सममित फलन वलय: Difference between revisions

Revision as of 01:15, 17 May 2023

बीजगणित में और विशेष रूप से बीजगणितीय साहचर्य में, सममित फलन की रिंग 'n' निर्धारक में सममित बहुपद की रिंग (गणित) की विशिष्ट सीमा है, क्योंकि 'n' अनंत तक जाती है। यह वलय सार्वभौमिक संरचना के रूप में कार्य करता है जिसमें सममित बहुपदों के बीच संबंधों को निर्धारकों की संख्या n से स्वतंत्र विधियों से व्यक्त किया जा सकता है (किन्तु इसके तत्व न तो बहुपद हैं और न ही कार्य)। अन्य बातों के अतिरिक्त, यह वलय सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

सममित फलन की रिंग को सह-उत्पाद और द्विरेखीय रूप दिया जा सकता है जो इसे सकारात्मक स्वसम्मिलित श्रेणीबद्ध बीजगणित हॉपफ बीजगणित में बनाता है जो क्रमविनिमेय और सहसम्बन्धी दोनों है।

सममित बहुपद

सममित फलन का अध्ययन सममित बहुपदों पर आधारित है। अनिश्चितकों के कुछ परिमित समुच्चय में बहुपद वलय में, बहुपद को सममित कहा जाता है यदि यह वही रहता है जब भी किसी भी प्रकार से निर्धारक को अनुमति दी जाती है। अधिक औपचारिक रूप से,n निर्धारक में बहुपद की रिंग पर सममित समूह S_n के रिंग ऑटोमोर्फिज्म द्वारा समूह क्रिया होती है , जहां क्रमचय उपयोग किए गए क्रमपरिवर्तन के अनुसार प्रत्येक निर्धारक को साथ प्रतिस्थापित करके बहुपद पर कार्य करता है। अपरिवर्तनीय (गणित) इस क्रिया के लिए समूह क्रिया के अंतर्गत अपरिवर्तित सममित बहुपदों का उपसमूह बनाता है, यदि निर्धारक X₁, ..., X_n हैं, तो ऐसे सममित बहुपदों के उदाहरण हैं।

X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n},\,

X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+\cdots +X_{n}^{3},\,

और

X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.\,

कुछ और जटिल उदाहरण है X₁³X₂X₃ + X₁X₂³X₃ + X₁X₂X₃³ + X₁³X₂X₄ + X₁X₂³X₄ + X₁X₂X₄³ + ... जहां योग कुछ चर और दो अन्य चर की तीसरी शक्ति के सभी उत्पादों को सम्मलित करने के लिए आगे बढ़ता है। कई विशिष्ट प्रकार के सममित बहुपद हैं, जैसे प्राथमिक सममित बहुपद, शक्ति योग सममित बहुपद, एकपद सममित बहुपद, पूर्ण सजातीय सममित बहुपद, और शूर बहुपद हैं।

सममित फलन की रिंग

सममित बहुपदों के बीच अधिकांश संबंध अनिर्धारकों की संख्या n पर निर्भर नहीं करते हैं, अतिरिक्त इसके कि संबंध में कुछ बहुपदों को n को परिभाषित करने के लिए अधिक बड़ा होना आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए तीसरी शक्ति योग बहुपद p₃ के लिए न्यूटन की पहचान ओर जाता है

p_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})=e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})^{3}-3e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})+3e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),

जहां $e_{i}$ प्रारंभिक सममित बहुपदों को निरूपित करें; यह सूत्र सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए मान्य है और इस पर एकमात्र उल्लेखनीय निर्भरता यह है कि e_k(X₁,...,X_n) = 0 जब भी n < k हो। कोई इसे पहचान के रूप में लिखना चाहेगा

p

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 ==== बीजगणितीय सीमा के रूप में ====
-Λ<sub>''R''</sub> का एक और निर्माण वर्णन करने में कुछ अधिक समय लगता है, किन्तु n निर्धारक  में सममित बहुपदों के रिंग ''R''[''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>'']<sup>'''S'''<sub>''n''</sub></sup> के साथ संबंध को श्रेष्ठतर विधि से इंगित करता है। निर्धारक में सममित बहुपदों का प्रत्येक n के लिए समरूप वलय ''R''[''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>''<sub>+1</sub>]<sup>'''S'''<sub>''n''+1</sub></sup> पर [[विशेषण]] वलय समरूपता ρ<sub>''n''</sub> है,  जिसमें  ''R''[''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>'']<sup>'''S'''<sub>''n''</sub></sup>  पर एक और निर्धारक  है, जिसे सेट करके परिभाषित किया गया है। अंतिम निर्धारक को सेट करके ''X<sub>n</sub>''<sub>+1</sub>से 0 । चूंकि ρ<sub>''n''</sub> गैर-तुच्छ कर्नेल (बीजगणित) है, उस कर्नेल के गैर-शून्य तत्वों में कम से कम डिग्री <math>n+1</math> है ।(वे X के गुणक हैं ''X''<sub>1</sub>''X''<sub>2</sub>...''X<sub>n</sub>''<sub>+1</sub>)  इसका मतलब यह है कि ρ<sub>''n''</sub> का प्रतिबंध अधिक से अधिक डिग्री के तत्वों के लिए विशेषण [[रैखिक नक्शा]] है, और ''ρ<sub>n</sub>''(''e<sub>k</sub>''(''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>''<sub>+1</sub>)) = ''e<sub>k</sub>''(''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>'') सभी के लिए ''k'' ≤ ''n'' है। इस प्रतिबंध के व्युत्क्रम को विशिष्ट रूप से रिंग समरूपता φ<sub>''n''</sub> तक बढ़ाया जा सकता है ''R''[''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>'']<sup>'''S'''<sub>''n''</sub></sup> से ''R''[''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>''<sub>+1</sub>]<sup>'''S'''<sub>''n''+1</sub></sup>, जैसा कि उदाहरण के लिए सममित बहुपदों के मूलभूत प्रमेय से लिया गया है। छवियों के बाद से ''φ<sub>n</sub>''(''e<sub>k</sub>''(''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>'')) = ''e<sub>k</sub>''(''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>''<sub>+1</sub>) , ''k'' = 1,...,''n'' के लिए अभी भी R, समाकारिता φ<sub>''n''</sub> पर [[इंजेक्शन|अन्तःक्षेपण]] बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं और इसे रिंग के समावेश (कुछ असामान्य) के रूप में देखा जा सकता है; φ<sub>''n''</sub> लागू करना से पहले उपस्तिथ एकपद से समरूपता द्वारा प्राप्त नए निर्धारक वाले सभी एकपद को जोड़ने के लिए बहुपद राशि। रिंग Λ<sub>''R''</sub> तब इन समावेशन के अधीन इन सभी अंगूठियो का संघ ([[प्रत्यक्ष सीमा]]) है। चूंकि सभी φ<sub>''n''</sub> सम्मलित रिंग की कुल डिग्री द्वारा ग्रेडिंग के साथ संगत हैं, Λ<sub>''R''</sub> वर्गीकृत रिंग की संरचना प्राप्त करता है।
+Λ<sub>''R''</sub> का एक और निर्माण वर्णन करने में कुछ अधिक समय लगता है, किन्तु n निर्धारक  में सममित बहुपदों के रिंग ''R''[''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>'']<sup>'''S'''<sub>''n''</sub></sup> के साथ संबंध को श्रेष्ठतर विधि से इंगित करता है। निर्धारक में सममित बहुपदों का प्रत्येक n के लिए समरूप वलय ''R''[''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>''<sub>+1</sub>]<sup>'''S'''<sub>''n''+1</sub></sup> पर [[विशेषण]] वलय समरूपता ρ<sub>''n''</sub> है,  जिसमें  ''R''[''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>'']<sup>'''S'''<sub>''n''</sub></sup>  पर एक और निर्धारक  है, जिसे सेट करके परिभाषित किया गया है। अंतिम निर्धारक को सेट करके ''X<sub>n</sub>''<sub>+1</sub>से 0 । चूंकि ρ<sub>''n''</sub> गैर-तुच्छ कर्नेल (बीजगणित) है, उस कर्नेल के गैर-शून्य तत्वों में कम से कम डिग्री <math>n+1</math> है ।(वे X के गुणक हैं ''X''<sub>1</sub>''X''<sub>2</sub>...''X<sub>n</sub>''<sub>+1</sub>)  इसका मतलब यह है कि ρ<sub>''n''</sub> का प्रतिबंध अधिक से अधिक डिग्री के तत्वों के लिए विशेषण [[रैखिक नक्शा]] है, और ''ρ<sub>n</sub>''(''e<sub>k</sub>''(''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>''<sub>+1</sub>)) = ''e<sub>k</sub>''(''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>'') सभी के लिए ''k'' ≤ ''n'' है। इस प्रतिबंध के व्युत्क्रम को विशिष्ट रूप से ''R''[''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>'']<sup>'''S'''<sub>''n''</sub></sup> से ''R''[''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>''<sub>+1</sub>]<sup>'''S'''<sub>''n''+1</sub></sup>, तक  रिंग समरूपता φ<sub>''n''</sub> तक बढ़ाया जा सकता है । जैसा कि उदाहरण के लिए सममित बहुपदों के मूलभूत प्रमेय से लिया गया है। चूंकि  ''k'' = 1,...,''n'' के लिए ''φ<sub>n</sub>''(''e<sub>k</sub>''(''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>'')) = ''e<sub>k</sub>''(''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>''<sub>+1</sub>) , बिंब अभी भी R पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं, समाकारिता φ<sub>''n''</sub> पर [[इंजेक्शन|अन्तःक्षेपण]] बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं और इसे रिंग के समावेश (कुछ असामान्य) के रूप में देखा जा सकता है; φ<sub>''n''</sub> लागू करना से पहले उपस्तिथ एकपद से समरूपता द्वारा प्राप्त नए निर्धारक वाले सभी एकपद को जोड़ने के लिए बहुपद राशि। रिंग Λ<sub>''R''</sub> तब इन समावेशन के अधीन इन सभी अंगूठियो का संघ ([[प्रत्यक्ष सीमा]]) है। चूंकि सभी φ<sub>''n''</sub> सम्मलित रिंग की कुल डिग्री द्वारा ग्रेडिंग के साथ संगत हैं, Λ<sub>''R''</sub> वर्गीकृत रिंग की संरचना प्राप्त करता है।
 यह निर्माण (मैकडोनाल्ड, 1979) में से थोड़ा अलग है। वह निर्माण केवल विशेषण आकारिकी ρ<sub>''n''</sub> का उपयोग करता है अन्तःक्षेपण रूपवाद φ<sub>''n''</sub> का उल्लेख किए बिना। यह Λ<sub>''R''</sub> के सजातीय घटकों का निर्माण करता है अलग से, एक और ρ<sub>''n''</sub> का उपयोग करके उनके [[प्रत्यक्ष योग]] को रिंग संरचना से तैयार करता है। यह भी देखा गया है कि परिणाम को वर्गीकृत अंगूठियो की [[श्रेणी (गणित)]] में व्युत्क्रम सीमा के रूप में वर्णित किया जा सकता है। चूंकि यह विवरण कुछ सीमा तक इंजेक्शन आकारिता की सीधी सीमा के लिए विशिष्ट महत्वपूर्ण संपत्ति को अस्पष्ट करता है, अर्थात् प्रत्येक व्यक्तिगत तत्व (सममित कार्य) पहले से ही सीमा निर्माण में उपयोग की जाने वाली किसी वस्तु में eमानदारी से प्रतिनिधित्व किया जाता है, यहां रिंग ''R''[''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>d</sub>'']<sup>'''S'''<sub>''d''</sub></sup> यह d के लिए सममित फलन की डिग्री लेने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि उस रिंग के डिग्री d में भाग को समरूप रूप से मैप किया जाता है, जो कि φn द्वारा अधिक निर्धारक होता है। सभी के लिए n≥ d। इसका तात्पर्य है कि अलग-अलग तत्वों के बीच संबंधों का अध्ययन करने के लिए सममित बहुपदों और सममित फलन के बीच कोई मूलभूत अंतर नहीं है।

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