अपचायक समूह: Difference between revisions
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=== सरल अपचायक समूह === | === सरल अपचायक समूह === | ||
क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G को 'सरल' (या k-'सरल') कहा जाता है, यदि यह अर्धसूत्रीय, असतहीय है, और G से अधिक k का प्रत्येक समृणीकृत रूप से संयोजित सामान्य उपसमूह नगण्य या G के बराबर है।<ref>Conrad (2014), after Proposition 5.1.17.</ref> (कुछ लेखक इस गुण को लगभग सरल कहते हैं।) यह | क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G को 'सरल' (या k-'सरल') कहा जाता है, यदि यह अर्धसूत्रीय, असतहीय है, और G से अधिक k का प्रत्येक समृणीकृत रूप से संयोजित सामान्य उपसमूह नगण्य या G के बराबर है।<ref>Conrad (2014), after Proposition 5.1.17.</ref> (कुछ लेखक इस गुण को लगभग सरल कहते हैं।) यह अमूर्त समूहों के लिए शब्दावली से किंचित अलग है, जिसमें एक साधारण बीजगणितीय समूह में असतहीय [[केंद्र (समूह सिद्धांत)]] हो सकता है (यद्यपि केंद्र परिमित होना चाहिए)। उदाहरण के लिए, किसी भी पूर्णांक n के लिए कम से कम 2 और किसी भी क्षेत्र k के लिए, k पर समूह SL(n) सरल है, और इसका केंद्र गुणक समूह एकता की nth मूलों की समूह पद्धति μ<sub>''n''</sub> है। | ||
अपचायक समूहों का एक 'केंद्रीय समरूपता' एक विशेषण [[समूह समरूपता]] है जिसमें आधार एक परिमित [[केंद्रीय उपसमूह]] पद्धति है। एक क्षेत्र पर प्रत्येक अपचायक समूह एक टोरस और कुछ सरल समूहों के उत्पाद से एक केंद्रीय समरूपता को स्वीकार करता है। उदाहरण के लिए, किसी भी क्षेत्र k, | अपचायक समूहों का एक 'केंद्रीय समरूपता' एक विशेषण [[समूह समरूपता]] है जिसमें आधार एक परिमित [[केंद्रीय उपसमूह]] पद्धति है। एक क्षेत्र पर प्रत्येक अपचायक समूह एक टोरस और कुछ सरल समूहों के उत्पाद से एक केंद्रीय समरूपता को स्वीकार करता है। उदाहरण के लिए, किसी भी क्षेत्र k, | ||
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=== विभाजित-अपचायक समूह === | === विभाजित-अपचायक समूह === | ||
क्षेत्र k पर एक अपचायक समूह G को 'विभाजित' कहा जाता है, यदि इसमें k पर एक विभाजित अधिकतम टोरस T होता है (अर्थात, G में एक रैखिक बीजगणितीय समूह जिसका आधार बदल जाता है) <math>\overline k</math> में एक अधिकतम टोरस है <math>G_{\overline k}</math>)। यह कहने के बराबर है कि टी G में विभाजित टोरस है जो कि G में सभी | क्षेत्र k पर एक अपचायक समूह G को 'विभाजित' कहा जाता है, यदि इसमें k पर एक विभाजित अधिकतम टोरस T होता है (अर्थात, G में एक रैखिक बीजगणितीय समूह जिसका आधार बदल जाता है) <math>\overline k</math> में एक अधिकतम टोरस है <math>G_{\overline k}</math>)। यह कहने के बराबर है कि टी G में विभाजित टोरस है जो कि G में सभी k-टोरी के बीच अधिकतम है।<ref>Borel (1991), 18.2(i).</ref> इस प्रकार के समूह उपयोगी होते हैं क्योंकि उनके वर्गीकरण को संयोजी आंकड़ों के माध्यम से वर्णित किया जा सकता है जिसे मूल आंकड़ें कहा जाता है। | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
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[[File:Finite Dynkin diagrams.svg|480px|thumb|संयोजित डायनकिन आरेख]]चेवेली ने 1958 में दिखाया कि किसी भी बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अपचायक समूहों को मूल आंकड़ों द्वारा समरूपता तक वर्गीकृत किया जाता है।<ref>Chevalley (2005); Springer (1998), 9.6.2 and 10.1.1.</ref> विशेष रूप से, एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अर्ध-सरल समूहों को उनके डायनकिन आरेख द्वारा केंद्रीय समरूपता तक वर्गीकृत किया जाता है, और सरल समूह संयोजित आरेखों के अनुरूप होते हैं। इस प्रकार A<sub>''n''</sub>, B<sub>''n''</sub>, C<sub>''n''</sub>, D<sub>''n''</sub>, E<sub>6</sub>, E<sub>7</sub>, E<sub>8</sub>, F<sub>4</sub>, G<sub>2</sub> के सरल समूह हैं। यह परिणाम अनिवार्य रूप से 1880 और 1890 के दशक में [[ विल्हेम हत्या |विल्हेम किलिंग]] और एली कार्टन द्वारा संहत लाई समूहों या जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण के समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों के विमा, केंद्र और अन्य गुणों को सरल लाई समूहों की सूची से पढ़ा जा सकता है। यह उल्लेखनीय है कि अपचायक समूहों का वर्गीकरण विशेषता से स्वतंत्र है। तुलना के लिए, अभिलक्षणिक शून्य की तुलना में धनात्मक अभिलक्षण में बहुत अधिक सरल लाई बीजगणित हैं। | [[File:Finite Dynkin diagrams.svg|480px|thumb|संयोजित डायनकिन आरेख]]चेवेली ने 1958 में दिखाया कि किसी भी बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अपचायक समूहों को मूल आंकड़ों द्वारा समरूपता तक वर्गीकृत किया जाता है।<ref>Chevalley (2005); Springer (1998), 9.6.2 and 10.1.1.</ref> विशेष रूप से, एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अर्ध-सरल समूहों को उनके डायनकिन आरेख द्वारा केंद्रीय समरूपता तक वर्गीकृत किया जाता है, और सरल समूह संयोजित आरेखों के अनुरूप होते हैं। इस प्रकार A<sub>''n''</sub>, B<sub>''n''</sub>, C<sub>''n''</sub>, D<sub>''n''</sub>, E<sub>6</sub>, E<sub>7</sub>, E<sub>8</sub>, F<sub>4</sub>, G<sub>2</sub> के सरल समूह हैं। यह परिणाम अनिवार्य रूप से 1880 और 1890 के दशक में [[ विल्हेम हत्या |विल्हेम किलिंग]] और एली कार्टन द्वारा संहत लाई समूहों या जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण के समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों के विमा, केंद्र और अन्य गुणों को सरल लाई समूहों की सूची से पढ़ा जा सकता है। यह उल्लेखनीय है कि अपचायक समूहों का वर्गीकरण विशेषता से स्वतंत्र है। तुलना के लिए, अभिलक्षणिक शून्य की तुलना में धनात्मक अभिलक्षण में बहुत अधिक सरल लाई बीजगणित हैं। | ||
प्रकार G<sub>2</sub> और E<sub>6</sub> के [[असाधारण समूह]] G का निर्माण कम से कम | प्रकार G<sub>2</sub> और E<sub>6</sub> के [[असाधारण समूह]] G का निर्माण कम से कम अमूर्त समूह G (K) के रूप में लियोनार्ड यूजीन डिक्सन द्वारा किया गया था। उदाहरण के लिए, समूह G<sub>2</sub> k पर एक [[ऑक्टोनियन बीजगणित|अष्टकैक बीजगणित]] का [[ऑटोमोर्फिज्म समूह|स्वसमाकृतिकता समूह]] है। इसके विपरीत, धनात्मक विशेषताओं के क्षेत्र में F<sub>4</sub>, E<sub>7</sub>, E<sub>8</sub> प्रकार के शेवाले समूह पूर्ण रूप से नवीन थे। | ||
अधिक सामान्यतः, विभाजित अपचायक समूहों का वर्गीकरण किसी भी क्षेत्र में समान होता है।<ref>Milne (2017), Theorems 23.25 and 23.55.</ref> एक क्षेत्र k पर एक अर्द्धसरल समूह G को ' पूर्णतः संयोजित' कहा जाता है, यदि अर्द्धसरल समूह से G तक प्रत्येक केंद्रीय समरूपता एक समरूपता है। (जटिल संख्याओं पर G अर्धसरल के लिए, इस अर्थ में [[बस जुड़ा हुआ है|पूर्णतः संयोजित]] G ('C') के बराबर है जो शास्त्रीय सांस्थिति में पूर्णतः संयोजित है।) चेवेली का वर्गीकरण देता है कि, किसी भी क्षेत्र पर, एक दिए गए डायनकिन आरेख के साथ एक अद्वितीय सरलता से संयोजित विभाजित अर्धसरल समूह G है, जिसमें संयोजित आरेखों के अनुरूप सरल समूह हैं। दूसरे परम पर, एक अर्धसरल समूह 'संलग्न प्रकार' का होता है यदि इसका केंद्र नगण्य होता है। दिए गए डायनकिन आरेख के साथ k पर विभाजित अर्धसरल समूह वस्तुतः समूह G/A हैं, जहाँ G सरल रूप से संयोजित समूह है और A, G के केंद्र की एक k-उपसमूह पद्धति है। | अधिक सामान्यतः, विभाजित अपचायक समूहों का वर्गीकरण किसी भी क्षेत्र में समान होता है।<ref>Milne (2017), Theorems 23.25 and 23.55.</ref> एक क्षेत्र k पर एक अर्द्धसरल समूह G को ' पूर्णतः संयोजित' कहा जाता है, यदि अर्द्धसरल समूह से G तक प्रत्येक केंद्रीय समरूपता एक समरूपता है। (जटिल संख्याओं पर G अर्धसरल के लिए, इस अर्थ में [[बस जुड़ा हुआ है|पूर्णतः संयोजित]] G ('C') के बराबर है जो शास्त्रीय सांस्थिति में पूर्णतः संयोजित है।) चेवेली का वर्गीकरण देता है कि, किसी भी क्षेत्र पर, एक दिए गए डायनकिन आरेख के साथ एक अद्वितीय सरलता से संयोजित विभाजित अर्धसरल समूह G है, जिसमें संयोजित आरेखों के अनुरूप सरल समूह हैं। दूसरे परम पर, एक अर्धसरल समूह 'संलग्न प्रकार' का होता है यदि इसका केंद्र नगण्य होता है। दिए गए डायनकिन आरेख के साथ k पर विभाजित अर्धसरल समूह वस्तुतः समूह G/A हैं, जहाँ G सरल रूप से संयोजित समूह है और A, G के केंद्र की एक k-उपसमूह पद्धति है। | ||
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*G में k पर एक परवलयिक उपसमूह है जो G के बराबर नहीं है; | *G में k पर एक परवलयिक उपसमूह है जो G के बराबर नहीं है; | ||
*G में योगात्मक समूह G<sub>''a''</sub> पर k की एक प्रति है। | *G में योगात्मक समूह G<sub>''a''</sub> पर k की एक प्रति है। | ||
k परिपूर्ण के लिए, यह कहने के बराबर भी है कि G (k) में 1 के अतिरिक्त एक रैखिक बीजगणितीय समूह#सेमिसिम्पल और एकांगी अवयव अवयव सम्मिलित हैं।<ref>Borel & Tits (1971), Corollaire 3.8.</ref> | |||
विशेषता शून्य (जैसे वास्तविक संख्या) के एक स्थानीय क्षेत्र k पर संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह G के लिए, समूह G(k) शास्त्रीय सांस्थिति में [[ कॉम्पैक्ट जगह |संहत | |||
विशेषता शून्य (जैसे वास्तविक संख्या) के एक स्थानीय क्षेत्र k पर संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह G के लिए, समूह G(k) शास्त्रीय सांस्थिति में [[ कॉम्पैक्ट जगह |संहत स्थान]] है (k की सांस्थिति पर आधारित) यदि और मात्र यदि G अपचायक और विषमदैशिक है ।<ref>Platonov & Rapinchuk (1994), Theorem 3.1.</ref> उदाहरण: लंब कोणीय समूह SO(p,q) पर 'R' का वास्तविक पद min(p,q) है, और इसलिए यह विषमदैशिक है यदि और मात्र यदि p या q शून्य है।<ref name="B234" /> | |||
एक क्षेत्र k पर अपचायक समूह G को 'अर्ध-विभाजन' कहा जाता है, यदि इसमें k पर एक बोरेल उपसमूह होता है। एक विभाजित अपचायक समूह अर्ध-विभाजन है। यदि G, k पर अर्ध-विभाजित है, तो G के किसी भी दो बोरेल उपसमूह G (k) के कुछ अवयव से संयुग्मित होते हैं।<ref>Borel (1991), Theorem 20.9(i).</ref> उदाहरण: लांबिक समूह SO(p,q) पर 'R' विभाजित है यदि और मात्र यदि |p−q| ≤ 1, और यह अर्ध-विभाजित है यदि और मात्र यदि |p−q| ≤ 2।<ref name="B234" /> | |||
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एक पूर्ण क्षेत्र k पर सरल रूप से संयोजित विभाजित अर्धसरल समूह G के लिए, स्टाइनबर्ग ने अमूर्त समूह G(k) के स्वसमाकृतिकता समूह का भी निर्धारण किया। प्रत्येक स्वसमाकृतिकता एक [[आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म|आंतरिक स्वसमाकृतिकता]] का उत्पाद है, एक विकर्ण स्वसमाकृतिकता (अर्थात् एक उपयुक्त द्वारा संयुग्मन <math>\overline k</math>-एक अधिकतम टोरस का बिंदु), एक आरेख स्वसमाकृतिकता (डाइनकिन आरेख के एक स्वसमाकृतिकता के अनुरूप), और एक क्षेत्र स्वसमाकृतिकता (क्षेत्र के एक स्वसमाकृतिकता से आ रहा है)।<ref>Steinberg (2016), Theorem 30.</ref> | एक पूर्ण क्षेत्र k पर सरल रूप से संयोजित विभाजित अर्धसरल समूह G के लिए, स्टाइनबर्ग ने अमूर्त समूह G(k) के स्वसमाकृतिकता समूह का भी निर्धारण किया। प्रत्येक स्वसमाकृतिकता एक [[आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म|आंतरिक स्वसमाकृतिकता]] का उत्पाद है, एक विकर्ण स्वसमाकृतिकता (अर्थात् एक उपयुक्त द्वारा संयुग्मन <math>\overline k</math>-एक अधिकतम टोरस का बिंदु), एक आरेख स्वसमाकृतिकता (डाइनकिन आरेख के एक स्वसमाकृतिकता के अनुरूप), और एक क्षेत्र स्वसमाकृतिकता (क्षेत्र के एक स्वसमाकृतिकता से आ रहा है)।<ref>Steinberg (2016), Theorem 30.</ref> | ||
क्रम 2 या 3 के क्षेत्रों के अपवादों को ठीक रूप से समझा गया है। | k-सरल बीजगणितीय समूह G के लिए, 'टिट्स की सरलता प्रमेय' का कहना है कि अमूर्त समूह G (k) हल्के अनुमानों के अंतर्गत, सरल होने के निकट है। अर्थात्, मान लीजिए कि G, k पर समदैशिक है, और मान लीजिए कि क्षेत्र k में कम से कम 4 अवयव हैं। G (k)<sup>+</sup> को G में समाहित योगात्मक समूह G<sub>''a''</sub> पर k की प्रतियों के k-बिंदुओं द्वारा उत्पन्न अमूर्त समूह G(k) का उपसमूह होने दें। (इस धारणा से कि G k पर समदैशिक है, समूह G(k)<sup>+</sup> असतहीय है, और यहाँ तक कि G में ज़रिस्की सघन है यदि k अनंत है।) तब इसके केंद्र द्वारा G(k)+ का विभाग समूह सरल है (एक अमूर्त समूह के रूप में)।<ref>Tits (1964), Main Theorem; Gille (2009), Introduction.</ref> परिमाण [[ जैक्स स्तन |जैक्स टिट्स]] की BN-युग्मन की मशीनरी का उपयोग करता है। | ||
क्रम 2 या 3 के क्षेत्रों के अपवादों को ठीक रूप से समझा गया है। K = F<sub>2</sub> के लिए, टिट्स की सरलता प्रमेय मान्य रहता है अतिरिक्त इसके कि जब G प्रकार A<sub>1</sub>, B<sub>2</sub>, या g<sub>2</sub>, या गैर-विभाजित (अर्थात, एकात्मक) प्रकार A<sub>2</sub> का विभाजन होता है। K = 'F<sub>3</sub> के लिए, A<sub>1</sub> प्रकार के G को छोड़कर प्रमेय मान्य है।<ref>Tits (1964), section 1.2.</ref> | |||
k-सरल समूह G के लिए, पूर्ण समूह G (k) को समझने के लिए, 'व्हाइटहेड समूह' W (k, G) = G (k)/G (k)<sup>+</sup> पर विचार किया जा सकता है। G के लिए पूर्णतः संयोजित है और अर्ध-विभाजित है, व्हाइटहेड समूह छोटा है, और इसलिए पूर्ण समूह G (k) सरल मोडुलो इसका केंद्र है।<ref>Gille (2009), Théorème 6.1.</ref> अधिक सामान्यतः, केनेसर-टिट्स समस्या पूछती है कि व्हाइटहेड समूह कौन सा समदैशिक k-सरल समूह नगण्य है। सभी ज्ञात उदाहरणों में, W(k, G) अबेलियन है। | |||
विषमदैशिक k-सरल समूह G के लिए, अमूर्त समूह G (k) सरल से बहुत दूर हो सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि D एक विभाजन बीजगणित है जिसका केंद्र a p-एडिक क्षेत्र k है। मान लीजिए कि k पर D की विमा परिमित है और 1 से अधिक है। फिर G = SL(1,D) एक विषमदैशिक k-सरल समूह है। जैसा ऊपर बताया गया है, G (k) शास्त्रीय सांस्थिति में संहत है। चूंकि यह [[पूरी तरह से डिस्कनेक्ट|पूर्ण रूप से असंबद्ध]] भी है, G (k) एक असीमित समूह है (परन्तु सीमित नहीं है)। फलस्वरूप, G (k) में उपसमूह के परिमित सूचकांक के अपरिमिततः कई सामान्य उपसमूह होते हैं।<ref>Platonov & Rapinchuk (1994), section 9.1.</ref> | |||
== जाली और अंकगणितीय समूह == | == जाली और अंकगणितीय समूह == | ||
मान लीजिए G परिमेय संख्याओं 'Q' पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह है। फिर G को ' | मान लीजिए G परिमेय संख्याओं 'Q' पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह है। फिर G को 'Z' पर एक सजातीय समूह पद्धति G तक बढ़ाया जा सकता है, और यह एक अमूर्त समूह G ('Z') निर्धारित करता है। एक 'अंकगणितीय समूह' का अर्थ G('Q') का कोई भी उपसमूह है जो G('Z') के साथ समानता (समूह सिद्धांत) है। (G('Q') के एक उपसमूह की अंकगणितीयता 'Z'-संरचना की पसंद से स्वतंत्र है।) उदाहरण के लिए, SL(n,'Z') SL(n,'Q') का एक अंकगणितीय उपसमूह है। | ||
एक लाई समूह G के लिए, G में एक '[[जाली (असतत उपसमूह)]]' का अर्थ है G का एक असतत उपसमूह Γ जैसे कि कई गुना G/Γ में परिमित आयतन (G- अचर माप के संबंध में) है। उदाहरण के लिए, एक असतत उपसमूह Γ एक जाली है यदि G/Γ संहत है। [[अंकगणित समूह|मार्गुलिस अंकगणितीय प्रमेय]] विशेष रूप से कहता है: कम से कम 2 वास्तविक पद के एक साधारण लाई समूह G के लिए, G में प्रत्येक जाली एक अंकगणितीय समूह है। | |||
== डाइनकिन आरेख पर गैलोज क्रिया == | |||
{{Main article|टिट्स सूचकांक}} | |||
अपचायक समूहों को वर्गीकृत करने की मांग में, जिन्हें विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है, एक चरण [[स्तन सूचकांक|टिट्स सूचकांक]] है, जो विषमदैशिक समूहों के स्थिति में समस्या को कम करता है। यह कमी बीजगणित में कई मूलभूत प्रमेयों का सामान्यीकरण करती है। उदाहरण के लिए, विट के अपघटन प्रमेय का कहना है कि एक क्षेत्र पर एक गैर-अपघटित द्विघात रूप को इसके विषमदैशिक आधार के साथ मिलकर इसके विट सूचकांक द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है। इसी प्रकार, आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय विभाजन बीजगणित के स्थिति में एक क्षेत्र पर केंद्रीय सरल बीजगणित के वर्गीकरण को कम करता है। इन परिणामों को सामान्य करते हुए, टिट्स ने दिखाया कि क्षेत्र k पर एक अपचायक समूह समरूपता तक इसके टिट्स सूचकांक द्वारा इसके विषमदैशिक आधार, एक संबद्ध विषमदैशिक अर्द्धसरल k-समूह के साथ निर्धारित किया जाता है। | |||
अपचायक समूहों को वर्गीकृत करने की मांग में, जिन्हें विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है, एक | |||
एक क्षेत्र k पर अपचायक समूह G के लिए, [[पूर्ण गैलोज़ समूह]] Gal(k<sub>''s''</sub>/k) G के पूर्ण डायनकिन आरेख पर (निरंतर) कार्य करता है, | एक क्षेत्र k पर अपचायक समूह G के लिए, [[पूर्ण गैलोज़ समूह]] Gal(k<sub>''s''</sub>/k) G के पूर्ण डायनकिन आरेख पर (निरंतर) कार्य करता है, जो कि एक वियोज्य संवरक k<sub>s</sub> पर G का डायनकिन आरेख है (जो एक बीजगणितीय संवृत <math>{\overline k}</math> पर G का डायनकिन आरेख भी है )। G के टिट्स सूचकांक में G<sub>''k''<sub>''s''</sub></sub> का मूल आधार, इसके डायनकिन आरेख पर गैलोज़ क्रिया और डाइकिन आरेख के शीर्षों का एक गैलोज़-निश्चर उपसमुच्चय होता है। परंपरागत रूप से, दिए गए उपसमुच्चय में गैलोज़ कक्षाओं के चक्कर लगाकर टिट्स सूचकांक तैयार किया जाता है। | ||
इन | इन प्रतिबंधों में अर्ध-विभाजित समूहों का पूर्ण वर्गीकरण है। अर्थात्, डायनकिन आरेख पर एक क्षेत्र k के निरपेक्ष गैलोज़ समूह की प्रत्येक क्रिया के लिए, दिए गए क्रिया के साथ एक अद्वितीय अर्ध-विभाजित अर्ध-विभाजित समूह H पर k है। (अर्ध-विभाजित समूह के लिए, डायनकिन आरेख में प्रत्येक गैलोज़ कक्षा परिक्रमा की जाती है।) इसके अतिरिक्त , दी गई क्रिया के साथ कोई अन्य सरल रूप से संयोजित अर्ध-सरल समूह G, अर्ध-विभाजित समूह H का एक [[आंतरिक रूप]] है, जिसका अर्थ है कि G है [[गैलोइस कोहोलॉजी]] सम्मुचय H<sup>1</sup> के एक अवयव से सम्बद्ध समूह (k,H/Z), जहां Z, H का केंद्र है। दूसरे शब्दों में, G कुछ H/Z-टोर्सर पर k से सम्बद्ध H का घुमाव है, जैसा कि अगले भाग में चर्चा की गई है। | ||
उदाहरण: मान लीजिए कि n ≥ 5 के साथ 2 नहीं विशेषता वाले क्षेत्र k पर सम विमा 2n का गैर-डीजेनरेट द्विघात रूप है। (इन प्रतिबंधों से बचा जा सकता है।) G को k पर साधारण समूह SO(q) होने दें। G का पूर्ण डायनकिन आरेख प्रकार डी का है<sub>''n''</sub>, और इसलिए इसका स्वसमाकृतिकता समूह क्रम 2 का है, डी के दो पैरों को बदल रहा है<sub>''n''</sub> आरेख। डायनकिन आरेख पर के के पूर्ण गैलोज़ समूह की कार्रवाई मामूली है यदि और मात्र यदि क्यू में क्यू के द्विघात रूप डी के हस्ताक्षर किए गए भेदभाव के */(के *)<sup>2</sup> नगण्य है। यदि d असतहीय है, तो यह डायनकिन आरेख पर गाल्वा क्रिया में n्कोड किया गया है: तत्समक के रूप में कार्य करने वाले गाल्वा समूह का सूचकांक -2 उपसमूह है <math>\operatorname{Gal}(k_s/k(\sqrt{d}))\subset \operatorname{Gal}(k_s/k)</math>। समूह G को विभाजित किया जाता है यदि और मात्र यदि q का विट सूचकांक n है, जो अधिकतम संभव है, और G अर्ध-विभाजित है यदि और मात्र यदि q का विट सूचकांक कम से कम n − 1 है।<ref name = "B234" /> | उदाहरण: मान लीजिए कि n ≥ 5 के साथ 2 नहीं विशेषता वाले क्षेत्र k पर सम विमा 2n का गैर-डीजेनरेट द्विघात रूप है। (इन प्रतिबंधों से बचा जा सकता है।) G को k पर साधारण समूह SO(q) होने दें। G का पूर्ण डायनकिन आरेख प्रकार डी का है<sub>''n''</sub>, और इसलिए इसका स्वसमाकृतिकता समूह क्रम 2 का है, डी के दो पैरों को बदल रहा है<sub>''n''</sub> आरेख। डायनकिन आरेख पर के के पूर्ण गैलोज़ समूह की कार्रवाई मामूली है यदि और मात्र यदि क्यू में क्यू के द्विघात रूप डी के हस्ताक्षर किए गए भेदभाव के */(के *)<sup>2</sup> नगण्य है। यदि d असतहीय है, तो यह डायनकिन आरेख पर गाल्वा क्रिया में n्कोड किया गया है: तत्समक के रूप में कार्य करने वाले गाल्वा समूह का सूचकांक -2 उपसमूह है <math>\operatorname{Gal}(k_s/k(\sqrt{d}))\subset \operatorname{Gal}(k_s/k)</math>। समूह G को विभाजित किया जाता है यदि और मात्र यदि q का विट सूचकांक n है, जो अधिकतम संभव है, और G अर्ध-विभाजित है यदि और मात्र यदि q का विट सूचकांक कम से कम n − 1 है।<ref name = "B234" /> | ||
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== [[ धड़ ]]्स और हस्से सिद्धांत == | == [[ धड़ ]]्स और हस्से सिद्धांत == | ||
एक क्षेत्र ''k'' पर एक सजातीय समूह पद्धति ''G'' के लिए एक टॉर्सर का अर्थ है ''k'' पर एक सजातीय पद्धति ''X'' ''G'' की एक समूह कार्रवाई (गणित) के साथ जैसे कि <math>X_{\overline k}</math> के लिए समरूपी है <math>G_{\overline k}</math> की क्रिया के साथ <math>G_{\overline k}</math> बाएँ अनुवाद द्वारा स्वयं पर। एक टॉर्सर को k पर fppf सांस्थिति के संबंध में k पर एक प्रमुख G-बंडल के रूप में भी देखा जा सकता है, या étale सांस्थिति यदि G k पर समृणीकृत है। K पर G- | एक क्षेत्र ''k'' पर एक सजातीय समूह पद्धति ''G'' के लिए एक टॉर्सर का अर्थ है ''k'' पर एक सजातीय पद्धति ''X'' ''G'' की एक समूह कार्रवाई (गणित) के साथ जैसे कि <math>X_{\overline k}</math> के लिए समरूपी है <math>G_{\overline k}</math> की क्रिया के साथ <math>G_{\overline k}</math> बाएँ अनुवाद द्वारा स्वयं पर। एक टॉर्सर को k पर fppf सांस्थिति के संबंध में k पर एक प्रमुख G-बंडल के रूप में भी देखा जा सकता है, या étale सांस्थिति यदि G k पर समृणीकृत है। K पर G-टोर्सर के समरूपता वर्गों के नुकीले सम्मुचय को H कहा जाता है<sup>1</sup>(k,G), गाल्वा कोहोलॉजी की भाषा में। | ||
जब भी कोई दिए गए बीजगणितीय वस्तु Y के 'रूपों' को एक क्षेत्र k पर वर्गीकृत करने का प्रयास करता है, तो टॉर्स उत्पन्न होते हैं, जिसका अर्थ है कि x से अधिक k पर वस्तुएँ जो k के बीजगणितीय संवृत होने पर Y के लिए समरूपी बन जाती हैं। अर्थात्, इस प्रकार के रूप (समरूपता तक) सम्मुचय | जब भी कोई दिए गए बीजगणितीय वस्तु Y के 'रूपों' को एक क्षेत्र k पर वर्गीकृत करने का प्रयास करता है, तो टॉर्स उत्पन्न होते हैं, जिसका अर्थ है कि x से अधिक k पर वस्तुएँ जो k के बीजगणितीय संवृत होने पर Y के लिए समरूपी बन जाती हैं। अर्थात्, इस प्रकार के रूप (समरूपता तक) सम्मुचय H के साथ एक-से-एक संगति में हैं<sup>1</sup>(के, ऑट (वाई))। उदाहरण के लिए, (nondegenerate) k पर विमा n के द्विघात रूपों को H द्वारा वर्गीकृत किया गया है<sup>1</sup>(k,O(n)), और घात n से अधिक k के केंद्रीय सरल बीजगणित को H द्वारा वर्गीकृत किया गया है<sup>1</sup>(के,PGL(n))। साथ ही, दिए गए बीजगणितीय समूह G के k-रूपों (जिन्हें कभी-कभी G का घुमाव कहा जाता है) को H द्वारा वर्गीकृत किया जाता है<sup>1</sup>(के, ऑट (जी))। ये समस्याएँ G-टोर्सर के व्यवस्थित अध्ययन को प्रेरित करती हैं, विशेष रूप से अपचायक समूह G के लिए। | ||
जब संभव हो, तो [[ कोहोलॉजिकल इनवेरिएंट |कोहोलॉजिकल निश्चर]] ्स का उपयोग करके जी-टॉर्सर्स को वर्गीकृत करने की उम्मीद है, जो एबेलियन गुणांक समूहों एम, | जब संभव हो, तो [[ कोहोलॉजिकल इनवेरिएंट |कोहोलॉजिकल निश्चर]] ्स का उपयोग करके जी-टॉर्सर्स को वर्गीकृत करने की उम्मीद है, जो एबेलियन गुणांक समूहों एम, H के साथ गैलोइस कोहोलॉजी में मान लेने वाले अपरिवर्तनीय हैं।<sup>ए</sup>(के, एम)। इस दिशा में, स्टाइनबर्ग ने [[ जीन पियरे सेरे |जीन पियरे सेरे]] के अनुमान I को सिद्ध किया: एक संयोजित रैखिक बीजीय समूह G के लिए अधिकतम 1, H क्षेत्र के कोहोलॉजिकल विमा के एक आदर्श क्षेत्र पर<sup>1</sup>(के, जी) = 1।<ref>Steinberg (1965), Theorem 1.9.</ref> (परिमित क्षेत्र के स्थिति को पहले लैंग के प्रमेय के रूप में जाना जाता था।) उदाहरण के लिए, यह इस प्रकार है कि परिमित क्षेत्र पर प्रत्येक अपचायक समूह अर्ध-विभाजित है। | ||
सेरे का अनुमान II (बीजगणित) | सेरे का अनुमान II भविष्यवाणी करता है कि अधिक से अधिक 2, | सेरे का अनुमान II (बीजगणित) | सेरे का अनुमान II भविष्यवाणी करता है कि अधिक से अधिक 2, H पर कोहोलॉजिकल विमा के एक क्षेत्र पर पूर्णतः संयोजित अर्ध-सरल समूह G के लिए<sup>1</sup>(k,G) = 1। अनुमान [[पूरी तरह से काल्पनिक संख्या क्षेत्र|पूर्ण रूप से काल्पनिक संख्या क्षेत्र]] के लिए जाना जाता है (जिसमें कोहोलॉजिकल विमा 2 है)। अधिक सामान्यतः, किसी भी संख्या क्षेत्र k के लिए, [[मार्टिन केनेसर]], गुंटर हार्डर और व्लादिमीर चेरनौसोव (1989) ने हासे सिद्धांत को सिद्ध किया: एक साधारण रूप से संयोजित अर्धसरल समूह G के लिए k, प्रतिचित्र | ||
:<math>H^1(k,G)\to \prod_{v} H^1(k_v,G)</math> | :<math>H^1(k,G)\to \prod_{v} H^1(k_v,G)</math> | ||
विशेषण है।<ref>Platonov & Rapinchuk (1994), Theorem 6.6.</ref> यहाँ v k, और k के सभी स्थानों (गणित) पर चलता है<sub>''v''</sub> संबंधित स्थानीय क्षेत्र है (संभवतः R या सी)। इसके अतिरिक्त , नुकीला सम्मुचय ''H''<sup>1</sup>(के<sub>''v''</sub>, G) प्रत्येक गैर-अर्चिमिडियन स्थानीय क्षेत्र k के लिए नगण्य है<sub>''v''</sub>, और इसलिए मात्र k के वास्तविक समष्टि मायने रखते हैं। धनात्मक विशेषता के एक [[वैश्विक क्षेत्र]] k के लिए अनुरूप परिणाम पहले हार्डर (1975) द्वारा सिद्ध किया गया था: प्रत्येक सरलता से संयोजित अर्द्धसरल समूह G पर k, H के लिए<sup>1</sup>(k,G) नगण्य है (क्योंकि k का कोई वास्तविक समष्टि नहीं है)।<ref>Platonov & Rapinchuk (1994), section 6.8.</ref> | विशेषण है।<ref>Platonov & Rapinchuk (1994), Theorem 6.6.</ref> यहाँ v k, और k के सभी स्थानों (गणित) पर चलता है<sub>''v''</sub> संबंधित स्थानीय क्षेत्र है (संभवतः R या सी)। इसके अतिरिक्त , नुकीला सम्मुचय ''H''<sup>1</sup>(के<sub>''v''</sub>, G) प्रत्येक गैर-अर्चिमिडियन स्थानीय क्षेत्र k के लिए नगण्य है<sub>''v''</sub>, और इसलिए मात्र k के वास्तविक समष्टि मायने रखते हैं। धनात्मक विशेषता के एक [[वैश्विक क्षेत्र]] k के लिए अनुरूप परिणाम पहले हार्डर (1975) द्वारा सिद्ध किया गया था: प्रत्येक सरलता से संयोजित अर्द्धसरल समूह G पर k, H के लिए<sup>1</sup>(k,G) नगण्य है (क्योंकि k का कोई वास्तविक समष्टि नहीं है)।<ref>Platonov & Rapinchuk (1994), section 6.8.</ref> | ||
Revision as of 10:14, 7 May 2023
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