वर्गमूल: Difference between revisions

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(मुख्य) के वर्गमूल के लिए अंकन

x

।

File:Five Squared.svg

उदाहरण के लिए,

\sqrt 25 = 5

, जबसे

25 = 5 \cdot 5

, या

52

(5 वर्ग)।

गणित में, किसी संख्या $x$ का वर्गमूल एक संख्या $y$ है जैसे कि $y 2 = x$ ; दूसरे शब्दों में, एक संख्या $y$ जिसका वर्ग (बीजगणित) (संख्या को उसी से गुणा करने का परिणाम, या $y$  ⋅  $y$ ) $x$ है ।^[1] उदाहरण के लिए, 4 और -4 16 के वर्गमूल हैं, क्योंकि $42 = (-4) 2 = 16$ ।

प्रत्येक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या $x$ का एक अद्वितीय गैर-ऋणात्मक वर्गमूल होता है, जिसे मुख्य वर्गमूल कहा जाता है, जिसे ${\sqrt {x}}$ द्वारा निरूपित किया जाता है, जहाँ प्रतीक ${\sqrt {~^{~}}}$ को मूल चिह्न^[2] या मूलांक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, इस तथ्य को व्यक्त करने के लिए कि 9 का मुख्य वर्गमूल 3 है, हम ${\sqrt {9}}=3$ लिखते हैं। जिस शब्द (या संख्या) का वर्गमूल माना जा रहा है, उसे रेडिकैंड कहा जाता है। रेडिकैंड मूलांक चिह्न के नीचे की संख्या या अभिव्यक्ति है, इस स्थिति में 9। गैर-ऋणात्मक $x$ के लिए , मुख्य वर्गमूल को घातांक संकेतन में $x 1/2$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

प्रत्येक धनात्मक संख्या $x$ के दो वर्गमूल होते हैं: ${\sqrt {x}}$ (जो धनात्मक है) और $-{\sqrt {x}}$ (जो ऋणात्मक है)। $\pm {\sqrt {x}}$ के रूप में धन–ऋण चिह्न ± चिह्न का उपयोग करके दो मूलों को अधिक संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है। यद्यपि एक धनात्मक संख्या का मुख्य वर्गमूल उसके दो वर्गमूलों में से मात्र एक होता है, वर्गमूल पद का प्रयोग प्रायः मुख्य वर्गमूल को संदर्भित करने के लिए किया जाता है।^[3]^[4]

जटिल संख्याओं की संरचना के भीतर ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूलों पर चर्चा की जा सकती है। अधिक सामान्यतः, किसी भी संदर्भ में वर्गमूल पर विचार किया जा सकता है जिसमें गणितीय वस्तु के वर्ग (बीजगणित) की धारणा परिभाषित की जाती है। इनमें अन्य गणितीय संरचनाओं के बीच फलन समष्‍टि और वर्ग आव्यूह सम्मिलित हैं।

इतिहास

File:Ybc7289-bw.jpg

वाईबीसी 7289 मिट्टी की गोलियां

येल बेबीलोनियन संग्रह वाईबीसी 7289 मिट्टी की गोली 1800 ईसा पूर्व और 1600 ईसा पूर्व के बीच बनाया गया था, जिसमें ${\sqrt {2}}$ तथा ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ को क्रमशः 1; 24, 51, 10 और 0; 42, 25, 35 आधार 60 संख्याओं को दो विकर्णों द्वारा पार किए गए वर्ग पर दिखाया गया था।^[5] (1;24,51,10) आधार 60 1.41421296 के अनुरूप है, जो 5 दशमलव बिंदुओं (1.41421356...) का संशुद्ध मान है।

द रिहंद गणितीय पेपिरस 1650 ईसा पूर्व के बर्लिन पपीरस 6619 और अन्य ग्रंथों की एक प्रति है – पोस्सिब्ल्य थे कहुँ पेपिरस – यह दर्शाता है कि कैसे मिस्रियों ने व्युत्क्रम अनुपात विधि द्वारा वर्गमूल निकाले।^[6]

भारत के इतिहास में, वर्ग और वर्गमूल के सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त स्वरूपों का ज्ञान कम से कम उतना ही प्राचीन था जितना कि लगभग 800-500 ईसा पूर्व का सुल्ब सूत्र (संभवतः बहुत पूर्व)।^{[citation needed]} बौधायन सुल्बा सूत्र में 2 और 3 के वर्गमूलों का बहुत ठीक सन्निकटन ज्ञात करने की एक विधि दी गई है।^[7] आर्यभट ने आर्यभटीय (भाग 2.4) में अनेक अंकों वाली संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात करने की एक विधि दी है।

यह प्राचीन यूनानियों को ज्ञात था कि प्राकृतिक संख्या के वर्गमूल जो वर्ग संख्या नहीं हैं, सदैव अपरिमेय संख्याएँ होती हैं: संख्याएँ दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में अभिव्यक्त नहीं होती हैं (अर्थात, उन्हें ठीक ${\textstyle {\frac {m}{n}}}$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, जहाँ m और n पूर्णांक हैं)। यह प्रमेय X, 9, है, जो लगभग निश्चित रूप से थेएटेटस (गणितज्ञ) के कारण लगभग 380 ईसा पूर्व का है।^[8] 2 के वर्गमूल की विशेष स्थिति पाइथागोरसवाद से पूर्व का माना जाता है, और पारंपरिक रूप से हिपपासस को उत्तरदायी ठहराया जाता है।^{[citation needed]} यह एक इकाई वर्ग के विकर्ण की लंबाई है।

प्रारंभिक हान राजवंश के समय 202 ईसा पूर्व और 186 ईसा पूर्व के बीच लिखे गए चीनी गणितीय कार्य रेकनिंग पर लेखन में, वर्गमूल को एक अतिरिक्त और न्यूनता विधि का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है, जो कहता है कि "... अधिकता और न्यूनता को विभाजक के रूप में संयोजित करें; (लेना) न्यूनता अंश को अतिरिक्त भाजक से गुणा करना और अतिरिक्त अंश को न्यूनता भाजक से गुणा करना, उन्हें लाभांश के रूप में संयोजित करना।"^[9]

वर्गमूल के लिए एक प्रतीक, जिसे एक विस्तृत R के रूप में लिखा गया है, का आविष्कार रेजीओमोंटानस (1436-1476) द्वारा किया गया था। जेरोम कार्डानो के एर्स मैग्ना (गेरोलामो कार्डानो) में वर्गमूलों को इंगित करने के लिए मूलांक के लिए एक R का भी उपयोग किया गया था।^[10]

गणित के इतिहासकार के अनुसार डेविड यूजीन स्मिथ के अनुसार, आर्यभट्ट की वर्गमूल ज्ञात करने की विधि को सबसे पूर्व यूरोप में गियाकोमो कैटेनो के पीटर द्वारा 1546 में प्रस्तुत किया गया था।

जेफरी ए. ओक्स के अनुसार, अरबों ने शब्द جذر के पहले अक्षर jim/ĝīm (ج) (विभिन्न लिप्यंतरण के रूप में jaḏr, jiḏr, ǧaḏr या ǧiḏr, "वर्गमूल ") का प्रयोग किया, जो इसके वर्गमूल को इंगित करने के लिए एक संख्या पर इसके प्रारंभिक रूप (ﺟ) में रखा गया था। जिम अक्षर वर्तमान वर्गमूल आकार जैसा दिखता है। मोरक्को के गणितज्ञ इब्न अल -यासमीन के कार्यों में बारहवीं शताब्दी के अंत तक इसका उपयोग होता है।^[11]

वर्गमूल के लिए प्रतीक √ का उपयोग पहली बार 1525 में क्रिस्टोफ रूडोल्फ के कॉस में मुद्रण किया गया था।^[12]

गुण और उपयोग

File:Square root 0 25.svg

फलन का ग्राफ़ f(x) = √x, वर्टिकल डायरेक्ट्रिक्स (शंकु खंड) के साथ आधे परवलय से बना है#एक्सेंट्रिकिटी, फोकस और डायरेक्ट्रिक्स

प्रमुख वर्ग वर्गमूल फलन $f(x)={\sqrt {x}}$ (सामान्यतः मात्र वर्ग वर्गमूल फलन के रूप में संदर्भित किया जाता है) एक फलन (गणित) है जो गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय (गणित) को स्वयं पर प्रतिचित्रित करता है। ज्यामिति के संदर्भ में, वर्गमूल फलन एक वर्ग के क्षेत्रफल को उसकी भुजा की लंबाई से प्रतिचित्रित करता है।

x का वर्गमूल परिमेय है यदि और मात्र यदि x एक परिमेय संख्या है जिसे दो पूर्ण वर्गों के अनुपात के रूप में दर्शाया जा सकता है। (प्रमाण के लिए 2 का वर्गमूल देखें कि यह एक अपरिमेय संख्या है, और सभी गैर-वर्ग प्राकृतिक संख्याओं के प्रमाण के लिए द्विघात अपरिमेय है।) वर्गमूल फलन परिमेय संख्याओं को बीजगणितीय संख्याओं में प्रतिचित्रित करता है, बाद वाला परिमेय संख्याओं का अधिसमुच्चय होता है। )।

सभी वास्तविक संख्याओं x के लिए,

{\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}

(पूर्ण मान देखें)

सभी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं x और y,

{\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}

तथा

{\sqrt {x}}=x^{1/2}

के लिए।

वर्गमूल फलन सभी गैर-ऋणात्मक x के लिए सतत फलन है, और सभी धनात्मक x के लिए व्युत्पन्न है। यदि f वर्गमूल फलन को दर्शाता है, जिसका व्युत्पन्न इस प्रकार दिया जाता है:

f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.

x = 0 के विषय में ${\sqrt {1+x}}$ की टेलर श्रृंखला है |x| ≤ 1 के लिए अभिसरण करती है, और

\sqrt{1 + x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} (2 n)!}{(}

[1]

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 == वर्गमूल का ज्यामितीय निर्माण ==
 [[File:SqrtGeom.gif|thumb|[[सीधा किनारा और कम्पास निर्माण]] लंबाई <math>x=\sqrt{a}</math>, देखते हुए <math>a</math> और इकाई लंबाई]]
-[[File:Euclid Corollary 5.svg|thumb|√ के कर्ण के साथ त्रिकोण तक थिओडोरस का सर्पिल{{overline|4}}]]किसी धनात्मक संख्या का [[वर्ग]]मूल सामान्यतः दी गई संख्या के बराबर क्षेत्रफल वाले वर्ग की भुजा की लंबाई के रूप में परिभाषित किया जाता है। परन्तु इसके लिए चौकोर आकार आवश्यक नहीं है: यदि दो [[समानता (ज्यामिति)]] [[यूक्लिडियन विमान]] वस्तुओं में से एक का क्षेत्रफल दूसरे की तुलना में एक गुना अधिक है, तो उनके रैखिक आकारों का अनुपात है <math>\sqrt{a}</math>।
+[[File:Euclid Corollary 5.svg|thumb|√ के कर्ण के साथ त्रिकोण तक थिओडोरस का सर्पिल{{overline|4}}]]किसी धनात्मक संख्या का [[वर्ग]]मूल सामान्यतः दी गई संख्या के बराबर क्षेत्रफल वाले वर्ग की भुजा की लंबाई के रूप में परिभाषित किया जाता है। परन्तु इसके लिए चौकोर आकार आवश्यक नहीं है: यदि दो [[समानता (ज्यामिति)]] [[यूक्लिडियन विमान|यूक्लिडियन समतल]] वस्तुओं में से एक का क्षेत्रफल दूसरे की तुलना में एक गुना अधिक है, तो उनके रैखिक आकारों का अनुपात <math>\sqrt{a}</math>है।
-एक कम्पास और सीधे किनारे के साथ एक वर्गमूल का निर्माण किया जा सकता है। अपने [[यूक्लिड]] के अवयवों में, यूक्लिड (फ्लोवर्गमूल|fl। 300 बीसी) ने दो अलग-अलग समष्‍टिों में दो मात्राओं के ज्यामितीय माध्य का निर्माण दिया: [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookII/propII14 ।html प्रस्ताव II।14] और [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI13.html प्रस्ताव VI।13]। चूँकि a और b का गुणोत्तर माध्य है <math>\sqrt{ab}</math>, बना सकता है <math>\sqrt{a}</math> बस लेने से {{nowrap|1=''b'' = 1}}।
+एक  दिक्सूचक और सीधे किनारे के साथ एक वर्गमूल का निर्माण किया जा सकता है। अपने [[यूक्लिड]] के अवयवों में, यूक्लिड (फ्लोवर्गमूल 300 ईसा पूर्व) ने दो अलग-अलग समष्‍टिों में दो मात्राओं के ज्यामितीय माध्य का निर्माण दिया: [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookII/propII14 ।html प्रस्ताव II.14] और [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI13.html प्रस्ताव VI.13]। चूँकि a और b का गुणोत्तर माध्य <math>\sqrt{ab}</math> है, कोई भी मात्र {{nowrap|1=''b'' = 1}} लेकर  <math>\sqrt{a}</math> की रचना कर सकता है।
-निर्माण [[डेसकार्टेस]] द्वारा अपने ला जियोमेट्री में भी दिया गया है, [http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=00570001&seq=12&frames=0&view=50 पेज 2 पर चित्र 2 देखें ]। यद्यपि, डेसकार्टेस ने मौलिकता का कोई दावा नहीं किया और उनके दर्शक यूक्लिड से काफी परिचित होंगे।
+निर्माण [[डेसकार्टेस]] द्वारा अपने ज्यामिति में भी दिया गया है, [http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=00570001&seq=12&frames=0&view=50 पृष्ठ 2 पर चित्र 2 देखें] । यद्यपि, डेसकार्टेस ने मौलिकता का कोई अनुरोध नहीं किया और उनके दर्शक यूक्लिड से अत्यधिक परिचित होंगे।
-पुस्तक VI में यूक्लिड का दूसरा प्रमाण समरूप त्रिभुजों#समान त्रिभुजों के सिद्धांत पर निर्भर करता है। माना AHB लंबाई का एक रेखाखंड है {{nowrap|''a'' + ''b''}} साथ {{nowrap|1=AH = ''a''}} तथा {{nowrap|1=HB = ''b''}}। AB को व्यास मानकर एक वृत्त की रचना करें और C को वृत्त के साथ H पर लंब जीवा के दो चौराहों में से एक होने दें और लंबाई CH को h के रूप में निरूपित करें। फिर, थेल्स प्रमेय का उपयोग करके और, जैसा कि पाइथागोरस प्रमेय में है#समान त्रिभुजों का उपयोग करके सिद्ध करें|समान त्रिभुजों द्वारा पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण, त्रिभुज AHC त्रिभुज CHB के समान है (जैसा कि वस्तुतः दोनों त्रिभुज ACB के समान हैं, यद्यपि हमें इसकी आवश्यकता नहीं है वह, परन्तु यह पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण का सार है) ताकि AH:CH HC:HB के रूप में हो, अर्थात {{nowrap|1= ''a''/''h'' = ''h''/''b''}}, जिससे हम क्रॉस-गुणन द्वारा यह निष्कर्ष निकालते हैं कि {{nowrap|1= ''h''<sup>2</sup> = ''ab''}}, और अंत में वह <math>h = \sqrt{ab}</math>। जब रेखा खंड AB के मध्यबिंदु O को चिह्नित करते हैं और लंबाई की त्रिज्या OC खींचते हैं {{nowrap|(''a'' + ''b'')/2}}, तो स्पष्ट रूप से ओसी> सीएच, यानी। <math display=inline>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}</math> (समानता के साथ यदि और मात्र यदि {{nowrap|1=''a'' = ''b''}}), जो अंकगणित और ज्यामितीय माध्यों की असमानता है। अंकगणित-ज्यामितीय माध्य दो चरों के लिए असमानता है और, जैसा कि उल्लेख किया गया है, वर्गमूल # संगणना, हीरोन की विधि की [[ग्रीक गणित]] की समझ का आधार है।
+पुस्तक VI में यूक्लिड का दूसरा प्रमाण समरूप त्रिभुजों के सिद्धांत पर निर्भर करता है। मान लीजिए AHB लंबाई {{nowrap|''a'' + ''b''}} का एक रेखाखंड है, जिसमें {{nowrap|1=AH = ''a''}} तथा {{nowrap|1=HB = ''b''}} है। AB को व्यास मानकर एक वृत्त की रचना करें और C को वृत्त के साथ H पर लंब जीवा के दो प्रतिच्छेदनों में से एक होने दें और लंबाई CH को h के रूप में निरूपित करें। फिर, थेल्स प्रमेय का उपयोग करते हुए और, समान त्रिभुजों द्वारा पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण में, त्रिभुज AHC त्रिभुज CHB के समान है (जैसा कि वस्तुतः दोनों त्रिभुज ACB के लिए हैं,  यद्यपि हमें इसकी आवश्यकता नहीं है , परन्तु यह पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण का सार है) ताकि AH:CH HC:HB के रूप में हो, अर्थात {{nowrap|1= ''a''/''h'' = ''h''/''b''}}, जिससे हम क्रॉस-गुणन द्वारा यह निष्कर्ष निकालते हैं कि {{nowrap|1= ''h''<sup>2</sup> = ''ab''}}, और अंत में वह <math>h = \sqrt{ab}</math>। जब रेखाखंड AB के मध्यबिंदु O को चिन्हित किया जाता है और लंबाई {{nowrap|(''a'' + ''b'')/2}}  की त्रिज्या OC खींची जाती है, तो स्पष्ट रूप से OC > CH, अर्थात <math display=inline>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}</math> (समानता के साथ यदि और मात्र यदि {{nowrap|1=''a'' = ''b''}}), जो अंकगणित और ज्यामितीय माध्यों की असमानता है। जो दो के लिए अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य असमानता है चर और, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, "हेरॉन की विधि" की [[ग्रीक गणित]] समझ का आधार है।
-ज्यामितीय निर्माण का एक अन्य तरीका [[सही त्रिकोण|संशुद्ध त्रिकोण]] और गणितीय प्रेरण का उपयोग करता है: <math>\sqrt{1}</math> बनाया जा सकता है, और एक बार <math>\sqrt{x}</math> बनाया गया है, पैर 1 और के साथ संशुद्ध त्रिकोण <math>\sqrt{x}</math> का [[कर्ण]] होता है <math>\sqrt{x + 1}</math>। इस प्रकार से क्रमिक वर्गमूलों का निर्माण करने से ऊपर दर्शाए गए थियोडोरस का सर्पिल प्राप्त होता है।
+ज्यामितीय निर्माण की एक अन्य विधि [[सही त्रिकोण|समकोण त्रिभुजों]] और गणितीय प्रेरण का उपयोग करता है: <math>\sqrt{1}</math> का निर्माण किया जा सकता है, और एक बार <math>\sqrt{x}</math> का निर्माण हो जाने के बाद,  पाद  1 और <math>\sqrt{x}</math> के साथ समकोण त्रिकोण में <math>\sqrt{x + 1}</math> का [[कर्ण]] होता है । इस प्रकार से क्रमिक वर्गमूलों का निर्माण करने से ऊपर दर्शाए गए थियोडोरस का सर्पिल प्राप्त होता है।
 == यह भी देखें ==

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