प्रचारक: Difference between revisions
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जहां {{math|''Û''(''t'', ''t′'')}} समय {{mvar|t′}} स्थिति को t समय पर ले जाने वाली प्रणाली के लिए [[एकात्मक संचालक|एकात्मक]] समय-विकास संक्रियक <math>\lim_{t \to t'} K(x, t; x', t') = \delta(x - x')</math> द्वारा प्रयुक्त प्रारंभिक स्थिति पर ध्यान दें कि [[पथ अभिन्न सूत्रीकरण|पथ समाकल सूत्रीकरण]] का उपयोग करके क्वांटम-यांत्रिकी प्रचारक भी पाया जा सकता है: | जहां {{math|''Û''(''t'', ''t′'')}} समय {{mvar|t′}} स्थिति को t समय पर ले जाने वाली प्रणाली के लिए [[एकात्मक संचालक|एकात्मक]] समय-विकास संक्रियक <math>\lim_{t \to t'} K(x, t; x', t') = \delta(x - x')</math> द्वारा प्रयुक्त प्रारंभिक स्थिति पर ध्यान दें कि [[पथ अभिन्न सूत्रीकरण|पथ समाकल सूत्रीकरण]] का उपयोग करके क्वांटम-यांत्रिकी प्रचारक भी पाया जा सकता है: | ||
: <math>K(x, t; x', t') = \int \exp \left[\frac{i}{\hbar} \int_t^{t'} L(\dot{q}, q, t) \, dt\right] D[q(t)],</math> | : <math>K(x, t; x', t') = \int \exp \left[\frac{i}{\hbar} \int_t^{t'} L(\dot{q}, q, t) \, dt\right] D[q(t)],</math> | ||
जहां पथ समाकल की | जहां पथ समाकल सीमा की स्थितियों मे {{math|''q''(''t'') {{=}} ''x'', ''q''(''t′'') {{=}} ''x′''}} सम्मिलित हैं यहाँ {{mvar|L}} प्रणाली के [[Lagrangian यांत्रिकी|लाग्रंगियन यांत्रिकी]] को दर्शाता है सम्मिलित किए गए पथ केवल समय में आगे बढ़ते हैं और अंतर के साथ एकीकृत होते हैं <math>D[q(t)]</math> समय में पथ का अनुसरण करते हुए गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में प्रचारक एक प्रारंभिक तरंग फलन और समय अंतराल दिए जाने पर निकाय के तरंग फलन को खोजने देता है इस प्रकार नया तरंग फलन समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया गया है: | ||
: <math>\psi(x, t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x', t') K(x, t; x', t') \, dx'.</math> | : <math>\psi(x, t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x', t') K(x, t; x', t') \, dx'.</math> | ||
यदि {{math|''K''(''x'', ''t''; ''x''′, ''t''′)}} केवल अंतर {{math|''x'' − ''x′''}} पर निर्भर करता है तब यह प्रारंभिक तरंग फलन और प्रचारक का [[कनवल्शन|घूर्णन]] है। | यदि {{math|''K''(''x'', ''t''; ''x''′, ''t''′)}} केवल अंतर {{math|''x'' − ''x′''}} पर निर्भर करता है तब यह प्रारंभिक तरंग फलन और प्रचारक का [[कनवल्शन|घूर्णन]] है। | ||
=== मूल उदाहरण: मुक्त कण | === मूल उदाहरण: मुक्त कण का प्रचारक और आवर्ती दोलक === | ||
सामान्यतः अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए प्रचारक केवल {{math|''t'' − ''t''′}} समय के अंतर पर निर्भर करता है इसलिए इसे फिर से लिखा जा सकता है: <math display="block">K(x, t; x', t') = K(x, x'; t - t').</math>एक आयामी मुक्त कण को प्रचारक से प्राप्त किया जा सकता है उदाहरण के लिए पथ समाकल है: | |||
{{Equation box 1 | {{Equation box 1 | ||
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|bgcolor = #F9FFF7}} | |bgcolor = #F9FFF7}} | ||
इसी प्रकार आयामी क्वांटम आवर्ती दोलक का प्रचारक [[मेहलर कर्नेल]] है | इसी प्रकार आयामी क्वांटम आवर्ती दोलक का प्रचारक [[मेहलर कर्नेल]] है:<ref>E. U. Condon, [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1076889/pdf/pnas01779-0028.pdf "Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations"], ''Proc. Natl. Acad. Sci. USA'' '''23''', (1937) 158–164.</ref><ref>[[Wolfgang Pauli]], ''Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics'' (Dover Books on Physics, 2000) {{ISBN|0486414620}}. Section 44.</ref> | ||
{{Equation box 1 | {{Equation box 1 | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
संक्रियकों के लिए मान <math>\mathsf{x}</math> और <math>\mathsf{p}</math> हाइजेनबर्ग संबंध <math>[\mathsf{x},\mathsf{p}] = i\hbar</math> को संतुष्ट करने के लिए {{mvar|N}}-आयामी स्थिति प्रचारक को निम्न उत्पाद द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:<math display="block">K(\vec{x}, \vec{x}'; t) = \prod_{q=1}^N K(x_q, x_q'; t).</math> | |||
संक्रियकों के लिए मान <math>\mathsf{x}</math> और <math>\mathsf{p}</math> हाइजेनबर्ग संबंध <math>[\mathsf{x},\mathsf{p}] = i\hbar</math> को संतुष्ट करने के लिए {{mvar|N}}-आयामी स्थिति प्रचारक को निम्न उत्पाद द्वारा प्राप्त किया जा सकता है: <math display="block">K(\vec{x}, \vec{x}'; t) = \prod_{q=1}^N K(x_q, x_q'; t).</math> | |||
{{see also|पथ समाकल सूत्रीकरण # सरल आवर्त दोलक|ऊष्मा समीकरण#मूल समाधान}} | {{see also|पथ समाकल सूत्रीकरण # सरल आवर्त दोलक|ऊष्मा समीकरण#मूल समाधान}} | ||
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यदि कण के पास प्रचक्रण है तो इसका प्रचारक सामान्य रूप से कुछ अधिक जटिल होता है क्योंकि इसमें कण के प्रचक्रण या ध्रुवीकरण सूचकांक सम्मिलित होते है प्रचक्रण {{frac|1|2}} कण के लिए प्रचारक द्वारा संतुष्ट अंतर समीकरण द्वारा दिया गया है:<ref>{{harvnb|Greiner|Reinhardt|2008|loc=Ch.2}}</ref> | यदि कण के पास प्रचक्रण है तो इसका प्रचारक सामान्य रूप से कुछ अधिक जटिल होता है क्योंकि इसमें कण के प्रचक्रण या ध्रुवीकरण सूचकांक सम्मिलित होते है प्रचक्रण {{frac|1|2}} कण के लिए प्रचारक द्वारा संतुष्ट अंतर समीकरण द्वारा दिया गया है:<ref>{{harvnb|Greiner|Reinhardt|2008|loc=Ch.2}}</ref> | ||
:<math>(i\not\nabla' - m)S_F(x', x) = I_4\delta^4(x'-x),</math> | :<math>(i\not\nabla' - m)S_F(x', x) = I_4\delta^4(x'-x),</math> | ||
जहां {{math|''I''<sub>4</sub>}} चार आयामों में इकाई आव्यूह है जो [[फेनमैन स्लैश नोटेशन|फेनमैन संकेत पद्धति]] को नियोजित करता है यह स्पेसटाइम में डेल्टा फलन स्रोत के लिए डिराक समीकरण मे गति प्रतिनिधित्व का उपयोग करना है:<math display="block">S_F(x', x) = \int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\exp{\left[-ip \cdot(x'-x)\right]}\tilde S_F(p),</math>जिससे | जहां {{math|''I''<sub>4</sub>}} चार आयामों में इकाई आव्यूह है जो [[फेनमैन स्लैश नोटेशन|फेनमैन संकेत पद्धति]] को नियोजित करता है यह स्पेसटाइम में डेल्टा फलन स्रोत के लिए डिराक समीकरण मे गति प्रतिनिधित्व का उपयोग करना है:<math display="block">S_F(x', x) = \int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\exp{\left[-ip \cdot(x'-x)\right]}\tilde S_F(p),</math>जिससे निम्न समीकरण बन जाता है: | ||
: <math> | : <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
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& = g_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = p_\nu p^\nu = p^2, | & = g_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = p_\nu p^\nu = p^2, | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
[[क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स|क्वांटम विद्युत् गतिकी]] में [[इलेक्ट्रॉन]] का प्रतिनिधित्व करने वाले [[डायराक समीकरण]] क्षेत्र के लिए फेनमैन आरेख में उपयोग किए जाने वाले संवेग-अंतरिक्ष प्रसारक का रूप पाया जाता है: | [[क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स|क्वांटम विद्युत् गतिकी]] में [[इलेक्ट्रॉन]] का प्रतिनिधित्व करने वाले [[डायराक समीकरण]] क्षेत्र के लिए फेनमैन आरेख में उपयोग किए जाने वाले संवेग-अंतरिक्ष प्रसारक का रूप पाया जाता है: | ||
:<math> \tilde{S}_F(p) = \frac{(\not p + m)}{p^2 - m^2 + i \varepsilon} = \frac{(\gamma^\mu p_\mu + m)}{p^2 - m^2 + i \varepsilon}.</math> | :<math> \tilde{S}_F(p) = \frac{(\not p + m)}{p^2 - m^2 + i \varepsilon} = \frac{(\gamma^\mu p_\mu + m)}{p^2 - m^2 + i \varepsilon}.</math> | ||
{{math|''iε''}} नीचे {{math|''p''<sub>0</sub>}} समतल में ध्रुवों को संभालने के प्रकारों के लिए एक विधि है यह ध्रुवों को उपयुक्त रूप से स्वतः फलित समाकल का फेनमैन समोच्च उत्पन्न करता है | {{math|''iε''}} के नीचे {{math|''p''<sub>0</sub>}} समतल में ध्रुवों को संभालने के प्रकारों के लिए यह एक विधि है यह ध्रुवों को उपयुक्त रूप से स्वतः फलित समाकल का फेनमैन समोच्च उत्पन्न करता है जिसको कभी-कभी निम्न रूप मे लिखा जाता है: | ||
:<math>\tilde{S}_F(p) = {1 \over \gamma^\mu p_\mu - m + i\varepsilon} = {1 \over \not p - m + i\varepsilon} </math> | :<math>\tilde{S}_F(p) = {1 \over \gamma^\mu p_\mu - m + i\varepsilon} = {1 \over \not p - m + i\varepsilon} </math> | ||
यह याद रखना चाहिए कि यह अभिव्यक्ति केवल {{math|(''γ''<sub>''μ''</sub>''p''<sup>''μ''</sup> − ''m'')<sup>−1</sup>}} के लिए आशुलिपि संकेतन है "वन ओवर आव्यूह" अन्यथा अतर्कसंगत है | यह याद रखना चाहिए कि यह अभिव्यक्ति केवल {{math|(''γ''<sub>''μ''</sub>''p''<sup>''μ''</sup> − ''m'')<sup>−1</sup>}} के लिए आशुलिपि संकेतन है "वन ओवर आव्यूह" अन्यथा अतर्कसंगत होता है जिसके लिए एक स्थिति समष्टि है:<math display="block">S_F(x-y) = \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} \, e^{-i p \cdot (x-y)} \frac{\gamma^\mu p_\mu + m}{p^2 - m^2 + i \varepsilon} = \left( \frac{\gamma^\mu (x-y)_\mu}{|x-y|^5} + \frac{m}{|x-y|^3} \right) J_1(m |x-y|).</math>यह उपरोक्त समीकरण द्वारा फेनमैन प्रचारक से संबंधित है: | ||
:<math>S_F(x-y) = (i \not \partial + m) G_F(x-y)</math> | :<math>S_F(x-y) = (i \not \partial + m) G_F(x-y)</math> | ||
जहाँ <math>\not \partial := \gamma^\mu \partial_\mu</math>. | जहाँ <math>\not \partial := \gamma^\mu \partial_\mu</math>. | ||
==== प्रचक्रण 1 ==== | ==== प्रचक्रण 1 ==== | ||
[[गेज सिद्धांत]] में गेज बोसॉन के लिए प्रचारक गेज को प्रयुक्त करने के लिए यह फलन की रुचि पर निर्भर करता है फेनमैन और [[अर्नस्ट स्टुएकेलबर्ग]] द्वारा उपयोग किए जाने वाले गेज के लिए | [[गेज सिद्धांत]] में गेज बोसॉन के लिए प्रचारक गेज को प्रयुक्त करने के लिए यह फलन की रुचि पर निर्भर करता है फेनमैन और [[अर्नस्ट स्टुएकेलबर्ग]] द्वारा उपयोग किए जाने वाले गेज के लिए एक फोटॉन प्रचारक है: | ||
:<math>{-i g^{\mu\nu} \over p^2 + i\varepsilon }.</math> | :<math>{-i g^{\mu\nu} \over p^2 + i\varepsilon }.</math> | ||
गेज पैरामीटर λ के साथ सामान्य रूप, समग्र चिह्न तक और i का कारक पढ़ता है: | गेज पैरामीटर λ के साथ सामान्य रूप, समग्र चिह्न तक और i का कारक पढ़ता है: | ||
| Line 203: | Line 201: | ||
:<math>\frac{g_{\mu\nu} - \frac{k_\mu k_\nu}{k^2}}{k^2-m^2+i\varepsilon}.</math> | :<math>\frac{g_{\mu\nu} - \frac{k_\mu k_\nu}{k^2}}{k^2-m^2+i\varepsilon}.</math> | ||
=== ग्रेविटन प्रचारक === | === ग्रेविटन प्रचारक === | ||
[[सामान्य सापेक्षता]] में मिन्कोव्स्की समष्टि के लिए ग्रेविटॉन प्रचारक है:<ref>https://dspace.library.uu.nl/bitstream/handle/1874/4837/Quantum_theory_of_gravitation.pdf?sequence=2&isAllowed=y {{Bare URL PDF|date=January 2022}}</ref><math display="block">G_{\alpha\beta~\mu\nu} = \frac{\mathcal{P}^2_{\alpha\beta~\mu\nu}}{k^2} - \frac{\mathcal{P}^0_s{}_{\alpha\beta~\mu\nu}}{2k^2} = \frac{g_{\alpha\mu} g_{\beta\nu}+ g_{\beta\mu}g_{\alpha\nu}- \frac{2}{D-2} g_{\mu\nu}g_{\alpha\beta}}{k^2},</math>जहाँ <math>D</math> स्पेसटाइम आयामों की संख्या है <math>\mathcal{P}^2</math> अनुप्रस्थ और लुप्त प्रचक्रण (भौतिकी) # प्रचक्रण प्रक्षेपण क्वांटम संख्या और बहुलता है प्रचक्रण 2 प्रक्षेपण संक्रियक है और <math>\mathcal{P}^0_s</math> एक प्रचक्रण-0 अदिश है [[एंटी-डी सिटर स्पेस|एंटी-डी सिटर समष्टि]] के लिए ग्रैविटॉन प्रचारक है: <math display="block">G = \frac{\mathcal{P}^2}{2H^2-\Box} + \frac{\mathcal{P}^0_s}{2(\Box+4H^2)},</math> | [[सामान्य सापेक्षता]] में मिन्कोव्स्की समष्टि के लिए ग्रेविटॉन प्रचारक है:<ref>https://dspace.library.uu.nl/bitstream/handle/1874/4837/Quantum_theory_of_gravitation.pdf?sequence=2&isAllowed=y {{Bare URL PDF|date=January 2022}}</ref><math display="block">G_{\alpha\beta~\mu\nu} = \frac{\mathcal{P}^2_{\alpha\beta~\mu\nu}}{k^2} - \frac{\mathcal{P}^0_s{}_{\alpha\beta~\mu\nu}}{2k^2} = \frac{g_{\alpha\mu} g_{\beta\nu}+ g_{\beta\mu}g_{\alpha\nu}- \frac{2}{D-2} g_{\mu\nu}g_{\alpha\beta}}{k^2},</math>जहाँ <math>D</math> स्पेसटाइम आयामों की संख्या है <math>\mathcal{P}^2</math> अनुप्रस्थ और लुप्त प्रचक्रण (भौतिकी) # प्रचक्रण प्रक्षेपण क्वांटम संख्या और बहुलता है प्रचक्रण 2 प्रक्षेपण संक्रियक है और <math>\mathcal{P}^0_s</math> एक प्रचक्रण-0 अदिश है और [[एंटी-डी सिटर स्पेस|एंटी-डी सिटर समष्टि]] के लिए ग्रैविटॉन प्रचारक है: <math display="block">G = \frac{\mathcal{P}^2}{2H^2-\Box} + \frac{\mathcal{P}^0_s}{2(\Box+4H^2)},</math> | ||
जहाँ <math>H</math> हबल नियतांक है ध्यान दें कि सीमा <math>H \to 0</math> और <math>\Box \to -k^2</math>, लेने पर प्रचारक मिंकोवस्की प्रचारक को कम कर देता है।<ref>{{cite web| url=http://cds.cern.ch/record/378516/files/9902042.pdf |title=Graviton and gauge boson propagators in AdSd+1}}</ref> | जहाँ <math>H</math> हबल नियतांक है ध्यान दें कि सीमा <math>H \to 0</math> और <math>\Box \to -k^2</math>, लेने पर प्रचारक मिंकोवस्की प्रचारक को अपेक्षाकृत कम कर देता है।<ref>{{cite web| url=http://cds.cern.ch/record/378516/files/9902042.pdf |title=Graviton and gauge boson propagators in AdSd+1}}</ref> | ||
== संबंधित एकल फलन == | == संबंधित एकल फलन == | ||
{{further|ग्रीन का कार्य (कई-पिंड सिद्धांत)|सहसंबंध फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)}} | {{further|ग्रीन का कार्य (कई-पिंड सिद्धांत)|सहसंबंध फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)}} | ||
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==== पाउली-जॉर्डन फलन ==== | ==== पाउली-जॉर्डन फलन ==== | ||
दो अदिश क्षेत्र संक्रियकों के दिकपरिवर्तक [[वोल्फगैंग पाउली]]-[[ पास्कल जॉर्डन | पास्कल जॉर्डन]] फलन को | दो अदिश क्षेत्र संक्रियकों के दिकपरिवर्तक [[वोल्फगैंग पाउली]]-[[ पास्कल जॉर्डन | पास्कल जॉर्डन]] फलन को <math>\Delta(x-y)</math> द्वारा परिभाषित करते हैं:<ref>{{Cite journal |last1=Pauli |first1=Wolfgang |last2=Jordan |first2=Pascual |year=1928 |title=चार्ज-फ्री फ़ील्ड्स के क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स पर|journal=Zeitschrift für Physik |volume=47 |issue=3–4 |pages=151–173|doi=10.1007/BF02055793 |bibcode=1928ZPhy...47..151J |s2cid=120536476 }}</ref><ref name="BD">{{Cite book |last1=Bjorken |first1=James D. |title=सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी|last2=Drell |first2=Sidney David |publisher=[[McGraw-Hill]] |year=1964 |isbn=9780070054936 |series=International series in pure and applied physics |location=New York, NY |chapter=Appendix C}}</ref> | ||
:<math>\langle 0 | \left[ \Phi(x),\Phi(y) \right] | 0 \rangle = i \, \Delta(x-y)</math> | :<math>\langle 0 | \left[ \Phi(x),\Phi(y) \right] | 0 \rangle = i \, \Delta(x-y)</math> | ||
| Line 242: | Line 239: | ||
<math>\,\Delta_1(x-y) = \Delta_1(y-x).</math> | <math>\,\Delta_1(x-y) = \Delta_1(y-x).</math> | ||
=== क्लेन-गॉर्डन समीकरण के लिए ग्रीन फलन === | === क्लेन-गॉर्डन समीकरण के लिए ग्रीन फलन === | ||
ऊपर परिभाषित फलन फेनमैन प्रचारक क्लेन-गॉर्डन समीकरण के लिए ग्रीन फलन है ये फलन निम्न | ऊपर परिभाषित फलन फेनमैन प्रचारक क्लेन-गॉर्डन समीकरण के लिए ग्रीन फलन है ये फलन निम्न अद्वितीय फलनों से संबंधित हैं:<ref name="BD" /> | ||
<math>G_\text{ret}(x-y) = -\Delta(x-y) \Theta(x_0-y_0) </math> | <math>G_\text{ret}(x-y) = -\Delta(x-y) \Theta(x_0-y_0) </math> | ||
Revision as of 13:32, 26 April 2023
| Quantum field theory |
|---|
| File:Feynmann Diagram Gluon Radiation.svg |
| History |
क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में प्रचारक एक ऐसा फलन है जो किसी कण के लिए निश्चित समय में एक समष्टि से दूसरी समष्टि पर यात्रा करने या निश्चित ऊर्जा और गति के साथ यात्रा करने के लिए संभाव्यता आयाम निर्दिष्ट करता है फेनमैन आरेखों में जो क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में विस्थापन दर की गणना करने के लिए कार्य करते हैं आभासी कण संबंधित आरेख द्वारा वर्णित होने वाली घटना की दर में उनके प्रचारक का योगदान करते हैं इन्हें कण के लिए उपयुक्त तरंग संक्रियक के व्युत्क्रम के रूप में भी देखा जा सकता है दीर्घवृत्तीय लाप्लासियन ग्रीन फलन से अलग करने के कारण प्रायः इन्हे "ग्रीन फलन" कहा जाता है[1][2]
गैर-सापेक्षवादी प्रचारक
गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में प्रचारक प्राथमिक कण के लिए स्थानिक बिंदु (x') से (t') समय में दूसरे स्थानिक बिंदु (x) पर (t) समय के बाद यात्रा करने के लिए संभावना आयाम प्रदान करता है।
हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) H के साथ एक प्रणाली पर विचार करें जो श्रोडिंगर समीकरण के लिए ग्रीन फलन (मूल समाधान) का एक फलन है: