बूलियन वलय: Difference between revisions

Revision as of 23:47, 6 May 2023

गणित में, एक बूलियन वलय R एक वलय (गणित) है जिसके लिए R में सभी x के लिए x2 = x R होता है, अर्थात एक वलय जिसमें केवल इम्पोटेंट तत्व होते हैं।^[1]^[2]^[3] एक उदाहरण पूर्णांक मॉडुलो 2 का वलय है।

प्रत्येक बूलियन वलय एक बूलियन बीजगणित (संरचना) को उत्पन्न करता है, जिसमें तार्किक संयोजन या मिलन (गणित) ∧ के अनुरूप वलय गुणन होता है, और विशिष्ट वियोजन या सममित अंतर के लिए वलय जोड़ (तार्किक संयोजन नहीं ∨,^[4] जो एक मोटी हो जाओ का गठन करेगा)। इसके विपरीत, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय को जन्म देता है। बूलियन रिंग्स का नाम बूलियन बीजगणित के संस्थापक जॉर्ज बूले के नाम पर रखा गया है।

अंकन

बूलियन वलय और बीजगणित के लिए कम से कम चार अलग-अलग और असंगत अंकन प्रणालियां हैं:

विनिमेय बीजगणित में मानक अंकन x + y = (x ∧ ¬ y) ∨ (¬ x ∧ y) का उपयोग x और y के वलय योग के लिए और उनके उत्पाद के लिए xy = x ∧ y का उपयोग करने के लिए किया जाता है।
गणितीय तर्क में, एक सामान्य संकेतन x ∧ y का उपयोग मिलना है (वलय उत्पाद के समान) और जुड़ने के लिए x∨ y का उपयोग करना, वलय नोटेशन के संदर्भ में दिया गया है (बस ऊपर दिया गया है) x+y +xy द्वारा .
समुच्चय सिद्धान्त और लॉजिक में मिलने के लिए x · y का उपयोग करना और x ∨ y में शामिल होने के लिए x + y का उपयोग करना भी आम है।^[5] + का यह प्रयोग वलय सिद्धांत में प्रयोग से भिन्न है।
+ की अस्पष्टता से बचने के प्रयास में, उत्पाद के लिए xy और वलय योग के लिए x ⊕ y का उपयोग करना एक दुर्लभ परंपरा है।

ऐतिहासिक रूप से, बूलियन वलय शब्द का उपयोग संभवतः पहचान के बिना बूलियन वलय के अर्थ के लिए किया गया है, और बूलियन बीजगणित का उपयोग पहचान के साथ बूलियन वलय के अर्थ के लिए किया गया है। GF(2) पर वलय को एक बीजगणित के रूप में मानने के लिए पहचान का अस्तित्व आवश्यक है: अन्यथा बूलियन वलय में दो तत्वों के क्षेत्र का एक (यूनिटल) वलय होमोमोर्फिज्म नहीं हो सकता है। (यह माप सिद्धांत में शब्द वलय और बीजगणित के पुराने उपयोग के समान है।^{[lower-alpha 1]})

उदाहरण

बूलियन वलय का एक उदाहरण किसी भी सेट X का सत्ता स्थापित है, जहां वलय में जोड़ सममित अंतर है, और गुणन प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, हम X के सभी परिमित समुच्चय या सहपरिमित उपसमुच्चय के समुच्चय पर भी विचार कर सकते हैं, फिर से सममित अंतर और प्रतिच्छेदन को संचालन के रूप में। आम तौर पर इन परिचालनों के साथ सेट का कोई भी क्षेत्र बूलियन वलय होता है। बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा | स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय प्रत्येक बूलियन वलय सेट के एक क्षेत्र के लिए आइसोमॉर्फिक है (इन ऑपरेशनों के साथ एक वलय के रूप में माना जाता है)।

बूलियन बीजगणित से संबंध

संयुग्मन, वियोग और पूरक के बूलियन संचालन के लिए वेन आरेख

चूंकि बूलियन बीजगणित में ज्वाइन ऑपरेशन ∨ को अक्सर योगात्मक रूप से लिखा जाता है, इसलिए इस संदर्भ में ⊕ द्वारा वलय जोड़ को निरूपित करना समझ में आता है, एक प्रतीक जिसे अक्सर अनन्य या निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

एक बूलियन वलय R को देखते हुए, R में x और y के लिए हम परिभाषित कर सकते हैं

x ∧ y = xy,

x ∨ y = x ⊕ y ⊕ xy,

¬x = 1 ⊕ x।

ये ऑपरेशन तब बूलियन बीजगणित (संरचना) में मिलने, जुड़ने और पूरक होने के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं। इस प्रकार प्रत्येक बूलियन वलय एक बूलियन बीजगणित बन जाता है। इसी तरह, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय बन जाता है:

xy = x ∧ y,

x ⊕ y = (x ∨ y) ∧ ¬(x ∧ y)।

यदि बूलियन वलय को बूलियन बीजगणित में इस तरह अनुवादित किया जाता है, और फिर बूलियन बीजगणित को वलय में अनुवादित किया जाता है, तो परिणाम मूल वलय होता है। समान परिणाम की शुरुआत बूलियन बीजगणित से होती है।

दो बूलियन रिंगों के बीच एक नक्शा एक वलय समरूपता है यदि और केवल यदि यह संबंधित बूलियन बीजगणित का एक समरूपता है। इसके अलावा, बूलियन वलय का एक सबसेट एक वलय आदर्श (प्राइम वलय आइडियल, मैक्सिमल वलय आइडियल) है अगर और केवल अगर यह बूलियन बीजगणित का आदेश आदर्श (प्राइम ऑर्डर आइडियल, मैक्सिमल ऑर्डर आइडियल) है। बूलियन वलय मोडुलो ए वलय आइडियल का भागफल वलय संबंधित बूलियन बीजगणित मोडुलो के कारक बीजगणित से संबंधित क्रम आदर्श से मेल खाता है।

बूलियन रिंग्स के गुण

प्रत्येक बूलियन वलय R, R में सभी x के लिए x ⊕ x = 0 को संतुष्ट करता है, क्योंकि हम जानते हैं

x ⊕ x = (x ⊕ x)^{2</सुप> = एक्स² ⊕ x² ⊕ x² ⊕ x² = x ⊕ x ⊕ x ⊕ x}

और चूंकि (R,⊕) एक एबेलियन समूह है, हम इस समीकरण के दोनों पक्षों से x ⊕ x घटा सकते हैं, जो x ⊕ x = 0 देता है। एक समान प्रमाण दिखाता है कि प्रत्येक बूलियन वलय क्रमविनिमेय है:

x ⊕ y = (x ⊕ y)^{2</सुप> = एक्स² ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y² = x ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y}

और इससे xy ⊕ yx = 0 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है xy = yx (उपर्युक्त प्रथम गुण का उपयोग करके)।

गुण x ⊕ x = 0 दर्शाता है कि कोई भी बूलियन वलय क्षेत्र (गणित) 'F' पर एक साहचर्य बीजगणित है।₂ दो तत्वों के साथ, ठीक एक तरह से।^{[citation needed]} विशेष रूप से, किसी भी परिमित बूलियन वलय में प्रमुखता के रूप में दो की शक्ति होती है। F पर प्रत्येक एकात्मक साहचर्य बीजगणित नहीं₂ एक बूलियन वलय है: उदाहरण के लिए बहुपद वलय F पर विचार करें₂[एक्स]।

किसी भी बूलियन वलय R modulo किसी भी आदर्श I का भागफल वलय R/I फिर से एक बूलियन वलय है। इसी तरह, बूलियन वलय का कोई भी सबरिंग एक बूलियन वलय है।

कोई भी स्थानीयकरण_ऑफ_ए_रिंग $RS^{-1}$ एक बूलियन वलय R का एक सेट द्वारा $S\subseteq R$ एक बूलियन वलय है, क्योंकि स्थानीयकरण में प्रत्येक तत्व निष्क्रिय है।

भागफल का अधिकतम वलय $Q(R)$ बूलियन वलय R का (उटुमी और जोआचिम लैम्बेक के अर्थ में) एक बूलियन वलय है, क्योंकि प्रत्येक आंशिक एंडोमोर्फिज्म इडिम्पोटेंट है।^[6] बूलियन वलय R में प्रत्येक प्रमुख आदर्श पी अधिकतम आदर्श है: भागफल वलय आर/पी एक अभिन्न डोमेन है और एक बूलियन वलय भी है, इसलिए यह क्षेत्र (गणित) 'एफ' के लिए आइसोमोर्फिक है।₂, जो पी की अधिकतमता को दर्शाता है। चूंकि अधिकतम आदर्श हमेशा प्रमुख होते हैं, प्रमुख आदर्श और अधिकतम आदर्श बूलियन रिंगों में मेल खाते हैं।

बूलियन वलय का प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न आदर्श आदर्श आदर्श होता है (वास्तव में, (x,y) = (x + y + xy))। इसके अलावा, जैसा कि सभी तत्व इम्पोटेंट हैं, बूलियन वलय कम्यूटिव वॉन न्यूमैन नियमित वलय हैं और इसलिए बिल्कुल सपाट हैं, जिसका अर्थ है कि उनके ऊपर प्रत्येक मॉड्यूल फ्लैट मॉड्यूल है।

एकीकरण

बूलियन रिंग्स में एकीकरण (तर्क) निर्णायकता (तर्क) है,^[7] अर्थात्, बूलियन रिंगों पर मनमाने समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम मौजूद हैं। सूक्ष्म रूप से उत्पन्न बीजगणित मुक्त बूलियन रिंगों में एकीकरण और मिलान दोनों एनपी-पूर्ण हैं, और दोनों ही बीजगणित बूलियन रिंगों में एनपी कठिन हैं।^[8] (वास्तव में, बूलियन वलय में किसी भी एकीकरण समस्या f(X) = g(X) को मिलान समस्या f(X) + g(X) = 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, समस्याएं समतुल्य हैं।)

बूलियन रिंग्स में एकीकरण एकात्मक है यदि सभी अनपेक्षित फ़ंक्शन प्रतीक शून्य और परिमित हैं अन्यथा (अर्थात यदि बूलियन वलय के हस्ताक्षर में नहीं होने वाले फ़ंक्शन प्रतीक सभी स्थिरांक हैं तो एक सबसे सामान्य यूनिफ़ायर मौजूद है, और अन्यथा एकीकरण (कंप्यूटर विज्ञान) # एकीकरण समस्या, समाधान सेट परिमित है)।^[9]

यह भी देखें

वलय योग सामान्य रूप

संदर्भ

↑ Fraleigh (1976, p. 25,200)
↑ Herstein (1975, p. 130,268)
↑ McCoy (1968, p. 46)
↑ "Disjunction as sum operation in Boolean Ring".
↑ Koppelberg 1989, Definition 1.1, p. 7.
↑ B. Brainerd, J. Lambek (1959). "बूलियन रिंग के भागफल के रिंग पर". Canadian Mathematical Bulletin. 2: 25–29. doi:10.4153/CMB-1959-006-x. Corollary 2.
↑ Martin, U.; Nipkow, T. (1986). "Unification in Boolean Rings". In Jörg H. Siekmann (ed.). Proc. 8th CADE. LNCS. Vol. 230. Springer. pp. 506–513. doi:10.1007/3-540-16780-3_115. ISBN 978-3-540-16780-8.
↑ Kandri-Rody, Abdelilah; Kapur, Deepak; Narendran, Paliath (1985). "An ideal-theoretic approach to word problems and unification problems over finitely presented commutative algebras". पुनर्लेखन तकनीक और अनुप्रयोग. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 202. pp. 345–364. doi:10.1007/3-540-15976-2_17. ISBN 978-3-540-15976-6.
↑ A. Boudet; J.-P. Jouannaud; M. Schmidt-Schauß (1989). "बूलियन रिंग्स और एबेलियन ग्रुप्स का एकीकरण". Journal of Symbolic Computation. 8 (5): 449–477. doi:10.1016/s0747-7171(89)80054-9.

अग्रिम पठन

Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I. G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-01984-1
Herstein, I. N. (1975), Topics In Algebra (2nd ed.), John Wiley & Sons
Koppelberg, Sabine (1989). Handbook of Boolean algebras, vol. 1. Amsterdam: North-Holland. ISBN 0-444-70261-X.
McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra (Revised ed.), Allyn and Bacon, LCCN 68015225
Ryabukhin, Yu. M. (2001) [1994], "Boolean ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

बाहरी संबंध

John Armstrong, Boolean Rings

[6] When a Boolean ring has an identity, then a complement operation becomes definable on it, and a key characteristic of the modern definitions of both Boolean algebra and sigma-algebra is that they have complement operations.

[1] Fraleigh (1976, p. 25,200)

[2] Herstein (1975, p. 130,268)

[3] McCoy (1968, p. 46)

[4] "Disjunction as sum operation in Boolean Ring".

[FOOTNOTEKoppelberg1989Definition_1.1,_p._7-5] Koppelberg 1989, Definition 1.1, p. 7.

[7] B. Brainerd, J. Lambek (1959). "बूलियन रिंग के भागफल के रिंग पर". Canadian Mathematical Bulletin. 2: 25–29. doi:10.4153/CMB-1959-006-x. Corollary 2.

[8] Martin, U.; Nipkow, T. (1986). "Unification in Boolean Rings". In Jörg H. Siekmann (ed.). Proc. 8th CADE. LNCS. Vol. 230. Springer. pp. 506–513. doi:10.1007/3-540-16780-3_115. ISBN 978-3-540-16780-8.

[9] Kandri-Rody, Abdelilah; Kapur, Deepak; Narendran, Paliath (1985). "An ideal-theoretic approach to word problems and unification problems over finitely presented commutative algebras". पुनर्लेखन तकनीक और अनुप्रयोग. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 202. pp. 345–364. doi:10.1007/3-540-15976-2_17. ISBN 978-3-540-15976-6.

[10] A. Boudet; J.-P. Jouannaud; M. Schmidt-Schauß (1989). "बूलियन रिंग्स और एबेलियन ग्रुप्स का एकीकरण". Journal of Symbolic Computation. 8 (5): 449–477. doi:10.1016/s0747-7171(89)80054-9.

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-गणित में, एक बूलियन वलय ''आर'' एक वलय (गणित) है जिसके लिए ''x''<sup>2</sup> = x सभी x के लिए R में, यानी एक अंगूठी जिसमें केवल idempotent तत्व (रिंग थ्योरी) होते हैं।<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=25,200}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1975|p=130,268}}</ref><ref>{{harvtxt|McCoy|1968|p=46}}</ref> एक उदाहरण मॉड्यूलर अंकगणित # इंटीजर मॉड्यूलो एन की अंगूठी है।
+गणित में, एक बूलियन वलय R एक वलय (गणित) है जिसके लिए R में सभी x के लिए x2 = x R होता है, अर्थात एक वलय जिसमें केवल इम्पोटेंट तत्व होते हैं।<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=25,200}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1975|p=130,268}}</ref><ref>{{harvtxt|McCoy|1968|p=46}}</ref> एक उदाहरण पूर्णांक मॉडुलो 2 का वलय है।
-प्रत्येक बूलियन रिंग एक [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] को जन्म देती है, जिसमें [[तार्किक संयोजन]] या मीट (गणित) ∧ के अनुरूप रिंग गुणन होता है, और अनन्य या [[सममित अंतर]] के लिए रिंग जोड़ (तार्किक संयोजन नहीं ∨,<ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/q/1621618|title = Disjunction as sum operation in Boolean Ring}}</ref> जो एक [[मोटी हो जाओ]] का गठन करेगा)। इसके विपरीत, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन रिंग को जन्म देता है। बूलियन रिंग्स का नाम बूलियन बीजगणित के संस्थापक [[जॉर्ज बूले]] के नाम पर रखा गया है।
+प्रत्येक बूलियन वलय एक [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] को उत्पन्न करता है, जिसमें [[तार्किक संयोजन]] या मिलन (गणित) ∧ के अनुरूप वलय गुणन होता है, और विशिष्ट वियोजन या [[सममित अंतर]] के लिए वलय जोड़ (तार्किक संयोजन नहीं ∨,<ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/q/1621618|title = Disjunction as sum operation in Boolean Ring}}</ref> जो एक [[मोटी हो जाओ]] का गठन करेगा)। इसके विपरीत, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय को जन्म देता है। बूलियन रिंग्स का नाम बूलियन बीजगणित के संस्थापक [[जॉर्ज बूले]] के नाम पर रखा गया है।
 == अंकन ==
-बूलियन रिंग और बीजगणित के लिए कम से कम चार अलग-अलग और असंगत अंकन प्रणालियां हैं:
+बूलियन वलय और बीजगणित के लिए कम से कम चार अलग-अलग और असंगत अंकन प्रणालियां हैं:
-*विनिमेय बीजगणित में मानक अंकन x + y = (x ∧ ¬ y) ∨ (¬ x ∧ y) का उपयोग x और y के रिंग योग के लिए और उनके उत्पाद के लिए xy = x ∧ y का उपयोग करने के लिए किया जाता है।
+*विनिमेय बीजगणित में मानक अंकन x + y = (x ∧ ¬ y) ∨ (¬ x ∧ y) का उपयोग x और y के वलय योग के लिए और उनके उत्पाद के लिए xy = x ∧ y का उपयोग करने के लिए किया जाता है।
-*[[गणितीय तर्क]] में, एक सामान्य संकेतन x ∧ y का उपयोग मिलना है (रिंग उत्पाद के समान) और जुड़ने के लिए x∨ y का उपयोग करना, रिंग नोटेशन के संदर्भ में दिया गया है (बस ऊपर दिया गया है) x+y +xy द्वारा .
+*[[गणितीय तर्क]] में, एक सामान्य संकेतन x ∧ y का उपयोग मिलना है (वलय उत्पाद के समान) और जुड़ने के लिए x∨ y का उपयोग करना, वलय नोटेशन के संदर्भ में दिया गया है (बस ऊपर दिया गया है) x+y +xy द्वारा .
 *[[ समुच्चय सिद्धान्त ]] और लॉजिक में मिलने के लिए x · y का उपयोग करना और x ∨ y में शामिल होने के लिए x + y का उपयोग करना भी आम है।{{sfn|Koppelberg|1989|loc=Definition 1.1, p. 7}} + का यह प्रयोग वलय सिद्धांत में प्रयोग से भिन्न है।
-*+ की अस्पष्टता से बचने के प्रयास में, उत्पाद के लिए xy और रिंग योग के लिए x ⊕ y का उपयोग करना एक दुर्लभ परंपरा है।
+*+ की अस्पष्टता से बचने के प्रयास में, उत्पाद के लिए xy और वलय योग के लिए x ⊕ y का उपयोग करना एक दुर्लभ परंपरा है।
-ऐतिहासिक रूप से, बूलियन रिंग शब्द का उपयोग संभवतः पहचान के बिना बूलियन रिंग के अर्थ के लिए किया गया है, और बूलियन बीजगणित का उपयोग पहचान के साथ बूलियन रिंग के अर्थ के लिए किया गया है। [[GF(2)]] पर रिंग को एक बीजगणित के रूप में मानने के लिए पहचान का अस्तित्व आवश्यक है: अन्यथा बूलियन रिंग में दो तत्वों के क्षेत्र का एक (यूनिटल) रिंग होमोमोर्फिज्म नहीं हो सकता है। (यह [[माप सिद्धांत]] में शब्द वलय और बीजगणित के पुराने उपयोग के समान है।{{efn|When a Boolean ring has an identity, then a complement operation becomes definable on it, and a key characteristic of the modern definitions of both Boolean algebra and [[sigma-algebra]] is that they have complement operations.}})
+ऐतिहासिक रूप से, बूलियन वलय शब्द का उपयोग संभवतः पहचान के बिना बूलियन वलय के अर्थ के लिए किया गया है, और बूलियन बीजगणित का उपयोग पहचान के साथ बूलियन वलय के अर्थ के लिए किया गया है। [[GF(2)]] पर वलय को एक बीजगणित के रूप में मानने के लिए पहचान का अस्तित्व आवश्यक है: अन्यथा बूलियन वलय में दो तत्वों के क्षेत्र का एक (यूनिटल) वलय होमोमोर्फिज्म नहीं हो सकता है। (यह [[माप सिद्धांत]] में शब्द वलय और बीजगणित के पुराने उपयोग के समान है।{{efn|When a Boolean ring has an identity, then a complement operation becomes definable on it, and a key characteristic of the modern definitions of both Boolean algebra and [[sigma-algebra]] is that they have complement operations.}})
 == उदाहरण ==
-बूलियन रिंग का एक उदाहरण किसी भी सेट X का [[ सत्ता स्थापित ]] है, जहां रिंग में जोड़ सममित अंतर है, और गुणन प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, हम X के सभी परिमित समुच्चय या सहपरिमित उपसमुच्चय के समुच्चय पर भी विचार कर सकते हैं, फिर से सममित अंतर और प्रतिच्छेदन को संचालन के रूप में। आम तौर पर इन परिचालनों के साथ सेट का कोई भी क्षेत्र बूलियन रिंग होता है। बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा | स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय प्रत्येक बूलियन रिंग सेट के एक क्षेत्र के लिए आइसोमॉर्फिक है (इन ऑपरेशनों के साथ एक रिंग के रूप में माना जाता है)।
+बूलियन वलय का एक उदाहरण किसी भी सेट X का [[ सत्ता स्थापित ]] है, जहां वलय में जोड़ सममित अंतर है, और गुणन प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, हम X के सभी परिमित समुच्चय या सहपरिमित उपसमुच्चय के समुच्चय पर भी विचार कर सकते हैं, फिर से सममित अंतर और प्रतिच्छेदन को संचालन के रूप में। आम तौर पर इन परिचालनों के साथ सेट का कोई भी क्षेत्र बूलियन वलय होता है। बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा | स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय प्रत्येक बूलियन वलय सेट के एक क्षेत्र के लिए आइसोमॉर्फिक है (इन ऑपरेशनों के साथ एक वलय के रूप में माना जाता है)।
 == बूलियन बीजगणित से संबंध ==
-[[File:Vennandornot.svg|center|500px|thumb|संयुग्मन, वियोग और पूरक के बूलियन संचालन के लिए [[वेन आरेख]]]]चूंकि बूलियन बीजगणित में ज्वाइन ऑपरेशन ∨ को अक्सर योगात्मक रूप से लिखा जाता है, इसलिए इस संदर्भ में ⊕ द्वारा रिंग जोड़ को निरूपित करना समझ में आता है, एक प्रतीक जिसे अक्सर अनन्य या निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है।
+[[File:Vennandornot.svg|center|500px|thumb|संयुग्मन, वियोग और पूरक के बूलियन संचालन के लिए [[वेन आरेख]]]]चूंकि बूलियन बीजगणित में ज्वाइन ऑपरेशन ∨ को अक्सर योगात्मक रूप से लिखा जाता है, इसलिए इस संदर्भ में ⊕ द्वारा वलय जोड़ को निरूपित करना समझ में आता है, एक प्रतीक जिसे अक्सर अनन्य या निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है।
 एक बूलियन वलय R को देखते हुए, R में x और y के लिए हम परिभाषित कर सकते हैं
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 :¬x = 1 ⊕ x।
-ये ऑपरेशन तब बूलियन बीजगणित (संरचना) में मिलने, जुड़ने और पूरक होने के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं। इस प्रकार प्रत्येक बूलियन वलय एक बूलियन बीजगणित बन जाता है। इसी तरह, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन रिंग बन जाता है:
+ये ऑपरेशन तब बूलियन बीजगणित (संरचना) में मिलने, जुड़ने और पूरक होने के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं। इस प्रकार प्रत्येक बूलियन वलय एक बूलियन बीजगणित बन जाता है। इसी तरह, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय बन जाता है:
 :xy = x ∧ y,
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 :x ⊕ y = (x ∨ y) ∧ ¬(x ∧ y)।
-यदि बूलियन रिंग को बूलियन बीजगणित में इस तरह अनुवादित किया जाता है, और फिर बूलियन बीजगणित को रिंग में अनुवादित किया जाता है, तो परिणाम मूल रिंग होता है। समान परिणाम की शुरुआत बूलियन बीजगणित से होती है।
+यदि बूलियन वलय को बूलियन बीजगणित में इस तरह अनुवादित किया जाता है, और फिर बूलियन बीजगणित को वलय में अनुवादित किया जाता है, तो परिणाम मूल वलय होता है। समान परिणाम की शुरुआत बूलियन बीजगणित से होती है।
-दो बूलियन रिंगों के बीच एक नक्शा एक [[रिंग समरूपता]] है यदि और केवल यदि यह संबंधित बूलियन बीजगणित का एक समरूपता है। इसके अलावा, बूलियन रिंग का एक सबसेट एक [[ अंगूठी आदर्श ]] (प्राइम रिंग आइडियल, मैक्सिमल रिंग आइडियल) है [[अगर और केवल अगर]] यह बूलियन बीजगणित का [[ आदेश आदर्श ]] (प्राइम ऑर्डर आइडियल, मैक्सिमल ऑर्डर आइडियल) है। बूलियन रिंग मोडुलो ए रिंग आइडियल का भागफल वलय संबंधित बूलियन बीजगणित मोडुलो के कारक बीजगणित से संबंधित क्रम आदर्श से मेल खाता है।
+दो बूलियन रिंगों के बीच एक नक्शा एक [[रिंग समरूपता|वलय समरूपता]] है यदि और केवल यदि यह संबंधित बूलियन बीजगणित का एक समरूपता है। इसके अलावा, बूलियन वलय का एक सबसेट एक [[ अंगूठी आदर्श | वलय आदर्श]] (प्राइम वलय आइडियल, मैक्सिमल वलय आइडियल) है [[अगर और केवल अगर]] यह बूलियन बीजगणित का [[ आदेश आदर्श ]] (प्राइम ऑर्डर आइडियल, मैक्सिमल ऑर्डर आइडियल) है। बूलियन वलय मोडुलो ए वलय आइडियल का भागफल वलय संबंधित बूलियन बीजगणित मोडुलो के कारक बीजगणित से संबंधित क्रम आदर्श से मेल खाता है।
 == बूलियन रिंग्स के गुण ==
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 और इससे xy ⊕ yx = 0 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है xy = yx (उपर्युक्त प्रथम गुण का उपयोग करके)।
-गुण x ⊕ x = 0 दर्शाता है कि कोई भी बूलियन वलय [[क्षेत्र (गणित)]] 'F' पर एक [[साहचर्य बीजगणित]] है।<sub>2</sub> दो तत्वों के साथ, ठीक एक तरह से।{{citation needed|date=March 2023}} विशेष रूप से, किसी भी परिमित बूलियन रिंग में [[प्रमुखता]] के रूप में [[दो की शक्ति]] होती है। F पर प्रत्येक एकात्मक साहचर्य बीजगणित नहीं<sub>2</sub> एक बूलियन रिंग है: उदाहरण के लिए बहुपद रिंग F पर विचार करें<sub>2</sub>[एक्स]।
+गुण x ⊕ x = 0 दर्शाता है कि कोई भी बूलियन वलय [[क्षेत्र (गणित)]] 'F' पर एक [[साहचर्य बीजगणित]] है।<sub>2</sub> दो तत्वों के साथ, ठीक एक तरह से।{{citation needed|date=March 2023}} विशेष रूप से, किसी भी परिमित बूलियन वलय में [[प्रमुखता]] के रूप में [[दो की शक्ति]] होती है। F पर प्रत्येक एकात्मक साहचर्य बीजगणित नहीं<sub>2</sub> एक बूलियन वलय है: उदाहरण के लिए बहुपद वलय F पर विचार करें<sub>2</sub>[एक्स]।
-किसी भी बूलियन वलय R modulo किसी भी आदर्श I का भागफल वलय R/I फिर से एक बूलियन वलय है। इसी तरह, बूलियन रिंग का कोई भी [[सबरिंग]] एक बूलियन रिंग है।
+किसी भी बूलियन वलय R modulo किसी भी आदर्श I का भागफल वलय R/I फिर से एक बूलियन वलय है। इसी तरह, बूलियन वलय का कोई भी [[सबरिंग]] एक बूलियन वलय है।
-कोई भी स्थानीयकरण_ऑफ_ए_रिंग <math>RS^{-1}</math> एक बूलियन रिंग R का एक सेट द्वारा <math>S\subseteq R</math> एक बूलियन वलय है, क्योंकि स्थानीयकरण में प्रत्येक तत्व निष्क्रिय है।
+कोई भी स्थानीयकरण_ऑफ_ए_रिंग <math>RS^{-1}</math> एक बूलियन वलय R का एक सेट द्वारा <math>S\subseteq R</math> एक बूलियन वलय है, क्योंकि स्थानीयकरण में प्रत्येक तत्व निष्क्रिय है।
-भागफल का अधिकतम वलय <math>Q(R)</math> बूलियन रिंग R का (उटुमी और [[जोआचिम लैम्बेक]] के अर्थ में) एक बूलियन रिंग है, क्योंकि प्रत्येक आंशिक एंडोमोर्फिज्म इडिम्पोटेंट है।<ref>{{cite journal|last1=B. Brainerd, J. Lambek|title=बूलियन रिंग के भागफल के रिंग पर|journal=[[Canadian Mathematical Bulletin]] |date=1959|volume=2|page=25–29|doi=10.4153/CMB-1959-006-x|doi-access=free}} Corollary 2.</ref>
+भागफल का अधिकतम वलय <math>Q(R)</math> बूलियन वलय R का (उटुमी और [[जोआचिम लैम्बेक]] के अर्थ में) एक बूलियन वलय है, क्योंकि प्रत्येक आंशिक एंडोमोर्फिज्म इडिम्पोटेंट है।<ref>{{cite journal|last1=B. Brainerd, J. Lambek|title=बूलियन रिंग के भागफल के रिंग पर|journal=[[Canadian Mathematical Bulletin]] |date=1959|volume=2|page=25–29|doi=10.4153/CMB-1959-006-x|doi-access=free}} Corollary 2.</ref>
-बूलियन रिंग आर में प्रत्येक प्रमुख आदर्श पी [[अधिकतम आदर्श]] है: भागफल रिंग आर/पी एक [[अभिन्न डोमेन]] है और एक बूलियन रिंग भी है, इसलिए यह क्षेत्र (गणित) 'एफ' के लिए आइसोमोर्फिक है।<sub>2</sub>, जो पी की अधिकतमता को दर्शाता है। चूंकि अधिकतम आदर्श हमेशा प्रमुख होते हैं, [[प्रमुख आदर्श]] और अधिकतम आदर्श बूलियन रिंगों में मेल खाते हैं।
+बूलियन वलय R में प्रत्येक प्रमुख आदर्श पी [[अधिकतम आदर्श]] है: भागफल वलय आर/पी एक [[अभिन्न डोमेन]] है और एक बूलियन वलय भी है, इसलिए यह क्षेत्र (गणित) 'एफ' के लिए आइसोमोर्फिक है।<sub>2</sub>, जो पी की अधिकतमता को दर्शाता है। चूंकि अधिकतम आदर्श हमेशा प्रमुख होते हैं, [[प्रमुख आदर्श]] और अधिकतम आदर्श बूलियन रिंगों में मेल खाते हैं।
-बूलियन रिंग का प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न आदर्श आदर्श आदर्श होता है (वास्तव में, (x,y) = (x + y + xy))। इसके अलावा, जैसा कि सभी तत्व इम्पोटेंट हैं, बूलियन रिंग कम्यूटिव [[वॉन न्यूमैन नियमित रिंग]] हैं और इसलिए बिल्कुल सपाट हैं, जिसका अर्थ है कि उनके ऊपर प्रत्येक मॉड्यूल [[फ्लैट मॉड्यूल]] है।
+बूलियन वलय का प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न आदर्श आदर्श आदर्श होता है (वास्तव में, (x,y) = (x + y + xy))। इसके अलावा, जैसा कि सभी तत्व इम्पोटेंट हैं, बूलियन वलय कम्यूटिव [[वॉन न्यूमैन नियमित रिंग|वॉन न्यूमैन नियमित]] वलय हैं और इसलिए बिल्कुल सपाट हैं, जिसका अर्थ है कि उनके ऊपर प्रत्येक मॉड्यूल [[फ्लैट मॉड्यूल]] है।
 == एकीकरण ==
-बूलियन रिंग्स में [[एकीकरण (तर्क)]] [[निर्णायकता (तर्क)]] है,<ref>{{cite book|author1=Martin, U. |author2=Nipkow, T. | chapter=Unification in Boolean Rings| title=Proc. 8th CADE| year=1986| volume=230| pages=506–513| publisher=Springer| editor=Jörg H. Siekmann| series=LNCS|doi=10.1007/3-540-16780-3_115 |isbn=978-3-540-16780-8 }}</ref> अर्थात्, बूलियन रिंगों पर मनमाने समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम मौजूद हैं। सूक्ष्म रूप से उत्पन्न बीजगणित मुक्त बूलियन रिंगों में एकीकरण और मिलान दोनों एनपी-पूर्ण हैं, और दोनों ही बीजगणित बूलियन रिंगों में [[ एनपी कठिन ]] हैं।<ref>{{Cite book |doi = 10.1007/3-540-15976-2_17|chapter = An ideal-theoretic approach to word problems and unification problems over finitely presented commutative algebras|title = पुनर्लेखन तकनीक और अनुप्रयोग|volume = 202|pages = 345–364|series = Lecture Notes in Computer Science|year = 1985|last1 = Kandri-Rody|first1 = Abdelilah|last2 = Kapur|first2 = Deepak|last3 = Narendran|first3 = Paliath|isbn = 978-3-540-15976-6}}</ref> (वास्तव में, बूलियन रिंग में किसी भी एकीकरण समस्या f(X) = g(X) को मिलान समस्या f(X) + g(X) = 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, समस्याएं समतुल्य हैं।)
+बूलियन रिंग्स में [[एकीकरण (तर्क)]] [[निर्णायकता (तर्क)]] है,<ref>{{cite book|author1=Martin, U. |author2=Nipkow, T. | chapter=Unification in Boolean Rings| title=Proc. 8th CADE| year=1986| volume=230| pages=506–513| publisher=Springer| editor=Jörg H. Siekmann| series=LNCS|doi=10.1007/3-540-16780-3_115 |isbn=978-3-540-16780-8 }}</ref> अर्थात्, बूलियन रिंगों पर मनमाने समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम मौजूद हैं। सूक्ष्म रूप से उत्पन्न बीजगणित मुक्त बूलियन रिंगों में एकीकरण और मिलान दोनों एनपी-पूर्ण हैं, और दोनों ही बीजगणित बूलियन रिंगों में [[ एनपी कठिन ]] हैं।<ref>{{Cite book |doi = 10.1007/3-540-15976-2_17|chapter = An ideal-theoretic approach to word problems and unification problems over finitely presented commutative algebras|title = पुनर्लेखन तकनीक और अनुप्रयोग|volume = 202|pages = 345–364|series = Lecture Notes in Computer Science|year = 1985|last1 = Kandri-Rody|first1 = Abdelilah|last2 = Kapur|first2 = Deepak|last3 = Narendran|first3 = Paliath|isbn = 978-3-540-15976-6}}</ref> (वास्तव में, बूलियन वलय में किसी भी एकीकरण समस्या f(X) = g(X) को मिलान समस्या f(X) + g(X) = 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, समस्याएं समतुल्य हैं।)
-बूलियन रिंग्स में एकीकरण एकात्मक है यदि सभी अनपेक्षित फ़ंक्शन प्रतीक शून्य और परिमित हैं अन्यथा (अर्थात यदि बूलियन रिंग के हस्ताक्षर में नहीं होने वाले फ़ंक्शन प्रतीक सभी स्थिरांक हैं तो एक सबसे सामान्य यूनिफ़ायर मौजूद है, और अन्यथा एकीकरण (कंप्यूटर विज्ञान) # एकीकरण समस्या, समाधान सेट परिमित है)।<ref>{{cite journal| author=A. Boudet| author2=J.-P. Jouannaud| author2-link=J.-P. Jouannaud| author3=M. Schmidt-Schauß| title=बूलियन रिंग्स और एबेलियन ग्रुप्स का एकीकरण| journal=[[Journal of Symbolic Computation]] | year=1989| volume=8| issue=5| pages=449–477 | doi=10.1016/s0747-7171(89)80054-9| doi-access=free}}</ref>
+बूलियन रिंग्स में एकीकरण एकात्मक है यदि सभी अनपेक्षित फ़ंक्शन प्रतीक शून्य और परिमित हैं अन्यथा (अर्थात यदि बूलियन वलय के हस्ताक्षर में नहीं होने वाले फ़ंक्शन प्रतीक सभी स्थिरांक हैं तो एक सबसे सामान्य यूनिफ़ायर मौजूद है, और अन्यथा एकीकरण (कंप्यूटर विज्ञान) # एकीकरण समस्या, समाधान सेट परिमित है)।<ref>{{cite journal| author=A. Boudet| author2=J.-P. Jouannaud| author2-link=J.-P. Jouannaud| author3=M. Schmidt-Schauß| title=बूलियन रिंग्स और एबेलियन ग्रुप्स का एकीकरण| journal=[[Journal of Symbolic Computation]] | year=1989| volume=8| issue=5| pages=449–477 | doi=10.1016/s0747-7171(89)80054-9| doi-access=free}}</ref>
 == यह भी देखें ==
-* [[रिंग योग सामान्य रूप]]
+* [[रिंग योग सामान्य रूप|वलय योग सामान्य रूप]]
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