ओवररिंग: Difference between revisions

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यह लेख गणितीय अवधारणा के बारे में है। उच्चारण के लिए, रिंग (विशेषक) देखें

गणित में, अविभाज्य कार्यक्षेत्र के ओवररिंग (ऊपरी वलय) में अविभाज्य कार्यक्षेत्र होता है, और अविभाज्य कार्यक्षेत्र के अंशों के क्षेत्र में ऊपरी वलय होता है। ऊपरी वलय विभिन्न प्रकार के वलय और कार्यक्षेत्र (रिंग सिद्धांत) की बेहतर समझ प्रदान करते हैं।

परिभाषा

इस लेख में, सभी वलय (गणित) क्रमविनिमेय वलय हैं, और वलय और ऊपरी वलय समान समरूप तत्व साझा करते हैं।

माना की ${\textstyle Q(A)}$ एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र ${\textstyle A}$ के अंशों के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं, वलय ${\textstyle B}$ अविभाज्य कार्यक्षेत्र ${\textstyle A}$ का एक ऊपरी वलय है। यदि ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$ का उपसमूह है और ${\textstyle B}$ अंशों के क्षेत्र ${\textstyle Q(A)}$ का एक उपसमूह है ;^[1]^: 167तब ${\textstyle A}$ और ${\textstyle B}$ का संबंध है ${\textstyle A\subseteq B\subseteq Q(A)}$ .^[2]^: 373

गुण

अंशो का वलय

वलय ${\textstyle R_{A},S_{A},T_{A}}$ गुणक समुच्चय ${\textstyle A}$ द्वारा वलय ${\textstyle R,S,T}$ के अंशों का कुल वलय हैं.^[3]^: 46 मान लीजिए ${\textstyle T}$ ${\textstyle R}$ का ऊपरी वलय है और ${\textstyle A}$ ${\textstyle R}$ में एक गुणक समुच्चय है। वलय ${\textstyle T_{A}}$ ${\textstyle R_{A}}$ का ऊपरी वलय है। यदि प्रत्येक गैर-इकाई तत्व ${\textstyle T_{A}}$ का एक शून्य भाजक है तो वलय ${\textstyle T_{A}}$ ${\textstyle R_{A}}$ के अंशों का कुल वलय है।^[4]^: 52–53 यदि

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 <em>न्यूनतम वलय समरूपता</em> <math display="inline">f</math> एक [[इंजेक्शन समारोह|अंतःक्षेपक]] [[विशेषण समारोह|गैर अनुमानित]] समरूपता है, और यदि समरूपता <math display="inline">f</math> समरूपता <math display="inline">g</math> और <math display="inline">h</math> की एक रचना है तो <math display="inline">g</math> या <math display="inline">h</math> एक समरूप है।{{sfn|Ferrand|Olivier|1970}}{{rp|461}}
-एक <em>उचित न्यूनतम वलय एक्सटेंशन</em> <math display="inline">T</math> उपवलय का <math display="inline">R</math> होता है अगर की वलय शामिल है <math display="inline">R</math> में <math display="inline">T</math> एक न्यूनतम वलय समरूपता है। इसका तात्पर्य वलय जोड़ी से है <math display="inline">(R,T)</math> कोई उचित मध्यवर्ती वलय नहीं है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2006}}{{rp|186}}
+एक <em>उचित न्यूनतम वलय विस्तार</em> <math display="inline">T</math> <math display="inline">R</math> उपवलय का होता है अगर वलय <math display="inline">R</math> में सम्मिलित <math display="inline">T</math> एक न्यूनतम वलय समरूपता है। इसका तात्पर्य वलय जोड़ी <math display="inline">(R,T)</math> के रूप में कोई उचित मध्यवर्ती वलय नहीं है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2006}}{{rp|186}}
-एक <em>न्यूनतम ऊपरी वलय</em> <math display="inline">T</math> वलय का <math display="inline">R</math> होता है अगर <math display="inline">T</math> रोकना <math display="inline">R</math> एक उपवलय और वलय जोड़ी के रूप में <math display="inline">(R,T)</math> कोई उचित मध्यवर्ती वलय नहीं है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}}
+वलय <math display="inline">R</math> का एक <em>न्यूनतम ऊपरी वलय</em>  <math display="inline">T</math> होता है अगर <math display="inline">T</math> <math display="inline">R</math> में युक्त एक उपवलय है और वलय जोड़ी <math display="inline">(R,T)</math> के रूप में कोई उचित मध्यवर्ती वलय नहीं है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}}
-गुणावली का <em>कप्लैन्स्की गुणावली रूपांतरण</em> (<em>हेज़ रूपांतरण</em>, <em>S-रूपांतरण</em>) <math display="inline">I</math> अविभाज्य कार्यक्षेत्र  के संबंध में <math display="inline">R</math> अंश क्षेत्र का एक उपसमुच्चय है <math display="inline">Q(R)</math>. इस उपसमुच्चय में तत्व होते हैं <math display="inline">x</math> ऐसा है कि प्रत्येक तत्व के लिए <math display="inline">y</math> गुणावली का <math display="inline">I</math> एक सकारात्मक पूर्णांक है <math display="inline">n</math> उत्पाद के साथ <math display="inline">x \cdot y^{n}</math> अविभाज्य कार्यक्षेत्र में निहित <math display="inline">R</math>.{{sfn|Sato|Sugatani|Yoshida|1992}}{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}}
+गुणावली <math display="inline">I</math> का <em>कप्लैन्स्की गुणावली रूपांतरण</em> (<em>हेज़ रूपांतरण</em>, <em>S-रूपांतरण</em>) अविभाज्य कार्यक्षेत्र <math display="inline">R</math>  के संबंध में अंश क्षेत्र का एक उपसमुच्चय <math display="inline">Q(R)</math> है इस उपसमुच्चय में <math display="inline">x</math> तत्व होते हैं  ऐसा है कि प्रत्येक तत्व <math display="inline">y</math> के लिए  गुणावली <math display="inline">I</math> का एक सकारात्मक पूर्णांक <math display="inline">n</math> है  उत्पाद  <math display="inline">x \cdot y^{n}</math>के साथ अविभाज्य कार्यक्षेत्र <math display="inline">R</math> में निहित है।{{sfn|Sato|Sugatani|Yoshida|1992}}{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}}
 ==== गुण ====
-कार्यक्षेत्र के न्यूनतम वलय एक्सटेंशन से उत्पन्न कोई भी कार्यक्षेत्र <math display="inline">R</math> का ऊपरी वलय है <math display="inline">R</math> अगर <math display="inline">R</math> एक क्षेत्र नहीं है।{{sfn|Sato|Sugatani|Yoshida|1992}}{{sfn|Dobbs|Shapiro|2006}}{{rp|186}}
+कार्यक्षेत्र के न्यूनतम वलय <em>विस्तार</em> से उत्पन्न कोई भी कार्यक्षेत्र <math display="inline">R</math> का ऊपरी वलय <math display="inline">R</math> है अगर <math display="inline">R</math> एक क्षेत्र नहीं है।{{sfn|Sato|Sugatani|Yoshida|1992}}{{sfn|Dobbs|Shapiro|2006}}{{rp|186}}
-के अंशों का क्षेत्र <math display="inline">R</math> न्यूनतम ऊपरी वलय शामिल है <math display="inline">T</math> का <math display="inline">R</math> कब <math display="inline">R</math> एक क्षेत्र नहीं है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}}
+अंशों का क्षेत्र <math display="inline">R</math> में न्यूनतम ऊपरी वलय <math display="inline">R</math> का <math display="inline">T</math> सम्मिलित है अगर <math display="inline">R</math> एक क्षेत्र नहीं है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}}
-एक पूर्ण रूप से बंद अविभाज्य कार्यक्षेत्र  मान लें <math display="inline">R</math> एक फ़ील्ड नहीं है, यदि अविभाज्य कार्यक्षेत्र  का न्यूनतम ऊपरी वलय है <math display="inline">R</math> मौजूद है, यह न्यूनतम ऊपरी वलय एक अधिकतम गुणावली के कप्लान्स्की परिवर्तन के रूप में होता है <math display="inline">R</math>.{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}}
+मान लें एक पूर्ण रूप से बंद अविभाज्य कार्यक्षेत्र <math display="inline">R</math> एक क्षेत्र नहीं है, यदि अविभाज्य कार्यक्षेत्र <math display="inline">R</math> का न्यूनतम ऊपरी वलय सम्मिलित है, तो न्यूनतम ऊपरी वलय एक अधिकतम गुणावली <math display="inline">R</math> के कप्लान्स्की परिवर्तन के रूप में होता है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}}
 == उदाहरण ==
-बेज़ाउट कार्यक्षेत्र | बेज़ाउट अविभाज्य कार्यक्षेत्र प्रुफ़र कार्यक्षेत्र का एक प्रकार है; बेज़ाउट कार्यक्षेत्र की पारिभाषिक संपत्ति प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न गुणावली एक प्रमुख गुणावली है। बेज़ाउट कार्यक्षेत्र एक प्रुफ़र कार्यक्षेत्र के सभी ऊपरी वलय गुणों को साझा करेगा।{{sfn|Fontana|Papick|2002}}{{rp|168}}
+बेज़ाउट अविभाज्य कार्यक्षेत्र प्रुफ़र कार्यक्षेत्र का एक प्रकार है; बेज़ाउट कार्यक्षेत्र की पारिभाषिक विशेषता प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न गुणावली एक प्रमुख गुणावली है। बेज़ाउट कार्यक्षेत्र एक प्रुफ़र कार्यक्षेत्र के सभी ऊपरी वलय गुणों को साझा करेगा।{{sfn|Fontana|Papick|2002}}{{rp|168}}
-पूर्णांक वलय एक प्रुफ़र वलय है, और सभी अधिगम भागफल के वलय हैं।{{sfn|Davis|1964}}{{rp|196}}
+पूर्णांक वलय एक प्रुफ़र वलय है, और सभी ऊपरी वलय अधिगम भागफल के वलय हैं।{{sfn|Davis|1964}}{{rp|196}}
 डायाडिक परिमेय एक [[पूर्णांक]] अंश और 2 भाजक की शक्ति वाला एक अंश है।

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