प्रचारक

This article is about क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में समय विकास. For पौधों का प्रसार, see पौधे का प्रसार.

क्वांटम यांत्रिकी और क्वान्टम क्षेत्र सिद्धांत में, प्रोपेगेटर या प्रचारक एक ऐसा कार्य है जो किसी कण के लिए एक निश्चित समय में एक स्थान से दूसरे स्थान पर यात्रा करने या निश्चित ऊर्जा और गति के साथ यात्रा करने के लिए संभाव्यता आयाम निर्दिष्ट करता है फेनमैन आरेखों में जो क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में विस्थापन दर की गणना करने के लिए कार्य करते हैं आभासी कण संबंधित आरेख द्वारा वर्णित होने वाली घटना की दर में उनके प्रचारक का योगदान करते हैं इन्हें कण के लिए उपयुक्त तरंग संक्रियक के व्युत्क्रम के रूप में भी देखा जा सकता है दीर्घवृत्तीय लाप्लासियन ग्रीन के फलन से अलग करने के कारण प्रायः इन्हे "ग्रीन फलन" कहा जाता है

गैर-सापेक्षवादी प्रचारक

गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में प्रचारक एक प्राथमिक कण के लिए स्थानिक बिंदु (x') से (t') समय में दूसरे स्थानिक बिंदु (x) पर (t) समय के बाद यात्रा करने के लिए संभावना आयाम प्रदान करता है।

हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) H के साथ एक प्रणाली पर विचार करें जो श्रोडिंगर समीकरण के लिए ग्रीन फलन (मूल समाधान) का एक फलन है:

$G(x,t;x',t')={\frac {1}{i\hbar }}\Theta (t-t')K(x,t;x',t')$

संतुष्टि करने वाला फलन

$\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-H_{x}\right)G(x,t;x',t')=\delta (x-x')\delta (t-t'),$

जहां H_x निर्देशांक के संदर्भ में लिखे गए हैमिल्टनियन δ(x) और डायराक डेल्टा-फलन Θ(t) को दर्शाता है जो हैवीसाइड चरण फलन K(x, t ;x′, t′) का कर्नेल है बड़े कोष्ठकों में श्रोडिंगर डिफरेंशियल संक्रियक के ऊपर अभिन्न परिवर्तन है इस संदर्भ में 'प्रचारक' शब्द का प्रयोग कभी-कभी G और K को संदर्भित करने के लिए किया जाता है यह आलेख इस शब्द का उपयोग K को संदर्भित करने के लिए करेगा इसके लिए ड्यूहमेल के सिद्धांत को देखें।

इस प्रचारक को संक्रमण आयाम के रूप में भी लिखा जा सकता है:

$K(x,t;x',t')={\big \langle }x{\big |}{\hat {U}}(t,t'){\big |}x'{\big \rangle },$

जहाँ Û(t, t′) समय पर स्थिति को लेने वाली प्रणाली के लिए एकात्मक संचालक समय-विकास संचालक है t′ समय पर राज्यों के लिए t. द्वारा प्रयुक्त प्रारंभिक स्थिति पर ध्यान दें $\lim _{t\to t'}K(x,t;x',t')=\delta (x-x')$.

जहां Û(t, t′) समय t′ स्थिति को समय t पर ले जाने वाली प्रणाली के लिए एकात्मक समय-विकास संचालिक$\lim _{t\to t'}K(x,t;x',t')=\delta (x-x')$ द्वारा प्रयुक्त प्रारंभिक स्थिति पर ध्यान दें।

पथ समाकल सूत्रीकरण का उपयोग करके क्वांटम-यांत्रिकी प्रचारक भी पाया जा सकता है:

$K(x,t;x',t')=\int \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{t'}L({\dot {q}},q,t)\,dt\right]D[q(t)],$

जहां पथ समाकल की सीमा स्थितियों मे q(t) = x, q(t′) = x′ सम्मिलित हैं यहाँ L प्रणाली के लाग्रंगियन यांत्रिकी को दर्शाता है सम्‍मिलित किए गए पथ केवल समय में आगे बढ़ते हैं और अंतर के साथ एकीकृत होते हैं $D[q(t)]$ समय में पथ का अनुसरण करते हुए गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में प्रचारक एक प्रारंभिक तरंग फलन और समय अंतराल दिए जाने पर निकाय के तरंग फलन को खोजने देता है इस प्रकार नया तरंग फलन समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:

$\psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')\,dx'.$

यदि K(x, t; x′, t′) केवल अंतर x − x′ पर निर्भर करता है तब यह प्रारंभिक तरंग फलन और प्रचारक का घूर्णन है।

मूल उदाहरण: मुक्त कण के प्रचारक और आवर्ती दोलक

समय-अनुवादिक रूप से अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए प्रचारक केवल t − t′ समय के अंतर पर निर्भर करता है इसलिए इसे फिर से लिखा जा सकता है:

$$K(x,t;x',t')=K(x,x';t-t').$$

एक आयामी मुक्त कण को प्रचारक से प्राप्त किया जा सकता है उदाहरण के लिए पथ समाकल है:

$K(x,x';t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }dk\,e^{ik(x-x')}e^{-{\frac {i\hbar k^{2}t}{2m}}}=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {m(x-x')^{2}}{2i\hbar t}}}.$

इसी प्रकार आयामी क्वांटम आवर्ती दोलक का प्रचारक मेहलर कर्नेल है,

$K(x,x';t)=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega t}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {m\omega {\big (}(x^{2}+x'^{2})\cos \omega t-2xx'{\big )}}{2i\hbar \sin \omega t}}\right).$

वैन कॉर्ट्रीक के SU(1,1) लाई समूह पहचान का उपयोग करने पर पिछले मुक्त-कण परिणाम से बाद वाले कण को प्राप्त किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}&\exp \left(-{\frac {it}{\hbar }}\left({\frac {1}{2m}}{\mathsf {p}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\mathsf {x}}^{2}\right)\right)\\&=\exp \left(-{\frac {im\omega }{2\hbar }}{\mathsf {x}}^{2}\tan {\frac {\omega t}{2}}\right)\exp \left(-{\frac {i}{2m\omega \hbar }}{\mathsf {p}}^{2}\sin(\omega t)\right)\exp \left(-{\frac {im\omega }{2\hbar }}{\mathsf {x}}^{2}\tan {\frac {\omega t}{2}}\right),\end{aligned}}$$

संक्रियकों के लिए मान ${\mathsf {x}}$ और ${\mathsf {p}}$ हाइजेनबर्ग संबंध $[{\mathsf {x}},{\mathsf {p}}]=i\hbar$ को संतुष्ट करने के लिए N-आयामी स्थिति प्रचारक को निम्न उत्पाद द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:

$$K({\vec {x}},{\vec {x}}';t)=\prod _{q=1}^{N}K(x_{q},x_{q}';t).$$

See also: पथ समाकल सूत्रीकरण §  सरल आवर्त दोलक, and ऊष्मा समीकरण § मूल समाधान

सापेक्षवादी प्रचारक

सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में प्रचारक लारेन्ट्स मात्रक हैं वे एक कण को ​​दो स्पेसटाइम बिंदुओं के बीच यात्रा करने के लिए आयाम प्रदान करते हैं।

अदिश प्रचारक

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में एक मुक्त या गैर-अंतःक्रियात्मक अदिश क्षेत्र का सिद्धांत एक उपयोगी और सरल उदाहरण है जो अधिक जटिल सिद्धांतों के लिए आवश्यक अवधारणाओं को स्पष्ट करने के लिए कार्य करता है यह स्पिन (भौतिकी) शून्य कणों का वर्णन करता है मुक्त अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए कई संभावित प्रचारक हैं अब हम सबसे सामान्य का वर्णन करते हैं।

स्थिति समष्टि

क्लेन-गॉर्डन समीकरण के लिए स्थिति समष्टि प्रचारक ग्रीन फलन हैं इसका अर्थ है कि वे फलन G(x, y) को संतुष्ट करते हैं:

$$\left(\square _{x}+m^{2}\right)G(x,y)=-\delta (x-y),$$

जहाँ

• x, y मिन्कोवस्की समष्टि-समय में दो बिंदु हैं।
• $\square _{x}={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}$ निर्देशांक पर कार्य करने वाला d' अलंबर्टियन संक्रियक है।
• δ(x − y) डिराक डेल्टा फलन है।

सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत गणनाओं में विशिष्ट के रूप में उन इकाइयों का उपयोग करते हैं जहां c प्रकाश की गति और प्लैंक स्थिरांक ħ इकाई है हम 4-आयामी मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम पर ध्यान केंद्रित करेंगे। जिससे हम प्राप्त करने वाले प्रचारक के लिए समीकरण का फूरियर रूपांतरण कर सकते हैं:

$$\left(-p^{2}+m^{2}\right)G(p)=-1.$$

इस समीकरण को वितरण (गणित) के अर्थ में व्युत्क्रमित किया जा सकता है यह देखते हुए कि समीकरण xf(x) = 1 का समाधान है जिसके लिए सोखोत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय देखें:

$$f(x)={\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}={\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),$$

ε के साथ शून्य की सीमा प्रयुक्त करना नीचे कार्य सिद्धांत आवश्यकताओं से उत्पन्न होने वाले चिन्ह के सही विकल्प पर चर्चा करना हैं। जिसका हल है:

$G(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}\pm i\varepsilon }},$

जहाँ

$$p(x-y):=p_{0}(x^{0}-y^{0})-{\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {y}})$$

4-सदिश आंतरिक उत्पाद है उपरोक्त अभिव्यक्ति में एकीकरण समुच्चय को कैसे विकृत किया जाए, इसके लिए अलग-अलग विकल्प प्रचारक के लिए विभिन्न रूपों को जन्म देते हैं समोच्च का चुनाव सामान्यतः $p_{0}$समाकल के संदर्भ में किया जाता है जिसमे तब समाकलित दो ध्रुव होते हैं:

$$p_{0}=\pm {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}},$$

इसलिए इनसे बचने के लिए अलग-अलग विकल्प अलग-अलग प्रचारकों के पास होते हैं।

कारणात्मक प्रचारक

मंदित प्रचारक

दोनों ध्रुवों पर दक्षिणावर्त जाने वाला एक समोच्च कारण मंद प्रवर्तक देता है यह शून्य होता है यदि x-y समष्टि जैसा है या यदि x ⁰< y ⁰ अर्थात यदि y, x आगे के मान के लिए है तब समोच्च का यह चुनाव निम्न सीमा की गणना के बराबर है:

$$G_{\text{ret}}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}+i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=-{\frac {\Theta (x-y)}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+\Theta (x-y)\Theta (\tau _{xy}^{2}){\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}$$

यहाँ

$$\Theta (x):={\begin{cases}1&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$$

हीविसाइड चरण फलन है:

$$\tau _{xy}:={\sqrt {(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2}}}$$

जहाँ x, y और $J_{1}$ प्रथम प्रकार का बेसेल फलन है व्यंजक $y\prec x$ का अर्थ है y यथोचित रूप से x से पहले आता है जो मिंकोस्की स्पेसटाइम के लिए है:

$y^{0}<x^{0}$ और $\tau _{xy}^{2}\geq 0~.$

यह अभिव्यक्ति मुक्त अदिश क्षेत्र संक्रियक के दिक्परिवर्तक के वैक्यूम आपेक्षिक मान से संबंधित हो सकता है,

$$G_{\text{ret}}(x,y)=i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (x^{0}-y^{0})$$

जहाँ

$$\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]:=\Phi (x)\Phi (y)-\Phi (y)\Phi (x)$$

दिक्परिवर्तक है।

उन्नत प्रचारक

दोनों ध्रुवों के नीचे एंटी-क्लॉकवाइज जाने वाला एक समोच्च कारण उन्नत प्रचारक देता है। यह शून्य है यदि x-y स्पेसलाइक है या यदि x ⁰> y ⁰ (अर्थात यदि y, x के अतीत में है।

समोच्च का यह चुनाव सीमा की गणना के बराबर है

$$G_{\text{adv}}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}-i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=-{\frac {\Theta (y-x)}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+\Theta (y-x)\Theta (\tau _{xy}^{2}){\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}$$

यह अभिव्यक्ति मुक्त स्केलर क्षेत्र के कम्यूटेटर के वैक्यूम अपेक्षा मूल्य के संदर्भ में भी व्यक्त की जा सकती है। इस मामले में,

$$G_{\text{adv}}(x,y)=-i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (y^{0}-x^{0})~.$$

फेनमैन प्रचारक

1948 में रिचर्ड फेनमैन द्वारा पेश किए गए फेनमैन प्रचारक, बाएं ध्रुव के नीचे और दाएं ध्रुव के ऊपर जाने वाला एक समोच्च देता है।

समोच्च का यह चुनाव सीमा की गणना के बराबर है

$$G_{F}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}={\begin{cases}-{\frac {1}{4\pi }}\delta (s)+{\frac {m}{8\pi {\sqrt {s}}}}H_{1}^{(1)}(m{\sqrt {s}})&s\geq 0\\-{\frac {im}{4\pi ^{2}{\sqrt {-s}}}}K_{1}(m{\sqrt {-s}})&s<0.\end{cases}}$$

यहाँ

$$s:=(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2},$$

जहां x और y Minkowski स्पेसटाइम में दो बिंदु हैं, और घातांक में डॉट एक चार-वेक्टर आंतरिक उत्पाद है। H₁⁽¹⁾ एक हैंकेल फलन है और K1 एक संशोधित बेसेल फलन है।

यह अभिव्यक्ति सीधे क्षेत्र सिद्धांत से मुक्त स्केलर क्षेत्र के समय-आदेशित उत्पाद के निर्वात अपेक्षा मूल्य के रूप में प्राप्त की जा सकती है, अर्थात, उत्पाद हमेशा ऐसा लिया जाता है कि स्पेसटाइम बिंदुओं का समय क्रम समान होता है:

$${\begin{aligned}G_{F}(x-y)&=-i\langle 0|T(\Phi (x)\Phi (y))|0\rangle \\[4pt]&=-i\left\langle 0|\left[\Theta (x^{0}-y^{0})\Phi (x)\Phi (y)+\Theta (y^{0}-x^{0})\Phi (y)\Phi (x)\right]|0\right\rangle .\end{aligned}}$$

यह अभिव्यक्ति लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय है, जब तक कि फ़ील्ड संक्रियक एक दूसरे के साथ तब तक चलते हैं जब बिंदु x और y को स्पेसलाइक अंतराल द्वारा अलग किया जाता है।

सामान्य व्युत्पत्ति लोरेंत्ज़ सहसंयोजक सामान्यीकरण के साथ क्षेत्रों के बीच एकल-कण संवेग राज्यों का एक पूरा सेट सम्मिलित करना है, और फिर यह दिखाने के लिए कि Θ कार्य कारण समय आदेश प्रदान करने के लिए ऊर्जा अक्ष के साथ एक समोच्च अभिन्न द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, यदि ध्रुव को वास्तविक रेखा से दूर ले जाने के लिए समाकलन ऊपर जैसा है (इसलिए अत्यल्प काल्पनिक भाग)।

प्रचारक को क्वांटम सिद्धांत के पथ अभिन्न सूत्रीकरण का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

गति अंतरिक्ष प्रचारक

पोजीशन स्पेस प्रचारक्स के फूरियर रूपांतरण को गति स्थान में प्रचारक्स के रूप में सोचा जा सकता है। ये स्थान स्थान प्रचारकों की तुलना में बहुत सरल रूप लेते हैं।

वे प्रायः एक स्पष्ट के साथ लिखे जाते हैं ε शब्द हालांकि यह एक अनुस्मारक के रूप में समझा जाता है जिसके बारे में एकीकरण समोच्च उपयुक्त है (ऊपर देखें)। यह ε शब्द सीमा शर्तों और करणीयता (नीचे देखें) को सम्मिलित करने के लिए सम्मिलित किया गया है।

4-गति के लिए p संवेग स्थान में कारण और फेनमैन प्रचारक हैं:

${\tilde {G}}_{\text{ret}}(p)={\frac {1}{(p_{0}+i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}$

${\tilde {G}}_{\text{adv}}(p)={\frac {1}{(p_{0}-i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}$

${\tilde {G}}_{F}(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.$

फेनमैन आरेख गणनाओं के प्रयोजनों के लिए, सामान्य तौर पर इन्हें एक अतिरिक्त समग्र कारक के साथ लिखना सुविधाजनक होता है −i (परंपराएं बदलती हैं)।

प्रकाश से भी तेज?

फेनमैन प्रचारक के पास कुछ गुण हैं जो पहली बार में चौंकाने वाले लगते हैं। विशेष रूप से, कम्यूटेटर के विपरीत, प्रचारक प्रकाश शंकु के बाहर शून्य नहीं है, हालांकि यह स्पेसिक अंतराल के लिए तेजी से गिरता है। कण गति के लिए एक आयाम के रूप में व्याख्या की गई, यह प्रकाश की तुलना में तेजी से यात्रा करने वाले आभासी कण का अनुवाद करता है। यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि इसे कार्य-कारण के साथ कैसे सामंजस्य स्थापित किया जा सकता है: क्या हम प्रकाश-से-प्रकाश संदेशों को भेजने के लिए तेज़-से-प्रकाश आभासी कणों का उपयोग कर सकते हैं?

उत्तर नहीं है: जबकि शास्त्रीय यांत्रिकी में अंतराल जिसके साथ कण और कारण प्रभाव यात्रा कर सकते हैं, यह क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में अब सत्य नहीं है, जहां यह कम्यूटेटर हैं जो निर्धारित करते हैं कि कौन से संक्रियक एक दूसरे को प्रभावित कर सकते हैं।

तो प्रचारक का स्पेसलाइक हिस्सा क्या दर्शाता है? QFT में निर्वात एक सक्रिय भागीदार है, और कण संख्या और क्षेत्र मान एक अनिश्चितता सिद्धांत से संबंधित हैं; कण संख्या शून्य के लिए भी क्षेत्र मान अनिश्चित हैं। यदि कोई इसे स्थानीय रूप से मापता है (या, अधिक सटीक होने के लिए, यदि कोई एक छोटे क्षेत्र में क्षेत्र के औसत से प्राप्त संक्रियक को मापता है) तो क्षेत्र के निर्वात मूल्य में एक महत्वपूर्ण उतार-चढ़ाव का पता लगाने के लिए एक गैर-शून्य संभाव्यता आयाम है। . इसके अलावा, क्षेत्रों की गतिशीलता कुछ हद तक स्थानिक रूप से सहसंबद्ध उतार-चढ़ाव का पक्ष लेती है। स्पेसलाइक-पृथक क्षेत्रों के लिए गैर-शून्य समय-आदेशित उत्पाद तब इन वैक्यूम उतार-चढ़ाव में एक गैर-स्थानीय सहसंबंध के लिए आयाम को मापता है, जो ईपीआर विरोधाभास सहसंबंध के अनुरूप होता है। दरअसल, प्रचारक को प्रायः मुक्त क्षेत्र के लिए दो-बिंदु सहसंबंध समारोह कहा जाता है।

चूंकि, क्वांटम फील्ड थ्योरी के अभिधारणाओं के अनुसार, सभी प्रेक्षण योग्य संक्रियक्स स्पेसलाइक पृथक्करण पर एक दूसरे के साथ आवागमन करते हैं, संदेश इन सहसंबंधों के माध्यम से किसी भी अन्य ईपीआर सहसंबंधों के माध्यम से नहीं भेजे जा सकते हैं; सहसंबंध यादृच्छिक चर में हैं।

आभासी कणों के संबंध में, स्पेसलाइक पृथक्करण पर प्रचारक को आभासी कण-प्रतिपक्षी जोड़ी बनाने के लिए आयाम की गणना के साधन के रूप में माना जा सकता है जो अंततः वैक्यूम में गायब हो जाता है, या वैक्यूम से उभरने वाली आभासी जोड़ी का पता लगाने के लिए। फेनमैन की भाषा में, इस तरह के निर्माण और विनाश की प्रक्रिया एक आभासी कण के बराबर होती है जो समय के माध्यम से पीछे और आगे घूमते हैं, जो इसे प्रकाश शंकु के बाहर ले जा सकते हैं। हालांकि, समय में वापस सिग्नलिंग की स्वीकृति नहीं है।

सीमा का उपयोग करते हुए स्पष्टीकरण

द्रव्यमान रहित फोटॉन के लिए प्रचारक को निम्नलिखित रूप में लिखकर इसे और स्पष्ट किया जा सकता है:

$$G_{F}^{\varepsilon }(x,y)={\frac {\varepsilon }{(x-y)^{2}+i\varepsilon ^{2}}}.$$

यह सामान्य परिभाषा है लेकिन के एक कारक द्वारा सामान्यीकृत है $\varepsilon$ फिर नियम यह है कि एक गणना के अंत में केवल $\varepsilon \to 0$ की सीमा लेता है। एक देखता है:

$$G_{F}^{\varepsilon }(x,y)={\frac {1}{\varepsilon }}\quad {\text{if}}~~~(x-y)^{2}=0,$$

और

$$\lim _{\varepsilon \to 0}G_{F}^{\varepsilon }(x,y)=0\quad {\text{if}}~~~(x-y)^{2}\neq 0.$$

इसका मतलब है कि एक फोटॉन हमेशा प्रकाश शंकु पर रहेगा। यह भी दिखाया गया है कि किसी भी समय एक फोटान के लिए कुल संभाव्यता को निम्न कारक के व्युत्क्रम द्वारा सामान्यीकृत किया जाना चाहिए:

$$\lim _{\varepsilon \to 0}\int |G_{F}^{\varepsilon }(0,x)|^{2}\,dx^{3}=\lim _{\varepsilon \to 0}\int {\frac {\varepsilon ^{2}}{(\mathbf {x} ^{2}-t^{2})^{2}+\varepsilon ^{4}}}\,dx^{3}=2\pi ^{2}|t|.$$

हम देखते हैं कि प्रकाश शंकु के बाहर के हिस्से सामान्य तौर पर सीमा में शून्य होते हैं और केवल फेनमैन आरेखों में महत्वपूर्ण होते हैं।

फेनमैन आरेखों में प्रचारक

प्रचारक का सबसे सामान्य उपयोग फेनमैन आरेखों का उपयोग करके कण इंटरैक्शन के लिए संभाव्यता आयाम की गणना करने में है। ये गणना सामान्य तौर पर गति स्थान में की जाती हैं। सामान्य तौर पर, आयाम प्रत्येक आंतरिक रेखा के लिए प्रचारक का कारक प्राप्त करता है, यानी, प्रत्येक पंक्ति जो प्रारंभिक या अंतिम स्थिति में आने वाले या बाहर जाने वाले कण का प्रतिनिधित्व नहीं करती है। यह प्रत्येक आंतरिक शीर्ष जहां रेखाएं मिलती हैं, के लिए सिद्धांत के लैग्रैजियन में एक अंतःक्रिया शब्द के समानुपातिक और समान रूप में एक कारक भी प्राप्त करेगा। इन नुस्खों को फेनमेन रूल्स के नाम से जाना जाता है।

आंतरिक रेखाएँ आभासी कणों के अनुरूप होती हैं। चूंकि गति के शास्त्रीय समीकरणों द्वारा अस्वीकृत ऊर्जा और संवेग के संयोजन के लिए प्रचारक गायब नहीं होता है, हम कहते हैं कि आभासी कणों को खोल से बाहर होने की स्वीकृति है। वास्तव में, चूंकि प्रचारक तरंग समीकरण को पलट कर प्राप्त किया जाता है, सामान्य तौर पर, इसमें शेल पर विलक्षणता होगी।

प्रचारक में कण द्वारा वहन की जाने वाली ऊर्जा ऋणात्मक भी हो सकती है। इसे केवल उस स्थिति के रूप में समझा जा सकता है, जिसमें एक कण एक दिशा में जाने के बजाय, इसका प्रतिकण दूसरी दिशा में जा रहा है, और इसलिए धनात्मक ऊर्जा के विपरीत प्रवाह को ले जा रहा है। प्रचारक दोनों संभावनाओं को सम्मिलित करता है। इसका मतलब यह है कि किसी को फ़र्मियन के मामले में माइनस साइन्स के बारे में सावधान रहना होगा, जिनके प्रचारक ऊर्जा और संवेग में भी कार्य नहीं करते हैं (नीचे देखें)।

आभासी कण ऊर्जा और संवेग का संरक्षण करते हैं। हालाँकि, चूँकि वे खोल से बाहर हो सकते हैं, जहाँ भी आरेख में एक बंद लूप होता है, लूप में भाग लेने वाले आभासी कणों की ऊर्जा और संवेग आंशिक रूप से अप्रतिबंधित होंगे, क्योंकि लूप में एक कण के लिए मात्रा में परिवर्तन द्वारा संतुलित किया जा सकता है दूसरे में एक समान और विपरीत परिवर्तन। इसलिए, फेनमैन आरेख में प्रत्येक पाश को संभावित ऊर्जा और गति की निरंतरता पर एक अभिन्न अंग की आवश्यकता होती है। सामान्य तौर पर, प्रचारकों के उत्पादों के ये अभिन्न अंग विचलन कर सकते हैं, एक ऐसी स्थिति जिसे पुन: सामान्यीकरण की प्रक्रिया द्वारा नियंत्रित किया जाना चाहिए।

अन्य सिद्धांत

स्पिन 1⁄2

यदि कण के पास स्पिन है तो इसका प्रचारक सामान्य रूप से कुछ अधिक जटिल होता है, क्योंकि इसमें कण के स्पिन या ध्रुवीकरण सूचकांक सम्मिलित होंगे। स्पिन 1⁄2 कण के लिए प्रचारक द्वारा संतुष्ट अंतर समीकरण [9] द्वारा दिया गया है।

$(i\not \nabla '-m)S_{F}(x',x)=I_{4}\delta ^{4}(x'-x),$

जहां I₄ चार आयामों में यूनिट मैट्रिक्स है, और फेनमैन स्लैश नोटेशन को नियोजित करता है। यह स्पेसटाइम में डेल्टा फलन स्रोत के लिए डिराक समीकरण है। गति प्रतिनिधित्व का उपयोग करना

$$S_{F}(x',x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}{\tilde {S}}_{F}(p),$$

समीकरण बन जाता है

${\begin{aligned}&(i\not \nabla '-m)\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\tilde {S}}_{F}(p)\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}(\not p-m){\tilde {S}}_{F}(p)\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}I_{4}\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&I_{4}\delta ^{4}(x'-x),\end{aligned}}$

जहां दाईं ओर चार-आयामी डेल्टा फलन का एक अभिन्न प्रतिनिधित्व प्रयोग किया जाता है। इस प्रकार

$(\not p-mI_{4}){\tilde {S}}_{F}(p)=I_{4}.$

बायें से गुणा करके

$$(\not p+m)$$

(यूनिट मैट्रिसेस को नोटेशन से छोड़ना) और गामा मैट्रिक्स के गुणों का उपयोग करना,

$${\begin{aligned}\not p\not p&={\tfrac {1}{2}}(\not p\not p+\not p\not p)\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{\mu }p^{\mu }\gamma _{\nu }p^{\nu }+\gamma _{\nu }p^{\nu }\gamma _{\mu }p^{\mu })\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })p^{\mu }p^{\nu }\\[6pt]&=g_{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=p^{2},\end{aligned}}$$

क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में इलेक्ट्रॉन का प्रतिनिधित्व करने वाले डायराक समीकरण क्षेत्र के लिए फेनमैन आरेख में उपयोग किए जाने वाले संवेग-अंतरिक्ष प्रसारक का रूप पाया जाता है

${\tilde {S}}_{F}(p)={\frac {(\not p+m)}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}={\frac {(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m)}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.$

iε नीचे जटिल p₀-प्लेन में ध्रुवों को संभालने के तरीके के लिए एक नुस्खा है। यह ध्रुवों को उचित रूप से स्थानांतरित करके स्वचालित रूप से एकीकरण के फेनमैन समोच्च उत्पन्न करता है। यह कभी-कभी लिखा जाता है:

${\tilde {S}}_{F}(p)={1 \over \gamma ^{\mu }p_{\mu }-m+i\varepsilon }={1 \over \not p-m+i\varepsilon }$

छोटे के लिए। यह याद रखना चाहिए कि यह अभिव्यक्ति केवल (γ_μp^μ − m)⁻¹ के लिए आशुलिपि संकेतन है। "वन ओवर मैट्रिक्स" अन्यथा बकवास है। स्थिति स्थान में एक है

$$S_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\,e^{-ip\cdot (x-y)}{\frac {\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}=\left({\frac {\gamma ^{\mu }(x-y)_{\mu }}{|x-y|^{5}}}+{\frac {m}{|x-y|^{3}}}\right)J_{1}(m|x-y|).$$

यह द्वारा फेनमैन प्रचारक से संबंधित है

$S_{F}(x-y)=(i\not \partial +m)G_{F}(x-y)$

जहाँ $\not \partial :=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$.

स्पिन 1

गेज सिद्धांत में गेज बोसॉन के लिए प्रचारक गेज को ठीक करने के लिए सम्मेलन की पसंद पर निर्भर करता है। फेनमैन और अर्नस्ट स्टुएकेलबर्ग द्वारा उपयोग किए जाने वाले गेज के लिए, एक फोटॉन के लिए प्रचारक है

${-ig^{\mu \nu } \over p^{2}+i\varepsilon }.$

गेज पैरामीटर के साथ सामान्य रूप λ, समग्र संकेत और के कारक तक $i$, पढ़ता है

$-i{\frac {g^{\mu \nu }+\left(1-{\frac {1}{\lambda }}\right){\frac {p^{\mu }p^{\nu }}{p^{2}}}}{p^{2}+i\varepsilon }}.$

बड़े पैमाने पर सदिश क्षेत्र के प्रचारक को स्टुकेलबर्ग लैग्रैंगियन से प्राप्त किया जा सकता है। गेज पैरामीटर के साथ सामान्य रूप λ, समग्र संकेत और के कारक तक $i$, पढ़ता है

${\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}+{\frac {\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}{k^{2}-{\frac {m^{2}}{\lambda }}+i\varepsilon }}.$

इन सामान्य रूपों के साथ प्रचारकों को एकात्मक गेज में प्राप्त होता है λ = 0, फेनमैन या 'टी हूफ्ट गेज में प्रचारक λ = 1 और लैंडौ या लॉरेंज गेज में λ = ∞. अन्य नोटेशन भी हैं जहां गेज पैरामीटर का व्युत्क्रम है λ, सामान्य तौर पर निरूपित ξ (देखें गेज फिक्सिंग#Rξ गेज|R_ξ गेज)। प्रचारक का नाम, हालांकि, इसके अंतिम रूप को संदर्भित करता है और गेज पैरामीटर के मान के लिए जरूरी नहीं है।

एकात्मक गेज:

${\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.$

फेनमैन ('टी हूफ्ट) गेज:

${\frac {g_{\mu \nu }}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.$

लैंडौ (लॉरेंज) गेज:

${\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.$

ग्रेविटन प्रचारक

सामान्य सापेक्षता में मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष के लिए ग्रेविटॉन प्रचारक है

$$G_{\alpha \beta ~\mu \nu }={\frac {{\mathcal {P}}_{\alpha \beta ~\mu \nu }^{2}}{k^{2}}}-{\frac {{\mathcal {P}}_{s}^{0}{}_{\alpha \beta ~\mu \nu }}{2k^{2}}}={\frac {g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu }+g_{\beta \mu }g_{\alpha \nu }-{\frac {2}{D-2}}g_{\mu \nu }g_{\alpha \beta }}{k^{2}}},$$

जहाँ $D$ स्पेसटाइम आयामों की संख्या है, ${\mathcal {P}}^{2}$ अनुप्रस्थ और ट्रेसलेस स्पिन (भौतिकी) # स्पिन प्रक्षेपण क्वांटम संख्या और बहुलता है। स्पिन -2 प्रक्षेपण संक्रियक और ${\mathcal {P}}_{s}^{0}$ एक स्पिन-0 स्केलर मल्टीप्लेट है। एंटी-डी सिटर स्पेस|(एंटी) डी सिटर स्पेस के लिए ग्रेविटॉन प्रचारक है

$$G={\frac {{\mathcal {P}}^{2}}{2H^{2}-\Box }}+{\frac {{\mathcal {P}}_{s}^{0}}{2(\Box +4H^{2})}},$$

जहाँ $H$ हबल का नियम है। ध्यान दें कि सीमा लेने पर $H\to 0$ और $\Box \to -k^{2}$, AdS प्रचारक Minkowski प्रचारक को कम कर देता है।

संबंधित एकवचन कार्य

Further information: ग्रीन का कार्य (कई-पिंड सिद्धांत) and सहसंबंध फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)

क्लेन-गॉर्डन समीकरण के लिए स्केलर प्रचारक ग्रीन के कार्य हैं। संबंधित विलक्षण कार्य हैं जो क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं। हम ब्योर्केन और ड्रेल में संकेतन का पालन करते हैं। बोगोलीबॉव और शिरकोव भी देखें (परिशिष्ट ए)। फील्ड संक्रियकों के उत्पादों की वैक्यूम अपेक्षा मूल्य के संदर्भ में इन कार्यों को सबसे सरल रूप से परिभाषित किया गया है।

क्लेन-गॉर्डन समीकरण के समाधान

पाउली-जॉर्डन समारोह

दो स्केलर फील्ड संक्रियकों के कम्यूटेटर वोल्फगैंग पाउली- पास्कल जॉर्डन फलन को परिभाषित करते हैं $\Delta (x-y)$ द्वारा

$\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle =i\,\Delta (x-y)$

साथ

$\,\Delta (x-y)=G_{\text{adv}}(x-y)-G_{\text{ret}}(x-y)$

यह संतुष्ट करता है

$\Delta (x-y)=-\Delta (y-x)$ और शून्य है यदि $(x-y)^{2}<0$.

धनात्मक और ऋणात्मक आवृत्ति भागों (प्रचारकों में कटौती)

हम के धनात्मक और ऋणात्मक आवृत्ति भागों को परिभाषित कर सकते हैं $\Delta (x-y)$, कभी-कभी सापेक्ष रूप से अपरिवर्तनीय तरीके से कट प्रचारक कहलाते हैं।

यह हमें धनात्मक आवृत्ति भाग को परिभाषित करने की स्वीकृति देता है:

$\Delta _{+}(x-y)=\langle 0|\Phi (x)\Phi (y)|0\rangle ,$

और ऋणात्मक आवृत्ति भाग:

$\Delta _{-}(x-y)=\langle 0|\Phi (y)\Phi (x)|0\rangle .$

ये संतुष्ट करते हैं

$\,i\Delta =\Delta _{+}-\Delta _{-}$

और

$(\Box _{x}+m^{2})\Delta _{\pm }(x-y)=0.$

सहायक कार्य

दो स्केलर फील्ड संक्रियकों के एंटी-कम्यूटेटर को परिभाषित करता है $\Delta _{1}(x-y)$ द्वारा समारोह

$\langle 0|\left\{\Phi (x),\Phi (y)\right\}|0\rangle =\Delta _{1}(x-y)$

साथ

$\,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{+}(x-y)+\Delta _{-}(x-y).$

यह संतुष्ट करता है $\,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{1}(y-x).$

क्लेन-गॉर्डन समीकरण के लिए ग्रीन के कार्य

ऊपर परिभाषित मंदबुद्धि, उन्नत और फेनमैन प्रचारक क्लेन-गॉर्डन समीकरण के लिए सभी ग्रीन के कार्य हैं।

वे द्वारा विलक्षण कार्यों से संबंधित हैं:$G_{\text{ret}}(x-y)=-\Delta (x-y)\Theta (x_{0}-y_{0})$

$G_{\text{adv}}(x-y)=\Delta (x-y)\Theta (y_{0}-x_{0})$

$2G_{F}(x-y)=-i\,\Delta _{1}(x-y)+\varepsilon (x_{0}-y_{0})\,\Delta (x-y)$

जहाँ $\varepsilon (x_{0}-y_{0})$ की निशानी है $x_{0}-y_{0}$.

संदर्भ

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• Schulman, L. S. (1981). Techniques & Applications of Path Integration. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-76450-7.
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बाहरी संबंध

• Three Methods for Computing the Feynman Propagator