रेगे सिद्धांत: Difference between revisions
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:<math>l\rightarrow l(E) = -n +g(E), \;\; g(E) = -1+i\frac{\pi e^2}{4\pi\epsilon_0h}(2m'/E)^{1/2}.</math> | :<math>l\rightarrow l(E) = -n +g(E), \;\; g(E) = -1+i\frac{\pi e^2}{4\pi\epsilon_0h}(2m'/E)^{1/2}.</math> | ||
का एक जटिल कार्य माना जाता है <math>E</math> यह अभिव्यक्ति जटिल में वर्णन करती है <math>l</math>-एक पथ को समतल करें जिसे रेगे प्रक्षेपवक्र कहा जाता है। इस प्रकार इस विचार में कक्षीय | का एक जटिल कार्य माना जाता है <math>E</math> यह अभिव्यक्ति जटिल में वर्णन करती है <math>l</math>-एक पथ को समतल करें जिसे रेगे प्रक्षेपवक्र कहा जाता है। इस प्रकार इस विचार में कक्षीय | ||
संवेग जटिल मान ग्रहण कर सकता है। | संवेग जटिल मान ग्रहण कर सकता है। | ||
विशेष रूप से युकावा क्षमता के लिए भी कई अन्य संभावनाओं के लिए रेगे प्रक्षेपवक्र प्राप्त किए जा सकते हैं।<ref>Harald J.W. Müller-Kirsten: Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral, 2nd ed., World Scientific (2012) pp. 395-414</ref><ref>{{cite journal | last=Müller | first=Harald J. W. | title=गैर-सापेक्षतावादी संभावित बिखरने में रेगे पोल| journal=Annalen der Physik | publisher=Wiley | volume=470 | issue=7–8 | year=1965 | issn=0003-3804 | doi=10.1002/andp.19654700708 | pages=395–411 | bibcode=1965AnP...470..395M | language=de}}</ref><ref>{{cite journal | last1=Müller | first1=H. J. W. | last2=Schilcher | first2=K. | title=High‐Energy Scattering for Yukawa Potentials | journal=Journal of Mathematical Physics | publisher=AIP Publishing | volume=9 | issue=2 | year=1968 | issn=0022-2488 | doi=10.1063/1.1664576 | pages=255–259}}</ref> | विशेष रूप से युकावा क्षमता के लिए भी कई अन्य संभावनाओं के लिए रेगे प्रक्षेपवक्र प्राप्त किए जा सकते हैं।<ref>Harald J.W. Müller-Kirsten: Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral, 2nd ed., World Scientific (2012) pp. 395-414</ref><ref>{{cite journal | last=Müller | first=Harald J. W. | title=गैर-सापेक्षतावादी संभावित बिखरने में रेगे पोल| journal=Annalen der Physik | publisher=Wiley | volume=470 | issue=7–8 | year=1965 | issn=0003-3804 | doi=10.1002/andp.19654700708 | pages=395–411 | bibcode=1965AnP...470..395M | language=de}}</ref> | ||
रेगे प्रक्षेपवक्र बिखरने वाले आयाम के ध्रुवों के रूप में या संबंधित में दिखाई देते हैं <math>S</math>-आव्यूह। इसके ऊपर विचार किए गए कूलम्ब क्षमता के मामले में <math>S</math>- | |||
<ref>{{cite journal | last1=Müller | first1=H. J. W. | last2=Schilcher | first2=K. | title=High‐Energy Scattering for Yukawa Potentials | journal=Journal of Mathematical Physics | publisher=AIP Publishing | volume=9 | issue=2 | year=1968 | issn=0022-2488 | doi=10.1063/1.1664576 | pages=255–259}}</ref> | |||
रेगे प्रक्षेपवक्र बिखरने वाले आयाम के ध्रुवों के रूप में या संबंधित में दिखाई देते हैं <math>S</math>-आव्यूह। इसके ऊपर विचार किए गए कूलम्ब क्षमता के मामले में <math>S</math>-आव्यूह निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है जिसे क्वांटम यांत्रिकी पर किसी भी पाठ्यपुस्तक के संदर्भ में जांचा जा सकता है: | |||
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S = \frac{\Gamma(l-g(E))}{\Gamma(l+g(E))}e^{-i\pi l}, | S = \frac{\Gamma(l-g(E))}{\Gamma(l+g(E))}e^{-i\pi l}, | ||
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जहाँ <math>\Gamma(x)</math> [[गामा समारोह|गामा फ़ंक्शन]] है, फ़ैक्टोरियल का सामान्यीकरण <math>(x-1)!</math>. यह गामा फ़ंक्शन सरल ध्रुवों के साथ इसके तर्क का [[मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] है <math>x=-n, n=0,1,2,...</math>. इस प्रकार के लिए अभिव्यक्ति <math>S</math> (अंश में गामा फ़ंक्शन) ठीक उन बिंदुओं पर ध्रुव रखता है जो रेगे प्रक्षेपवक्र के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति द्वारा दिए गए हैं इसलिए रेगे पोल नाम। | |||
== इतिहास और निहितार्थ == | == इतिहास और निहितार्थ == | ||
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A(z) \propto z^{l(E^2)} | A(z) \propto z^{l(E^2)} | ||
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जहाँ <math>l(E^2)</math> ऊर्जा के साथ बाध्य होने वाली स्थिति के कोणीय गति का गैर-पूर्णांक मान है <math>E</math>. यह रेडियल श्रोडिंगर समीकरण को हल करके निर्धारित किया जाता है और यह अलग-अलग कोणीय गति के साथ लेकिन समान [[रेडियल उत्तेजना संख्या]] के साथ वेवफंक्शन की ऊर्जा को सुचारू रूप से प्रक्षेपित करता है। प्रक्षेपवक्र कार्य का एक कार्य है <math>s=E^2</math> सापेक्षतावादी सामान्यीकरण के लिए। इजहार <math>l(s)</math> रेगे प्रक्षेपवक्र फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है और जब यह एक पूर्णांक होता है, तो कण इस कोणीय गति के साथ एक वास्तविक बाध्य अवस्था बनाते हैं। स्पर्शोन्मुख रूप तब लागू होता है जब <math>z</math> एक से बहुत अधिक है, जो कि गैर-सापेक्षिक बिखराव में एक भौतिक सीमा नहीं है। | |||
कुछ ही समय बाद, [[स्टेनली मैंडेलस्टम]] ने सुनिश्चित किया कि सापेक्षता में विशुद्ध रूप से औपचारिक सीमा है <math>z</math> बड़ा एक भौतिक सीमा के निकट है - बड़े की सीमा <math>t</math>. बड़ा <math>t</math> का अर्थ है पार किए गए चैनल में बड़ी ऊर्जा, जहां आने वाले कणों में से एक ऊर्जा गति होती है जो इसे एक ऊर्जावान आउटगोइंग एंटीपार्टिकल बनाती है। इस अवलोकन ने रेगे सिद्धांत को एक गणितीय जिज्ञासा से एक भौतिक सिद्धांत में बदल दिया: यह मांग करता है कि बड़ी ऊर्जा पर कण-कण बिखरने के लिए बिखरने वाले आयाम की गिरावट दर निर्धारित करने वाला कार्य उस फ़ंक्शन के समान है जो एक के लिए बाध्य राज्य ऊर्जा निर्धारित करता है। कोणीय संवेग के फलन के रूप में कण-प्रतिकण प्रणाली।<ref>{{cite book|first1=V.|last1=Gribov|title=जटिल कोणीय संवेग का सिद्धांत|year=2003| isbn=978-0-521-81834-6| bibcode=2003tcam.book.....G|publisher=Cambridge University press}}</ref> | |||
स्विच को मैंडेलस्टैम चरों की अदला-बदली की आवश्यकता थी <math>s</math>, जो ऊर्जा का वर्ग है, के लिए <math>t</math>, जो चुकता संवेग अंतरण है, जो समान कणों के लोचदार नरम टकरावों के लिए बिखरने वाले कोण के कोसाइन का एक गुना है। क्रॉस्ड चैनल में संबंध बन जाता है | स्विच को मैंडेलस्टैम चरों की अदला-बदली की आवश्यकता थी <math>s</math>, जो ऊर्जा का वर्ग है, के लिए <math>t</math>, जो चुकता संवेग अंतरण है, जो समान कणों के लोचदार नरम टकरावों के लिए बिखरने वाले कोण के कोसाइन का एक गुना है। क्रॉस्ड चैनल में संबंध बन जाता है | ||
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A(z) \propto s^{l(t)} | A(z) \propto s^{l(t)} | ||
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जो कहता है कि आयाम में अलग-अलग संबंधित कोणों पर ऊर्जा के एक | जो कहता है कि आयाम में अलग-अलग संबंधित कोणों पर ऊर्जा के एक फ़ंक्शन के रूप में एक अलग शक्ति कानून का पतन होता है, जहां समान कोण समान मान वाले होते हैं <math>t</math>. यह भविष्यवाणी करता है कि कार्य जो शक्ति कानून को निर्धारित करता है वही कार्य है जो उन ऊर्जाओं को प्रक्षेपित करता है जहां अनुनाद दिखाई देते हैं। कोणों की सीमा जहां रेगे सिद्धांत द्वारा बिखरने का उत्पादक रूप से वर्णन किया जा सकता है, बड़ी ऊर्जाओं पर बीम-लाइन के चारों ओर एक संकीर्ण शंकु में सिकुड़ जाता है। | ||
1960 में जेफ्री च्यू और [[स्टीवन फ्रौत्ची]] ने सीमित डेटा से अनुमान लगाया कि दृढ़ता से परस्पर क्रिया करने वाले कणों में कोणीय गति पर वर्ग-द्रव्यमान की एक बहुत ही सरल निर्भरता थी: कण उन परिवारों में आते हैं जहां रेगे प्रक्षेपवक्र कार्य सीधी रेखाएँ थीं: <math>l(s)=ks</math> उसी स्थिरांक के साथ <math>k</math> सभी पथों के लिए। स्ट्रेट-लाइन रेगे प्रक्षेपवक्र को बाद में सापेक्षतावादी तारों को घुमाने पर बड़े पैमाने पर समापन बिंदुओं से उत्पन्न होने के रूप में समझा गया। चूंकि एक रेगे विवरण में निहित है कि कण बंधे हुए राज्य थे, च्यू और फ्रौत्ची ने निष्कर्ष निकाला कि कोई भी दृढ़ता से परस्पर क्रिया करने वाले कण प्राथमिक नहीं थे। | 1960 में जेफ्री च्यू और [[स्टीवन फ्रौत्ची]] ने सीमित डेटा से अनुमान लगाया कि दृढ़ता से परस्पर क्रिया करने वाले कणों में कोणीय गति पर वर्ग-द्रव्यमान की एक बहुत ही सरल निर्भरता थी: कण उन परिवारों में आते हैं जहां रेगे प्रक्षेपवक्र कार्य सीधी रेखाएँ थीं: <math>l(s)=ks</math> उसी स्थिरांक के साथ <math>k</math> सभी पथों के लिए। स्ट्रेट-लाइन रेगे प्रक्षेपवक्र को बाद में सापेक्षतावादी तारों को घुमाने पर बड़े पैमाने पर समापन बिंदुओं से उत्पन्न होने के रूप में समझा गया। चूंकि एक रेगे विवरण में निहित है कि कण बंधे हुए राज्य थे, च्यू और फ्रौत्ची ने निष्कर्ष निकाला कि कोई भी दृढ़ता से परस्पर क्रिया करने वाले कण प्राथमिक नहीं थे। | ||
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संकीर्ण-अनुनाद सन्निकटन पर केंद्रित सबसे सफल एस-मैट्रिक्स दृष्टिकोण, यह विचार है कि सीधी रेखा रेगे प्रक्षेपवक्र पर स्थिर कणों से शुरू होने वाला एक निरंतर विस्तार है। कई झूठी शुरुआत के बाद, रिचर्ड डोलेन, [[डेविड हॉर्न (इज़राइली भौतिक विज्ञानी)]], और क्रिस्टोफ श्मिट ने एक महत्वपूर्ण संपत्ति को समझा जिसने [[गेब्रियल विनीशियन]] को एक आत्म-निरंतर प्रकीर्णन आयाम, पहला [[स्ट्रिंग सिद्धांत]] तैयार करने के लिए प्रेरित किया। मंडेलस्टम ने नोट किया कि सीमा जहां रेगे प्रक्षेपवक्र सीधे हैं, वह सीमा भी है जहां राज्यों का जीवनकाल लंबा है। | संकीर्ण-अनुनाद सन्निकटन पर केंद्रित सबसे सफल एस-मैट्रिक्स दृष्टिकोण, यह विचार है कि सीधी रेखा रेगे प्रक्षेपवक्र पर स्थिर कणों से शुरू होने वाला एक निरंतर विस्तार है। कई झूठी शुरुआत के बाद, रिचर्ड डोलेन, [[डेविड हॉर्न (इज़राइली भौतिक विज्ञानी)]], और क्रिस्टोफ श्मिट ने एक महत्वपूर्ण संपत्ति को समझा जिसने [[गेब्रियल विनीशियन]] को एक आत्म-निरंतर प्रकीर्णन आयाम, पहला [[स्ट्रिंग सिद्धांत]] तैयार करने के लिए प्रेरित किया। मंडेलस्टम ने नोट किया कि सीमा जहां रेगे प्रक्षेपवक्र सीधे हैं, वह सीमा भी है जहां राज्यों का जीवनकाल लंबा है। | ||
उच्च ऊर्जा पर [[मजबूत बातचीत]] के एक मौलिक सिद्धांत के रूप में, रेगे सिद्धांत ने 1960 के दशक में रुचि की अवधि का आनंद लिया, लेकिन यह [[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] द्वारा काफी हद तक सफल रहा। एक अभूतपूर्व सिद्धांत के रूप में, यह अभी भी निकट-बीम लाइन बिखरने और बहुत बड़ी ऊर्जा पर बिखरने को समझने के लिए एक अनिवार्य उपकरण है। आधुनिक अनुसंधान गड़बड़ी सिद्धांत और स्ट्रिंग सिद्धांत दोनों के संबंध पर केंद्रित है। | उच्च ऊर्जा पर [[मजबूत बातचीत|मजबूत संबंध]] के एक मौलिक सिद्धांत के रूप में, रेगे सिद्धांत ने 1960 के दशक में रुचि की अवधि का आनंद लिया, लेकिन यह [[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] द्वारा काफी हद तक सफल रहा। एक अभूतपूर्व सिद्धांत के रूप में, यह अभी भी निकट-बीम लाइन बिखरने और बहुत बड़ी ऊर्जा पर बिखरने को समझने के लिए एक अनिवार्य उपकरण है। आधुनिक अनुसंधान गड़बड़ी सिद्धांत और स्ट्रिंग सिद्धांत दोनों के संबंध पर केंद्रित है। | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
Revision as of 03:31, 22 April 2023
क्वांटम भौतिकी में, रेगे सिद्धांत (/ˈrɛdʒeɪ/) कोणीय संवेग के फलन के रूप में प्रकीर्णन के विश्लेषणात्मक गुणों का अध्ययन है जहां कोणीय संवेग ħ के पूर्णांक बहु तक सीमित नहीं है, लेकिन किसी भी जटिल मान को लेने की अनुमति है। 1959 में टुल्लियो रेगे द्वारा गैर-सापेक्षवादी सिद्धांत विकसित किया गया था।[1]
विवरण
रेगे ध्रुवों का सबसे सरल उदाहरण कूलम्ब क्षमता के क्वांटम यांत्रिक उपचार द्वारा प्रदान किया जाता है या, द्रव्यमान m और इलेक्ट्रॉन के बंधन या प्रकीर्णन के क्वांटम यांत्रिक उपचार द्वारा भिन्न रूप में व्यक्त किया गया विद्युत आवेश द्रव्यमान के एक प्रोटॉन और आवेश प्रोटॉन के लिए इलेक्ट्रॉन के बंधन की ऊर्जा ऋणात्मक होती है जबकि प्रकीर्णन के लिए ऊर्जा धनात्मक होती है। बंधन ऊर्जा का सूत्र है
- जहाँ , प्लैंक स्थिरांक है और निर्वात की पारगम्यता है। प्रमुख क्वांटम संख्या क्वांटम यांत्रिकी में (रेडियल श्रोडिंगर समीकरण के समाधान) द्वारा , जहाँ रेडियल क्वांटम संख्या है और कक्षीय कोणीय गति की क्वांटम संख्या। उपरोक्त समीकरण को , के लिए हल करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है