान्यीकरण प्रदान करती हैं।^[10]

उदाहरण

कैंटर के क्रमिक संख्याओं के सिद्धांत में, प्रत्येक पूर्णांक संख्या का एक उत्तराधिकारी होना चाहिए।^[11] सभी नियमित पूर्णांकों के बाद अगला पूर्णांक, जो कि पहला अनंत पूर्णांक है, नाम दिया गया है $\omega$ . इस संदर्भ में, $\omega +1$ से बड़ा है $\omega$ , और $\omega \cdot 2$ , $\omega ^{2}$ और $\omega ^{\omega }$ अभी भी बड़े हैं. अंकगणितीय अभिव्यक्ति युक्त $\omega$ एक क्रमसूचक संख्या निर्दिष्ट करें, और उस संख्या तक के सभी पूर्णांकों के समुच्चय के रूप में सोचा जा सकता है। किसी दी गई संख्या में आम तौर पर कई अभिव्यक्तियाँ होती हैं जो इसका प्रतिनिधित्व करती हैं, हालाँकि, एक अद्वितीय क्रमसूचक अंकगणित है जो इसका प्रतिनिधित्व करता है,^[11]अनिवार्य रूप से अंकों का एक सीमित अनुक्रम जो अवरोही शक्तियों के गुणांक देता है $\omega$ .

हालाँकि, सभी अनंत पूर्णांकों को कैंटर सामान्य रूप द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, और पहला जो नहीं किया जा सकता उसे सीमा द्वारा दर्शाया जा सकता है $\omega ^{\omega ^{\omega ^{...}}}$ और कहा जाता है $\varepsilon _{0}$ .^[11] $\varepsilon _{0}$ का सबसे छोटा समाधान है $\omega ^{\varepsilon }=\varepsilon$ , और निम्नलिखित समाधान $\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{\omega },...,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},...$ अभी भी बड़े क्रम-निर्देश दें, और जब तक कोई सीमा तक नहीं पहुंच जाता तब तक उसका पालन किया जा सकता है $\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{...}}}$ , जो इसका पहला समाधान है $\varepsilon _{\alpha }=\alpha$ . इसका मतलब यह है कि सभी अनंत पूर्णांकों को निर्दिष्ट करने में सक्षम होने के लिए, किसी को नामों के अनंत अनुक्रम के बारे में सोचना चाहिए: क्योंकि यदि किसी को एक सबसे बड़ा पूर्णांक निर्दिष्ट करना होता है, तो वह हमेशा उसके बड़े उत्तराधिकारी का उल्लेख करने में सक्षम होगा। लेकिन जैसा कि कैंटर ने उल्लेख किया है,^{[citation needed]} यहां तक कि यह किसी को केवल अनंत संख्याओं के निम्नतम वर्ग तक पहुंचने की अनुमति देता है: जिनके सेट का आकार गणनसंख्या संख्या के अनुरूप होता है $\aleph _{0}$ .

यह भी देखें

संदर्भ

↑ "Definition of transfinite number | Dictionary.com". www.dictionary.com (in English). Retrieved 2019-12-04.
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↑ "Georg Cantor | Biography, Contributions, Books, & Facts". Encyclopedia Britannica (in English). Retrieved 2019-12-04.
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↑ Georg Cantor (Jul 1897). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2)". Mathematische Annalen. 49 (2): 207–246.
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↑ Goodstein, R. L. (December 1966), "Review of Cardinal and Ordinal Numbers (2nd ed.)", The Mathematical Gazette, 50 (374): 437, doi:10.2307/3613997, JSTOR 3613997
↑ ^9.0 ^9.1 Weisstein, Eric W. (3 May 2023). "क्रमसूचक संख्या". mathworld.wolfram.com (in English).
↑ Beyer, W. A.; Louck, J. D. (1997), "Transfinite function iteration and surreal numbers", Advances in Applied Mathematics, 18 (3): 333–350, doi:10.1006/aama.1996.0513, MR 1436485
↑ ^11.0 ^11.1 ^11.2 John Horton Conway, (1976) On Numbers and Games. Academic Press, ISBN 0-12-186350-6. (See Chapter 3.)

ग्रन्थसूची

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[1] "Definition of transfinite number | Dictionary.com". www.dictionary.com (in English). Retrieved 2019-12-04.

[:0-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 "अनंत संख्याएँ और समुच्चय सिद्धांत". www.math.utah.edu. Retrieved 2019-12-04.

[3] "Georg Cantor | Biography, Contributions, Books, & Facts". Encyclopedia Britannica (in English). Retrieved 2019-12-04.

[4] Georg Cantor (Nov 1895). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)". Mathematische Annalen. 46 (4): 481–512.

[5] Georg Cantor (Jul 1897). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2)". Mathematische Annalen. 49 (2): 207–246.

[6] Georg Cantor (1915). Philip E.B. Jourdain (ed.). ट्रांसफ़िनिट संख्याओं के सिद्धांत की स्थापना में योगदान (PDF). New York: Dover Publications, Inc. English translation of Cantor (1895, 1897).

[oxtoby-7] Oxtoby, J. C. (1959), "Review of Cardinal and Ordinal Numbers (1st ed.)", Bulletin of the American Mathematical Society, 65 (1): 21–23, doi:10.1090/S0002-9904-1959-10264-0, MR 1565962

[goodstein-8] Goodstein, R. L. (December 1966), "Review of Cardinal and Ordinal Numbers (2nd ed.)", The Mathematical Gazette, 50 (374): 437, doi:10.2307/3613997, JSTOR 3613997

[:1-9] 9.0 ^9.1 Weisstein, Eric W. (3 May 2023). "क्रमसूचक संख्या". mathworld.wolfram.com (in English).

[10] Beyer, W. A.; Louck, J. D. (1997), "Transfinite function iteration and surreal numbers", Advances in Applied Mathematics, 18 (3): 333–350, doi:10.1006/aama.1996.0513, MR 1436485

[ONG-11] 11.0 ^11.1 ^11.2 John Horton Conway, (1976) On Numbers and Games. Academic Press, ISBN 0-12-186350-6. (See Chapter 3.)

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 {{Short description|Number that is larger than all finite numbers}}
-गणित में, अनंत संख्याएँ या अनंत संख्याएँ ऐसी संख्याएँ होती हैं जो इस अर्थ में अनंत होती हैं कि वे सभी परिमित संख्याओं से बड़ी होती हैं। इनमें ट्रांसफ़िनिट कार्डिनल्स शामिल हैं, जो कि कार्डिनल संख्याएँ हैं जिनका उपयोग अनंत सेटों के आकार को निर्धारित करने के लिए किया जाता है, और ट्रांसफ़िनिट ऑर्डिनल्स, जो कि अनंत सेटों का क्रम प्रदान करने के लिए उपयोग की जाने वाली क्रमिक संख्याएँ हैं।<ref>{{Cite web|url=https://www.dictionary.com/browse/transfinite-number|title=Definition of transfinite number {{!}} Dictionary.com|website=www.dictionary.com|language=en|access-date=2019-12-04}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|url=https://www.math.utah.edu/~pa/math/sets.html|title=अनंत संख्याएँ और समुच्चय सिद्धांत|website=www.math.utah.edu|access-date=2019-12-04}}</ref> ट्रांसफ़िनिट शब्द 1895 में [[जॉर्ज कैंटर]] द्वारा गढ़ा गया था,<ref>{{Cite web|url=https://www.britannica.com/biography/Georg-Ferdinand-Ludwig-Philipp-Cantor|title=Georg Cantor {{!}} Biography, Contributions, Books, & Facts|website=Encyclopedia Britannica|language=en|access-date=2019-12-04}}</ref><ref>{{cite journal | url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=GDZPPN00225557X | author=Georg Cantor | title=Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1) | journal=Mathematische Annalen | volume=46 | number=4 | pages=481&ndash;512 | date=Nov 1895 }} {{Open access}}</ref><ref>{{cite journal | url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=GDZPPN002256460 | author=Georg Cantor | title=Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2) | journal=Mathematische Annalen | volume=49 | number=2 | pages=207&ndash;246 | date=Jul 1897 }} {{Open access}}</ref><ref>{{cite book | url=https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/cantor1.pdf | author=Georg Cantor | editor=Philip E.B. Jourdain | title=ट्रांसफ़िनिट संख्याओं के सिद्धांत की स्थापना में योगदान| location=New York | publisher=Dover Publications, Inc. | year=1915 }} English translation of Cantor (1895, 1897).</ref> जो इन वस्तुओं के संबंध में अनंत शब्द के कुछ निहितार्थों से बचना चाहते थे, जो फिर भी, सीमित नहीं थे।{{cn|reason=Encyclopedia Britannica[4] doesn't cover this aspect. Cantor.1915[7] apparently just distinguishes 'finite aggregates' and 'transfinite aggregates' (p. 103, Sect. 6).|date=May 2021}} कुछ समकालीन लेखक इन शंकाओं को साझा करते हैं; अब ट्रांसफिनिट कार्डिनल्स और ऑर्डिनल्स को अनंत संख्याओं के रूप में संदर्भित करने के लिए इसे स्वीकार कर लिया गया है। फिर भी, ट्रांसफ़िनिट शब्द भी प्रयोग में रहता है।
+गणित में, पारपरिमित संख्याएँ या अनंत संख्याएँ ऐसी संख्याएँ होती हैं जो इस अर्थ में अनंत होती हैं कि वे सभी परिमित संख्याओं से बड़ी होती हैं। इनमें अनंत गणनसंख्या सम्मिलित हैं, जो कि गणन संख्याएँ हैं जिनका उपयोग अनंत सेटों के आकार को निर्धारित करने के लिए किया जाता है, और पारपरिमित क्रमवाचक संख्या, जो कि अनंत सेटों का क्रम प्रदान करने के लिए उपयोग की जाने वाली क्रमिक संख्याएँ हैं।<ref>{{Cite web|url=https://www.dictionary.com/browse/transfinite-number|title=Definition of transfinite number {{!}} Dictionary.com|website=www.dictionary.com|language=en|access-date=2019-12-04}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|url=https://www.math.utah.edu/~pa/math/sets.html|title=अनंत संख्याएँ और समुच्चय सिद्धांत|website=www.math.utah.edu|access-date=2019-12-04}}</ref> अनंत शब्द 1895 में [[जॉर्ज कैंटर]] द्वारा प्रदान किया गया था,<ref>{{Cite web|url=https://www.britannica.com/biography/Georg-Ferdinand-Ludwig-Philipp-Cantor|title=Georg Cantor {{!}} Biography, Contributions, Books, & Facts|website=Encyclopedia Britannica|language=en|access-date=2019-12-04}}</ref><ref>{{cite journal | url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=GDZPPN00225557X | author=Georg Cantor | title=Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1) | journal=Mathematische Annalen | volume=46 | number=4 | pages=481&ndash;512 | date=Nov 1895 }} {{Open access}}</ref><ref>{{cite journal | url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=GDZPPN002256460 | author=Georg Cantor | title=Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2) | journal=Mathematische Annalen | volume=49 | number=2 | pages=207&ndash;246 | date=Jul 1897 }} {{Open access}}</ref><ref>{{cite book | url=https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/cantor1.pdf | author=Georg Cantor | editor=Philip E.B. Jourdain | title=ट्रांसफ़िनिट संख्याओं के सिद्धांत की स्थापना में योगदान| location=New York | publisher=Dover Publications, Inc. | year=1915 }} English translation of Cantor (1895, 1897).</ref> जो इन वस्तुओं के संबंध में अनंत शब्द के कुछ निहितार्थों से बचना चाहते थे, जो, फिर भी, सीमित नहीं थे।{{cn|reason=Encyclopedia Britannica[4] doesn't cover this aspect. Cantor.1915[7] apparently just distinguishes 'finite aggregates' and 'transfinite aggregates' (p. 103, Sect. 6).|date=May 2021}} कुछ समकालीन लेखक इन चिंताओं को साझा करते हैं लेकिन अब पारपरिमित गणनसंख्या और क्रमवाचक संख्या को अनंत संख्याओं के रूप में संदर्भित करने के लिए इसे स्वीकार कर लिया गया है। फिर भी, पारपरिमित शब्द भी प्रयोग में रहता है।
-ट्रांसफ़िनिट नंबरों पर उल्लेखनीय कार्य वाकलॉ सिएरपिंस्की द्वारा किया गया था: लेकन्स सुर लेस नॉम्ब्रेस ट्रांसफ़िनिस (1928 पुस्तक) को [[कार्डिनल और क्रमसूचक संख्याएँ]] (1958) में विस्तारित किया गया।<ref name=oxtoby>{{citation
+अनंत नंबरों पर उल्लेखनीय कार्य वाकलॉ सिएरपिंस्की द्वारा किया गया था और लेकन्स सुर लेस नॉम्ब्रेस ट्रांसफ़िनिस (1928 पुस्तक) को [[कार्डिनल और क्रमसूचक संख्याएँ|गणनसंख्या और क्रमसूचक संख्याएँ]] (1958<ref name="oxtoby">{{citation
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-  | volume = 50}}</ref>).
+  | volume = 50}}</ref>) में विस्तारित किया गया।.
 ==परिभाषा==
-किसी भी परिमित [[प्राकृतिक संख्या]] का उपयोग कम से कम दो तरीकों से किया जा सकता है: क्रमसूचक के रूप में और कार्डिनल के रूप में। कार्डिनल संख्याएं सेट का आकार निर्दिष्ट करती हैं (उदाहरण के लिए, का एक बैग)। {{Em|five}} मार्बल्स), जबकि क्रमसूचक संख्याएँ एक क्रमबद्ध सेट के भीतर एक सदस्य के क्रम को निर्दिष्ट करती हैं<ref name=":1">{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/OrdinalNumber.html|title=क्रमसूचक संख्या|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|date=3 May 2023}}</ref> (उदा., द {{Em|third}} बाएं ओर से आदमी या {{Em|twenty-seventh}} जनवरी का दिन ). जब अनंत संख्याओं तक विस्तारित किया जाता है, तो ये दोनों अवधारणाएं एक-से-एक पत्राचार में नहीं रह जाती हैं। एक अनंत कार्डिनल संख्या का उपयोग एक अनंत बड़े सेट के आकार का वर्णन करने के लिए किया जाता है,<ref name=":0" />जबकि एक ट्रांसफ़िनिट ऑर्डिनल का उपयोग ऑर्डर किए गए एक अनंत बड़े सेट के भीतर स्थान का वर्णन करने के लिए किया जाता है।<ref name=":1" />{{not in citation given|date=May 2021}} सबसे उल्लेखनीय क्रमिक और कार्डिनल संख्याएँ क्रमशः हैं:
+किसी भी परिमित [[प्राकृतिक संख्या]] का उपयोग कम से कम दो तरीकों से किया जा सकता है: क्रमसूचक के रूप में और गणनसंख्या के रूप में। गणनसंख्या संख्याएं सेट का आकार निर्दिष्ट करती हैं (उदाहरण के लिए, का एक बैग)। {{Em|five}} मार्बल्स), जबकि क्रमसूचक संख्याएँ एक क्रमबद्ध सेट के भीतर एक सदस्य के क्रम को निर्दिष्ट करती हैं<ref name=":1">{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/OrdinalNumber.html|title=क्रमसूचक संख्या|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|date=3 May 2023}}</ref> (उदा., द {{Em|third}} बाएं ओर से आदमी या {{Em|twenty-seventh}} जनवरी का दिन ). जब अनंत संख्याओं तक विस्तारित किया जाता है, तो ये दोनों अवधारणाएं एक-से-एक पत्राचार में नहीं रह जाती हैं। एक अनंत गणनसंख्या संख्या का उपयोग एक अनंत बड़े सेट के आकार का वर्णन करने के लिए किया जाता है,<ref name=":0" />जबकि एक अनंत ऑर्डिनल का उपयोग ऑर्डर किए गए एक अनंत बड़े सेट के भीतर स्थान का वर्णन करने के लिए किया जाता है।<ref name=":1" />{{not in citation given|date=May 2021}} सबसे उल्लेखनीय क्रमिक और गणनसंख्या संख्याएँ क्रमशः हैं:
-*<math>\omega</math> (क्रमसूचक संख्या#ऑर्डिनल्स प्राकृतिक संख्याओं का विस्तार करते हैं): सबसे कम ट्रांसफ़िनिट क्रमिक संख्या। यह उनके सामान्य रैखिक क्रम के तहत प्राकृतिक संख्याओं का क्रम प्रकार भी है।
+*<math>\omega</math> (क्रमसूचक संख्या#ऑर्डिनल्स प्राकृतिक संख्याओं का विस्तार करते हैं): सबसे कम अनंत क्रमिक संख्या। यह उनके सामान्य रैखिक क्रम के तहत प्राकृतिक संख्याओं का क्रम प्रकार भी है।
-*<math>\aleph_0 </math> ([[aleph-एक]]): पहला ट्रांसफ़िनिट कार्डिनल नंबर। यह प्राकृतिक संख्याओं की [[प्रमुखता]] भी है। यदि [[पसंद का सिद्धांत]] कायम रहता है, तो अगली उच्चतर कार्डिनल संख्या एलेफ़-वन है, <math>\aleph_1.</math> यदि नहीं, तो ऐसे अन्य कार्डिनल भी हो सकते हैं जो एलेफ़-वन के साथ अतुलनीय हों और एलेफ़-नल से बड़े हों। किसी भी तरह से, एलेफ़-नल और एलेफ़-वन के बीच कोई कार्डिनल नहीं हैं।
+*<math>\aleph_0 </math> ([[aleph-एक]]): पहला अनंत गणनसंख्या नंबर। यह प्राकृतिक संख्याओं की [[प्रमुखता]] भी है। यदि [[पसंद का सिद्धांत]] कायम रहता है, तो अगली उच्चतर गणनसंख्या संख्या एलेफ़-वन है, <math>\aleph_1.</math> यदि नहीं, तो ऐसे अन्य गणनसंख्या भी हो सकते हैं जो एलेफ़-वन के साथ अतुलनीय हों और एलेफ़-नल से बड़े हों। किसी भी तरह से, एलेफ़-नल और एलेफ़-वन के बीच कोई गणनसंख्या नहीं हैं।
-सातत्य परिकल्पना यह प्रस्ताव है कि बीच में कोई मध्यवर्ती कार्डिनल संख्याएँ नहीं हैं <math>\aleph_0</math> और [[सातत्य की प्रमुखता]] ([[वास्तविक संख्या]]ओं के समुच्चय की प्रमुखता):<ref name=":0" />या समकक्ष वह <math>\aleph_1</math> वास्तविक संख्याओं के समुच्चय की प्रमुखता है। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में, न तो सातत्य परिकल्पना और न ही इसके निषेध को सिद्ध किया जा सकता है।
+सातत्य परिकल्पना यह प्रस्ताव है कि बीच में कोई मध्यवर्ती गणनसंख्या संख्याएँ नहीं हैं <math>\aleph_0</math> और [[सातत्य की प्रमुखता]] ([[वास्तविक संख्या]]ओं के समुच्चय की प्रमुखता):<ref name=":0" />या समकक्ष वह <math>\aleph_1</math> वास्तविक संख्याओं के समुच्चय की प्रमुखता है। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में, न तो सातत्य परिकल्पना और न ही इसके निषेध को सिद्ध किया जा सकता है।
-पी. सुप्प्स और जे. रुबिन सहित कुछ लेखक, डेडेकाइंड-अनंत सेट की कार्डिनैलिटी को संदर्भित करने के लिए ट्रांसफिनिट कार्डिनल शब्द का उपयोग उन संदर्भों में करते हैं जहां यह अनंत कार्डिनल के बराबर नहीं हो सकता है; अर्थात्, उन संदर्भों में जहां गणनीय विकल्प के सिद्धांत को नहीं माना जाता है या माना नहीं जाता है। इस परिभाषा को देखते हुए, निम्नलिखित सभी समकक्ष हैं:
+पी. सुप्प्स और जे. रुबिन सहित कुछ लेखक, डेडेकाइंड-अनंत सेट की कार्डिनैलिटी को संदर्भित करने के लिए पारपरिमित गणनसंख्या शब्द का उपयोग उन संदर्भों में करते हैं जहां यह अनंत गणनसंख्या के बराबर नहीं हो सकता है; अर्थात्, उन संदर्भों में जहां गणनीय विकल्प के सिद्धांत को नहीं माना जाता है या माना नहीं जाता है। इस परिभाषा को देखते हुए, निम्नलिखित सभी समकक्ष हैं:
-* <math>\mathfrak{m}</math> एक अनंत कार्डिनल है. अर्थात् एक डेडेकाइंड अनंत समुच्चय है <math>A</math> ऐसी कि प्रमुखता<math>A</math>है <math>\mathfrak {m}.</math>
+* <math>\mathfrak{m}</math> एक अनंत गणनसंख्या है. अर्थात् एक डेडेकाइंड अनंत समुच्चय है <math>A</math> ऐसी कि प्रमुखता<math>A</math>है <math>\mathfrak {m}.</math>
 * <math>\mathfrak{m} + 1 = \mathfrak{m}.</math>
 * <math>\aleph_0 \leq \mathfrak{m}.</math>
-* एक कार्डिनल है <math>\mathfrak{n}</math> ऐसा है कि <math>\aleph_0 + \mathfrak{n} = \mathfrak{m}.</math>
+* एक गणनसंख्या है <math>\mathfrak{n}</math> ऐसा है कि <math>\aleph_0 + \mathfrak{n} = \mathfrak{m}.</math>
-हालाँकि ट्रांसफ़िनिट ऑर्डिनल्स और कार्डिनल्स दोनों केवल प्राकृतिक संख्याओं का सामान्यीकरण करते हैं, हाइपररियल संख्याओं और [[अतियथार्थवादी संख्या]]ओं सहित संख्याओं की अन्य प्रणालियाँ, वास्तविक संख्याओं का सामान्यीकरण प्रदान करती हैं।<ref>{{citation
+हालाँकि अनंत ऑर्डिनल्स और गणनसंख्या दोनों केवल प्राकृतिक संख्याओं का सामान्यीकरण करते हैं, हाइपररियल संख्याओं और [[अतियथार्थवादी संख्या]]ओं सहित संख्याओं की अन्य प्रणालियाँ, वास्तविक संख्याओं का सामान्यीकरण प्रदान करती हैं।<ref>{{citation
   | last1 = Beyer | first1 = W. A.
   | last2 = Louck | first2 = J. D.
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 कैंटर के क्रमिक संख्याओं के सिद्धांत में, प्रत्येक पूर्णांक संख्या का एक उत्तराधिकारी होना चाहिए।<ref name="ONG">[[John Horton Conway]], (1976) ''[[On Numbers and Games]]''. Academic Press, ISBN 0-12-186350-6. ''(See Chapter 3.)''</ref> सभी नियमित पूर्णांकों के बाद अगला पूर्णांक, जो कि पहला अनंत पूर्णांक है, नाम दिया गया है <math>\omega</math>. इस संदर्भ में, <math>\omega+1</math> से बड़ा है <math>\omega</math>, और <math>\omega\cdot2</math>, <math>\omega^{2}</math> और <math>\omega^{\omega}</math> अभी भी बड़े हैं. अंकगणितीय अभिव्यक्ति युक्त <math>\omega</math> एक क्रमसूचक संख्या निर्दिष्ट करें, और उस संख्या तक के सभी पूर्णांकों के समुच्चय के रूप में सोचा जा सकता है। किसी दी गई संख्या में आम तौर पर कई अभिव्यक्तियाँ होती हैं जो इसका प्रतिनिधित्व करती हैं, हालाँकि, एक अद्वितीय क्रमसूचक अंकगणित है जो इसका प्रतिनिधित्व करता है,<ref name="ONG" />अनिवार्य रूप से अंकों का एक सीमित अनुक्रम जो अवरोही शक्तियों के गुणांक देता है <math>\omega</math>.
-हालाँकि, सभी अनंत पूर्णांकों को कैंटर सामान्य रूप द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, और पहला जो नहीं किया जा सकता उसे सीमा द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>\omega^{\omega^{\omega^{...}}}</math> और कहा जाता है <math>\varepsilon_{0}</math>.<ref name="ONG" /> <math>\varepsilon_{0}</math> का सबसे छोटा समाधान है <math>\omega^{\varepsilon}=\varepsilon</math>, और निम्नलिखित समाधान <math>\varepsilon_{1}, ...,\varepsilon_{\omega}, ...,\varepsilon_{\varepsilon_{0}}, ...</math> अभी भी बड़े क्रम-निर्देश दें, और जब तक कोई सीमा तक नहीं पहुंच जाता तब तक उसका पालन किया जा सकता है <math>\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{...}}}</math>, जो इसका पहला समाधान है <math>\varepsilon_{\alpha}=\alpha</math>. इसका मतलब यह है कि सभी ट्रांसफ़िनिट पूर्णांकों को निर्दिष्ट करने में सक्षम होने के लिए, किसी को नामों के अनंत अनुक्रम के बारे में सोचना चाहिए: क्योंकि यदि किसी को एक सबसे बड़ा पूर्णांक निर्दिष्ट करना होता है, तो वह हमेशा उसके बड़े उत्तराधिकारी का उल्लेख करने में सक्षम होगा। लेकिन जैसा कि कैंटर ने उल्लेख किया है,{{citation needed|date=May 2021}} यहां तक कि यह किसी को केवल अनंत संख्याओं के निम्नतम वर्ग तक पहुंचने की अनुमति देता है: जिनके सेट का आकार कार्डिनल संख्या के अनुरूप होता है <math>\aleph_{0}</math>.
+हालाँकि, सभी अनंत पूर्णांकों को कैंटर सामान्य रूप द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, और पहला जो नहीं किया जा सकता उसे सीमा द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>\omega^{\omega^{\omega^{...}}}</math> और कहा जाता है <math>\varepsilon_{0}</math>.<ref name="ONG" /> <math>\varepsilon_{0}</math> का सबसे छोटा समाधान है <math>\omega^{\varepsilon}=\varepsilon</math>, और निम्नलिखित समाधान <math>\varepsilon_{1}, ...,\varepsilon_{\omega}, ...,\varepsilon_{\varepsilon_{0}}, ...</math> अभी भी बड़े क्रम-निर्देश दें, और जब तक कोई सीमा तक नहीं पहुंच जाता तब तक उसका पालन किया जा सकता है <math>\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{...}}}</math>, जो इसका पहला समाधान है <math>\varepsilon_{\alpha}=\alpha</math>. इसका मतलब यह है कि सभी अनंत पूर्णांकों को निर्दिष्ट करने में सक्षम होने के लिए, किसी को नामों के अनंत अनुक्रम के बारे में सोचना चाहिए: क्योंकि यदि किसी को एक सबसे बड़ा पूर्णांक निर्दिष्ट करना होता है, तो वह हमेशा उसके बड़े उत्तराधिकारी का उल्लेख करने में सक्षम होगा। लेकिन जैसा कि कैंटर ने उल्लेख किया है,{{citation needed|date=May 2021}} यहां तक कि यह किसी को केवल अनंत संख्याओं के निम्नतम वर्ग तक पहुंचने की अनुमति देता है: जिनके सेट का आकार गणनसंख्या संख्या के अनुरूप होता है <math>\aleph_{0}</math>.
 ==यह भी देखें==

v t e अनंतता ( $\infty$ )
इतिहास	कैंटर के सिद्धांत पर विवाद
गणित की शाखाएँ	आंतरिक सेट सिद्धांत गैर -मानक विश्लेषण समुच्चय सिद्धान्त सिंथेटिक डिफरेंशियल ज्यामिति
अनन्तता का औपचारिकता	बुनियादी संख्या हाइपरियल नंबर क्रमसूचक संख्या असली संख्या ट्रांसफिनाइट नंबर Infinitesimal पूर्ण अनंत
गणितज्ञों	जॉर्ज कैंटर गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ अब्राहम रॉबिन्सन

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