अनुकूली चरण आकार

गणित और संख्यात्मक विश्लेषण में, विधि की त्रुटियों को नियंत्रित करने और संख्यात्मक स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए सामान्य अंतर समीकरणों (संख्यात्मक एकीकरण के विशेष स्थिति सहित) के संख्यात्मक विधि के लिए कुछ विधि में एक अनुकूली चरण आकार का उपयोग किया जाता है जैसे ए- स्थिरता व्युत्पत्ति के आकार में बड़ी भिन्नता होने पर एक अनुकूली स्टेपसाइज का उपयोग करना विशेष महत्व रखता है।

उदाहरण के लिए, एक मानक केपलर कक्षा के रूप में पृथ्वी के बारे में एक उपग्रह की गति को मॉडलिंग करते समय, एक निश्चित टाइम-स्टेपिंग विधि जैसे यूलर विधि पर्याप्त हो सकती है।

चूँकि चीजें अधिक कठिन होती हैं यदि कोई पृथ्वी और चंद्रमा दोनों को ध्यान में रखते हुए अंतरिक्ष यान की गति को थ्री-बॉडी समस्या के रूप में मॉडल करना चाहता है।

वहां, ऐसे परिदृश्य उभर कर आते हैं जहां अंतरिक्ष यान पृथ्वी और चंद्रमा से दूर होने पर बड़े समय के कदम उठा सकता है, किंतु यदि अंतरिक्ष यान किसी एक ग्रह पिंड से टकराने के समीप पहुंच जाता है, तो छोटे समय के कदमों की जरूरत होती है। रोमबर्ग की विधि और रनगे-कुट्टा-फेहलबर्ग विधि रनगे-कुट्टा-फेहलबर्ग संख्यात्मक एकीकरण विधियों के उदाहरण हैं जो एक अनुकूली चरण आकार का उपयोग करते हैं।

उदाहरण

सरलता के लिए, निम्न उदाहरण सबसे सरल एकीकरण विधि, यूलर विधि का उपयोग करता है; व्यवहार में, उच्च-क्रम विधियों जैसे रनगे-कुट्टा विधियों को उनके उत्तम अभिसरण और स्थिरता गुणों के कारण पसंद किया जाता है।

प्रारंभिक मान समस्या पर विचार करें

$y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(a)=y_{a}$

जहाँ y और f सदिशों को निरूपित कर सकते हैं (जिस स्थिति में यह समीकरण कई चरों में युग्मित ओडीई की एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है)।

हमें फलन f(t,y) और प्रारंभिक नियम (a, y_a), और हम t = b पर समाधान खोजने में रुचि रखते हैं। चलो y(b) b पर स्पष्ट समाधान को दर्शाता है, और चलो y_bउस समाधान को निरूपित करें जिसकी हम गणना करते हैं। हम लिखते हैं $y_{b}+\varepsilon =y(b)$, जहाँ $\varepsilon$ संख्यात्मक समाधान में त्रुटि है।

t के मानों के अनुक्रम (t_n) के लिए, t_n = a + nh, के साथ, यूलर विधि y(t_n) के संगत मानों का अनुमान इस प्रकार देती है

$y_{n+1}^{(0)}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})$

इस सन्निकटन की स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि द्वारा परिभाषित किया गया है

$\tau _{n+1}^{(0)}=y(t_{n+1})-y_{n+1}^{(0)}$

और टेलर के प्रमेय द्वारा, यह दिखाया जा सकता है कि (f पर्याप्त रूप से चिकनी है) स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि चरण आकार के वर्ग के आनुपातिक है:

$\tau _{n+1}^{(0)}=ch^{2}$

जहाँ c आनुपातिकता का कोई स्थिरांक है।

हमने इस समाधान और इसकी त्रुटि को $(0)$ से चिह्नित किया है।

C का मान हमें ज्ञात नहीं है। आइए अब हम y(t_n+1) के लिए दूसरा सन्निकटन उत्पन्न करने के लिए एक अलग चरण आकार के साथ यूलर की विधि को फिर से प्रयुक्त करें। हमें दूसरा समाधान मिलता है, जिसे हम $(1)$ से लेबल करते हैं। नया चरण आकार मूल चरण आकार का आधा लें, और यूलर की विधि के दो चरण प्रयुक्त करें। यह दूसरा समाधान संभवतः अधिक स्पष्ट है। चूंकि हमें यूलर की विधि को दो बार प्रयुक्त करना है, स्थानीय त्रुटि (सबसे खराब स्थिति में) मूल त्रुटि से दोगुनी है।

$y_{n+{\frac {1}{2}}}=y_{n}+{\frac {h}{2}}f(t_{n},y_{n})$

$y_{n+1}^{(1)}=y_{n+{\frac {1}{2}}}+{\frac {h}{2}}f(t_{n+{\frac {1}{2}}},y_{n+{\frac {1}{2}}})$

$\tau _{n+1}^{(1)}=c\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}+c\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}=2c\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}ch^{2}={\frac {1}{2}}\tau _{n+1}^{(0)}$

$y_{n+1}^{(1)}+\tau _{n+1}^{(1)}=y(t+h)$

यहां, हम मानते हैं कि अंतराल $[t,t+h]$ पर त्रुटि कारक $c$