सममित फलन वलय: Difference between revisions
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=== परिभाषाएँ === | === परिभाषाएँ === | ||
सममित कार्यों की अंगूठी को किसी भी [[ क्रमविनिमेय अंगूठी |क्रमविनिमेय अंगूठी]] | सममित कार्यों की अंगूठी को किसी भी [[ क्रमविनिमेय अंगूठी |क्रमविनिमेय अंगूठी]] R पर परिभाषित किया जा सकता है और इसे Λ<sub>''R''</sub> के रूप में दर्शाया जाएगा; मूल अवस्था R = 'Z' के लिए है। अंगूठी Λ<sub>''R''</sub> वास्तव में वलय के ऊपर वर्गीकृत वलय R-बीजगणित है। इसके लिए दो मुख्य निर्माण हैं; नीचे दिया गया पहला (स्टेनली, 1999) में पाया जा सकता है और दूसरा अनिवार्य रूप से (मैकडोनाल्ड, 1979) में दिया गया है। | ||
==== औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी के रूप में ==== | ==== औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी के रूप में ==== | ||
सबसे आसान (हालांकि कुछ हद तक भारी) निर्माण कई चर में औपचारिक शक्ति श्रृंखला # पावर श्रृंखला की अंगूठी से शुरू होता है <math>R[[X_1,X_2,...]]</math> | सबसे आसान (हालांकि कुछ हद तक भारी) निर्माण कई चर में औपचारिक शक्ति श्रृंखला # पावर श्रृंखला की अंगूठी से शुरू होता है <math>R[[X_1,X_2,...]]</math> R पर असीम रूप से (गणना करने योग्य अनंत) कई अनिश्चित; इस पावर सीरीज़ अंगूठी के तत्व शर्तों के औपचारिक अनंत योग हैं, जिनमें से प्रत्येक में R से गुणांक [[ एकपद |एकपद]] द्वारा गुणा किया जाता है, जहां प्रत्येक एकपद अनिश्चित रूप से कई परिमित शक्तियों का उत्पाद होता है। Λ को परिभाषित करता है<sub>''R''</sub> इसके उप-वलय के रूप में उन शक्ति श्रृंखला S से मिलकर बनता है जो संतुष्ट करती हैं | ||
#S अनिश्चित के किसी भी क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है, और | #S अनिश्चित के किसी भी क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है, और | ||
#S में होने वाले एकपदों के बहुपद की कोटि परिबद्ध है। | #S में होने वाले एकपदों के बहुपद की कोटि परिबद्ध है। | ||
ध्यान दें कि दूसरी स्थिति के कारण, घात श्रृंखला का उपयोग यहां केवल निश्चित डिग्री के असीम रूप से कई पदों को अनुमति देने के लिए किया जाता है, बजाय सभी संभावित डिग्री के पदों के योग के लिए। इसकी अनुमति देना जरूरी है क्योंकि तत्व जिसमें उदाहरण के लिए एक्स शब्द होता है<sub>1</sub> X शब्द भी होना चाहिए<sub>''i''</sub> सममित होने के लिए प्रत्येक i > 1 के लिए। पूरी शक्ति श्रृंखला अंगूठी के विपरीत, सबअंगूठी Λ<sub>''R''</sub> मोनोमियल्स की कुल डिग्री द्वारा वर्गीकृत किया जाता है: स्थिति 2 के कारण, Λ का प्रत्येक तत्व<sub>''R''</sub> Λ के [[सजातीय बहुपद]] तत्वों का परिमित योग है<sub>''R''</sub> (जो स्वयं समान कोटि के पदों के अनंत योग हैं)। प्रत्येक k ≥ 0 के लिए, तत्व e<sub>''k''</sub>∈ | ध्यान दें कि दूसरी स्थिति के कारण, घात श्रृंखला का उपयोग यहां केवल निश्चित डिग्री के असीम रूप से कई पदों को अनुमति देने के लिए किया जाता है, बजाय सभी संभावित डिग्री के पदों के योग के लिए। इसकी अनुमति देना जरूरी है क्योंकि तत्व जिसमें उदाहरण के लिए एक्स शब्द होता है<sub>1</sub> X शब्द भी होना चाहिए<sub>''i''</sub> सममित होने के लिए प्रत्येक i > 1 के लिए। पूरी शक्ति श्रृंखला अंगूठी के विपरीत, सबअंगूठी Λ<sub>''R''</sub> मोनोमियल्स की कुल डिग्री द्वारा वर्गीकृत किया जाता है: स्थिति 2 के कारण, Λ का प्रत्येक तत्व<sub>''R''</sub> Λ के [[सजातीय बहुपद]] तत्वों का परिमित योग है<sub>''R''</sub> (जो स्वयं समान कोटि के पदों के अनंत योग हैं)। प्रत्येक k ≥ 0 के लिए, तत्व e<sub>''k''</sub>∈ Λ<sub>''R''</sub> k विशिष्ट अनिश्चित के सभी उत्पादों के औपचारिक योग के रूप में परिभाषित किया गया है, जो डिग्री k का स्पष्ट रूप से सजातीय है। | ||
==== बीजगणितीय सीमा के रूप में ==== | ==== बीजगणितीय सीमा के रूप में ==== | ||
Λ का और निर्माण<sub>''R''</sub> वर्णन करने में कुछ अधिक समय लगता है, किन्तु अंगूठी R [X के साथ संबंध को बेहतर ढंग से इंगित करता है<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>]<sup>S<sub>''n''</sub>n अनिश्चित में सममित बहुपदों का </sup>। प्रत्येक n के लिए [[विशेषण]] वलय समरूपता ρ है<sub>''n''</sub> समरूप वलय R[X<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''+1</sub>]<sup>S<sub>''n''+1</sub></sup> R[X पर और अनिश्चित के साथ<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>]<sup>S<sub>''n''</sub></sup>, अंतिम अनिश्चित X को सेट करके परिभाषित किया गया है<sub>''n''+1</sub> से 0. हालांकि ρ<sub>''n''</sub> गैर-तुच्छ कर्नेल (बीजगणित) है, उस कर्नेल के गैर-शून्य तत्वों में कम से कम डिग्री है <math>n+1</math> (वे X के गुणक हैं<sub>1</sub>X<sub>2</sub>...एक्स<sub>''n''+1</sub>). इसका मतलब है कि ρ का प्रतिबंध<sub>''n''</sub> अधिक से अधिक n डिग्री के तत्वों के लिए विशेषण [[रैखिक नक्शा]] है, और ρ<sub>''n''</sub>(यह है<sub>''k''</sub>(एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''+1</sub>)) = ई<sub>''k''</sub>(एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>) सभी के लिए k≤ n. इस प्रतिबंध के व्युत्क्रम को विशिष्ट रूप से अंगूठी समरूपता φ तक बढ़ाया जा सकता है<sub>''n''</sub> R [एक्स से<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>]<sup>S<sub>''n''</sub></sup> से R[X<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''+1</sub>]<sup>S<sub>''n''+1</sub></sup>, जैसा कि उदाहरण के लिए सममित बहुपदों के मूलभूत प्रमेय से लिया गया है। छवियों के बाद से φ<sub>''n''</sub>(यह है<sub>''k''</sub>(एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>)) = ई<sub>''k''</sub>(एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''+1</sub>) k = 1,...,n के लिए अभी भी R, समाकारिता φ पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं<sub>''n''</sub> [[इंजेक्शन]] है और इसे रिंगों के समावेश (कुछ असामान्य) के रूप में देखा जा सकता है; φ लागू करना<sub>''n''</sub> पहले से मौजूद एकपद से समरूपता द्वारा प्राप्त नए अनिश्चित वाले सभी एकपद को जोड़ने के लिए बहुपद राशि। अंगूठी Λ<sub>''R''</sub> तब इन समावेशन के अधीन इन सभी छल्लों का संघ ([[प्रत्यक्ष सीमा]]) है। चूंकि सभी φ<sub>''n''</sub> सम्मलित रिंगों की कुल डिग्री द्वारा ग्रेडिंग के साथ संगत हैं, Λ<sub>''R''</sub> वर्गीकृत अंगूठी की संरचना प्राप्त करता है। | |||
यह निर्माण (मैकडोनाल्ड, 1979) में से थोड़ा अलग है। वह निर्माण केवल विशेषण आकारिकी ρ का उपयोग करता है<sub>''n''</sub> इंजेक्शन morphisms φ का उल्लेख किए बिना<sub>''n''</sub>: यह Λ के सजातीय घटकों का निर्माण करता है<sub>''R''</sub> अलग से, और ρ का उपयोग करके उनके [[प्रत्यक्ष योग]] को अंगूठी संरचना से लैस करता है<sub>''n''</sub>. यह भी देखा गया है कि परिणाम को वर्गीकृत छल्लों की [[श्रेणी (गणित)]] में व्युत्क्रम सीमा के रूप में वर्णित किया जा सकता है। हालांकि यह विवरण कुछ हद तक इंजेक्टिव मोर्फिज्म की सीधी सीमा के लिए विशिष्ट महत्वपूर्ण संपत्ति को अस्पष्ट करता है, अर्थात् प्रत्येक व्यक्तिगत तत्व (सममित कार्य) पहले से ही सीमा निर्माण में उपयोग की जाने वाली किसी वस्तु में ईमानदारी से प्रतिनिधित्व किया जाता है, यहां अंगूठी | यह निर्माण (मैकडोनाल्ड, 1979) में से थोड़ा अलग है। वह निर्माण केवल विशेषण आकारिकी ρ का उपयोग करता है<sub>''n''</sub> इंजेक्शन morphisms φ का उल्लेख किए बिना<sub>''n''</sub>: यह Λ के सजातीय घटकों का निर्माण करता है<sub>''R''</sub> अलग से, और ρ का उपयोग करके उनके [[प्रत्यक्ष योग]] को अंगूठी संरचना से लैस करता है<sub>''n''</sub>. यह भी देखा गया है कि परिणाम को वर्गीकृत छल्लों की [[श्रेणी (गणित)]] में व्युत्क्रम सीमा के रूप में वर्णित किया जा सकता है। हालांकि यह विवरण कुछ हद तक इंजेक्टिव मोर्फिज्म की सीधी सीमा के लिए विशिष्ट महत्वपूर्ण संपत्ति को अस्पष्ट करता है, अर्थात् प्रत्येक व्यक्तिगत तत्व (सममित कार्य) पहले से ही सीमा निर्माण में उपयोग की जाने वाली किसी वस्तु में ईमानदारी से प्रतिनिधित्व किया जाता है, यहां अंगूठी R [एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''d''</sub>]<sup>S<sub>''d''</sub></सुप>। यह d के लिए सममित फ़ंक्शन की डिग्री लेने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि उस अंगूठी के डिग्री d में भाग को आइसोमोर्फिक रूप से मैप किया जाता है, जो कि φ द्वारा अधिक अनिश्चित होता है।<sub>''n''</sub> सभी के लिए एन ≥ डी। इसका तात्पर्य है कि अलग-अलग तत्वों के बीच संबंधों का अध्ययन करने के लिए सममित बहुपदों और सममित कार्यों के बीच कोई मूलभूत अंतर नहीं है। | ||
=== व्यक्तिगत सममित कार्यों को परिभाषित करना === | === व्यक्तिगत सममित कार्यों को परिभाषित करना === | ||
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Λ के तत्वों के लिए नाम सममित कार्य<sub>''R''</sub> [[मिथ्या नाम]] है: न तो निर्माण में तत्व कार्य (गणित) हैं, और वास्तव में, सममित बहुपदों के विपरीत, ऐसे तत्वों से स्वतंत्र चर का कोई कार्य नहीं जोड़ा जा सकता है (उदाहरण के लिए ई<sub>1</sub> सभी असीम रूप से कई चरों का योग होगा, जो तब तक परिभाषित नहीं होता है जब तक कि चर पर प्रतिबंध नहीं लगाया जाता है)। हालाँकि नाम पारंपरिक और अच्छी प्रकार से स्थापित है; यह (मैकडॉनल्ड, 1979) दोनों में पाया जा सकता है, जो कहता है (पृष्ठ 12 पर फुटनोट) | Λ के तत्वों के लिए नाम सममित कार्य<sub>''R''</sub> [[मिथ्या नाम]] है: न तो निर्माण में तत्व कार्य (गणित) हैं, और वास्तव में, सममित बहुपदों के विपरीत, ऐसे तत्वों से स्वतंत्र चर का कोई कार्य नहीं जोड़ा जा सकता है (उदाहरण के लिए ई<sub>1</sub> सभी असीम रूप से कई चरों का योग होगा, जो तब तक परिभाषित नहीं होता है जब तक कि चर पर प्रतिबंध नहीं लगाया जाता है)। हालाँकि नाम पारंपरिक और अच्छी प्रकार से स्थापित है; यह (मैकडॉनल्ड, 1979) दोनों में पाया जा सकता है, जो कहता है (पृष्ठ 12 पर फुटनोट) | ||
<blockquote>Λ के तत्व (Λ के तत्वों के विपरीत<sub>''n''</sub>) अब बहुपद नहीं हैं: वे एकपदी के औपचारिक अनंत योग हैं। इसलिए हम सममित कार्यों की पुरानी शब्दावली पर वापस आ गए हैं।</blockquote> | <blockquote>Λ के तत्व (Λ के तत्वों के विपरीत<sub>''n''</sub>) अब बहुपद नहीं हैं: वे एकपदी के औपचारिक अनंत योग हैं। इसलिए हम सममित कार्यों की पुरानी शब्दावली पर वापस आ गए हैं।</blockquote> | ||
(यहाँ | (यहाँ Λ<sub>''n''</sub> एन अनिश्चित में सममित बहुपदों की अंगूठी को दर्शाता है), और (स्टेनली, 1999) में भी। | ||
सममित समारोह को परिभाषित करने के लिए या तो पहले निर्माण के रूप में सीधे शक्ति श्रृंखला का संकेत देना चाहिए, या दूसरे निर्माण के साथ संगत विधियों से प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए n अनिश्चित में सममित बहुपद देना चाहिए। उदाहरण के लिए, अनिश्चित संख्या में अभिव्यक्ति दोनों कर सकती है | सममित समारोह को परिभाषित करने के लिए या तो पहले निर्माण के रूप में सीधे शक्ति श्रृंखला का संकेत देना चाहिए, या दूसरे निर्माण के साथ संगत विधियों से प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए n अनिश्चित में सममित बहुपद देना चाहिए। उदाहरण के लिए, अनिश्चित संख्या में अभिव्यक्ति दोनों कर सकती है | ||
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=== पहचान === | === पहचान === | ||
सममितीय फलनों का वलय सममित बहुपदों के बीच सर्वसमिकाओं को लिखने के लिए सुविधाजनक उपकरण है, जो कि निर्धारकों की संख्या से स्वतंत्र होते हैं: Λ में<sub>''R''</sub> ऐसी कोई संख्या नहीं है, फिर भी उपरोक्त सिद्धांत द्वारा Λ में कोई पहचान है<sub>''R''</sub> स्वचालित रूप से किसी भी संख्या में अनिश्चितताओं में | सममितीय फलनों का वलय सममित बहुपदों के बीच सर्वसमिकाओं को लिखने के लिए सुविधाजनक उपकरण है, जो कि निर्धारकों की संख्या से स्वतंत्र होते हैं: Λ में<sub>''R''</sub> ऐसी कोई संख्या नहीं है, फिर भी उपरोक्त सिद्धांत द्वारा Λ में कोई पहचान है<sub>''R''</sub> स्वचालित रूप से किसी भी संख्या में अनिश्चितताओं में R पर सममित बहुपदों के छल्ले की पहचान देता है। कुछ मौलिक पहचान हैं | ||
:<math>\sum_{i=0}^k(-1)^ie_ih_{k-i}=0=\sum_{i=0}^k(-1)^ih_ie_{k-i}\quad\mbox{for all }k>0,</math> | :<math>\sum_{i=0}^k(-1)^ie_ih_{k-i}=0=\sum_{i=0}^k(-1)^ih_ie_{k-i}\quad\mbox{for all }k>0,</math> | ||
जो प्रारंभिक और पूर्ण सजातीय सममित कार्यों के बीच समरूपता दिखाता है; इन संबंधों को पूर्ण सजातीय सममित बहुपद के तहत समझाया गया है। | जो प्रारंभिक और पूर्ण सजातीय सममित कार्यों के बीच समरूपता दिखाता है; इन संबंधों को पूर्ण सजातीय सममित बहुपद के तहत समझाया गया है। | ||
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=== Λ के संरचनात्मक गुण<sub>''R''</sub> === | === Λ के संरचनात्मक गुण<sub>''R''</sub> === | ||
Λ के महत्वपूर्ण गुण<sub>''R''</sub> निम्नलिखित को सम्मलित कीजिए। | |||
# विभाजनों द्वारा पैरामीट्रिज्ड एकपद सममित कार्यों का सेट Λ का आधार बनता है<sub>''R''</sub> ग्रेडेड आर-मॉड्यूल (गणित) के रूप में, डी के विभाजन द्वारा पैरामीट्रिज्ड डिग्री डी के सजातीय होने के कारण; शूर फ़ंक्शंस के सेट के लिए भी यही सच है (विभाजन द्वारा पैरामीट्रिज्ड)। | # विभाजनों द्वारा पैरामीट्रिज्ड एकपद सममित कार्यों का सेट Λ का आधार बनता है<sub>''R''</sub> ग्रेडेड आर-मॉड्यूल (गणित) के रूप में, डी के विभाजन द्वारा पैरामीट्रिज्ड डिग्री डी के सजातीय होने के कारण; शूर फ़ंक्शंस के सेट के लिए भी यही सच है (विभाजन द्वारा पैरामीट्रिज्ड)। | ||
# | # Λ<sub>''R''</sub> बहुपद वलय R [Y के लिए ग्रेडेड R-बीजगणित के रूप में [[समरूपी]] है<sub>1</sub>,और<sub>2</sub>, ...] अपरिमित रूप से अनेक चरों में, जहाँ Y<sub>''i''</sub> सभी i > 0 के लिए डिग्री i दी गई है, समरूपता वह है जो Y भेजता है<sub>''i''</sub> तब<sub>''i''</sub>∈ Λ<sub>''R''</sub> प्रत्येक i के लिए। | ||
# Λ का इनवॉल्यूशन (गणित) [[ automorphism |automorphism]] ω है<sub>''R''</sub> जो प्रारंभिक सममित कार्यों को बदल देता है ई<sub>''i''</sub> और पूर्ण सजातीय सममित फलन h<sub>''i''</sub> सभी के लिए मैं यह प्रत्येक शक्ति योग सममित फ़ंक्शन पी भी भेजता है<sub>''i''</sub> से (−1)<sup>i−1</sup>प<sub>''i''</sub>, और यह एस को इंटरचेंज करते हुए दूसरे के बीच शूर कार्यों की अनुमति देता है<sub>λ</sub> और एस<sub>λ<sup>t</sup></sub> जहां | # Λ का इनवॉल्यूशन (गणित) [[ automorphism |automorphism]] ω है<sub>''R''</sub> जो प्रारंभिक सममित कार्यों को बदल देता है ई<sub>''i''</sub> और पूर्ण सजातीय सममित फलन h<sub>''i''</sub> सभी के लिए मैं यह प्रत्येक शक्ति योग सममित फ़ंक्शन पी भी भेजता है<sub>''i''</sub> से (−1)<sup>i−1</sup>प<sub>''i''</sub>, और यह एस को इंटरचेंज करते हुए दूसरे के बीच शूर कार्यों की अनुमति देता है<sub>λ</sub> और एस<sub>λ<sup>t</sup></sub> जहां Λ<sup>t</sup> λ का स्थानान्तरण विभाजन है। | ||
संपत्ति 2 सममित बहुपदों के मौलिक प्रमेय का सार है। इसका तात्पर्य तुरंत कुछ अन्य गुणों से है: | संपत्ति 2 सममित बहुपदों के मौलिक प्रमेय का सार है। इसका तात्पर्य तुरंत कुछ अन्य गुणों से है: | ||
* Λ का सबरिंग<sub>''R''</sub> एन चर में | * Λ का सबरिंग<sub>''R''</sub> एन चर में R पर सममित बहुपदों की अंगूठी के लिए अधिकतम एन में डिग्री के अपने तत्वों द्वारा उत्पन्न आइसोमोर्फिक है; | ||
* Λ की हिल्बर्ट-पॉइनकेयर श्रृंखला<sub>''R''</sub> है <math>\textstyle\prod_{i=1}^\infty\frac1{1-t^i}</math>, विभाजन (संख्या सिद्धांत) # पूर्णांक विभाजन का कार्य उत्पन्न करना (यह संपत्ति 1 से भी अनुसरण करता है); | * Λ की हिल्बर्ट-पॉइनकेयर श्रृंखला<sub>''R''</sub> है <math>\textstyle\prod_{i=1}^\infty\frac1{1-t^i}</math>, विभाजन (संख्या सिद्धांत) # पूर्णांक विभाजन का कार्य उत्पन्न करना (यह संपत्ति 1 से भी अनुसरण करता है); | ||
* प्रत्येक n > 0 के लिए, Λ के सजातीय भाग द्वारा गठित आर-मॉड्यूल<sub>''R''</sub> डिग्री एन की, डिग्री के अपने तत्वों द्वारा उत्पन्न सबअंगूठी के साथ मॉड्यूलो एन से सख्ती से कम है, रैंक 1 का [[मुफ्त मॉड्यूल]] है, और (की छवि) ई<sub>''n''</sub> इस आर-मॉड्यूल का जनरेटर है; | * प्रत्येक n > 0 के लिए, Λ के सजातीय भाग द्वारा गठित आर-मॉड्यूल<sub>''R''</sub> डिग्री एन की, डिग्री के अपने तत्वों द्वारा उत्पन्न सबअंगूठी के साथ मॉड्यूलो एन से सख्ती से कम है, रैंक 1 का [[मुफ्त मॉड्यूल]] है, और (की छवि) ई<sub>''n''</sub> इस आर-मॉड्यूल का जनरेटर है; | ||
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=== निर्माण कार्य === | === निर्माण कार्य === | ||
Λ की पहली परिभाषा<sub>''R''</sub> के सबअंगूठी के रूप में <math>R[[X_1, X_2, ...]]</math> सममित कार्यों के कई अनुक्रमों के उत्पन्न कार्यों को सुरुचिपूर्ण ढंग से व्यक्त करने की अनुमति देता है। पहले बताए गए संबंधों के विपरीत, जो Λ के लिए आंतरिक हैं<sub>''R''</sub>, इन भावों में RX में संक्रियाएँ सम्मलित हैं<sub>1</sub>,एक्स<sub>2</sub>,...;t किन्तु इसके उपसमूह Λ के बाहर<sub>''R''</sub>t, इसलिए वे केवल तभी अर्थपूर्ण हैं जब सममित कार्यों को अनिश्चित एक्स में औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में देखा जाता है<sub>''i''</sub>. हम इस व्याख्या पर जोर देने के लिए सममित कार्यों के बाद (एक्स) लिखेंगे। | |||
प्रारंभिक सममित कार्यों के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन है | प्रारंभिक सममित कार्यों के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन है | ||
Revision as of 08:57, 16 May 2023
बीजगणित में और विशेष रूप से बीजगणितीय साहचर्य में, सममित कार्यों की अंगूठी 'n' अनिश्चित में सममित बहुपद की अंगूठी (गणित) की विशिष्ट सीमा है, क्योंकि 'n' अनंत तक जाती है। यह वलय सार्वभौमिक संरचना के रूप में कार्य करता है जिसमें सममित बहुपदों के बीच संबंधों को निर्धारकों की संख्या n से स्वतंत्र विधियों से व्यक्त किया जा सकता है (किन्तु इसके तत्व न तो बहुपद हैं और न ही कार्य)। अन्य बातों के अतिरिक्त, यह वलय सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
सममित कार्यों की अंगूठी को सह-उत्पाद और द्विरेखीय रूप दिया जा सकता है जो इसे सकारात्मक स्वसम्मिलित ग्रेडेड बीजगणित हॉपफ बीजगणित में बनाता है जो क्रमविनिमेय और सहसम्बन्धी दोनों है।
सममित बहुपद
सममित कार्यों का अध्ययन सममित बहुपदों पर आधारित है। अनिश्चितकों के कुछ परिमित समुच्चय में बहुपद वलय में, बहुपद को सममित कहा जाता है यदि यह वही रहता है जब भी किसी भी प्रकार से अनिश्चित को अनुमति दी जाती है। अधिक औपचारिक रूप से, सममित समूह Sn के अंगूठी ऑटोमोर्फिज्म द्वारा समूह क्रिया होती है n अनिश्चित में बहुपद की अंगूठी पर, जहां क्रमचय उपयोग किए गए क्रमपरिवर्तन के अनुसार प्रत्येक अनिश्चित को साथ प्रतिस्थापित करके बहुपद पर कार्य करता है। अपरिवर्तनीय (गणित) इस क्रिया के लिए समूह क्रिया के अंतर्गत अपरिवर्तित सममित बहुपदों का उपसमूह बनाता है। यदि अनिश्चित X1, ..., Xn,हैं, तो ऐसे सममित बहुपदों के उदाहरण हैं
और
कुछ और जटिल उदाहरण हैX13X2X3 + X1X23X3 + X1X2X33 + X13X2X4 + X1X23X4 + X1X2X43 + ... जहां योग कुछ चर और दो अन्य चर की तीसरी शक्ति के सभी उत्पादों को सम्मलित करता है। कई विशिष्ट प्रकार के सममित बहुपद हैं, जैसे प्राथमिक सममित बहुपद, शक्ति योग सममित बहुपद, एकपद सममित बहुपद, पूर्ण सजातीय सममित बहुपद, और शूर बहुपद।
सममित कार्यों की अंगूठी
सममित बहुपदों के बीच अधिकांश संबंध अनिर्धारकों की संख्या n पर निर्भर नहीं करते हैं, अतिरिक्त इसके कि संबंध में कुछ बहुपदों को n को परिभाषित करने के लिए अधिक बड़ा होना आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए न्यूटन की तत्समक तीसरी घात योग बहुपद p3 के लिए न्यूटन की तत्समक ओर जाता है