फ्लक्स

File:General flux diagram.svg

सदिश क्षेत्र की क्षेत्र रेखाएँ F इकाई वेक्टर सामान्य के साथ सतहों के माध्यम से n, से कोण n को F है θ. फ्लक्स इस बात का माप है कि किसी दिए गए सतह से कितना क्षेत्र गुजरता है। F लम्बवत (⊥) और समांतर घटकों में विघटित हो जाता है ( ‖ ) को n. केवल समानांतर घटक फ्लक्स में योगदान देता है क्योंकि यह एक बिंदु पर सतह से गुजरने वाले क्षेत्र की अधिकतम सीमा है, लंबवत घटक योगदान नहीं करता है।
शीर्ष: एक समतल सतह से होकर तीन क्षेत्र रेखाएँ, एक सतह से सामान्य, एक समानांतर, और एक मध्यवर्ती।
नीचे: एक घुमावदार सतह के माध्यम से फ़ील्ड लाइन, फ्लक्स की गणना करने के लिए इकाई सामान्य और सतह तत्व का सेटअप दिखाती है।

File:Surface integral - definition.svg

वेक्टर क्षेत्र के प्रवाह की गणना करने के लिए F (लाल तीर) एक सतह के माध्यम से S सतह को छोटे-छोटे टुकड़ों में बांटा गया है dS. प्रत्येक पैच के माध्यम से प्रवाह क्षेत्र के सामान्य (लंबवत) घटक के बराबर होता है, का डॉट उत्पाद F(x) इकाई सामान्य वेक्टर के साथ n(x) (नीला तीर) बिंदु पर x क्षेत्र से गुणा dS. कुल मिलाकर F • n, dS सतह पर प्रत्येक पैच के लिए सतह के माध्यम से प्रवाह है

फ्लक्स किसी भी प्रभाव का वर्णन करता है जो किसी सतह या पदार्थ के माध्यम से पारित होता है या संचारण करता है (चाहे वह वास्तव में चलता है या नहीं)। फ्लक्स अनुप्रयुक्त गणित और सदिश कलन की एक अवधारणा है जिसमें भौतिकी के अनेक अनुप्रयोग हैं। अभिगम परिघटना के लिए, फ्लक्स एक सदिश मात्रा है, जो किसी पदार्थ या गुण धर्म के प्रवाह की परिमाण और दिशा का वर्णन करता है। सदिश कलन में फ्लक्स एक अदिश (भौतिकी) राशि है, जिसे किसी सतह पर सदिश क्षेत्र के लम्बवत् घटक के पृष्ठीय समाकलन के रूप में परिभाषित किया जाता है।

शब्दावली

फ्लक्स शब्द लैटिन से आया है: फ्लक्सस का अर्थ प्रवाह है, और फ्लूरे "प्रवाहित होना" है। फ्लक्सियन की विधि के रूप में, इस शब्द को आइजैक न्यूटन द्वारा अवकलन गणित (डिफरेंशियल कैलकुलस) में प्रस्तुत किया गया था।

ऊष्मा अंतरण परिघटना के विश्लेषण में ऊष्मा फ्लक्स की अवधारणा जोसेफ फूरियर का एक महत्वपूर्ण योगदान था। उनका बीजभूत ग्रंथ द एनालिटिकल थ्योरी ऑफ़ हीट,फ्लक्सियन को एक केंद्रीय मात्रा के रूप में और एक स्लैब में तापमान के अंतर के संदर्भ में फ्लक्स के वर्तमान प्रसिद्ध भावों को प्राप्त करने के लिए आगे बढ़ता है, और सामान्यतः अन्य ज्यामितीयों में तापमान प्रवणता या तापमान के अंतर के संदर्भ में परिभाषित करता है। जेम्स क्लर्क मैक्सवेल के काम के आधार पर कोई तर्क दे सकता है,कि विद्युत् चुंबकत्व में प्रयुक्त परिवहन परिभाषा फ्लक्स की परिभाषा से पूर्व में है. मैक्सवेल का विशिष्ट उद्धृत है:

फ्लक्स के स्थिति में, हमें सतह के प्रत्येक तत्व के माध्यम से फ्लक्स की सतह पर, समाकल लेना होगा। इस परिचालन के परिणाम को फ्लक्स का पृष्ठ समाकल कहा जाता है। यह उस मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है जो सतह से पारित होती है।

— जेम्स क्लर्क मैक्सवेल

परिवहन परिभाषा के अनुसार, फ्लक्स एकल सदिश हो सकता है, या यह सदिश क्षेत्र / स्थिति का कार्य हो सकता है। तत्पश्चात फ्लक्स सरलता से एक सतह पर एकीकृत किया जा सकता है। इसके विपरीत, विद्युत चुंबकत्व की परिभाषा के अनुसार, फ्लक्स एक सतह पर समाकल हैं; द्वितीय परिभाषा फ्लक्स को एकीकृत करना निरर्थक है क्योंकि यह एक सतह पर दो बार एकीकृत होगा। इस प्रकार, मैक्सवेल का उद्धरण केवल तभी उचित होगा जब परिवहन परिभाषा के अनुसार "फ्लक्स" का उपयोग किया जा रहा हो (और इसके अलावा एकल सदिश के बजाय सदिश क्षेत्र है)। यह विडंबना है क्योंकि  इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म की परिभाषा के अनुसार जिसे हम अब "विद्युत् फ्लक्स" और "चुंबकीय फ्लक्स" कहते हैं, मैक्सवेल के प्रमुख विकासक में से एक थे। उद्धरण (और परिवहन परिभाषा) के अनुसार उनके नाम "विद्युत फ्लक्स की सतह समाकल" और "चुंबकीय फ्लक्स की सतह समाकल" होंगे, जिस स्थिति में "विद्युत फ्लक्स" को "विद्युत क्षेत्र" और "चुंबकीय फ्लक्स" को " चुंबकीय क्षेत्र " के रूप में परिभाषित किया जाएगा। इसका अर्थ यह है कि मैक्सवेल ने अनुमान लगाया कि ये क्षेत्र किसी प्रकार का प्रवाह/फ्लक्स हैं।

इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म परिभाषा के अनुसार फ्लक्स को देखते हुए, संबंधित फ्लक्स घनत्व, यदि उस शब्द का उपयोग किया जाता है, तो समाकलित सतह के साथ इसके व्युत्पन्न को संदर्भित करता है। कलन के मौलिक प्रमेय के अनुसार , संबंधित फ्लक्स घनत्व परिवहन परिभाषा के अनुसार एक फ्लक्स है। विद्युत प्रवाह जैसे विद्युत को देखते हुए - आवेश प्रति समय, विद्युत घनत्व भी परिवहन परिभाषा के अनुसार एक फ्लक्स होगा -आवेश प्रति समय प्रति क्षेत्र। फ्लक्स की परस्पर विरोधी परिभाषाओं और ,फ्लक्स, प्रवाह और विद्युत की विनिमेयता के कारण गैर-तकनीकी अंग्रेजी में, इस अनुच्छेद में प्रयुक्त सभी शब्द कभी-कभी परस्पर विनिमय और अस्पष्ट रूप से उपयोग किए जाते हैं। इस लेख के शेष अंशों में निश्चित फ्लक्स का उपयोग साहित्य में उनकी व्यापक स्वीकृति के अनुसार किया जाएगा, फ्लक्स की परिभाषा के उपेक्षा जिससे शब्द तदनुरूपी हो।

प्रति इकाई क्षेत्र प्रवाह दर के रूप में फ्लक्स

परिवहन घटना (गर्मी हस्तांतरण, द्रव्यमान हस्तांतरण और द्रव गतिशीलता) में, प्रवाह को प्रति इकाई क्षेत्र में एक संपत्ति के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसमें आयामी विश्लेषण [मात्रा]·[समय] होता है।⁻¹·[क्षेत्र]^-1. क्षेत्र उस सतह का है जिसके माध्यम से या उसके आर-पार संपत्ति प्रवाहित हो रही है। उदाहरण के लिए, पानी की वह मात्रा जो किसी नदी के एक खंड से होकर बहती है, प्रत्येक सेकंड को उस क्रॉस सेक्शन के क्षेत्र से विभाजित किया जाता है, या सूर्य के प्रकाश की ऊर्जा की वह मात्रा जो प्रत्येक सेकंड जमीन के एक टुकड़े पर आती है, जिसे पैच के क्षेत्र से विभाजित किया जाता है, प्रवाह के प्रकार हैं।

सामान्य गणितीय परिभाषा (परिवहन)

जटिलता के बढ़ते क्रम में यहां 3 परिभाषाएं दी गई हैं। प्रत्येक निम्नलिखित का एक विशेष मामला है। सभी मामलों में लगातार प्रतीक जे, (या जे) प्रवाह के लिए उपयोग किया जाता है, भौतिक मात्रा के लिए क्यू प्रवाहित होता है, समय के लिए टी, और क्षेत्र के लिए ए। ये पहचानकर्ता मोटे अक्षरों में तब और केवल तभी लिखे जाएंगे जब वे सदिश हों।

सबसे पहले, एक (एकल) स्केलर के रूप में फ्लक्स:

$$j={\frac {I}{A}},$$

कहाँ

$$I=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}.$$

इस मामले में जिस सतह पर फ्लक्स को मापा जा रहा है वह स्थिर है और उसका क्षेत्रफल A है। सतह को समतल माना जाता है, और प्रवाह को हर जगह स्थिति और सतह के लंबवत के संबंध में स्थिर माना जाता है।

दूसरा, एक सतह के साथ परिभाषित एक अदिश क्षेत्र के रूप में प्रवाह, यानी सतह पर बिंदुओं का एक कार्य:

$$j(\mathbf {p} )={\frac {\partial I}{\partial A}}(\mathbf {p} ),$$

$$I(A,\mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ).$$

पहले की तरह, सतह को समतल माना जाता है, और प्रवाह को हर जगह लंबवत माना जाता है। हालाँकि प्रवाह को स्थिर नहीं होना चाहिए। क्यू अब 'पी', सतह पर एक बिंदु, और ए, एक क्षेत्र का एक कार्य है। सतह के माध्यम से कुल प्रवाह को मापने के बजाय, क्यू सतह के साथ पी पर केंद्रित क्षेत्र ए के साथ डिस्क के माध्यम से प्रवाह को मापता है।

अंत में, वेक्टर क्षेत्र के रूप में प्रवाह:

$$\mathbf {j} (\mathbf {p} )={\frac {\partial \mathbf {I} }{\partial A}}(\mathbf {p} ),$$

$$\mathbf {I} (A,\mathbf {p} )={\underset {\mathbf {\hat {n}} }{\operatorname {arg\,max} }}\mathbf {\hat {n}} _{\mathbf {p} }{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ).$$

इस मामले में, कोई निश्चित सतह नहीं है जिसे हम माप रहे हैं। क्यू एक बिंदु, एक क्षेत्र और एक दिशा का एक कार्य है (एक इकाई वेक्टर द्वारा दिया गया $\mathbf {\hat {n}}$), और उस यूनिट वेक्टर के लंबवत क्षेत्र ए की डिस्क के माध्यम से प्रवाह को मापता है। I को यूनिट वेक्टर चुनने के लिए परिभाषित किया गया है जो बिंदु के चारों ओर प्रवाह को अधिकतम करता है, क्योंकि वास्तविक प्रवाह उस डिस्क पर अधिकतम होता है जो इसके लंबवत है। यूनिट वेक्टर इस प्रकार विशिष्ट रू