प्रचारक: Difference between revisions

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{{about|[[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में समय विकास|पौधों का प्रसार|पौधे का प्रसार}}
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[[क्वांटम यांत्रिकी]] और क्वान्टम क्षेत्र सिद्धांत में '''प्रचारक''' एक ऐसा फलन है जो किसी कण के लिए एक निश्चित समय में एक समष्टि से दूसरे समष्टि पर यात्रा करने या निश्चित ऊर्जा और गति के साथ यात्रा करने के लिए [[संभाव्यता आयाम]] निर्दिष्ट करता है फेनमैन आरेखों में जो [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में विस्थापन दर की गणना करने के लिए कार्य करते हैं आभासी कण संबंधित आरेख द्वारा वर्णित होने वाली घटना की दर में उनके प्रचारक का योगदान करते हैं इन्हें कण के लिए उपयुक्त तरंग संक्रियक के व्युत्क्रम के रूप में भी देखा जा सकता है दीर्घवृत्तीय लाप्लासियन ग्रीन के फलन से अलग करने के कारण प्रायः इन्हे "ग्रीन फलन" कहा जाता है<ref>[http://www.mathtube.org/sites/default/files/lecture-notes/Lamoureux_Michael.pdf The mathematics of PDEs and the wave equation], p 32., Michael P. Lamoureux, University of Calgary, Seismic Imaging Summer School,  August 7–11, 2006, Calgary.</ref><ref>[http://www.roe.ac.uk/japwww/teaching/fourier/fourier_lectures_part4.pdf Ch.: 9 Green's functions], p 6., J Peacock, FOURIER ANALYSIS LECTURE COURSE: LECTURE 15.</ref>
[[क्वांटम यांत्रिकी]] और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में '''प्रचारक''' एक ऐसा फलन है जो किसी कण के लिए निश्चित समय में एक समष्टि से दूसरी समष्टि पर यात्रा करने या निश्चित ऊर्जा और गति के साथ यात्रा करने के लिए [[संभाव्यता आयाम]] निर्दिष्ट करता है फेनमैन आरेखों में जो [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में विस्थापन दर की गणना करने के लिए कार्य करते हैं आभासी कण संबंधित आरेख द्वारा वर्णित होने वाली घटना की दर में उनके प्रचारक का योगदान करते हैं इन्हें कण के लिए उपयुक्त तरंग संक्रियक के व्युत्क्रम के रूप में भी देखा जा सकता है दीर्घवृत्तीय लाप्लासियन ग्रीन फलन से अलग करने के कारण प्रायः इन्हे "ग्रीन फलन" कहा जाता है<ref>[http://www.mathtube.org/sites/default/files/lecture-notes/Lamoureux_Michael.pdf The mathematics of PDEs and the wave equation], p 32., Michael P. Lamoureux, University of Calgary, Seismic Imaging Summer School,  August 7–11, 2006, Calgary.</ref><ref>[http://www.roe.ac.uk/japwww/teaching/fourier/fourier_lectures_part4.pdf Ch.: 9 Green's functions], p 6., J Peacock, FOURIER ANALYSIS LECTURE COURSE: LECTURE 15.</ref>
== गैर-सापेक्षवादी प्रचारक ==
== गैर-सापेक्षवादी प्रचारक ==
गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में प्रचारक एक [[प्राथमिक कण]] के लिए समष्टििक बिंदु (x') से (t') समय में दूसरे समष्टििक बिंदु (x) पर (t) समय के बाद यात्रा करने के लिए संभावना आयाम प्रदान करता है।
गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में प्रचारक [[प्राथमिक कण]] के लिए स्थानिक बिंदु (x') से (t') समय में दूसरे स्थानिक बिंदु (x) पर (t) समय के बाद यात्रा करने के लिए संभावना आयाम प्रदान करता है।


[[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] {{mvar|H}} के साथ एक प्रणाली पर विचार करें जो श्रोडिंगर समीकरण के लिए ग्रीन फलन ([[मौलिक समाधान|मूल समाधान]]) का एक फलन है:
[[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] {{mvar|H}} के साथ एक प्रणाली पर विचार करें जो श्रोडिंगर समीकरण के लिए ग्रीन फलन ([[मौलिक समाधान|मूल समाधान]]) का एक फलन है:
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संतुष्टि करने वाला फलन
संतुष्टि करने वाला फलन
: <math>\left( i\hbar \frac{\partial}{\partial t} - H_x \right) G(x, t; x', t') = \delta(x - x') \delta(t - t'),</math>
: <math>\left( i\hbar \frac{\partial}{\partial t} - H_x \right) G(x, t; x', t') = \delta(x - x') \delta(t - t'),</math>
जहां {{math|''H<sub>x</sub>''}} निर्देशांक के संदर्भ में लिखे गए हैमिल्टनियन {{math|''δ''(''x'')}} और डायराक डेल्टा-फलन {{math|Θ(''t'')}} को दर्शाता है जो [[हैवीसाइड स्टेप फंक्शन|हैवीसाइड चरण फलन]] {{math|''K''(''x'', ''t'' ;''x′'', ''t′'')}} का कर्नेल है बड़े कोष्ठकों में श्रोडिंगर डिफरेंशियल संक्रियक के ऊपर [[अभिन्न परिवर्तन]] है इस संदर्भ में 'प्रचारक' शब्द का प्रयोग कभी-कभी {{mvar|G}} और {{mvar|K}} को संदर्भित करने के लिए किया जाता है यह आलेख इस शब्द का उपयोग {{mvar|K}} को संदर्भित करने के लिए करेगा इसके लिए ड्यूहमेल के सिद्धांत को देखें।
जहां {{math|''H<sub>x</sub>''}} निर्देशांक के संदर्भ में लिखे गए हैमिल्टनियन {{math|''δ''(''x'')}} और डायराक डेल्टा-फलन {{math|Θ(''t'')}} को दर्शाता है जो [[हैवीसाइड स्टेप फंक्शन|हैवीसाइड चरण फलन]] {{math|''K''(''x'', ''t'' ;''x′'', ''t′'')}} का कर्नेल है बड़े कोष्ठकों में श्रोडिंगर डिफरेंशियल संक्रियक के ऊपर [[अभिन्न परिवर्तन|समाकल परिवर्तन]] है इस संदर्भ में 'प्रचारक' शब्द का प्रयोग कभी-कभी {{mvar|G}} और {{mvar|K}} को संदर्भित करने के लिए किया जाता है यह आलेख इस शब्द का उपयोग {{mvar|K}} को संदर्भित करने के लिए करेगा इसके लिए ड्यूहमेल के सिद्धांत को देखें।


इस प्रचारक को संक्रमण आयाम के रूप में भी लिखा जा सकता है:  
इस प्रचारक को संक्रमण आयाम के रूप में भी लिखा जा सकता है:  
: <math>K(x, t; x', t') = \big\langle x \big| \hat{U}(t, t') \big| x' \big\rangle,</math>
: <math>K(x, t; x', t') = \big\langle x \big| \hat{U}(t, t') \big| x' \big\rangle,</math>
जहाँ {{math|''Û''(''t'', ''t′'')}} समय पर स्थिति को लेने वाली प्रणाली के लिए [[एकात्मक संचालक]] समय-विकास संचालक है {{mvar|t′}} समय पर राज्यों के लिए {{mvar|t}}. द्वारा प्रयुक्त प्रारंभिक स्थिति पर ध्यान दें <math>\lim_{t \to t'} K(x, t; x', t') = \delta(x - x')</math>.
जहां {{math|''Û''(''t'', ''t′'')}} समय {{mvar|t′}} स्थिति को t समय पर ले जाने वाली प्रणाली के लिए [[एकात्मक संचालक|एकात्मक]] समय-विकास संक्रियक <math>\lim_{t \to t'} K(x, t; x', t') = \delta(x - x')</math> द्वारा प्रयुक्त प्रारंभिक स्थिति पर ध्यान दें कि [[पथ अभिन्न सूत्रीकरण|पथ समाकल सूत्रीकरण]] का उपयोग करके क्वांटम-यांत्रिकी प्रचारक भी पाया जा सकता है:
 
जहां {{math|''Û''(''t'', ''t′'')}} समय {{mvar|t′}} स्थिति को समय t पर ले जाने वाली प्रणाली के लिए [[एकात्मक संचालक|एकात्मक]] समय-विकास संचालिक<math>\lim_{t \to t'} K(x, t; x', t') = \delta(x - x')</math> द्वारा प्रयुक्त प्रारंभिक स्थिति पर ध्यान दें।
 
[[पथ अभिन्न सूत्रीकरण|पथ समाकल सूत्रीकरण]] का उपयोग करके क्वांटम-यांत्रिकी प्रचारक भी पाया जा सकता है:
: <math>K(x, t; x', t') = \int \exp \left[\frac{i}{\hbar} \int_t^{t'} L(\dot{q}, q, t) \, dt\right] D[q(t)],</math>
: <math>K(x, t; x', t') = \int \exp \left[\frac{i}{\hbar} \int_t^{t'} L(\dot{q}, q, t) \, dt\right] D[q(t)],</math>
जहां पथ समाकल की सीमा स्थितियों मे {{math|''q''(''t'') {{=}} ''x'', ''q''(''t′'') {{=}} ''x′''}} सम्मिलित हैं यहाँ {{mvar|L}} प्रणाली के [[Lagrangian यांत्रिकी|लाग्रंगियन यांत्रिकी]] को दर्शाता है सम्‍मिलित किए गए पथ केवल समय में आगे बढ़ते हैं और अंतर के साथ एकीकृत होते हैं <math>D[q(t)]</math> समय में पथ का अनुसरण करते हुए गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में प्रचारक एक प्रारंभिक तरंग फलन और समय अंतराल दिए जाने पर निकाय के तरंग फलन को खोजने देता है इस प्रकार नया तरंग फलन समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:  
जहां पथ समाकल की सीमा स्थितियों मे {{math|''q''(''t'') {{=}} ''x'', ''q''(''t′'') {{=}} ''x′''}} सम्मिलित हैं यहाँ {{mvar|L}} प्रणाली के [[Lagrangian यांत्रिकी|लाग्रंगियन यांत्रिकी]] को दर्शाता है सम्‍मिलित किए गए पथ केवल समय में आगे बढ़ते हैं और अंतर के साथ एकीकृत होते हैं <math>D[q(t)]</math> समय में पथ का अनुसरण करते हुए गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में प्रचारक एक प्रारंभिक तरंग फलन और समय अंतराल दिए जाने पर निकाय के तरंग फलन को खोजने देता है इस प्रकार नया तरंग फलन समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:  

Revision as of 13:20, 26 April 2023

This article is about क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में समय विकास. For पौधों का प्रसार, see पौधे का प्रसार.
Quantum field theory
File:Feynmann Diagram Gluon Radiation.svg
Feynman diagram
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Background
Symmetries
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Standard Model
Incomplete theories
Scientists

क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में प्रचारक एक ऐसा फलन है जो किसी कण के लिए निश्चित समय में एक समष्टि से दूसरी समष्टि पर यात्रा करने या निश्चित ऊर्जा और गति के साथ यात्रा करने के लिए संभाव्यता आयाम निर्दिष्ट करता है फेनमैन आरेखों में जो क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में विस्थापन दर की गणना करने के लिए कार्य करते हैं आभासी कण संबंधित आरेख द्वारा वर्णित होने वाली घटना की दर में उनके प्रचारक का योगदान करते हैं इन्हें कण के लिए उपयुक्त तरंग संक्रियक के व्युत्क्रम के रूप में भी देखा जा सकता है दीर्घवृत्तीय लाप्लासियन ग्रीन फलन से अलग करने के कारण प्रायः इन्हे "ग्रीन फलन" कहा जाता है[1][2]

गैर-सापेक्षवादी प्रचारक

गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में प्रचारक प्राथमिक कण के लिए स्थानिक बिंदु (x') से (t') समय में दूसरे स्थानिक बिंदु (x) पर (t) समय के बाद यात्रा करने के लिए संभावना आयाम प्रदान करता है।

हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) H के साथ एक प्रणाली पर विचार करें जो श्रोडिंगर समीकरण के लिए ग्रीन फलन (मूल समाधान) का एक फलन है:

संतुष्टि करने वाला फलन

जहां Hx निर्देशांक के संदर्भ में लिखे गए हैमिल्टनियन δ(x) और डायराक डेल्टा-फलन Θ(t) को दर्शाता है ज