प्रचारक: Difference between revisions

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{{about|time evolution in [[quantum field theory]]|propagation of plants|Plant propagation}}
{{about|[[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में समय विकास|पौधों का प्रसार|पौधे का प्रसार}}
{{Use American English|date=January 2019}}{{Quantum field theory}}
{{Use American English|date=January 2019}}{{Quantum field theory}}
[[क्वांटम यांत्रिकी]] और क्वांटम फील्ड थ्योरी में, प्रोपेगेटर एक ऐसा कार्य है जो किसी कण के लिए एक निश्चित अवधि में एक स्थान से दूसरे स्थान पर यात्रा करने या एक निश्चित ऊर्जा और गति के साथ यात्रा करने के लिए [[संभाव्यता आयाम]] निर्दिष्ट करता है। [[फेनमैन आरेख]]ों में, जो [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में टकराव की दर की गणना करने के लिए काम करते हैं, [[आभासी कण]] संबंधित आरेख द्वारा वर्णित [[बिखरने]] वाली घटना की दर में उनके प्रचारक का योगदान करते हैं। इन्हें कण के लिए उपयुक्त [[ लहर ऑपरेटर ]] के व्युत्क्रम संचालन के रूप में भी देखा जा सकता है, और इसलिए, अक्सर ''(कारण) ग्रीन का कार्य (कई-शरीर सिद्धांत) कहा जाता है। ग्रीन के कार्य'' ('कारण' कहा जाता है) इसे अण्डाकार लाप्लासियन ग्रीन के कार्य से अलग करने के लिए)।<ref>[http://www.mathtube.org/sites/default/files/lecture-notes/Lamoureux_Michael.pdf The mathematics of PDEs and the wave equation], p 32., Michael P. Lamoureux, University of Calgary, Seismic Imaging Summer School,  August 7–11, 2006, Calgary.</ref><ref>[http://www.roe.ac.uk/japwww/teaching/fourier/fourier_lectures_part4.pdf Ch.: 9 Green's functions], p 6., J Peacock, FOURIER ANALYSIS LECTURE COURSE: LECTURE 15.</ref>
[[क्वांटम यांत्रिकी]] और क्वांटम फील्ड थ्योरी में, '''प्रोपेगेटर''' या '''प्रचारक''' एक ऐसा कार्य है जो किसी कण के लिए एक निश्चित अवधि में एक स्थान से दूसरे स्थान पर यात्रा करने या एक निश्चित ऊर्जा और गति के साथ यात्रा करने के लिए [[संभाव्यता आयाम]] निर्दिष्ट करता है। फेनमैन आरेखों में, जो [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में टकराव की दर की गणना करने के लिए कार्य करते हैं, आभासी कण संबंधित आरेख द्वारा वर्णित बिखरने वाली घटना की दर में उनके प्रचारक का योगदान करते हैं। इन्हें कण के लिए उपयुक्त तरंग संक्रियक के व्युत्क्रम के रूप में भी देखा जा सकता है और इसलिए प्रायः (कारण) ग्रीन के कार्यों को कहा जाता है इसे दीर्घवृत्त लाप्लासियन ग्रीन के कार्य से अलग करने के लिए "कारण" कहा जाता है।<ref>[http://www.mathtube.org/sites/default/files/lecture-notes/Lamoureux_Michael.pdf The mathematics of PDEs and the wave equation], p 32., Michael P. Lamoureux, University of Calgary, Seismic Imaging Summer School,  August 7–11, 2006, Calgary.</ref><ref>[http://www.roe.ac.uk/japwww/teaching/fourier/fourier_lectures_part4.pdf Ch.: 9 Green's functions], p 6., J Peacock, FOURIER ANALYSIS LECTURE COURSE: LECTURE 15.</ref>
 
 
== गैर-सापेक्षवादी प्रचारक ==
== गैर-सापेक्षवादी प्रचारक ==
गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, प्रचारक एक [[प्राथमिक कण]] के लिए एक स्थानिक बिंदु (x') से एक समय (t') से दूसरे स्थानिक बिंदु (x) पर बाद के समय (t) में यात्रा करने के लिए संभाव्यता आयाम देता है।
गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, प्रोपेगेटर एक [[प्राथमिक कण]] के लिए एक स्थानिक बिंदु (x') से एक समय में (t') दूसरे स्थानिक बिंदु (x) पर बाद के समय (t) में यात्रा करने के लिए संभावना आयाम देता है।


[[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] के साथ एक प्रणाली पर विचार करें {{mvar|H}}. श्रोडिंगर समीकरण के लिए ग्रीन का कार्य ([[मौलिक समाधान]]) एक कार्य है
[[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] के साथ एक प्रणाली पर विचार करें {{mvar|H}} श्रोडिंगर समीकरण के लिए ग्रीन का कार्य ([[मौलिक समाधान]]) एक कार्य है
: <math>G(x, t; x', t') = \frac{1}{i\hbar} \Theta(t - t') K(x, t; x', t')</math>
: <math>G(x, t; x', t') = \frac{1}{i\hbar} \Theta(t - t') K(x, t; x', t')</math>
संतुष्टि देने वाला
संतुष्टि देने वाला
: <math>\left( i\hbar \frac{\partial}{\partial t} - H_x \right) G(x, t; x', t') = \delta(x - x') \delta(t - t'),</math>
: <math>\left( i\hbar \frac{\partial}{\partial t} - H_x \right) G(x, t; x', t') = \delta(x - x') \delta(t - t'),</math>
कहाँ {{math|''H<sub>x</sub>''}} के संदर्भ में लिखे गए हैमिल्टनियन को दर्शाता है {{mvar|x}} निर्देशांक, {{math|''δ''(''x'')}} Dirac डेल्टा-फ़ंक्शन को दर्शाता है, {{math|Θ(''t'')}} [[हैवीसाइड स्टेप फंक्शन]] है और {{math|''K''(''x'', ''t'' ;''x′'', ''t′'')}} बड़े कोष्ठकों में उपरोक्त श्रोडिंगर डिफरेंशियल ऑपरेटर का [[अभिन्न परिवर्तन]] है। इस संदर्भ में 'प्रचारक' शब्द का प्रयोग कभी-कभी संदर्भित करने के लिए किया जाता है {{mvar|G}}, और कभी-कभी {{mvar|K}}. यह लेख संदर्भित करने के लिए शब्द का उपयोग करेगा {{mvar|K}} (डुहमेल का सिद्धांत देखें)।
जहाँ {{math|''H<sub>x</sub>''}} के संदर्भ में लिखे गए हैमिल्टनियन को दर्शाता है {{mvar|x}} निर्देशांक, {{math|''δ''(''x'')}} Dirac डेल्टा-फलन को दर्शाता है, {{math|Θ(''t'')}} [[हैवीसाइड स्टेप फंक्शन]] है और {{math|''K''(''x'', ''t'' ;''x′'', ''t′'')}} बड़े कोष्ठकों में उपरोक्त श्रोडिंगर डिफरेंशियल संक्रियक का [[अभिन्न परिवर्तन]] है। इस संदर्भ में 'प्रचारक' शब्द का प्रयोग कभी-कभी संदर्भित करने के लिए किया जाता है {{mvar|G}}, और कभी-कभी {{mvar|K}}. यह लेख संदर्भित करने के लिए शब्द का उपयोग करेगा {{mvar|K}} (डुहमेल का सिद्धांत देखें)।


इस प्रचारक को संक्रमण आयाम के रूप में भी लिखा जा सकता है
इस प्रचारक को संक्रमण आयाम के रूप में भी लिखा जा सकता है
: <math>K(x, t; x', t') = \big\langle x \big| \hat{U}(t, t') \big| x' \big\rangle,</math>
: <math>K(x, t; x', t') = \big\langle x \big| \hat{U}(t, t') \big| x' \big\rangle,</math>
कहाँ {{math|''Û''(''t'', ''t′'')}} समय पर राज्यों को लेने वाली प्रणाली के लिए [[एकात्मक संचालक]] समय-विकास संचालक है {{mvar|t′}} समय पर राज्यों के लिए {{mvar|t}}. द्वारा लागू प्रारंभिक स्थिति पर ध्यान दें <math>\lim_{t \to t'} K(x, t; x', t') = \delta(x - x')</math>.
जहाँ {{math|''Û''(''t'', ''t′'')}} समय पर राज्यों को लेने वाली प्रणाली के लिए [[एकात्मक संचालक]] समय-विकास संचालक है {{mvar|t′}} समय पर राज्यों के लिए {{mvar|t}}. द्वारा प्रयुक्त प्रारंभिक स्थिति पर ध्यान दें <math>\lim_{t \to t'} K(x, t; x', t') = \delta(x - x')</math>.


[[पथ अभिन्न सूत्रीकरण]] का उपयोग करके क्वांटम-मैकेनिकल प्रोपेगेटर भी पाया जा सकता है:
[[पथ अभिन्न सूत्रीकरण]] का उपयोग करके क्वांटम-मैकेनिकल प्रोपेगेटर भी पाया जा सकता है:
: <math>K(x, t; x', t') = \int \exp \left[\frac{i}{\hbar} \int_t^{t'} L(\dot{q}, q, t) \, dt\right] D[q(t)],</math>
: <math>K(x, t; x', t') = \int \exp \left[\frac{i}{\hbar} \int_t^{t'} L(\dot{q}, q, t) \, dt\right] D[q(t)],</math>
जहां पथ अभिन्न की सीमा शर्तें शामिल हैं {{math|''q''(''t'') {{=}} ''x'', ''q''(''t′'') {{=}} ''x′''}}. यहाँ {{mvar|L}} सिस्टम के [[Lagrangian यांत्रिकी]] को दर्शाता है। सम्‍मिलित पथ केवल समय में आगे बढ़ते हैं और अंतर के साथ एकीकृत होते हैं <math>D[q(t)]</math> समय में पथ का अनुसरण करना।
जहां पथ अभिन्न की सीमा शर्तें सम्मिलित हैं {{math|''q''(''t'') {{=}} ''x'', ''q''(''t′'') {{=}} ''x′''}}. यहाँ {{mvar|L}} सिस्टम के [[Lagrangian यांत्रिकी]] को दर्शाता है। सम्‍मिलित पथ केवल समय में आगे बढ़ते हैं और अंतर के साथ एकीकृत होते हैं <math>D[q(t)]</math> समय में पथ का अनुसरण करना।


गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, प्रोपेगेटर एक प्रारंभिक तरंग फ़ंक्शन और एक समय अंतराल दिए जाने पर सिस्टम के तरंग फ़ंक्शन को ढूंढने देता है। नया तरंग फ़ंक्शन समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया गया है
गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, प्रोपेगेटर एक प्रारंभिक तरंग फलन और एक समय अंतराल दिए जाने पर सिस्टम के तरंग फलन को ढूंढने देता है। नया तरंग फलन समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया गया है
: <math>\psi(x, t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x', t') K(x, t; x', t') \, dx'.</math>
: <math>\psi(x, t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x', t') K(x, t; x', t') \, dx'.</math>
अगर {{math|''K''(''x'', ''t''; ''x''&prime;, ''t''&prime;)}} केवल अंतर पर निर्भर करता है {{math|''x'' − ''x′''}}, यह इनिशियल वेव फंक्शन और प्रोपगेटर का [[कनवल्शन]] है।
यदि {{math|''K''(''x'', ''t''; ''x''&prime;, ''t''&prime;)}} केवल अंतर पर निर्भर करता है {{math|''x'' − ''x′''}}, यह इनिशियल वेव फंक्शन और प्रोपगेटर का [[कनवल्शन]] है।


=== मूल उदाहरण: मुक्त कण के प्रचारक और हार्मोनिक ऑसीलेटर ===
=== मूल उदाहरण: मुक्त कण के प्रचारक और हार्मोनिक ऑसीलेटर ===
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इसी प्रकार, एक आयामी क्वांटम हार्मोनिक ऑसीलेटर # प्राकृतिक लंबाई और ऊर्जा स्केल का प्रचारक [[मेहलर कर्नेल]] है,<ref>E. U. Condon, [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1076889/pdf/pnas01779-0028.pdf "Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations"], ''Proc. Natl. Acad. Sci. USA'' '''23''', (1937) 158–164.</ref><ref>[[Wolfgang Pauli]], ''Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics'' (Dover Books on Physics, 2000) {{ISBN|0486414620}}. Section 44.</ref>  
इसी तरह, एक आयामी क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर का प्रचारक [[मेहलर कर्नेल]] है,<ref>E. U. Condon, [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1076889/pdf/pnas01779-0028.pdf "Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations"], ''Proc. Natl. Acad. Sci. USA'' '''23''', (1937) 158–164.</ref><ref>[[Wolfgang Pauli]], ''Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics'' (Dover Books on Physics, 2000) {{ISBN|0486414620}}. Section 44.</ref>  
{{Equation box 1
{{Equation box 1
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वैन कॉर्ट्रीक के SU(1,1) लाइ-ग्रुप आइडेंटिटी का उपयोग करने पर पिछले मुक्त-कण परिणाम से उत्तरार्द्ध प्राप्त किया जा सकता है,<ref>Kolsrud, M. (1956). Exact quantum dynamical solutions for oscillator-like systems, ''Physical Review'' '''104'''(4), 1186.</ref>
वैन कॉर्ट्रीक के SU(1,1) लाइ-ग्रुप आइडेंटिटी [5] का उपयोग करने पर पिछले मुक्त-कण परिणाम से बाद वाले को प्राप्त किया जा सकता है।<ref>Kolsrud, M. (1956). Exact quantum dynamical solutions for oscillator-like systems, ''Physical Review'' '''104'''(4), 1186.</ref><math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
&\exp \left( -\frac{it}{\hbar} \left( \frac{1}{2m} \mathsf{p}^2 + \frac{1}{2} m\omega^2 \mathsf{x}^2 \right) \right) \\
&\exp \left( -\frac{it}{\hbar} \left( \frac{1}{2m} \mathsf{p}^2 + \frac{1}{2} m\omega^2 \mathsf{x}^2 \right) \right) \\
&= \exp \left( -\frac{im\omega}{2\hbar} \mathsf{x}^2\tan\frac{\omega t}{2} \right) \exp \left( -\frac{i}{2m\omega \hbar}\mathsf{p}^2 \sin(\omega t) \right) \exp \left( -\frac{im\omega }{2\hbar} \mathsf{x}^2 \tan\frac{\omega t}{2} \right),
&= \exp \left( -\frac{im\omega}{2\hbar} \mathsf{x}^2\tan\frac{\omega t}{2} \right) \exp \left( -\frac{i}{2m\omega \hbar}\mathsf{p}^2 \sin(\omega t) \right) \exp \left( -\frac{im\omega }{2\hbar} \mathsf{x}^2 \tan\frac{\omega t}{2} \right),
\end{align}</math>
\end{align}</math>
ऑपरेटरों के लिए मान्य <math>\mathsf{x}</math> और <math>\mathsf{p}</math> हाइजेनबर्ग संबंध को संतुष्ट करना <math>[\mathsf{x},\mathsf{p}] = i\hbar</math>.
 
 
संक्रियकों के लिए मान्य <math>\mathsf{x}</math> और <math>\mathsf{p}</math> हाइजेनबर्ग संबंध को संतुष्ट करना <math>[\mathsf{x},\mathsf{p}] = i\hbar</math>.


के लिए {{mvar|N}}-आयामी मामला, प्रचारक को केवल उत्पाद द्वारा प्राप्त किया जा सकता है
के लिए {{mvar|N}}-आयामी मामला, प्रचारक को केवल उत्पाद द्वारा प्राप्त किया जा सकता है
<math display="block">K(\vec{x}, \vec{x}'; t) = \prod_{q=1}^N K(x_q, x_q'; t).</math>
<math display="block">K(\vec{x}, \vec{x}'; t) = \prod_{q=1}^N K(x_q, x_q'; t).</math>


{{see also|Path integral formulation#Simple harmonic oscillator| Heat equation#Fundamental solutions}}
{{see also|पाथ इंटीग्रल फॉर्म्युलेशन # सिंपल हार्मोनिक ऑसिलेटर|ऊष्मा समीकरण#मौलिक समाधान}}


== सापेक्षवादी प्रचारक ==
== सापेक्षवादी प्रचारक ==
सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में प्रचारक [[लोरेंट्ज़-इनवेरिएंट]] हैं। वे दो अंतरिक्ष-समय बिंदुओं के बीच यात्रा करने के लिए प्राथमिक कण के लिए आयाम देते हैं।
सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में प्रचारक [[लोरेंट्ज़-इनवेरिएंट]] हैं। वे एक कण को ​​दो स्पेसटाइम बिंदुओं के बीच यात्रा करने के लिए आयाम देते हैं।


=== स्केलर प्रचारक ===
=== स्केलर प्रचारक ===
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, एक मुक्त (या गैर-अंतःक्रियात्मक) स्केलर क्षेत्र का सिद्धांत एक उपयोगी और सरल उदाहरण है जो अधिक जटिल सिद्धांतों के लिए आवश्यक अवधारणाओं को स्पष्ट करने के लिए कार्य करता है। यह [[स्पिन (भौतिकी)]] -शून्य कणों का वर्णन करता है। मुक्त [[अदिश क्षेत्र]] सिद्धांत के लिए कई संभावित प्रचारक हैं। अब हम सबसे आम का वर्णन करते हैं।
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, एक मुक्त (या गैर-अंतःक्रियात्मक) स्केलर क्षेत्र का सिद्धांत एक उपयोगी और सरल उदाहरण है जो अधिक जटिल सिद्धांतों के लिए आवश्यक अवधारणाओं को स्पष्ट करने के लिए कार्य करता है। यह [[स्पिन (भौतिकी)]]-शून्य कणों का वर्णन करता है। मुक्त अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए कई संभावित प्रचारक हैं। अब हम सबसे सामान्य का वर्णन करते हैं।


=== स्थिति स्थान ===
=== स्थिति स्थान ===
क्लेन-गॉर्डन समीकरण के लिए स्थिति अंतरिक्ष प्रचारक ग्रीन के कार्य हैं। इसका मतलब है कि वे कार्य हैं {{math|''G''(''x'', ''y'')}} संतुष्टि देने वाला
क्लेन-गॉर्डन समीकरण के लिए स्थिति अंतरिक्ष प्रचारक ग्रीन के कार्य हैं। इसका अर्थ है कि वे फलन {{math|''G''(''x'', ''y'')}} संतोषजनक हैं:<math display="block">\left(\square_x + m^2\right) G(x, y) = -\delta(x - y),</math>जहाँ
<math display="block">\left(\square_x + m^2\right) G(x, y) = -\delta(x - y),</math>
कहाँ
* {{mvar|x, y}} मिन्कोवस्की अंतरिक्ष-समय में दो बिंदु हैं,
* {{mvar|x, y}} मिन्कोवस्की अंतरिक्ष-समय में दो बिंदु हैं,
* <math>\square_x = \tfrac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2</math> पर अभिनय करने वाला डी'अलेम्बर्टियन ऑपरेटर है {{mvar|x}} निर्देशांक,
* <math>\square_x = \tfrac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2</math> पर अभिनय करने वाला डी'अलेम्बर्टियन संक्रियक है {{mvar|x}} निर्देशांक,
* {{math|''δ''(''x'' − ''y'')}} Dirac डेल्टा फ़ंक्शन है।
* {{math|''δ''(''x'' − ''y'')}} Dirac डेल्टा फलन है।


(विशिष्ट आपेक्षिकता क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत गणनाओं में विशिष्ट के रूप में, हम उन इकाइयों का उपयोग करते हैं जहां [[प्रकाश की गति]] होती है {{mvar|c}} और प्लैंक कॉन्स्टेंट | प्लैंक का रिड्यूस्ड कॉन्स्टेंट {{mvar|ħ}} एकता पर सेट हैं।)
(सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत गणनाओं में विशिष्ट के रूप में, हम उन इकाइयों का उपयोग करते हैं जहां {{mvar|c}} [[प्रकाश की गति]] और प्लैंक की घटी हुई स्थिरांक {{mvar|ħ}} एकता पर सेट होती है।)
 
हम 4-आयामी मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम पर ध्यान केंद्रित करेंगे। हम प्राप्त करने वाले प्रचारक के लिए समीकरण का [[फूरियर रूपांतरण]] कर सकते हैं
<math display="block">\left(-p^2 + m^2\right) G(p) = -1.</math>
इस समीकरण को [[वितरण (गणित)]] के अर्थ में उल्टा किया जा सकता है, यह देखते हुए कि समीकरण {{math|1=''xf''(''x'') = 1}} का समाधान है (सोखोत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय देखें)
<math display="block">f(x) = \frac{1}{x \pm i\varepsilon} = \frac{1}{x} \mp i\pi\delta(x),</math>
साथ {{mvar|ε}} शून्य की सीमा लागू करना। नीचे, हम करणीय आवश्यकताओं से उत्पन्न होने वाले चिन्ह के सही विकल्प पर चर्चा करते हैं।


हम 4-आयामी मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम पर ध्यान केंद्रित करेंगे। हम प्राप्त करने वाले प्रचारक के लिए समीकरण का [[फूरियर रूपांतरण]] कर सकते हैं:<math display="block">\left(-p^2 + m^2\right) G(p) = -1.</math>इस समीकरण को [[वितरण (गणित)]] के अर्थ में उलटा किया जा सकता है, यह देखते हुए कि समीकरण {{math|1=''xf''(''x'') = 1}} का समाधान है (सोखोत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय देखें)<math display="block">f(x) = \frac{1}{x \pm i\varepsilon} = \frac{1}{x} \mp i\pi\delta(x),</math>{{mvar|ε}} के साथ शून्य की सीमा प्रयुक्त करना। नीचे, हम करणीय आवश्यकताओं से उत्पन्न होने वाले चिन्ह के सही विकल्प पर चर्चा करते हैं।
समाधान है
समाधान है
{{Equation box 1
{{Equation box 1
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|border colour = #0073CF
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|bgcolor=#F9FFF7}}
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कहाँ
जहाँ<math display="block">p(x - y) := p_0(x^0 - y^0) - \vec{p} \cdot (\vec{x} - \vec{y})</math>[[4-वेक्टर]] आंतरिक उत्पाद है।
<math display="block">p(x - y) := p_0(x^0 - y^0) - \vec{p} \cdot (\vec{x} - \vec{y})</math> [[4-वेक्टर]] आंतरिक उत्पाद है।
 


उपरोक्त अभिव्यक्ति में समोच्च एकीकरण के तरीकों को कैसे विकृत करना है, इसके लिए अलग-अलग विकल्प प्रचारक के लिए विभिन्न रूपों को जन्म देते हैं। समोच्च का चुनाव आमतौर पर के संदर्भ में किया जाता है <math>p_0</math> अभिन्न।
उपरोक्त अभिव्यक्ति में एकीकरण समोच्च को कैसे विकृत किया जाए, इसके लिए अलग-अलग विकल्प प्रचारक के लिए विभिन्न रूपों को जन्म देते हैं। समोच्च का चुनाव सामान्य तौर पर <math>p_0</math> अभिन्न के संदर्भ में किया जाता है।


इंटीग्रैंड में तब दो ध्रुव होते हैं
इंटीग्रैंड में तब दो ध्रुव होते हैं<math display="block">p_0 = \pm \sqrt{\vec{p}^2 + m^2},</math>इसलिए इनसे बचने के लिए अलग-अलग विकल्प अलग-अलग प्रचारकों के पास जाते हैं।
<math display="block">p_0 = \pm \sqrt{\vec{p}^2 + m^2},</math> इसलिए इनसे बचने के लिए अलग-अलग विकल्प अलग-अलग प्रचारकों के पास जाते हैं।


==== कारण प्रचारक ====
==== कारण प्रचारक ====


===मंदबुद्धि प्रचारक ===
===मंदबुद्धि प्रचारक ===
[[Image:CausalRetardedPropagatorPath.svg]]दोनों ध्रुवों पर दक्षिणावर्त जाने वाला एक समोच्च कारण मंद प्रवर्तक देता है। यह शून्य है अगर {{mvar|x-y}} स्पेसलाइक है या अगर {{math|''x'' ⁰< ''y'' ⁰}} (यानी अगर {{mvar|y}} के भविष्य के लिए है {{mvar|x}}).
[[Image:CausalRetardedPropagatorPath.svg]]
 
दोनों ध्रुवों पर दक्षिणावर्त जाने वाला एक समोच्च कारण मंद प्रवर्तक देता है। यह शून्य है यदि x-y अंतरिक्ष जैसा है या यदि {{math|''x'' ⁰< ''y'' ⁰}} (अर्थात यदि {{mvar|y}}, {{mvar|x}} के भविष्य के लिए है)।


समोच्च का यह चुनाव [[सीमा (गणित)]] की गणना के बराबर है,
समोच्च का यह चुनाव सीमा की गणना के बराबर है,<math display="block">G_\text{ret}(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0+i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = -\frac{\Theta(x-y)}{2\pi} \delta(\tau_{xy}^2) + \Theta(x-y)\Theta(\tau_{xy}^2)\frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}}</math>यहाँ<math display="block">\Theta (x) := \begin{cases}
<math display="block">G_\text{ret}(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0+i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = -\frac{\Theta(x-y)}{2\pi} \delta(\tau_{xy}^2) + \Theta(x-y)\Theta(\tau_{xy}^2)\frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}}</math>
यहाँ
<math display="block">\Theta (x) := \begin{cases}
1 & x \ge 0 \\
1 & x \ge 0 \\
0 & x < 0
0 & x < 0
Line 107: Line 97:
से [[उचित समय]] है {{mvar|x}} को {{mvar|y}} और <math>J_1</math> प्रथम प्रकार का बेसेल फलन है। इजहार <math>y \prec x</math> साधन {{mvar|y}} [[कारण संरचना]] {{mvar|x}} जो, मिन्कोवस्की अंतरिक्ष-समय के लिए, का अर्थ है
से [[उचित समय]] है {{mvar|x}} को {{mvar|y}} और <math>J_1</math> प्रथम प्रकार का बेसेल फलन है। इजहार <math>y \prec x</math> साधन {{mvar|y}} [[कारण संरचना]] {{mvar|x}} जो, मिन्कोवस्की अंतरिक्ष-समय के लिए, का अर्थ है
:<math>y^0 < x^0</math> और <math>\tau_{xy}^2 \geq 0 ~.</math>
:<math>y^0 < x^0</math> और <math>\tau_{xy}^2 \geq 0 ~.</math>
यह अभिव्यक्ति फ्री स्केलर फील्ड ऑपरेटर के [[कम्यूटेटर]] के वैक्यूम अपेक्षा मूल्य से संबंधित हो सकती है,
यह अभिव्यक्ति फ्री स्केलर फील्ड संक्रियक के [[कम्यूटेटर]] के वैक्यूम अपेक्षा मूल्य से संबंधित हो सकती है,
<math display="block">G_\text{ret}(x,y) = i \langle 0| \left[ \Phi(x), \Phi(y) \right] |0\rangle \Theta(x^0 - y^0)</math>
<math display="block">G_\text{ret}(x,y) = i \langle 0| \left[ \Phi(x), \Phi(y) \right] |0\rangle \Theta(x^0 - y^0)</math>जहाँ<math display="block">\left[\Phi(x), \Phi(y) \right] := \Phi(x) \Phi(y) - \Phi(y) \Phi(x)</math>
कहाँ
<math display="block">\left[\Phi(x), \Phi(y) \right] := \Phi(x) \Phi(y) - \Phi(y) \Phi(x)</math>
कम्यूटेटर है।
कम्यूटेटर है।


===उन्नत प्रचारक ===
===उन्नत प्रचारक ===
[[Image:CausalAdvancedPropagatorPath.svg]]दोनों ध्रुवों के नीचे एंटी-क्लॉकवाइज जाने वाला एक समोच्च कारण उन्नत प्रोपेगेटर देता है। यह शून्य है अगर {{mvar|x-y}} स्पेसलाइक है या अगर {{math|''x'' ⁰> ''y'' ⁰}} (यानी अगर {{mvar|y}} का अतीत है {{mvar|x}}).
[[Image:CausalAdvancedPropagatorPath.svg]]
 
दोनों ध्रुवों के नीचे एंटी-क्लॉकवाइज जाने वाला एक समोच्च कारण उन्नत प्रोपेगेटर देता है। यह शून्य है यदि {{mvar|x-y}} स्पेसलाइक है या यदि {{math|''x'' ⁰> ''y'' ⁰}} (अर्थात यदि {{mvar|y}}, {{mvar|x}} के अतीत में है।


समोच्च का यह चुनाव सीमा की गणना के बराबर है<ref>{{cite book |last1=Scharf |first1=Günter |title=परिमित क्वांटम विद्युतगतिकी, कारणात्मक दृष्टिकोण|date=13 November 2012 |publisher=Springer |isbn=978-3-642-63345-4 |pages=89}}</ref>
समोच्च का यह चुनाव सीमा की गणना के बराबर है<ref>{{cite book |last1=Scharf |first1=Günter |title=परिमित क्वांटम विद्युतगतिकी, कारणात्मक दृष्टिकोण|date=13 November 2012 |publisher=Springer |isbn=978-3-642-63345-4 |pages=89}}</ref><math display="block">
<math display="block">
G_\text{adv}(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0 - i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = -\frac{\Theta(y-x)}{2\pi}\delta(\tau_{xy}^2) + \Theta(y-x)\Theta(\tau_{xy}^2)\frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}}
G_\text{adv}(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0 - i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = -\frac{\Theta(y-x)}{2\pi}\delta(\tau_{xy}^2) + \Theta(y-x)\Theta(\tau_{xy}^2)\frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}}
</math>
</math>यह अभिव्यक्ति मुक्त स्केलर क्षेत्र के कम्यूटेटर के वैक्यूम अपेक्षा मूल्य के संदर्भ में भी व्यक्त की जा सकती है। इस मामले में,<math display="block">G_\text{adv}(x,y) = -i \langle 0|\left[ \Phi(x), \Phi(y) \right]|0\rangle \Theta(y^0 - x^0)~.</math>
यह अभिव्यक्ति मुक्त स्केलर क्षेत्र के कम्यूटेटर के वैक्यूम अपेक्षा मूल्य के संदर्भ में भी व्यक्त की जा सकती है।
 
इस मामले में,
==== फेनमैन प्रचारक ====
<math display="block">G_\text{adv}(x,y) = -i \langle 0|\left[ \Phi(x), \Phi(y) \right]|0\rangle \Theta(y^0 - x^0)~.</math>
[[Image:FeynmanPropagatorPath.svg]]


1948 में [[रिचर्ड फेनमैन]] द्वारा पेश किए गए फेनमैन प्रचारक, बाएं ध्रुव के नीचे और दाएं ध्रुव के ऊपर जाने वाला एक समोच्च देता है।<ref>{{Citation |last=Feynman |first=R. P. |title=Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics |url=http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/9789812567635_0002 |work=Feynman's Thesis — A New Approach to Quantum Theory |year=2005 |pages=71–109 |publisher=WORLD SCIENTIFIC |language=en |doi=10.1142/9789812567635_0002 |bibcode=2005ftna.book...71F |isbn=978-981-256-366-8 |access-date=2022-08-17}}</ref>


==== फेनमैन प्रचारक ====
[[Image:FeynmanPropagatorPath.svg]]1948 में [[रिचर्ड फेनमैन]] द्वारा पेश किए गए फेनमैन प्रचारक, बाएं ध्रुव के नीचे और दाएं ध्रुव के ऊपर जाने वाला एक समोच्च देता है।<ref>{{Citation |last=Feynman |first=R. P. |title=Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics |url=http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/9789812567635_0002 |work=Feynman's Thesis — A New Approach to Quantum Theory |year=2005 |pages=71–109 |publisher=WORLD SCIENTIFIC |language=en |doi=10.1142/9789812567635_0002 |bibcode=2005ftna.book...71F |isbn=978-981-256-366-8 |access-date=2022-08-17}}</ref>
समोच्च का यह चुनाव सीमा की गणना के बराबर है<ref>{{cite book |last=Huang |first=Kerson |title=Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals |publisher=John Wiley & Sons |year=1998 |isbn=0-471-14120-8 |location=New York |page=30 |author-link=Kerson Huang}}</ref>  
समोच्च का यह चुनाव सीमा की गणना के बराबर है<ref>{{cite book |last=Huang |first=Kerson |title=Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals |publisher=John Wiley & Sons |year=1998 |isbn=0-471-14120-8 |location=New York |page=30 |author-link=Kerson Huang}}</ref>  
  <math display="block">G_F(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 -  m^2 + i\varepsilon} = \begin{cases}
<math display="block">G_F(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 -  m^2 + i\varepsilon} = \begin{cases}
-\frac{1}{4 \pi} \delta(s) + \frac{m}{8 \pi \sqrt{s}} H_1^{(1)}(m \sqrt{s}) & s \geq 0 \\ -\frac{i m}{ 4 \pi^2 \sqrt{-s}} K_1(m \sqrt{-s}) & s < 0.
-\frac{1}{4 \pi} \delta(s) + \frac{m}{8 \pi \sqrt{s}} H_1^{(1)}(m \sqrt{s}) & s \geq 0 \\ -\frac{i m}{ 4 \pi^2 \sqrt{-s}} K_1(m \sqrt{-s}) & s < 0.
\end{cases} </math>
\end{cases} </math>
यहाँ
यहाँ
<math display="block">s:= (x^0 - y^0)^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2,</math>
<math display="block">s:= (x^0 - y^0)^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2,</math>
कहाँ {{mvar|x}} और {{mvar|y}} Minkowski स्पेसटाइम में दो बिंदु हैं, और घातांक में डॉट एक [[चार-वेक्टर]] आंतरिक उत्पाद है। {{math|''H''<sub>1</sub><sup>(1)</sup>}} एक बेसेल फलन है# हैंकेल फलन: H.CE.B1.281.29.2C H.CE.B1.282.29 और {{math|''K''<sub>1</sub>}} एक बेसेल कार्य है # संशोधित बेसेल कार्य: I.CE.B1.2C K.CE.B1।
जहां x और y Minkowski स्पेसटाइम में दो बिंदु हैं, और घातांक में डॉट एक चार-वेक्टर आंतरिक उत्पाद है। {{math|''H''<sub>1</sub><sup>(1)</sup>}} एक हैंकेल फलन है और K1 एक संशोधित बेसेल फलन है।


यह अभिव्यक्ति सीधे क्षेत्र सिद्धांत से मुक्त स्केलर क्षेत्र के समय-आदेशित उत्पाद के निर्वात अपेक्षा मूल्य के रूप में प्राप्त की जा सकती है, अर्थात, उत्पाद हमेशा ऐसा लिया जाता है कि स्पेसटाइम बिंदुओं का समय क्रम समान होता है,
यह अभिव्यक्ति सीधे क्षेत्र सिद्धांत से मुक्त स्केलर क्षेत्र के समय-आदेशित उत्पाद के निर्वात अपेक्षा मूल्य के रूप में प्राप्त की जा सकती है, अर्थात, उत्पाद हमेशा ऐसा लिया जाता है कि स्पेसटाइम बिंदुओं का समय क्रम समान होता है:<math display="block">
<math display="block">
\begin{align}
\begin{align}
G_F(x-y) & = -i \lang 0|T(\Phi(x) \Phi(y))|0 \rang \\[4pt]
G_F(x-y) & = -i \lang 0|T(\Phi(x) \Phi(y))|0 \rang \\[4pt]
& = -i \left \lang 0| \left [\Theta(x^0 - y^0) \Phi(x)\Phi(y) + \Theta(y^0 - x^0) \Phi(y)\Phi(x) \right] |0 \right \rang.
& = -i \left \lang 0| \left [\Theta(x^0 - y^0) \Phi(x)\Phi(y) + \Theta(y^0 - x^0) \Phi(y)\Phi(x) \right] |0 \right \rang.
\end{align}</math>
\end{align}</math>
यह अभिव्यक्ति [[लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय]] है, जब तक कि फ़ील्ड ऑपरेटर एक दूसरे के साथ बिंदुओं पर आवागमन करते हैं {{mvar|x}} और {{mvar|y}} को एक [[ spacelike ]] अंतराल द्वारा अलग किया जाता है।


सामान्य व्युत्पत्ति लोरेंत्ज़ सहसंयोजक सामान्यीकरण वाले क्षेत्रों के बीच एकल-कण संवेग अवस्थाओं का एक पूरा सेट सम्मिलित करना है, और फिर यह दिखाना है कि {{math|Θ}} कारण समय क्रम प्रदान करने वाले कार्य ऊर्जा अक्ष के साथ एक [[ रेखा अभिन्न ]] द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं, यदि इंटीग्रैंड ऊपर जैसा है (इसलिए इनफिनिटिमल काल्पनिक भाग), ध्रुव को वास्तविक रेखा से दूर ले जाने के लिए।
 
यह अभिव्यक्ति [[लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय]] है, जब तक कि फ़ील्ड संक्रियक एक दूसरे के साथ तब तक चलते हैं जब बिंदु x और y को स्पेसलाइक अंतराल द्वारा अलग किया जाता है।
 
सामान्य व्युत्पत्ति लोरेंत्ज़ सहसंयोजक सामान्यीकरण के साथ क्षेत्रों के बीच एकल-कण संवेग राज्यों का एक पूरा सेट सम्मिलित करना है, और फिर यह दिखाने के लिए कि Θ कार्य कारण समय आदेश प्रदान करने के लिए ऊर्जा अक्ष के साथ एक समोच्च अभिन्न द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, यदि ध्रुव को वास्तविक रेखा से दूर ले जाने के लिए समाकलन ऊपर जैसा है (इसलिए अत्यल्प काल्पनिक भाग)।


प्रचारक को क्वांटम सिद्धांत के पथ अभिन्न सूत्रीकरण का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है।
प्रचारक को क्वांटम सिद्धांत के पथ अभिन्न सूत्रीकरण का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है।


=== गति अंतरिक्ष प्रचारक ===
=== गति अंतरिक्ष प्रचारक ===
पोजीशन स्पेस प्रोपेगेटर्स के फूरियर रूपांतरण को [[ गति स्थान ]] में प्रोपेगेटर्स के रूप में सोचा जा सकता है। ये स्थान स्थान प्रचारकों की तुलना में बहुत सरल रूप लेते हैं।
पोजीशन स्पेस प्रोपेगेटर्स के फूरियर रूपांतरण को [[ गति स्थान |गति स्थान]] में प्रोपेगेटर्स के रूप में सोचा जा सकता है। ये स्थान स्थान प्रचारकों की तुलना में बहुत सरल रूप लेते हैं।


वे अक्सर एक स्पष्ट के साथ लिखे जाते हैं {{mvar|ε}} शब्द हालांकि यह एक अनुस्मारक के रूप में समझा जाता है जिसके बारे में एकीकरण समोच्च उपयुक्त है (ऊपर देखें)। यह {{mvar|ε}} शब्द सीमा शर्तों और करणीयता (नीचे देखें) को शामिल करने के लिए शामिल किया गया है।
वे प्रायः एक स्पष्ट के साथ लिखे जाते हैं {{mvar|ε}} शब्द हालांकि यह एक अनुस्मारक के रूप में समझा जाता है जिसके बारे में एकीकरण समोच्च उपयुक्त है (ऊपर देखें)। यह {{mvar|ε}} शब्द सीमा शर्तों और करणीयता (नीचे देखें) को सम्मिलित करने के लिए सम्मिलित किया गया है।


[[4-गति]] के लिए {{mvar|p}} संवेग स्थान में कारण और फेनमैन प्रचारक हैं:
[[4-गति]] के लिए {{mvar|p}} संवेग स्थान में कारण और फेनमैन प्रचारक हैं:
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:<math>\tilde{G}_\text{adv}(p) = \frac{1}{(p_0-i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}</math>
:<math>\tilde{G}_\text{adv}(p) = \frac{1}{(p_0-i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}</math>
:<math>\tilde{G}_F(p) = \frac{1}{p^2 -  m^2 + i\varepsilon}. </math>
:<math>\tilde{G}_F(p) = \frac{1}{p^2 -  m^2 + i\varepsilon}. </math>
फेनमैन आरेख गणनाओं के प्रयोजनों के लिए, आमतौर पर इन्हें एक अतिरिक्त समग्र कारक के साथ लिखना सुविधाजनक होता है {{mvar|−i}} (परंपराएं बदलती हैं)।
फेनमैन आरेख गणनाओं के प्रयोजनों के लिए, सामान्य तौर पर इन्हें एक अतिरिक्त समग्र कारक के साथ लिखना सुविधाजनक होता है {{mvar|−i}} (परंपराएं बदलती हैं)।


===प्रकाश से भी तेज?===
===प्रकाश से भी तेज?===
{{More citations needed section|date=November 2022}}
{{More citations needed section|date=November 2022}}
फेनमैन प्रचारक के पास कुछ गुण हैं जो पहली बार में चौंकाने वाले लगते हैं। विशेष रूप से, कम्यूटेटर के विपरीत, प्रोपेगेटर [[प्रकाश शंकु]] के बाहर शून्य नहीं है, हालांकि यह स्पेसिक अंतराल के लिए तेजी से गिरता है। कण गति के लिए एक आयाम के रूप में व्याख्या की गई, यह प्रकाश की तुलना में तेजी से यात्रा करने वाले आभासी कण का अनुवाद करता है। यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि इसे कार्य-कारण के साथ कैसे सामंजस्य स्थापित किया जा सकता है: क्या हम प्रकाश-से-प्रकाश संदेशों को भेजने के लिए तेज़-से-प्रकाश आभासी कणों का उपयोग कर सकते हैं?
फेनमैन प्रचारक के पास कुछ गुण हैं जो पहली बार में चौंकाने वाले लगते हैं। विशेष रूप से, कम्यूटेटर के विपरीत, प्रोपेगेटर प्रकाश शंकु के बाहर शून्य नहीं है, हालांकि यह स्पेसिक अंतराल के लिए तेजी से गिरता है। कण गति के लिए एक आयाम के रूप में व्याख्या की गई, यह प्रकाश की तुलना में तेजी से यात्रा करने वाले आभासी कण का अनुवाद करता है। यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि इसे कार्य-कारण के साथ कैसे सामंजस्य स्थापित किया जा सकता है: क्या हम प्रकाश-से-प्रकाश संदेशों को भेजने के लिए तेज़-से-प्रकाश आभासी कणों का उपयोग कर सकते हैं?


उत्तर नहीं है: जबकि [[शास्त्रीय यांत्रिकी]] में अंतराल जिसके साथ कण और कारण प्रभाव यात्रा कर सकते हैं