मिलनोर संख्या

गणित और विशेष रूप से विलक्षणता सिद्धांत में जॉन मिल्नोर के नाम पर मिल्नोर संख्या रोगाणु फलन का अचर है।

यदि f सम्मिश्र- मान पूर्णसममितिक रोगाणु फलन (गणित) है, तो f की मिल्नोर संख्या जिसे μ(f) से निरूपित किया गया है, या तो ऋणेतर पूर्णांक या अनंत है। इसे ज्यामितीय अचर और बीजगणितीय अचर दोनों माना जा सकता है। इसी कारण यह बीजगणितीय ज्यामिति और विलक्षणता सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

बीजगणितीय परिभाषा

एक पूर्णसममितिक सम्मिश्र रोगाणु फलन पर विचार करें (गणित)

$f:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)\$ और सभी रोगाणु फलन $(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)$ के वलय को ${\mathcal {O}}_{n}$ द्वारा निरूपित करें। फलन के प्रत्येक स्तर $\mathbb {C} ^{n}$में संकुल अधिपृष्ठ है, इसलिए हम $f$ को अधिपृष्ठ विलक्षणता कहेंगे।

मान लें कि यह एक विलगित विलक्षणता है: पूर्णसममितिक प्रतिचित्रण के स्थिति में कहा जा सकता हैं कि अधिपृष्ठ विलक्षणता $f$, $0\in \mathbb {C} ^{n}$ पर एकल है यदि इसकी प्रवणता $\nabla f$, $0$ एक विलक्षण बिंदु पृथक है यदि यह पर्याप्ततः निम्न सामीप्य में एकमात्र विलक्षण बिंदु है। विशेष रूप से, प्रवणता की बहुलता

$\mu (f)=\dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {O}}_{n}/\nabla f$

रूकर के नलस्टेलेंसत्ज के अनुप्रयोग द्वारा परिमित है। यह संख्या $\mu (f)$, $0$ विलक्षणता $f$ की मिलनोर संख्या है।

ध्यान दें कि प्रवणता की बहुलता परिमित है केवल यदि मूल f का एक पृथक क्रांतिक बिंदु है।

ज्यामितीय व्याख्या

मिलनोर ने मूल रूप से $\mu (f)$ को ज्यामितीय नियमों में निम्नलिखित प्रकार से प्रस्तुत किया। सभी फाइबर $f^{-1}(c)$ मूल्यों के लिए $c$ के करीब $0$ वास्तविक आयाम के कई गुना विलक्षण हैं $2(n-1)$. एक छोटी खुली डिस्क के साथ उनका प्रतिच्छेदन $D_{\epsilon }$ पर केंद्रित है $0$ एक चिकना बहुरूपी है $F$ मिलनोर फाइबर कहा जाता है। डिफियोमोर्फिज्म तक $F$ पर निर्भर नहीं है $c$ या $\epsilon$ अगर वे काफी छोटे हैं। यह मिलनोर फिब्रेशन मैप के तंतु के लिए भी भिन्न (डिफोमोर्फिक) है।

द मिल्नोर फाइबर $F$ आयाम का एक सहज कई गुना है $2(n-1)$ और वेज योग के समान होमोटॉपी है $\mu (f)$ क्षेत्रों $S^{n-1}$. कहने का मतलब यह है कि इसकी मध्य बेट्टी संख्या है $b_{n-1}(F)$ मिलनोर संख्या के बराबर है और इसमें आयाम में एक बिंदु की समरूपता (गणित) से कम है $n-1$. उदाहरण के लिए, प्रत्येक विलक्षण बिंदु के पास एक जटिल समतल वक्र $z_{0}$ गुलाब (टोपोलॉजी) के लिए मिलनोर फाइबर होमोटोपिक है। की एक कील $\mu _{z_{0}}(f)$ मंडलियां (मिल्नोर संख्या एक स्थानीय संपत्ति है, इसलिए अलग-अलग एकवचन बिंदुओं पर इसके अलग-अलग मान हो सकते हैं)।

इस प्रकार हमारे पास समानताएं हैं

मिलनोर संख्या = पच्चर में गोलों की संख्या = $F$ की मध्य बेट्टी संख्या = मानचित्रण की डिग्री $z\to {\frac {{\nabla }f(z)}{\|{\nabla }f(z)\|}}$ पर $S_{\epsilon }$ = प्रवणता की बहुलता $\nabla f$

मिल्नोर संख्या को देखने का एक अन्य तरीका क्षोभ सिद्धांत है। हम कहते हैं कि बिंदु एक पतित एकल बिंदु या f में एक अपभ्रष्ट विलक्षणता है तथा $z_{0}\in \mathbb {C} ^{n}$ पर यदि $z_{0}$ एक विलक्षण बिंदु है और दूसरे क्रम के सभी आंशिक डेरिवेटिव के हेसियन मैट्रिक्स का $z_{0}$ में शून्य निर्धारक है:

$det{\left(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}_i\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}_j}\right)}_1^{}$