बलोच क्षेत्र: Difference between revisions
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परिमाण यांत्रिकी गणितीय रूप से [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट स्थल]] अथवा [[प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस|प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल]] अंतरिक्ष में तैयार की गई है। एक परिमाण प्रणाली की शुद्ध अवस्था संबंधित हिल्बर्ट अंतरिक्ष (और प्रक्षेपीय हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बिंदु) के एक आयामी उप-स्थान के अनुरूप होती है। द्वि-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष के लिए, ऐसे सभी दिक् का स्थान [[जटिल प्रक्षेपण रेखा]] <math>\mathbb{CP}^1</math> है यह बलोच क्षेत्र है, जिसे [[रीमैन क्षेत्र]] में मानचित्र किया जा सकता है। | परिमाण यांत्रिकी गणितीय रूप से [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट स्थल]] अथवा [[प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस|प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल]] अंतरिक्ष में तैयार की गई है। एक परिमाण प्रणाली की शुद्ध अवस्था संबंधित हिल्बर्ट अंतरिक्ष (और प्रक्षेपीय हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बिंदु) के एक आयामी उप-स्थान के अनुरूप होती है। द्वि-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष के लिए, ऐसे सभी दिक् का स्थान [[जटिल प्रक्षेपण रेखा]] <math>\mathbb{CP}^1</math> है यह बलोच क्षेत्र है, जिसे [[रीमैन क्षेत्र]] में मानचित्र किया जा सकता है। | ||
बलोच क्षेत्र एक इकाई [[एन-क्षेत्र]] 2-वृत्त है, जिसमें पारस्परिक रूप से आयतीय स्थिति सदिश की एक जोड़ी के अनुरूप | बलोच क्षेत्र एक इकाई [[एन-क्षेत्र]] 2-वृत्त है, जिसमें पारस्परिक रूप से आयतीय स्थिति सदिश की एक जोड़ी के अनुरूप प्रतिव्यासांत बिंदु होते हैं। बलोच क्षेत्र के उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों को सामान्यतः मानक आधार सदिश <math>|0\rangle</math> और <math>|1\rangle</math> के अनुरूप चुना जाता है, क्रमशः, जो बदले में एक इलेक्ट्रॉन की [[स्पिन (भौतिकी)]]-अप और स्पिन (भौतिकी)-डाउन अवस्थाओं के लिए उदा. हो सकता है। हालाँकि यह चुनाव स्वेच्छाचारी है। गोले की सतह पर बिंदु प्रणाली की शुद्ध अवस्थाओं की परिमाण अवस्था के अनुरूप होते हैं, जबकि आंतरिक बिंदु मिश्रित अवस्थाओं के अनुरूप होते हैं।<ref name="nc"> | ||
{{cite book |title=Quantum Computation and Quantum Information |last1=Nielsen |first1=Michael A. |author-link1=Michael_Nielsen |last2=Chuang |first2=Isaac L. |author-link2=Isaac_Chuang |year=2004 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-63503-5}} | {{cite book |title=Quantum Computation and Quantum Information |last1=Nielsen |first1=Michael A. |author-link1=Michael_Nielsen |last2=Chuang |first2=Isaac L. |author-link2=Isaac_Chuang |year=2004 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-63503-5}} | ||
</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.quantiki.org/wiki/Bloch_sphere|title = Bloch sphere | Quantiki}}</ref> बलोच स्फीयर को | </ref><ref>{{Cite web|url=http://www.quantiki.org/wiki/Bloch_sphere|title = Bloch sphere | Quantiki}}</ref> बलोच स्फीयर को n-स्तर परिमाण प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, लेकिन तब मानसिक चित्रण कम उपयोगी होता है। | ||
ऐतिहासिक कारणों से, प्रकाशिकी में बलोच क्षेत्र को पोंकारे क्षेत्र ( | ऐतिहासिक कारणों से, प्रकाशिकी में बलोच क्षेत्र को पोंकारे क्षेत्र (दृग्विद्या) के रूप में भी जाना जाता है और विशेष रूप से विभिन्न प्रकार के ध्रुवीकरण (तरंगों) का प्रतिनिधित्व करता है। छह सामान्य ध्रुवीकरण प्रकार उपस्थित हैं और उन्हें जोन्स सदिश कहा जाता है। वास्तव में हेनरी पोंकारे 19वीं शताब्दी के अंत में स्टोक्स मापदंडों के त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व के रूप में इस तरह के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व के उपयोग का सुझाव देने वाले पहले व्यक्ति थे।<ref name="TML"> | ||
{{cite book |title=Théorie mathématique de la lumière II |url=https://archive.org/details/thoriemathma00poin |last1=Poincaré |first1=Henri |author-link1=Henri_Poincaré |year=1892 |publisher=G. Carré}} | {{cite book |title=Théorie mathématique de la lumière II |url=https://archive.org/details/thoriemathma00poin |last1=Poincaré |first1=Henri |author-link1=Henri_Poincaré |year=1892 |publisher=G. Carré}} | ||
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बलोच क्षेत्र पर प्राकृतिक [[मीट्रिक (गणित)]] फ़ुबिनी-अध्ययन | बलोच क्षेत्र पर प्राकृतिक [[मीट्रिक (गणित)|मापीय (गणित)]] फ़ुबिनी-अध्ययन मापीय है। द्वि-आयामी स्थिति अंतरिक्ष में इकाई 3-क्षेत्र से मानचित्रण <math>\mathbb{C}^2</math> बलोच क्षेत्र के लिए हॉप फ़िब्रेशन है, जिसमें घूर्णक के प्रत्येक प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल के साथ बलोच क्षेत्र पर एक बिंदु पर मानचित्रण होता है। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
एक अलौकिक आधार दिया गया है, | एक अलौकिक आधार दिया गया है, दो-स्तरीय क्वांटम प्रणाली के किसी भी शुद्ध अवस्था <math>|\psi\rangle</math> को आधार सदिशों <math>|0\rangle</math> और <math>|1\rangle</math> के अधिस्थापन के रूप में लिखा जा सकता है , जहां दो आधार सदिशों में से प्रत्येक का गुणांक (या योगदान) एक सम्मिश्र संख्या है। इसका अर्थ है कि स्थिति को चार वास्तविक संख्याओं द्वारा वर्णित किया गया है। हालाँकि दो आधार सदिश के गुणांक के बीच केवल सापेक्ष चरण का कोई भौतिक अर्थ है (परिमाण प्रणाली का चरण सीधे परिमाण यांत्रिकी में माप नहीं है), ताकि इस विवरण में अतिरेक हो सके। हम <math>|0\rangle</math> का गुणांक वास्तविक और गैर-नकारात्मक ले सकते हैं। यह बलोच क्षेत्र के तीन आयामों को उत्पन्न करते हुए स्थिति को केवल तीन वास्तविक संख्याओं द्वारा वर्णित करने की अनुमति देता है। | ||
हम परिमाण यांत्रिकी से यह भी जानते हैं कि | हम परिमाण यांत्रिकी से यह भी जानते हैं कि प्रणाली की कुल संभावना एक होनी चाहिए: | ||
:<math>\langle\psi | \psi\rangle = 1</math>, या समकक्ष <math>\big\| |\psi\rangle \big\|^2 = 1</math>. | :<math>\langle\psi | \psi\rangle = 1</math>, या समकक्ष <math>\big\| |\psi\rangle \big\|^2 = 1</math>. | ||
इस बाधा को देखते हुए हम | इस बाधा को देखते हुए हम निम्नलिखित प्रतिनिधित्व का उपयोग करके <math>|\psi\rangle</math> लिख सकते हैं: | ||
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|\psi\rangle = | |\psi\rangle = | ||
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\cos\left(\theta /2\right) |0 \rangle \, + \, (\cos\phi + i\sin\phi) \, \sin\left(\theta /2\right) |1\rangle </math>, कहाँ <math> 0 \leq \theta \leq \pi</math> और <math>0 \leq \phi < 2 \pi</math>. | \cos\left(\theta /2\right) |0 \rangle \, + \, (\cos\phi + i\sin\phi) \, \sin\left(\theta /2\right) |1\rangle </math>, कहाँ <math> 0 \leq \theta \leq \pi</math> और <math>0 \leq \phi < 2 \pi</math>. | ||
प्रति'''निधित्व हमेशा अनूठा होता है, क्योंकि, भले''' ही का मूल्य <math>\phi</math> अद्वितीय नहीं है जब | |||
<math>|\psi\rangle</math> राज्यों में से एक है ([[ब्रा-केट नोटेशन]] देखें) <math>|0\rangle</math> या <math>|1\rangle</math>, द्वारा दर्शाया गया बिंदु <math>\theta</math> और <math>\phi</math> निराला है। | <math>|\psi\rangle</math> राज्यों में से एक है ([[ब्रा-केट नोटेशन]] देखें) <math>|0\rangle</math> या <math>|1\rangle</math>, द्वारा दर्शाया गया बिंदु <math>\theta</math> और <math>\phi</math> निराला है। | ||
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== शुद्ध अवस्थाएँ == | == शुद्ध अवस्थाएँ == | ||
एक एन-लेवल परिमाण मैकेनिकल | एक एन-लेवल परिमाण मैकेनिकल प्रणाली पर विचार करें। इस प्रणाली का वर्णन एन-डायमेंशनल हिल्बर्ट स्पेस एच द्वारा किया गया है<sub>''n''</sub>. परिभाषा के अनुसार शुद्ध अवस्था स्थान H की 1-आयामी किरणों का समुच्चय है<sub>''n''</sub>. | ||
प्रमेय। U(N)|U(''n'') आकार ''n'' के एकात्मक मैट्रिसेस का झूठा समूह होने दें। फिर 'एच' का शुद्ध स्थिति स्थान<sub>''n''</sub> कॉम्पैक्ट कोसेट स्पेस के साथ पहचाना जा सकता है | प्रमेय। U(N)|U(''n'') आकार ''n'' के एकात्मक मैट्रिसेस का झूठा समूह होने दें। फिर 'एच' का शुद्ध स्थिति स्थान<sub>''n''</sub> कॉम्पैक्ट कोसेट स्पेस के साथ पहचाना जा सकता है | ||
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== स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन == के माध्यम से शुद्ध दो-स्पिनर स्टेट्स प्लॉट करना | == स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन == के माध्यम से शुद्ध दो-स्पिनर स्टेट्स प्लॉट करना | ||
[[File:Riemann Spin2States.jpg|thumb|upright=1.3|बलोच क्षेत्र के मूल पर केंद्रित है <math>\mathbb{R}^3</math>. उस पर बिंदुओं की एक जोड़ी, <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> आधार के रूप में चुना गया है। गणितीय रूप से वे ओर्थोगोनल हैं, हालांकि ग्राफिक रूप से उनके बीच का कोण π है। में <math>\mathbb{R}^3</math> उन बिंदुओं के निर्देशांक (0,0,1) और (0,0,−1) हैं। एक | [[File:Riemann Spin2States.jpg|thumb|upright=1.3|बलोच क्षेत्र के मूल पर केंद्रित है <math>\mathbb{R}^3</math>. उस पर बिंदुओं की एक जोड़ी, <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> आधार के रूप में चुना गया है। गणितीय रूप से वे ओर्थोगोनल हैं, हालांकि ग्राफिक रूप से उनके बीच का कोण π है। में <math>\mathbb{R}^3</math> उन बिंदुओं के निर्देशांक (0,0,1) और (0,0,−1) हैं। एक स्वेच्छाचारी स्पिनर <math>\left|\nearrow\right\rangle</math> बलोच क्षेत्र पर दो आधार घूर्णक के एक अद्वितीय रैखिक संयोजन के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य है, जिसमें गुणांक जटिल संख्याओं की एक जोड़ी है; उन्हें α और β कहते हैं। उनका अनुपात होने दें <math>u = {\beta \over \alpha}</math>, जो एक सम्मिश्र संख्या भी है <math>u_x + i u_y</math>. समतल z = 0 पर विचार करें, गोले का विषुवतीय तल, जैसा कि यह था, एक जटिल तल है और बिंदु u को इस रूप में प्लॉट किया गया है <math>(u_x, u_y, 0)</math>. प्रोजेक्ट पॉइंट यू स्टैरियोग्राफिक रूप से बलोच क्षेत्र पर दक्षिण ध्रुव से दूर - जैसा कि था - (0,0,-1)। प्रक्षेपण गोले पर चिह्नित बिंदु पर है <math>\left|\nearrow\right\rangle</math>.]]शुद्ध अवस्था दी | ||
: <math> \alpha \left|\uparrow \right\rangle + \beta \left|\downarrow \right\rangle = \left|\nearrow \right\rangle </math> | : <math> \alpha \left|\uparrow \right\rangle + \beta \left|\downarrow \right\rangle = \left|\nearrow \right\rangle </math> | ||
कहाँ <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> जटिल संख्याएँ हैं जिन्हें सामान्यीकृत किया जाता है ताकि | कहाँ <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> जटिल संख्याएँ हैं जिन्हें सामान्यीकृत किया जाता है ताकि | ||
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== घनत्व ऑपरेटर == | == घनत्व ऑपरेटर == | ||
पृथक प्रणालियों के लिए शुद्ध अवस्थाओं के संदर्भ में परिमाण यांत्रिकी के सूत्रीकरण पर्याप्त हैं; [[घनत्व मैट्रिक्स]] के संदर्भ में सामान्य परिमाण यांत्रिक प्रणालियों में वर्णित करने की आवश्यकता है। बलोच क्षेत्र न केवल शुद्ध अवस्थाओं बल्कि 2-स्तरीय प्रणालियों के लिए मिश्रित अवस्थाओं का पैरामीट्रिज़ करता है। 2-स्तरीय परिमाण | पृथक प्रणालियों के लिए शुद्ध अवस्थाओं के संदर्भ में परिमाण यांत्रिकी के सूत्रीकरण पर्याप्त हैं; [[घनत्व मैट्रिक्स]] के संदर्भ में सामान्य परिमाण यांत्रिक प्रणालियों में वर्णित करने की आवश्यकता है। बलोच क्षेत्र न केवल शुद्ध अवस्थाओं बल्कि 2-स्तरीय प्रणालियों के लिए मिश्रित अवस्थाओं का पैरामीट्रिज़ करता है। 2-स्तरीय परिमाण प्रणाली (qubit) के मिश्रित-स्थिति का वर्णन करने वाला घनत्व ऑपरेटर निम्नलिखित निर्देशांक के साथ बलोच क्षेत्र के अंदर एक बिंदु से मेल खाता है: | ||
:<math> \left( \sum p_i x_i, \sum p_i y_i, \sum p_i z_i \right),</math> | :<math> \left( \sum p_i x_i, \sum p_i y_i, \sum p_i z_i \right),</math> | ||
कहाँ <math>p_i</math> पहनावा के भीतर अलग-अलग राज्यों की संभावना है और <math>x_i, y_i, z_i</math> अलग-अलग राज्यों के निर्देशांक हैं (बलोच क्षेत्र की सतह पर)। बलोच स्फेयर पर और अंदर सभी बिंदुओं के सेट को बलोच बॉल के रूप में जाना जाता है। | कहाँ <math>p_i</math> पहनावा के भीतर अलग-अलग राज्यों की संभावना है और <math>x_i, y_i, z_i</math> अलग-अलग राज्यों के निर्देशांक हैं (बलोच क्षेत्र की सतह पर)। बलोच स्फेयर पर और अंदर सभी बिंदुओं के सेट को बलोच बॉल के रूप में जाना जाता है। | ||
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उच्च आयाम वाले राज्यों के लिए इसे मिश्रित राज्यों तक विस्तारित करने में कठिनाई होती है। टोपोलॉजिकल विवरण इस तथ्य से जटिल है कि एकात्मक समूह घनत्व संचालकों पर सकर्मक रूप से कार्य नहीं करता है। इसके अलावा, कक्षाएँ अत्यंत विविध हैं, जैसा कि निम्नलिखित अवलोकन से पता चलता है: | उच्च आयाम वाले राज्यों के लिए इसे मिश्रित राज्यों तक विस्तारित करने में कठिनाई होती है। टोपोलॉजिकल विवरण इस तथ्य से जटिल है कि एकात्मक समूह घनत्व संचालकों पर सकर्मक रूप से कार्य नहीं करता है। इसके अलावा, कक्षाएँ अत्यंत विविध हैं, जैसा कि निम्नलिखित अवलोकन से पता चलता है: | ||
'प्रमेय'। मान लीजिए A एक n स्तर परिमाण मैकेनिकल | 'प्रमेय'। मान लीजिए A एक n स्तर परिमाण मैकेनिकल प्रणाली पर घनत्व ऑपरेटर है जिसका अलग-अलग eigenvalues μ हैं<sub>1</sub>, ..., एम<sub>''k''</sub> गुणन के साथ एन<sub>1</sub>, ..., एन<sub>''k''</sub>. फिर एकात्मक संकारकों का समूह V ऐसा कि V A V* = A समरूपी (एक झूठ समूह के रूप में) है | ||
:<math>\operatorname{U}(n_1) \times \cdots \times \operatorname{U}(n_k).</math> | :<math>\operatorname{U}(n_1) \times \cdots \times \operatorname{U}(n_k).</math> | ||
विशेष रूप से ए की कक्षा आइसोमोर्फिक है | विशेष रूप से ए की कक्षा आइसोमोर्फिक है | ||
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इस तरह: | इस तरह: | ||
:<math> U(s) = e^{iKs} </math> | :<math> U(s) = e^{iKs} </math> | ||
पाउली मेट्रिसेस के बाद से <math>(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)</math> एकात्मक हर्मिटियन मैट्रिसेस हैं और बलोच आधार के अनुरूप ईजेनवेक्टर हैं, <math>(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z})</math>, हम स्वाभाविक रूप से देख सकते हैं कि कैसे बलोच का घूर्णन एक | पाउली मेट्रिसेस के बाद से <math>(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)</math> एकात्मक हर्मिटियन मैट्रिसेस हैं और बलोच आधार के अनुरूप ईजेनवेक्टर हैं, <math>(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z})</math>, हम स्वाभाविक रूप से देख सकते हैं कि कैसे बलोच का घूर्णन एक स्वेच्छाचारी अक्ष के बारे में है <math>\hat{n}</math> द्वारा वर्णित है | ||
:<math> R_{\hat{n}}(\theta) = \exp(-i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}/2) </math> | :<math> R_{\hat{n}}(\theta) = \exp(-i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}/2) </math> | ||
द्वारा दिए गए रोटेशन जनरेटर के साथ <math>K = \hat{n} \cdot \vec{\sigma}/2 </math> | द्वारा दिए गए रोटेशन जनरेटर के साथ <math>K = \hat{n} \cdot \vec{\sigma}/2 </math> | ||
Revision as of 07:29, 10 May 2023
परिमाण यांत्रिकी और परिमाण कम्प्यूटिंग में, बलोच क्षेत्र एक दो-स्तरीय प्रणाली के शुद्ध अवस्था स्थान का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। दो-स्तरीय परिमाण यांत्रिक तन्त्र (क्विबिट), जिसका नाम भौतिक विज्ञानी फेलिक्स बलोच के नाम पर रखा गया है।[1]
परिमाण यांत्रिकी गणितीय रूप से हिल्बर्ट स्थल अथवा प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल अंतरिक्ष में तैयार की गई है। एक परिमाण प्रणाली की शुद्ध अवस्था संबंधित हिल्बर्ट अंतरिक्ष (और प्रक्षेपीय हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बिंदु) के एक आयामी उप-स्थान के अनुरूप होती है। द्वि-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष के लिए, ऐसे सभी दिक् का स्थान जटिल प्रक्षेपण रेखा है यह बलोच क्षेत्र है, जिसे रीमैन क्षेत्र में मानचित्र किया जा सकता है।
बलोच क्षेत्र एक इकाई एन-क्षेत्र 2-वृत्त है, जिसमें पारस्परिक रूप से आयतीय स्थिति सदिश की एक जोड़ी के अनुरूप प्रतिव्यासांत बिंदु होते हैं। बलोच क्षेत्र के उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों को सामान्यतः मानक आधार सदिश और के अनुरूप चुना जाता है, क्रमशः, जो बदले में एक इलेक्ट्रॉन की स्पिन (भौतिकी)-अप और स्पिन (भौतिकी)-डाउन अवस्थाओं के लिए उदा. हो सकता है। हालाँकि यह चुनाव स्वेच्छाचारी है। गोले की सतह पर बिंदु प्रणाली की शुद्ध अवस्थाओं की परिमाण अवस्था के अनुरूप होते हैं, जबकि आंतरिक बिंदु मिश्रित अवस्थाओं के अनुरूप होते हैं।[2][3] बलोच स्फीयर को n-स्तर परिमाण प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, लेकिन तब मानसिक चित्रण कम उपयोगी होता है।
ऐतिहासिक कारणों से, प्रकाशिकी में बलोच क्षेत्र को पोंकारे क्षेत्र (दृग्विद्या) के रूप में भी जाना जाता है और विशेष रूप से विभिन्न प्रकार के ध्रुवीकरण (तरंगों) का प्रतिनिधित्व करता है। छह सामान्य ध्रुवीकरण प्रकार उपस्थित हैं और उन्हें जोन्स सदिश कहा जाता है। वास्तव में हेनरी पोंकारे 19वीं शताब्दी के अंत में स्टोक्स मापदंडों के त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व के रूप में इस तरह के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व के उपयोग का सुझाव देने वाले पहले व्यक्ति थे।[4]
बलोच क्षेत्र पर प्राकृतिक मापीय (गणित) फ़ुबिनी-अध्ययन मापीय है। द्वि-आयामी स्थिति अंतरिक्ष में इकाई 3-क्षेत्र से मानचित्रण बलोच क्षेत्र के लिए हॉप फ़िब्रेशन है, जिसमें घूर्णक के प्रत्येक प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल के साथ बलोच क्षेत्र पर एक बिंदु पर मानचित्रण होता है।
परिभाषा
एक अलौकिक आधार दिया गया है, दो-स्तरीय क्वांटम प्रणाली के किसी भी शुद्ध अवस्था को आधार सदिशों और के अधिस्थापन के रूप में लिखा जा सकता है , जहां दो आधार सदिशों में से प्रत्येक का गुणांक (या योगदान) एक सम्मिश्र संख्या है। इसका अर्थ है कि स्थिति को चार वास्तविक संख्याओं द्वारा वर्णित किया गया है। हालाँकि दो आधार सदिश के गुणांक के बीच केवल सापेक्ष चरण का कोई भौतिक अर्थ है (परिमाण प्रणाली का चरण सीधे परिमाण यांत्रिकी में माप नहीं है), ताकि इस विवरण में अतिरेक हो सके। हम का गुणांक वास्तविक और गैर-नकारात्मक ले सकते हैं। यह बलोच क्षेत्र के तीन आयामों को उत्पन्न करते हुए स्थिति को केवल तीन वास्तविक संख्याओं द्वारा वर्णित करने की अनुमति देता है।
हम परिमाण यांत्रिकी से यह भी जानते हैं कि प्रणाली की कुल संभावना एक होनी चाहिए:
- , या समकक्ष .
इस बाधा को देखते हुए हम निम्नलिखित प्रतिनिधित्व का उपयोग करके लिख सकते हैं: