नवीन मूल

गणितीय तर्क में नवीन मूल सिद्धांत (एनएफ) एक एक्सिओम्स समुच्चय सिद्धांत के रूप में होता है, जिसकी कल्पना विलार्ड वैन ओरमन क्वीन ने प्रिंसिपिया मैथेमेटिका के प्रकार के सिद्धांत के सरलीकरण के रूप में की है। क्विन ने पहली बार अपने 1937 के लेख न्यू फाउंडेशन फॉर मैथमेटिकल लॉजिक के रूप में नाम में एनएफ प्रस्तावित किया। इस प्रविष्टि में से अधिकांश जेन्सन और होम्स (1998) द्वारा स्पष्ट किए जाने के कारण एनएफ के एक महत्वपूर्ण संस्करण यूरेलेमेंट्स एनएफयू के साथ एनएफ पर चर्चा करते हैं। 1940 में और 1951 में एक संशोधन में क्वीन ने एनएफ का एक विस्तार प्रस्तुत किया गया जिसे कभी-कभी गणितीय तर्क या एमएल कहा जाता है, जिसमें वर्ग समुच्चय सिद्धांत के साथ -साथ समुच्चय (गणित) भी सम्मलित होता है।

नवीन मूल सिद्धांत में एक सार्वभौमिक समुच्चय के रूप में होता है, इसलिए यह एक गैर-स्थापित समुच्चय सिद्धांत के रूप में है। कहने का तात्पर्य यह है कि, यह एक एक्सिओम्स समुच्चय सिद्धांत के रूप में होता है, जो सदस्यता की अनंत अवरोही श्रृंखलाओं जैसे x_n ∈ x_n-1 ∈ … ∈ x₂ ∈ x₁ की अनुमति देता है, यह केवल स्तरीकरण (गणित) की अनुमति देकर रसेल के विरोधाभास से बचता है। एक विशिष्ट समुच्चय सिद्धांत अच्छी तरह से गठित सूत्र को विनिर्देश के एक्सिओम्स स्कीमा का उपयोग करके परिभाषित किया जाना है। उदाहरण के लिए, x ∈ y एक स्तरीकृत सूत्र है, लेकिन x ∈ x नहीं है।

नवीन मूल सिद्धांत रसेलियन अनरेमिफाइड समुच्चय सिद्धांत (टीएसटी) से निकटता से संबंधित है, जो कि इस प्रकार के रैखिक पदानुक्रम के साथ प्रिंसिपिया मैथमेटिका के सिद्धांत का एक सुव्यवस्थित संस्करण के रूप में है।

टाइप सिद्धांत टीएसटी

रसेलियन अप्रकाशित टाइप किए गए समुच्चय सिद्धांत टीएसटी के प्राचीन विधेय समानता ($=$) और सदस्यता ($\in$) के रूप में होता है। टीएसटी में एक प्रकार का रेखीय पदानुक्रम होता है, जिसे टाइप 0 में वैयक्तिक का समावेश अनिर्धारित होता है प्रत्येक (मेटा-) प्राकृतिक संख्या के लिए n टाइप n+1 ऑब्जेक्ट्स टाइप n ऑब्जेक्ट्स के समुच्चय के रूप में होते हैं, टाइप n के समुच्चय में टाइप n-1 के सदस्य होते हैं। पहचान से जुड़ी वस्तुओं का प्रकार समान होना चाहिए।

टीएसटी जैसे बहु-वर्गीकृत सिद्धांत में सूत्र लिखते समय, कुछ टिप्पणी सामान्यता उनके प्रकारों को निरूपित करने के लिए चर में जोड़े जाते हैं। टीएसटी में टाइप इंडेक्स को सुपरस्क्रिप्ट के रूप में लिखने का चलन है क्योंकि सुपरस्क्रिप्ट $x^{n}$ टाइप n के एक चर को दर्शाता है। इस प्रकार निम्नलिखित दो परमाणु सूत्रों ने टाइपिंग नियम $x^{n}=y^{n}\!$ और $x^{n}\in y^{n+1}$का सफलतापूर्वक वर्णन करते हैं। क्विनियन समुच्चय सिद्धांत प्रकारों को निरूपित करने के लिए इस तरह के सुपरस्क्रिप्ट की आवश्यकता को समाप्त करना चाहता है।

टीएसटी के एक्सिओम्स हैं,

• विस्तार की स्वच्छता: एक ही सदस्यों के साथ समान सकारात्मक प्रकार के समुच्चय समान रूप में होते है,
• एक्सिओम्स स्कीमा व्यापकार्थ के रूप में होते है,

यदि $\phi (x^{n})$ एक सूत्र है, फिर समुच्चय $\{x^{n}\mid \phi (x^{n})\}^{n+1}\!$ के रूप में उपस्थित होते है।

दूसरे शब्दों में, किसी भी सूत्र को देखते हुए $\phi (x^{n})\!$, सूत्र $\exists A^{n+1}\forall x^{n}[x^{n}\in A^{n+1}\leftrightarrow \phi (x^{n})]$ एक एक्सिओम्स के रूप में उपस्थित होते है, जहां $A^{n+1}\!$ समुच्चय का प्रतिनिधित्व करता है $\{x^{n}\mid \phi (x^{n})\}^{n+1}\!$ और $\phi (x^{n})$ मुक्त चर और बाध्य चर के रूप में नहीं होते है।

इस प्रकार का सिद्धांत प्रिन्सिपिया मैथेमेटिका में पहले दिए गए सिद्धांत की तुलना में बहुत कम जटिल रूप में है, जिसमें उन संबंधों (गणित) के प्रकार के रूप में सम्मलित होते है, जिनके तर्क आवश्यक रूप में नहीं थे कि सभी एक ही प्रकार के हों। 1914 में, नॉर्बर्ट वीनर ने दिखाया कि समुच्चय के एक समुच्चय के रूप में क्रमबद्ध किए गए जोड़े को कैसे कोडित किया जाए, जिससे यहां वर्णित समुच्चयो के रैखिक पदानुक्रम के पक्ष में संबंध प्रकारों को समाप्त करना संभव हो सके।

क्विनियन समुच्चय सिद्धांत

एक्सिओम्स और स्तरीकरण

नवीन मूल सिद्धांत (एनएफ) के अच्छी तरह से बनाए गए सूत्र टीएसटी के अच्छी तरह से बनाए गए सूत्र के समान होते है, लेकिन टाइप एनोटेशन के साथ मिट जाते हैं। एनएफ के एक्सिओम्स के रूप में होते है।

• विस्तार: एक ही तत्वों के साथ दो ऑब्जेक्ट एक ही ऑब्जेक्ट के रूप में होते है।
• पृथक्करण: टीएसटी कॉम्प्रिहेंशन के सभी उदाहरण एक टाइप इंडेक्स के साथ सूचकांकों को गिरा दिया गया और चर के बीच नई पहचान प्रस्तुत किए बिना होती है।

कन्वेंशन द्वारा, एनएफ के पृथक्करण स्कीमा के एक्सिओम्स को स्तरीकृत सूत्र की अवधारणा का उपयोग करके बताया गया है और प्रकारों के लिए कोई सीधा संदर्भ नहीं होता है। एक सूत्र $\phi$ को स्तरीकृत कहा जाता है कि यदि $\phi$ सिंटैक्स के टुकड़ों से लेकर प्राकृतिक संख्याओं तक कोई फलन f रूप में उपस्थित होता है, जैसे कि किसी भी परमाणु सबफॉर्मुला के लिए $x\in y$ का $\phi$ हमारे पास f (y) = f (x) + 1 के रूप में है, जबकि किसी भी परमाणु सबफॉर्मुला के लिए $x=y$ का $\phi$, हमारे पास f (x) = f (y) के रूप में है। $\{x\mid \phi \}$ व्यापकार्थ के रूप में होता है प्रत्येक स्तरीकृत सूत्र के लिए $\phi$ उपस्थित होता है।

यहां तक कि स्तरीकरण (गणित) की धारणा में निहित प्रकारों के अप्रत्यक्ष संदर्भ को समाप्त किया जाता है। थियोडोर हेल्परिन ने 1944 में दिखाया कि कॉम्प्रिहेंशन इसके उदाहरणों के एक परिमित संयोजन के बराबर होता है, जिससे कि एनएफ को किसी भी प्रकार की धारणा के संदर्भ के बिना बारीक रूप से एक्सिओम्स किया जा सके।

नैवी समुच्चय सिद्धांत में उन लोगों के समान समस्याओं को समझना प्रतीत हो सकता है, लेकिन यह स्थिति नहीं है। उदाहरण के लिए असंभव रसेल के वर्ग का अस्तित्व $\{x\mid x\not \in x\}$ एनएफ का एक्सिओम्स नहीं है, क्योंकि $x\not \in x$ स्तरीकृत नहीं किया जा सकता है।

क्रमबद्ध जोड़े

संबंध (गणित) और फलन को सामान्य विधियो से क्रमबद्ध किए गए जोड़े के समुच्चय के रूप में टीएसटी और एनएफ और एनएफयू के रूप में परिभाषित किया गया है। क्रमबद्ध की गई जोड़ी की सामान्य परिभाषा पहली बार 1921 में कुराटोव्स्की संग्रहाध्यक्ष द्वारा प्रस्तावित की गयी अर्थात् $(a\quad b)k$ = $\{\{a\}\{a\quad b\}\}$, में एनएफ और संबंधित सिद्धांतों के लिए एक मह्त्वपूर्ण त्रुटि के रूप में है, परिणामस्वरूप क्रमबद्ध की गई जोड़ी $(a\quad b)$ में आवश्यक रूप से इसके तर्कों के प्रकार a और b की तुलना में एक प्रकार से दो अधिक है। इसलिए स्तरीकरण के निर्धारण के प्रयोजनों के लिए, एक कार्य अपने क्षेत्र के सदस्यों की तुलना में तीन प्रकार से अधिक है।

यदि किसी जोड़े को इस प्रकार परिभाषित किया जा सके कि इसका प्रकार उसके तर्कों के समान होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप उसके प्रकार के क्रम वाले जोड़े में एक-दूसरे से संबंध या क्रिया उसके क्षेत्र के सदस्यों की तुलना में एक प्रकार से अधिक होती है,.इसलिए एनएफ और संबद्ध सिद्धांतों में प्रायः विलार्ड वैन ओरमन क्वीन की समुच्चय की सैद्धांतिक परिभाषा दी गयी है। जिससे कि एक प्रकार का क्रमबद्ध युग्म उत्पन्न होता है। जो एक क्रमबद्ध की गई जोड़ी क्वीन-रॉसर परिभाषा को प्रमाणित करता है। टाइप-लेवल क्रमबद्ध की गई जोड़ी होम्स (1998) के क्रमबद्ध की गई जोड़ी और उसके बाएं और दाएं प्रक्षेपण (गणित) को प्राचीन के रूप में लाता है। चूंकि, क्विन की परिभाषा प्रत्येक तत्व A और B पर समुच्चय प्रचालन पर निर्भर करती है और इसलिए सीधे तौर पर एनएफयू में काम नहीं करती.है।

एक वैकल्पिक दृष्टिकोण के रूप में, होम्स क्रमित जोड़ी (a, b) को एक प्राचीन धारणा के साथ-साथ इसके बाएँ और दाएँ प्रक्षेपण $\pi 1\quad and\quad \pi 2$ के रूप में लेता है। जैसे ऐसे फलन करता है