कक्षा (गतिकी): Difference between revisions
From Vigyanwiki
(Created page with "{{no footnotes|date=February 2013}} गणित में, विशेष रूप से गतिशील प्रणालियों के अध्ययन मे...") |
No edit summary |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
{{no footnotes|date=February 2013}} | {{no footnotes|date=February 2013}} | ||
गणित में | गणित में विशेष रूप से गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में [[चरण स्थान ([[गतिशील प्रणाली]])]] के विकास कार्य से संबंधित बिंदुओं का एक संग्रह है। इसे प्रारंभिक स्थितियों के एक विशेष समुच्चय के अनुसार डायनेमिक प्रणाली के प्रक्षेप [[वक्र]] द्वारा कवर किए गए फेज स्पेस (डायनेमिक प्रणाली) के सबसेट के रूप में समझा जा सकता है। क्योंकि प्रणाली विकसित होता है। एक चरण अंतरिक्ष प्रक्षेप वक्र के रूप में चरण अंतरिक्ष निर्देशांक के किसी भी समुच्चय के लिए विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। विभिन्न कक्षाओं के लिए चरण अंतरिक्ष में अंतर करना संभव नहीं है। इसलिए एक गतिशील प्रणाली की सभी कक्षाओं का समुच्चय चरण का एक [[विभाजन (सेट सिद्धांत)|विभाजन (समुच्चय सिद्धांत)]] है। [[सामयिक गतिकी]] का उपयोग करके कक्षाओं के गुणों को समझना डायनेमिक प्रणाली के आधुनिक सिद्धांत के उद्देश्यों में से एक है। | ||
असतत-समय गतिशील प्रणालियों के लिए | असतत-समय गतिशील प्रणालियों के लिए कक्षाएँ [[अनुक्रम]] हैं। [[वास्तविक गतिशील प्रणाली]] के लिए कक्षाएँ वक्र हैं और [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] डायनेमिक प्रणालीके लिए कक्षाएँ [[रीमैन सतह]] हैं। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
[[File:Simple Harmonic Motion Orbit.gif|right|thumb|300px|सरल हार्मोनिक गति में द्रव्यमान-वसंत प्रणाली की आवधिक कक्षा को दर्शाने वाला आरेख। (यहाँ दो आरेखों को संरेखित करने के लिए वेग और स्थिति अक्षों को मानक सम्मेलन से उलट दिया गया है)]]टी [[समूह (गणित)]], एम [[सेट (गणित)]] और Φ विकास समारोह के साथ एक गतिशील प्रणाली (टी, एम, Φ) को देखते हुए | [[File:Simple Harmonic Motion Orbit.gif|right|thumb|300px|सरल हार्मोनिक गति में द्रव्यमान-वसंत प्रणाली की आवधिक कक्षा को दर्शाने वाला आरेख। (यहाँ दो आरेखों को संरेखित करने के लिए वेग और स्थिति अक्षों को मानक सम्मेलन से उलट दिया गया है)]]टी [[समूह (गणित)]], एम [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] और Φ विकास समारोह के साथ एक गतिशील प्रणाली (टी, एम, Φ) को देखते हुए | ||
:<math>\Phi: U \to M</math> कहाँ <math>U \subset T \times M</math> साथ <math>\Phi(0,x)=x</math> | :<math>\Phi: U \to M</math> कहाँ <math>U \subset T \times M</math> साथ <math>\Phi(0,x)=x</math> | ||
| Line 11: | Line 11: | ||
:<math>I(x):=\{t \in T : (t,x) \in U \},</math> | :<math>I(x):=\{t \in T : (t,x) \in U \},</math> | ||
फिर | फिर समुच्चय | ||
:<math>\gamma_x:=\{\Phi(t,x) : t \in I(x)\} \subset M</math> | :<math>\gamma_x:=\{\Phi(t,x) : t \in I(x)\} \subset M</math> | ||
| Line 28: | Line 28: | ||
असतत समय गतिशील प्रणाली के लिए: | असतत समय गतिशील प्रणाली के लिए: | ||
एक्स की आगे की कक्षा एक | एक्स की आगे की कक्षा एक समुच्चय है: | ||
:<math> \gamma_{x}^{+} \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \{ \Phi(t,x) : t \ge 0 \} </math> | :<math> \gamma_{x}^{+} \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \{ \Phi(t,x) : t \ge 0 \} </math> | ||
x की पश्च कक्षा एक समुच्चय है : | x की पश्च कक्षा एक समुच्चय है : | ||
:<math>\gamma_{x}^{-} \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \{\Phi(-t,x) : t \ge 0 \} </math> | :<math>\gamma_{x}^{-} \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \{\Phi(-t,x) : t \ge 0 \} </math> | ||
और एक्स की कक्षा एक | और एक्स की कक्षा एक समुच्चय है: | ||
:<math>\gamma_{x} \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \gamma_{x}^{-} \cup \gamma_{x}^{+} </math> | :<math>\gamma_{x} \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \gamma_{x}^{-} \cup \gamma_{x}^{+} </math> | ||
| Line 49: | Line 49: | ||
एक सामान्य गतिशील प्रणाली के लिए, विशेष रूप से सजातीय गतिशीलता में, जब किसी के पास एक अच्छा समूह होता है <math>G</math> संभाव्यता स्थान पर कार्य करना <math>X</math> एक माप-संरक्षण तरीके से, एक कक्षा <math>G.x \subset X</math> स्टेबलाइजर होने पर आवधिक (या समकक्ष, बंद) कहा जाएगा <math>Stab_{G}(x)</math> अंदर एक जाली है <math>G</math>. | एक सामान्य गतिशील प्रणाली के लिए, विशेष रूप से सजातीय गतिशीलता में, जब किसी के पास एक अच्छा समूह होता है <math>G</math> संभाव्यता स्थान पर कार्य करना <math>X</math> एक माप-संरक्षण तरीके से, एक कक्षा <math>G.x \subset X</math> स्टेबलाइजर होने पर आवधिक (या समकक्ष, बंद) कहा जाएगा <math>Stab_{G}(x)</math> अंदर एक जाली है <math>G</math>. | ||
इसके अलावा, एक संबंधित शब्द एक बंधी हुई कक्षा है, जब | इसके अलावा, एक संबंधित शब्द एक बंधी हुई कक्षा है, जब समुच्चय <math>G.x</math> अंदर प्री-कॉम्पैक्ट है <math>X</math>. | ||
कक्षाओं के वर्गीकरण से अन्य गणितीय क्षेत्रों के संबंध में दिलचस्प प्रश्न हो सकते हैं, उदाहरण के लिए ओपेनहाइम अनुमान (मार्गुलिस द्वारा सिद्ध) और लिटिलवुड अनुमान (आंशिक रूप से लिंडेनस्ट्रॉस द्वारा सिद्ध) इस सवाल से निपट रहे हैं कि क्या किसी प्राकृतिक क्रिया की प्रत्येक परिबद्ध कक्षा पर सजातीय स्थान <math>SL_{3}(\mathbb{R})\backslash SL_{3}(\mathbb{Z})</math> वास्तव में आवधिक एक है, यह अवलोकन रघुनाथन के कारण है और दूसरी भाषा में कैसल्स और स्विनर्टन-डायर के कारण है। इस तरह के प्रश्न गहरे माप-वर्गीकरण प्रमेयों से घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं। | कक्षाओं के वर्गीकरण से अन्य गणितीय क्षेत्रों के संबंध में दिलचस्प प्रश्न हो सकते हैं, उदाहरण के लिए ओपेनहाइम अनुमान (मार्गुलिस द्वारा सिद्ध) और लिटिलवुड अनुमान (आंशिक रूप से लिंडेनस्ट्रॉस द्वारा सिद्ध) इस सवाल से निपट रहे हैं कि क्या किसी प्राकृतिक क्रिया की प्रत्येक परिबद्ध कक्षा पर सजातीय स्थान <math>SL_{3}(\mathbb{R})\backslash SL_{3}(\mathbb{Z})</math> वास्तव में आवधिक एक है, यह अवलोकन रघुनाथन के कारण है और दूसरी भाषा में कैसल्स और स्विनर्टन-डायर के कारण है। इस तरह के प्रश्न गहरे माप-वर्गीकरण प्रमेयों से घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं। | ||
| Line 80: | Line 80: | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
* [[घूमने वाला सेट]] | * [[घूमने वाला सेट|घूमने वाला समुच्चय]] | ||
* [[चरण अंतरिक्ष विधि]] | * [[चरण अंतरिक्ष विधि]] | ||
* [[मकड़ी का जाला]] या वर्हुलस्ट आरेख | * [[मकड़ी का जाला]] या वर्हुलस्ट आरेख | ||
Revision as of 22:29, 31 March 2023
 | This article includes a list of references, related reading or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. (February 2013) (Learn how and when to remove this template message) |
गणित में विशेष रूप से गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में [[चरण स्थान (गतिशील प्रणाली)]] के विकास कार्य से संबंधित बिंदुओं का एक संग्रह है। इसे प्रारंभिक स्थितियों के एक विशेष समुच्चय के अनुसार डायनेमिक प्रणाली के प्रक्षेप वक्र द्वारा कवर किए गए फेज स्पेस (डायनेमिक प्रणाली) के सबसेट के रूप में समझा जा सकता है। क्योंकि प्रणाली विकसित होता है। एक चरण अंतरिक्ष प्रक्षेप वक्र के रूप में चरण अंतरिक्ष निर्देशांक के किसी भी समुच्चय के लिए विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। विभिन्न कक्षाओं के लिए चरण अंतरिक्ष में अंतर करना संभव नहीं है। इसलिए एक गतिशील प्रणाली की सभी कक्षाओं का समुच्चय चरण का एक विभाजन (समुच्चय सिद्धांत) है। सामयिक गतिकी का उपयोग करके कक्षाओं के गुणों को समझना डायनेमिक प्रणाली के आधुनिक सिद्धांत के उद्देश्यों में से एक है।
असतत-समय गतिशील प्रणालियों के लिए कक्षाएँ अनुक्रम हैं। वास्तविक गतिशील प्रणाली के लिए कक्षाएँ वक्र हैं और होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन डायनेमिक प्रणालीके लिए कक्षाएँ रीमैन सतह हैं।
परिभाषा
टी समूह (गणित), एम समुच्चय (गणित) और Φ विकास समारोह के साथ एक गतिशील प्रणाली (टी, एम, Φ) को देखते हुए
- कहाँ साथ
हम परिभाषित करते हैं
फिर समुच्चय
x के माध्यम से कक्षा कहा जाता है। एक कक्षा जिसमें एक बिंदु होता है, स्थिर कक्षा कहलाती है। एक गैर-निरंतर कक्षा को बंद या आवधिक कहा जाता है यदि मौजूद हो में ऐसा है कि
- .
वास्तविक गतिशील प्रणाली
एक वास्तविक गतिशील प्रणाली (आर, एम, Φ) को देखते हुए, I(x) वास्तविक संख्या में एक खुला अंतराल है, जो है . एम में किसी भी एक्स के लिए
'x' और के माध्यम से सकारात्मक अर्ध-कक्षा कहा जाता है
x से होकर ऋणात्मक अर्ध-कक्षा कहलाती है।
असतत समय गतिशील प्रणाली
असतत समय गतिशील प्रणाली के लिए:
एक्स की आगे की कक्षा एक समुच्चय है:
x की पश्च कक्षा एक समुच्चय है :