वर्ग आव्यूह: Difference between revisions

Revision as of 14:20, 25 April 2023

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क्रम 4 का एक वर्ग आव्युह। प्रविष्टियाँ

a_{ii}

एक वर्ग आव्युह का मुख्य विकर्ण बनाएँ। उदाहरण के लिए, उपरोक्त 4×4 आव्युह के मुख्य विकर्ण में तत्व सम्मिलित हैं a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

गणित में, वर्ग आव्युह एक आव्युह (गणित) है जिसमें पंक्तियों और स्तंभों की समान संख्या होती है। n-by-n आव्युह को क्रम $n$ . के वर्ग आव्युह के रूप में जाना जाता है एक ही क्रम के किन्हीं भी दो वर्ग आव्यूहों को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है।

वर्ग आव्युह का उपयोग अधिकांशतः सरल रेखीय परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, जैसे कि अपरुपण मानचित्रण या प्रवर्तन (गणित) है। उदाहरण के लिए, यदि $R$ प्रवर्तन ( प्रवर्तन आव्युह ) का प्रतिनिधित्व करने वाला वर्ग आव्युह है और $\mathbf {v}$ स्तंभ सदिश है जो अंतरिक्ष में बिंदु की स्थिति (सदिश) का वर्णन करता है, उत्पाद $R\mathbf {v}$ उस घुमाव के बाद उस बिंदु की स्थिति का वर्णन करने वाला एक अन्य स्तंभ सदिश उत्पन्न करता है। यदि $\mathbf {v}$ पंक्ति सदिश है, उसी परिवर्तन $\mathbf {v} R^{\mathsf {T}}$ , का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है जहाँ $R^{\mathsf {T}}$ का स्थानान्तरण $R$ . है तो सामान्य आव्युह मुख्य रूप से रुचि के होते हैं क्योंकि उनमें अभी सूचीबद्ध आव्युह के प्रकार सम्मिलित होते हैं और आव्युह का सबसे व्यापक वर्ग बनाते हैं जिसके लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय धारण करता है।^[1]

तो यह सामान्य है। सामान्य आव्युह मुख्य रूप से रुचि के होते हैं क्योंकि उनमें अभी सूचीबद्ध आव्युह के प्रकार सम्मिलित होते हैं

प्रमुख विकर्ण

प्रविष्टियाँ $a_{ii}$ (i = 1, …, n) वर्ग आव्यूह का मुख्य विकर्ण बनाता है। वे काल्पनिक रेखा पर स्थित हैं जो ऊपरी बाएँ कोने से आव्युह के निचले दाएं कोने तक चलती है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त 4×4 आव्युह के मुख्य विकर्ण में तत्व a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.सम्मिलित हैं

वर्ग आव्युह के ऊपरी दाएं कोने से निचले बाएं कोने तक के विकर्ण को प्रतिपक्षी या प्रतिविकर्ण कहा जाता है।

विशेष प्रकार

नाम	उदाहरण एन = 3 के साथ
विकर्ण आव्यूह	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
निचला त्रिकोणीय आव्यूह	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$

विकर्ण या त्रिकोणीय आव्युह

यदि मुख्य विकर्ण के बाहर की सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं, $A$ विकर्ण आव्युह कहा जाता है। यदि मुख्य विकर्ण के ऊपर (या नीचे) सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं, $A$ ऊपरी (या निचला) त्रिकोणीय आव्युह कहा जाता है।

पहचान आव्युह

पहचान आव्युह $I_{n}$ आकार $n$ का $n\times n$ आव्युह है जिसमें मुख्य विकर्ण पर सभी तत्व 1 के समान हैं और अन्य सभी तत्व 0 के समान हैं, उदाहरण

I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.

यह क्रम $n$ , का वर्ग आव्युह है और विशेष प्रकार का विकर्ण आव्युह भी है। इसे पहचान आव्युह कहा जाता है क्योंकि इसके साथ गुणा करने से आव्युह अपरिवर्तित रहता है:

AI_n = I_mA = A किसी भी m-by-n आव्युह

A

. के लिए

व्युत्क्रमणीय आव्युह और इसके व्युत्क्रम

एक वर्ग आव्युह $A$ को व्युत्क्रमणीय आव्युह या गैर-एकवचन कहा जाता है यदि कोई आव्युह B ऐसा उपस्थित हो

AB=BA=I_{n}.

^[2]^[3]

यदि $B$ उपस्थित है, यह अद्वितीय है और इसका $A$ , व्युत्क्रम आव्युह कहा जाता है जिसे $A^{-1}$ . दर्शाया गया है

सममित या तिरछा-सममित आव्युह

वर्ग आव्युह $A$ यह इसके स्थानान्तरण के समान है, अर्थात, $A^{\mathsf {T}}=A$ , सममित आव्युह है। यदि इसके अतिरिक्त $A^{\mathsf {T}}=-A$ , तब $A$ तिरछा-सममित आव्युह कहा जाता है।

$A$ , जटिल वर्ग आव्युह के लिए अधिकांशतः ट्रांज़ोज़ का उपयुक्त एनालॉग संयुग्मी स्थानान्तरण होता है जटिल संयुग्म $A^{*}$ , के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित किया गया है $A$ . जटिल वर्ग आव्युह $A$ संतुष्टि देने वाला $A^{*}=A$ हर्मिटियन आव्युह कहा जाता है। यदि इसके अतिरिक्त $A^{*}=-A$ , तब $A$ तिरछा-हर्मिटियन आव्युह कहा जाता है।

वर्णक्रमीय प्रमेय के अनुसार, वास्तविक सममित (या जटिल हर्मिटियन) आव्युह में लंबकोणीय (या एकात्मक) खुद का आधार होता है; अर्थात, प्रत्येक सदिश ईजेनसदिशो के रैखिक संयोजन के रूप में अभिव्यक्त होता है। दोनों ही स्थिति में, सभी ईजेनवैल्यूज वास्तविक हैं।^[4]

निश्चित आव्युह

सकारात्मक रूप से निश्चित	अनिश्चित
${\begin{bmatrix}1/4&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{bmatrix}}$
Q(x,y) = 1/4 x² + y²	Q(x,y) = 1/4 x² − 1/4 y²
File:Ellipse in coordinate system with semi-axes labelled.svg Points such that Q(x, y) = 1 (Ellipse).	File:Hyperbola2 SVG.svg Points such that Q(x, y) = 1 (Hyperbola).

सममित n×n-आव्युह सकारात्मक-निश्चित आव्युह (क्रमशः नकारात्मक-निश्चित; अनिश्चित) कहा जाता है | यदि सभी गैर-शून्य सदिश के लिए $x\in \mathbb {R} ^{n}$ द्वारा संबद्ध द्विघात रूप दिया गया है |

<उद्धृत करें=द्विघात रूप>Q(x) = x^TAx</उद्धृत>

केवल सकारात्मक मान लेता है (क्रमशः केवल नकारात्मक मान; कुछ नकारात्मक और कुछ सकारात्मक मान दोनों)।^[5] यदि द्विघात रूप केवल गैर-नकारात्मक (क्रमशः केवल गैर-सकारात्मक) मान लेता है, तो सममित आव्युह को धनात्मक-अर्ध-परिमित (क्रमशः ऋणात्मक-अर्ध-अर्ध-परिमित) कहा जाता है; इसलिए आव्युह अनिश्चित रूप से अनिश्चित है जब यह न तो सकारात्मक-अर्ध-परिमित है और न ही नकारात्मक-अर्द्ध-परिमित कहा जाता है।

सममित आव्युह सकारात्मक-निश्चित है यदि और केवल यदि इसके सभी ईजेनवैल्यूज सकारात्मक हैं।^[6] दाईं ओर की तालिका 2×2 आव्यूहों के लिए दो संभावनाएँ दिखाती है।

इनपुट के रूप में दो अलग-अलग सदिशो को अनुमति देने के अतिरिक्त A से संबंधित द्विरेखीय रूप उत्पन्न होता है:

B_A(x, y) = x^TAy।^[7]

लंबकोणीय आव्युह

लंबकोणीय आव्युह आव्युह (गणित) वर्ग आव्युह है जिसमें वास्तविक संख्या प्रविष्टियाँ होती हैं जिनके स्तंभ और पंक्तियाँ लंबकोणीय इकाई सदिश (अर्थात, ऑर्थोनॉर्मलिटी सदिश) होती हैं। समतुल्य रूप से, आव्युह A लंबकोणीय है यदि इसका स्थानान्तरण इसके व्युत्क्रम आव्युह के समान है:

A^{\textsf {T}}=A^{-1},

जिसमें सम्मिलित है

A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,

जहां मैं पहचान आव्युह है।

लंबकोणीय आव्युह A अनिवार्य रूप से व्युत्क्रमणीय आव्युह (व्युत्क्रमणीय के साथ A⁻¹ = A^T), एकात्मक आव्युह (A⁻¹ = A*)है, और सामान्य आव्युह (A*A = AA*). किसी भी लंबकोणीय आव्युह का सिद्ध या तो +1 या -1 है। विशेष लंबकोणीय समूह $\operatorname {SO} (n)$ सिद्ध +1 के साथ n × n लंबकोणीय आव्युह के होते हैं।

लंबकोणीय आव्युह का जटिल संख्या एनालॉग एकात्मक आव्युह है।

सामान्य आव्युह

वास्तविक या जटिल वर्ग आव्युह $A$ सामान्य आव्युह कहा जाता है यदि $A^{*}A=AA^{*}$ . यदि वास्तविक वर्ग आव्युह सममित, तिरछा-सममित या लंबकोणीय है, तो यह सामान्य है। यदि जटिल वर्ग आव्युह हर्मिटियन, तिरछा-हर्मिटियन या एकात्मक है, तो यह सामान्य है। सामान्य आव्युह मुख्य रूप से रुचि के होते हैं क्योंकि उनमें अभी सूचीबद्ध आव्युह के प्रकार सम्मिलित होते हैं और आव्युह का सबसे व्यापक वर्ग बनाते हैं जिसके लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय धारण करता है।^[1]

संचालन

ट्रेस

वर्ग आव्युह A का निशान tr (A) इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का योग है। जबकि आव्युह गुणन कम्यूटेटिव नहीं है, दो आव्युह के उत्पाद का निशान कारकों के क्रम से स्वतंत्र है:

\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).

यह आव्युह गुणा की परिभाषा से तत्काल है:

\operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).

साथ ही, आव्युह का ट्रेस उसके स्थानान्तरण के समान होता है, अर्थात,

\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).

सिद्ध

File:Determinant example.svg

रेखीय परिवर्तन पर

\mathbb {R} ^{2}

संकेतित आव्युह द्वारा दिया गया। इस आव्युह का सिद्ध -1 है, क्योंकि दाईं ओर हरे समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र 1 है, किंतु नक्शा अभिविन्यास (गणित) को उलट देता है, क्योंकि यह सदिश के वामावर्त अभिविन्यास को घड़ी की दिशा में बदल देता है।

सिद्ध $\det(A)$ या $|A|$ वर्ग आव्युह का $A$ आव्युह के कुछ गुणों को एन्कोडिंग करने वाली संख्या है। आव्युह व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि इसका सिद्ध अशून्य है। इसका निरपेक्ष मान इकाई वर्ग (या घन) की छवि का क्षेत्रफल (में $\mathbb {R} ^{2}$ ) या वॉल्यूम (में $\mathbb {R} ^{3}$ ) के समान है , जबकि इसका चिन्ह संबंधित रेखीय मानचित्र के अभिविन्यास से मिलता है: सिद्ध सकारात्मक है यदि और केवल यदि अभिविन्यास संरक्षित है।

2×2 आव्यूहों का सिद्ध किसके द्वारा दिया जाता है

\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.

3×3 आव्यूहों के सिद्ध में 6 पद (सर्रस का नियम) सम्मिलित हैं। निर्धारकों के लिए अधिक लंबा लिबनिज़ सूत्र इन दो सूत्रों को सभी आयामों के लिए सामान्यीकृत करता है।^[8]

वर्ग आव्युह के उत्पाद का सिद्ध उनके निर्धारकों के उत्पाद के समान होता है:^[9]

\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)

किसी भी पंक्ति का गुणज दूसरी पंक्ति में, या किसी स्तंभ का गुणज दूसरे स्तंभ में जोड़ने से सिद्ध नहीं बदलता है। दो पंक्तियों या दो स्तंभों को आपस में बदलने से सिद्ध को -1 से गुणा करके प्रभावित करता है।^[10] इन परिचालनों का उपयोग करके, किसी आव्युह को निचले (या ऊपरी) त्रिकोणीय आव्युह में परिवर्तित किया जा सकता है, और ऐसे आव्युह के लिए सिद्ध मुख्य विकर्ण पर प्रविष्टियों के उत्पाद के समान होता है; यह किसी भी आव्युह के सिद्ध की गणना करने के लिए विधि प्रदान करता है। अंत में, लाप्लास विस्तार सिद्ध को सामान्य(रैखिक बीजगणित) के संदर्भ में व्यक्त करता है, अर्थात, छोटे आव्यूहों के सिद्ध।^[11] इस विस्तार का उपयोग निर्धारकों की पुनरावर्ती परिभाषा के लिए किया जा सकता है (प्रारंभिक स्थिति को 1×1 आव्युह के सिद्ध के रूप में लेते हुए, जो इसकी अनूठी प्रविष्टि है, या 0×0 आव्युह का सिद्ध भी है, जो 1 है), जो कि हो सकता है लीबनिज सूत्र के समकक्ष देखा जाता है। क्रैमर के नियम का उपयोग करके रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए निर्धारकों का उपयोग किया जा सकता है, जहां दो संबंधित वर्ग आव्युह के निर्धारकों का विभाजन प्रणाली के प्रत्येक चर के मान के समान होता है।^[12]

ईजेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर

संख्या λ और गैर-शून्य सदिश $\mathbf {v}$ संतुष्टि देने वाला है |

A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}

क्रमशः A का ईजेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर कहा जाता है।^[13]^[14] संख्या λ एक n×n-आव्यूह $A$ , का आइगेनमान है यदि और केवल यदि A − λI_n व्युत्क्रमणीय नहीं है, जो इसके समतुल्य है

\det(A-\lambda I)=0.

^[15]

निर्धारक det(XI_n − A) के मूल्यांकन द्वारा दिए गए एक अनिश्चित एक्स में बहुपद पी_A को A की विशेषता बहुपद कहा जाता है। यह बहुपद n का एक मोनिक बहुपद है। इसलिए बहुपद समीकरण p_A(λ) = 0 के अधिक से अधिक n अलग-अलग समाधान हैं, अर्थात आव्यूह के आइगेनमान।^[16] A की प्रविष्टियाँ वास्तविक होने पर भी वे जटिल हो सकती हैं। केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, p_A(A) = 0 अर्थात, आव्यूह को अपने विशिष्ट बहुपद में प्रतिस्थापित करने का परिणाम शून्य आव्यूह उत्पन्न करता है।

यह भी देखें

कार्टन आव्युह

↑ ^1.0 ^1.1 Artin, Algebra, 2nd edition, Pearson, 2018, section 8.6.
↑ Brown 1991, Definition I.2.28
↑ Brown 1991, Definition I.5.13
↑ Horn & Johnson 1985, Theorem 2.5.6
↑ Horn & Johnson 1985, Chapter 7
↑ Horn & Johnson 1985, Theorem 7.2.1
↑ Horn & Johnson 1985, Example 4.0.6, p. 169
↑ Brown 1991, Definition III.2.1
↑ Brown 1991, Theorem III.2.12
↑ Brown 1991, Corollary III.2.16
↑ Mirsky 1990, Theorem 1.4.1
↑ Brown 1991, Theorem III.3.18
↑ Eigen means "own" in German and in Dutch.
↑ Brown 1991, Definition III.4.1
↑ Brown 1991, Definition III.4.9
↑ Brown 1991, Corollary III.4.10

संदर्भ

Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
Mirsky, Leonid (1990), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7

बाहरी कड़ियाँ

File:Commons-logo.svg Media related to वर्ग आव्यूह at Wikimedia Commons

[:0-1] 1.0 ^1.1 Artin, Algebra, 2nd edition, Pearson, 2018, section 8.6.

[2] Brown 1991, Definition I.2.28

[3] Brown 1991, Definition I.5.13

[4] Horn & Johnson 1985, Theorem 2.5.6

[5] Horn & Johnson 1985, Chapter 7

[6] Horn & Johnson 1985, Theorem 7.2.1

[7] Horn & Johnson 1985, Example 4.0.6, p. 169

[8] Brown 1991, Definition III.2.1

[9] Brown 1991, Theorem III.2.12

[10] Brown 1991, Corollary III.2.16

[11] Mirsky 1990, Theorem 1.4.1

[12] Brown 1991, Theorem III.3.18

[13] Eigen means "own" in German and in Dutch.

[14] Brown 1991, Definition III.4.1

[15] Brown 1991, Definition III.4.9

[16] Brown 1991, Corollary III.4.10

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 :{| class="wikitable" style="float:right; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
 |-
-! Name !! Example with ''n'' = 3
+! नाम !! उदाहरण एन = 3 के साथ
 |-
-| [[Diagonal matrix]] || style="text-align:center;" | <math>
+| [[Diagonal matrix|विकर्ण आव्यूह]] || style="text-align:center;" | <math>
        \begin{bmatrix}
             a_{11} & 0      & 0 \\
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    </math>
 |-
-| [[Lower triangular matrix]] || style="text-align:center;" | <math>
+| [[Lower triangular matrix|निचला त्रिकोणीय आव्यूह]] || style="text-align:center;" | <math>
        \begin{bmatrix}
             a_{11} & 0      & 0 \\
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    </math>
 |-
-| [[Upper triangular matrix]] || style="text-align:center;" | <math>
+| [[Upper triangular matrix|ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह]] || style="text-align:center;" | <math>
        \begin{bmatrix}
             a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
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 {{nowrap|<math>A</math>,}} जटिल वर्ग आव्युह के लिए  अधिकांशतः ट्रांज़ोज़ का उपयुक्त एनालॉग [[ संयुग्मी स्थानान्तरण ]]होता है  जटिल संयुग्म {{nowrap|<math>A^*</math>,}} के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित किया गया है {{nowrap|<math>A</math>.}}  जटिल वर्ग आव्युह <math>A</math> संतुष्टि देने वाला <math>A^*=A</math> [[ हर्मिटियन मैट्रिक्स | हर्मिटियन आव्युह]] कहा जाता है। यदि इसके अतिरिक्त {{nowrap|<math>A^*=-A</math>,}} तब <math>A</math> [[ तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स | तिरछा-हर्मिटियन आव्युह]] कहा जाता है।
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+[[ वर्णक्रमीय प्रमेय ]] के अनुसार, वास्तविक सममित (या जटिल हर्मिटियन) आव्युह में  लंबकोणीय (या एकात्मक) [[ खुद का आधार ]] होता है; अर्थात, प्रत्येक सदिश ईजेनसदिशो के  [[ रैखिक संयोजन ]] के रूप में अभिव्यक्त होता है। दोनों ही स्थिति में, सभी ईजेनवैल्यूज वास्तविक हैं।<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Theorem 2.5.6 }}</ref>
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 {| class="wikitable" style="float:right; text-align:center; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
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-! [[Positive definite matrix|Positive definite]] !! [[Indefinite matrix|Indefinite]]
+!सकारात्मक रूप से निश्चित
+! [[Indefinite matrix|अनिश्चित]]
 |-
 | <math> \begin{bmatrix}
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 | [[File:Hyperbola2 SVG.svg|100x100px]] <br> Points such that {{nowrap|1=''Q''(''x'', ''y'') = 1}} <br> ([[Hyperbola]]).
 |}
-सममित n×n-आव्युह कहा जाता है [[ सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स | सकारात्मक-निश्चित आव्युह]] |सकारात्मक-निश्चित (क्रमशः नकारात्मक-निश्चित; अनिश्चित), यदि सभी गैर-शून्य वैक्टर के लिए <math>x \in \mathbb{R}^n</math> द्वारा दिया गया संबद्ध [[ द्विघात रूप ]]
+सममित n×n-आव्युह [[ सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स | सकारात्मक-निश्चित आव्युह]] (क्रमशः नकारात्मक-निश्चित; अनिश्चित) कहा जाता है | यदि सभी गैर-शून्य सदिश के लिए <math>x \in \mathbb{R}^n</math> द्वारा संबद्ध [[ द्विघात रूप ]] दिया गया है |
-:<उद्धृत करें=द्विघात रूप>Q('x') = 'x'<sup>टी</sup>एक्स'</उद्धृत>
+:<उद्धृत करें=द्विघात रूप>''Q''('''x''') = '''x'''<sup>T</sup>''A'''''x'''</उद्धृत>
-केवल सकारात्मक मान लेता है (क्रमशः केवल नकारात्मक मान; कुछ नकारात्मक और कुछ सकारात्मक मान दोनों)।<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Chapter 7 }}</ref> यदि द्विघात रूप केवल गैर-नकारात्मक (क्रमशः केवल गैर-सकारात्मक) मान लेता है, तो सममित आव्युह को धनात्मक-अर्ध-परिमित (क्रमशः ऋणात्मक-अर्ध-अर्ध-परिमित) कहा जाता है; इसलिए आव्युह अनिश्चित रूप से अनिश्चित है जब यह न तो सकारात्मक-अर्ध-परिमित है और न ही नकारात्मक-अर्द्ध-परिमित।
+केवल सकारात्मक मान लेता है (क्रमशः केवल नकारात्मक मान; कुछ नकारात्मक और कुछ सकारात्मक मान दोनों)।<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Chapter 7 }}</ref> यदि द्विघात रूप केवल गैर-नकारात्मक (क्रमशः केवल गैर-सकारात्मक) मान लेता है, तो सममित आव्युह को धनात्मक-अर्ध-परिमित (क्रमशः ऋणात्मक-अर्ध-अर्ध-परिमित) कहा जाता है; इसलिए आव्युह अनिश्चित रूप से अनिश्चित है जब यह न तो सकारात्मक-अर्ध-परिमित है और न ही नकारात्मक-अर्द्ध-परिमित कहा जाता है।
 सममित आव्युह सकारात्मक-निश्चित है यदि और केवल यदि इसके सभी ईजेनवैल्यूज सकारात्मक हैं।<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Theorem 7.2.1 }}</ref> दाईं ओर की तालिका 2×2 आव्यूहों के लिए दो संभावनाएँ दिखाती है।
-इनपुट के रूप में दो अलग-अलग वैक्टरों को अनुमति देने के अतिरिक्त ए से संबंधित [[ द्विरेखीय रूप ]] उत्पन्न होता है:
+इनपुट के रूप में दो अलग-अलग सदिशो को अनुमति देने के अतिरिक्त A से संबंधित [[ द्विरेखीय रूप ]] उत्पन्न होता है:
-:बी<sub>''A''</sub>(एक्स, वाई) = एक्स<sup>टी</sup>ओए'।<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Example 4.0.6, p. 169 }}</ref>
+:''B<sub>A</sub>''('''x''', '''y''') = '''x'''<sup>T</sup>''A'''''y'''।<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Example 4.0.6, p. 169 }}</ref>
+=== [[ ओर्थोगोनल | लंबकोणीय]] आव्युह ===
+लंबकोणीय आव्युह  आव्युह (गणित) वर्ग आव्युह है जिसमें [[ वास्तविक संख्या ]] प्रविष्टियाँ होती हैं जिनके स्तंभ और पंक्तियाँ लंबकोणीय [[ इकाई वेक्टर | इकाई सदिश]] (अर्थात, [[ orthonormality |ऑर्थोनॉर्मलिटी]] सदिश) होती हैं। समतुल्य रूप से,  आव्युह A लंबकोणीय है यदि इसका स्थानान्तरण इसके व्युत्क्रम आव्युह के समान है:
-=== [[ ओर्थोगोनल ]] आव्युह ===
-ऑर्थोगोनल आव्युह  आव्युह (गणित) # वर्ग आव्युह है जिसमें [[ वास्तविक संख्या ]] प्रविष्टियाँ होती हैं जिनके स्तंभ और पंक्तियाँ ऑर्थोगोनल [[ इकाई वेक्टर | इकाई सदिश]] (अर्थात, [[ orthonormality ]] वैक्टर) होती हैं। समतुल्य रूप से,  आव्युह A ऑर्थोगोनल है यदि इसका स्थानान्तरण इसके व्युत्क्रम आव्युह के समान है:
 :<math>A^\textsf{T}=A^{-1}, </math>
 जिसमें सम्मिलित है
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 जहां मैं पहचान आव्युह है।
-ऑर्थोगोनल आव्युह ए अनिवार्य रूप से व्युत्क्रमणीय आव्युह है (व्युत्क्रमणीय के साथ {{nowrap|1=''A''<sup>−1</sup> = ''A''<sup>T</sup>}}), [[ एकात्मक मैट्रिक्स | एकात्मक आव्युह]] ({{nowrap|1=''A''<sup>−1</sup> = ''A''*}}), और [[ सामान्य मैट्रिक्स | सामान्य आव्युह]] ({{nowrap|1=''A''*''A'' = ''AA''*}}). किसी भी ऑर्थोगोनल आव्युह का निर्धारक या तो +1 या -1 है। [[ विशेष ऑर्थोगोनल समूह ]] <math>\operatorname{SO}(n)</math> के होते हैं {{nowrap|''n'' × ''n''}} निर्धारक +1 के साथ ऑर्थोगोनल आव्युह।
+लंबकोणीय आव्युह A अनिवार्य रूप से व्युत्क्रमणीय आव्युह  (व्युत्क्रमणीय के साथ {{nowrap|1=''A''<sup>−1</sup> = ''A''<sup>T</sup>}}), [[ एकात्मक मैट्रिक्स | एकात्मक आव्युह]] ({{nowrap|1=''A''<sup>−1</sup> = ''A''*}})है, और [[ सामान्य मैट्रिक्स | सामान्य आव्युह]] ({{nowrap|1=''A''*''A'' = ''AA''*}}). किसी भी लंबकोणीय आव्युह का सिद्ध या तो +1 या -1 है। [[ विशेष ऑर्थोगोनल समूह | विशेष लंबकोणीय समूह]] <math>\operatorname{SO}(n)</math>सिद्ध +1 के साथ {{nowrap|''n'' × ''n''}}  लंबकोणीय आव्युह के होते हैं।
-ऑर्थोगोनल आव्युह का [[ जटिल संख्या ]] एनालॉग  एकात्मक आव्युह है।
+लंबकोणीय आव्युह का [[ जटिल संख्या ]] एनालॉग  एकात्मक आव्युह है।
 === सामान्य आव्युह ===
-वास्तविक या जटिल वर्ग आव्युह <math>A</math> सामान्य आव्युह कहा जाता है यदि {{nowrap|<math>A^* A = AA^*</math>.}} यदि  वास्तविक वर्ग आव्युह सममित, तिरछा-सममित या ऑर्थोगोनल है, तो यह सामान्य है। यदि  जटिल वर्ग आव्युह हर्मिटियन, तिरछा-हर्मिटियन या एकात्मक है, तो यह सामान्य है। सामान्य आव्युह मुख्य रूप से रुचि के होते हैं क्योंकि उनमें अभी सूचीबद्ध आव्युह के प्रकार सम्मिलित होते हैं और आव्युह का सबसे व्यापक वर्ग बनाते हैं जिसके लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय धारण करता है।<ref name=":0">Artin, ''Algebra'', 2nd edition, Pearson, 2018, section 8.6.</ref>
+वास्तविक या जटिल वर्ग आव्युह <math>A</math> सामान्य आव्युह कहा जाता है यदि {{nowrap|<math>A^* A = AA^*</math>.}} यदि  वास्तविक वर्ग आव्युह सममित, तिरछा-सममित या लंबकोणीय है, तो यह सामान्य है। यदि  जटिल वर्ग आव्युह हर्मिटियन, तिरछा-हर्मिटियन या एकात्मक है, तो यह सामान्य है। सामान्य आव्युह मुख्य रूप से रुचि के होते हैं क्योंकि उनमें अभी सूचीबद्ध आव्युह के प्रकार सम्मिलित होते हैं और आव्युह का सबसे व्यापक वर्ग बनाते हैं जिसके लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय धारण करता है।<ref name=":0">Artin, ''Algebra'', 2nd edition, Pearson, 2018, section 8.6.</ref>
 == संचालन ==
 === ट्रेस ===
-वर्ग आव्युह ए के  आव्युह, tr (ए) का निशान इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का योग है। जबकि आव्युह गुणन कम्यूटेटिव नहीं है, दो आव्युह के उत्पाद का निशान कारकों के क्रम से स्वतंत्र है:
+वर्ग आव्युह A  का निशान  tr (A) इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का योग है। जबकि आव्युह गुणन कम्यूटेटिव नहीं है, दो आव्युह के उत्पाद का निशान कारकों के क्रम से स्वतंत्र है:
 :<math>\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA).</math>
 यह आव्युह गुणा की परिभाषा से तत्काल है:
@@ Line 131: / Line 128: @@
 साथ ही,  आव्युह का ट्रेस उसके स्थानान्तरण के समान होता है, अर्थात,
 :<math>\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(A^{\mathrm T}).</math>
+=== सिद्ध ===
+{{Main|सिद्ध}}
+[[File:Determinant example.svg|thumb|300px|रेखीय परिवर्तन पर <math>\mathbb{R}^2</math> संकेतित आव्युह द्वारा दिया गया। इस आव्युह का सिद्ध -1 है, क्योंकि दाईं ओर हरे समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र 1 है, किंतु नक्शा [[ अभिविन्यास (गणित) ]] को उलट देता है, क्योंकि यह सदिश के वामावर्त अभिविन्यास को घड़ी की दिशा में बदल देता है।]]सिद्ध <math>\det(A)</math> या <math>|A|</math>  वर्ग आव्युह का <math>A</math> आव्युह के कुछ गुणों को एन्कोडिंग करने वाली संख्या है।  आव्युह व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि इसका सिद्ध अशून्य है। इसका निरपेक्ष मान  इकाई वर्ग (या घन) की छवि का क्षेत्रफल (में <math>\mathbb{R}^2</math>) या वॉल्यूम (में <math>\mathbb{R}^3</math>) के समान है , जबकि इसका चिन्ह संबंधित रेखीय मानचित्र के अभिविन्यास से मिलता  है: सिद्ध सकारात्मक है यदि और केवल यदि अभिविन्यास संरक्षित है।
+×2 आव्यूहों का सिद्ध किसके द्वारा दिया जाता है
+:<math>\det \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} = ad - bc.</math>
+×3 आव्यूहों के सिद्ध में 6 पद (सर्रस का नियम) सम्मिलित हैं। निर्धारकों के लिए अधिक लंबा लिबनिज़ सूत्र इन दो सूत्रों को सभी आयामों के लिए सामान्यीकृत करता है।<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.2.1 }}</ref>
-=== निर्धारक ===
+वर्ग आव्युह के उत्पाद का सिद्ध उनके निर्धारकों के उत्पाद के समान होता है:<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.2.12 }}</ref>
-{{Main|Determinant}}
+:<math>\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)</math>
-[[File:Determinant example.svg|thumb|300px|right|रेखीय परिवर्तन पर <math>\mathbb{R}^2</math> संकेतित आव्युह द्वारा दिया गया। इस आव्युह का निर्धारक -1 है, क्योंकि दाईं ओर हरे समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र 1 है, लेकिन नक्शा [[ अभिविन्यास (गणित) ]] को उलट देता है, क्योंकि यह वैक्टर के वामावर्त अभिविन्यास को घड़ी की दिशा में बदल देता है।]]निर्धारक <math>\det(A)</math> या <math>|A|</math>  वर्ग आव्युह का <math>A</math> आव्युह के कुछ गुणों को एन्कोडिंग करने वाली संख्या है।  आव्युह व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि इसका निर्धारक अशून्य है। इसका निरपेक्ष मान क्षेत्रफल के समान है (में <math>\mathbb{R}^2</math>) या वॉल्यूम (में <math>\mathbb{R}^3</math>) इकाई वर्ग (या घन) की छवि का, जबकि इसका चिन्ह संबंधित रेखीय मानचित्र के अभिविन्यास से मेल खाता है: निर्धारक सकारात्मक है यदि और केवल यदि अभिविन्यास संरक्षित है।
+किसी भी पंक्ति का गुणज दूसरी पंक्ति में, या किसी स्तंभ का गुणज दूसरे स्तंभ में जोड़ने से सिद्ध नहीं बदलता है। दो पंक्तियों या दो स्तंभों को आपस में बदलने से सिद्ध को -1 से गुणा करके प्रभावित करता है।<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.2.16 }}</ref> इन परिचालनों का उपयोग करके, किसी आव्युह को निचले (या ऊपरी) त्रिकोणीय आव्युह में परिवर्तित किया जा सकता है, और ऐसे आव्युह के लिए सिद्ध मुख्य विकर्ण पर प्रविष्टियों के उत्पाद के समान होता है; यह किसी भी आव्युह के सिद्ध की गणना करने के लिए  विधि प्रदान करता है। अंत में, [[ लाप्लास विस्तार | लाप्लास विस्तार]] सिद्ध को [[ मामूली (रैखिक बीजगणित) | सामान्य(रैखिक बीजगणित)]] के संदर्भ में व्यक्त करता है, अर्थात, छोटे आव्यूहों के सिद्ध।<ref>{{Harvard citations |last1=Mirsky |year=1990 |nb=yes |loc=Theorem 1.4.1 }}</ref> इस विस्तार का उपयोग निर्धारकों की पुनरावर्ती परिभाषा के लिए किया जा सकता है (प्रारंभिक स्थिति को 1×1 आव्युह के सिद्ध के रूप में लेते हुए, जो इसकी अनूठी प्रविष्टि है, या 0×0 आव्युह का सिद्ध भी है, जो 1 है), जो कि हो सकता है लीबनिज सूत्र के समकक्ष देखा जाता है। क्रैमर के नियम का उपयोग करके रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए निर्धारकों का उपयोग किया जा सकता है, जहां दो संबंधित वर्ग आव्युह के निर्धारकों का विभाजन प्रणाली के प्रत्येक चर के मान के समान होता है।<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.3.18 }}</ref>
-×2 आव्यूहों का निर्धारक किसके द्वारा दिया जाता है
-:<math>\det \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} = ad - bc.</math>
-×3 आव्यूहों के निर्धारक में 6 पद (सर्रस का नियम) सम्मिलित हैं। निर्धारकों के लिए अधिक लंबा लिबनिज़ सूत्र इन दो सूत्रों को सभी आयामों के लिए सामान्यीकृत करता है।<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.2.1 }}</ref>
-वर्ग आव्युह के उत्पाद का निर्धारक उनके निर्धारकों के उत्पाद के समान होता है:<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.2.12 }}</ref>
-:<math>\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)</math>
-किसी भी पंक्ति का गुणज दूसरी पंक्ति में, या किसी स्तंभ का गुणज दूसरे स्तंभ में जोड़ने से निर्धारक नहीं बदलता है। दो पंक्तियों या दो स्तंभों को आपस में बदलने से निर्धारक को -1 से गुणा करके प्रभावित करता है।<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.2.16 }}</ref> इन परिचालनों का उपयोग करके, किसी आव्युह को निचले (या ऊपरी) त्रिकोणीय आव्युह में परिवर्तित किया जा सकता है, और ऐसे आव्युह के लिए निर्धारक मुख्य विकर्ण पर प्रविष्टियों के उत्पाद के समान होता है; यह किसी भी आव्युह के निर्धारक की गणना करने के लिए  विधि प्रदान करता है। अंत में, [[ लाप्लास विस्तार ]] निर्धारक को [[ मामूली (रैखिक बीजगणित) ]] के संदर्भ में व्यक्त करता है, अर्थात, छोटे आव्यूहों के निर्धारक।<ref>{{Harvard citations |last1=Mirsky |year=1990 |nb=yes |loc=Theorem 1.4.1 }}</ref> इस विस्तार का उपयोग निर्धारकों की पुनरावर्ती परिभाषा के लिए किया जा सकता है (प्रारंभिक मामले को 1×1 आव्युह के निर्धारक के रूप में लेते हुए, जो इसकी अनूठी प्रविष्टि है, या 0×0 आव्युह का निर्धारक भी है, जो 1 है), जो कि हो सकता है लीबनिज सूत्र के समकक्ष देखा जाता है। क्रैमर के नियम का उपयोग करके रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए निर्धारकों का उपयोग किया जा सकता है, जहां दो संबंधित वर्ग आव्युह के निर्धारकों का विभाजन प्रणाली के प्रत्येक चर के मान के समान होता है।<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.3.18 }}</ref>
 === ईजेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर ===
-{{Main|Eigenvalue, eigenvector and eigenspace|l1=Eigenvalues and eigenvectors}}
+{{Main|आइगेनवैल्यू, ईजेनसदिश और ईजेनस्पेस|l1=आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनसदिश}}
-संख्या λ और  गैर-शून्य सदिश <math>\mathbf{v}</math> संतुष्टि देने वाला
+संख्या λ और  गैर-शून्य सदिश <math>\mathbf{v}</math> संतुष्टि देने वाला है |
 :<math>A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}</math>
-eigenvalue और  eigenvector कहा जाता है {{nowrap|<math>A</math>,}} क्रमश।<ref>''Eigen'' means "own" in [[German language|German]] and in [[Dutch language|Dutch]].</ref><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.4.1 }}</ref> संख्या λ  n×n-आव्युह A का  eigenvalue है यदि और केवल यदि {{nowrap|''A'' − λ''I''<sub>''n''</sub>}} व्युत्क्रमणीय नहीं है, जो तार्किक तुल्यता है
+क्रमशः A का ईजेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर कहा जाता है।<ref>''Eigen'' means "own" in [[German language|German]] and in [[Dutch language|Dutch]].</ref><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.4.1 }}</ref> संख्या λ एक n×n-आव्यूह {{nowrap|<math>A</math>,}} का आइगेनमान है यदि और केवल यदि {{nowrap|''A'' − λ''I''<sub>''n''</sub>}} व्युत्क्रमणीय नहीं है, जो इसके समतुल्य है
 :<math>\det(A-\lambda I) = 0.</math><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.4.9 }}</ref>
-बहुपद पी<sub>''A''</sub> निर्धारक के मूल्यांकन द्वारा दिए गए  [[ अनिश्चित (चर) ]] एक्स में {{nowrap|det(''XI''<sub>''n''</sub> − ''A'')}} A का अभिलाक्षणिक बहुपद कहलाता है। यह  बहुपद n की घात वाला  [[ मोनिक बहुपद ]] है। इसलिए बहुपद समीकरण {{nowrap|1=''p''<sub>''A''</sub>(λ) = 0}} अधिक से अधिक n अलग-अलग समाधान हैं, अर्थात आव्युह के ईजेनवैल्यूज।<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.4.10 }}</ref> A की प्रविष्टियाँ वास्तविक होने पर भी वे जटिल हो सकती हैं। केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, {{nowrap|1=''p''<sub>''A''</sub>(''A'') = 0}}, अर्थात्, आव्युह को अपने स्वयं के विशिष्ट बहुपद में प्रतिस्थापित करने का परिणाम [[ शून्य मैट्रिक्स | शून्य आव्युह]] उत्पन्न करता है।
+निर्धारक {{nowrap|det(''XI''<sub>''n''</sub> − ''A'')}} के मूल्यांकन द्वारा दिए गए एक अनिश्चित एक्स में बहुपद पी<sub>''A''</sub> को A की विशेषता बहुपद कहा जाता है। यह बहुपद n का एक मोनिक बहुपद है। इसलिए बहुपद समीकरण {{nowrap|1=''p''<sub>''A''</sub>(λ) = 0}} के अधिक से अधिक n अलग-अलग समाधान हैं, अर्थात आव्यूह के आइगेनमान।<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.4.10 }}</ref> A  की प्रविष्टियाँ वास्तविक होने पर भी वे जटिल हो सकती हैं। केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, {{nowrap|1=''p''<sub>''A''</sub>(''A'') = 0}} अर्थात, आव्यूह को अपने विशिष्ट बहुपद में प्रतिस्थापित करने का परिणाम शून्य आव्यूह उत्पन्न करता है।
 == यह भी देखें ==

v t e लीनियर अलजेब्रा
बुनियादी अवधारणाओं	स्केलर वेक्टर सदिश स्थल स्केलर गुणज वेक्टर प्रक्षेपण रैखिक अवधि रैखिक मानचित्र रैखिक प्रक्षेपण रैखिक स्वतंत्रता रैखिक संयोजन आधार आधार का परिवर्तन पंक्ति और स्तंभ वैक्टर पंक्ति और स्तंभ स्थान कर्नेल आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स ट्रांसपोज़ रैखिक समीकरण
मैट्रिसेस	ब्लॉक अपघटन इनवर्टिबल मामूली गुणा रैंक परिवर्तन क्रैमर का नियम गाउस विलोपन
बिलिनियर	Orthogonality डॉट उत्पाद आंतरिक उत्पाद स्थान बाहरी उत्पाद क्रोनकर उत्पाद ग्राम -श्मिट प्रक्रिया
मल्टीलिनियर बीजगणित	निर्धारक पार उत्पाद ट्रिपल उत्पाद सात-आयामी क्रॉस उत्पाद ज्यामितीय बीजगणित बाहरी बीजगणित Bivector मल्टीवेक्टर टेंसर बाहरीता
वेक्टर अंतरिक्ष निर्माण	दोहरी प्रत्यक्ष योग फ़ंक्शन स्पेस भागफल सबस्पेस टेंसर उत्पाद
संख्यात्मक	फ्लोटिंग-पॉइंट संख्यात्मक स्थिरता बुनियादी रैखिक बीजगणित उपप्रोग्राम विरल मैट्रिक्स रैखिक बीजगणित पुस्तकालयों की तुलना
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