ब्लॉक डिजाइन: Difference between revisions
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सबसे सरल प्रकार की संतुलित संरचना (t = 1) को 'सामरिक विन्यास' या '1-संरचना' के रूप में जाना जाता है। [[ज्यामिति]] में संबंधित घटना संरचना को 'विन्यास' के रूप में जाना जाता है, [[विन्यास (ज्यामिति)]] देखें। ऐसा संरचना एक समान और नियमित है: प्रत्येक ब्लॉक में k तत्व होते हैं और प्रत्येक तत्व r ब्लॉक में समाहित होता है। समुच्चय तत्वों की संख्या v और ब्लॉकों की संख्या b से संबंधित हैं <math> bk = vr </math>, जो तत्वों की घटनाओं की कुल संख्या है। | सबसे सरल प्रकार की संतुलित संरचना (t = 1) को 'सामरिक विन्यास' या '1-संरचना' के रूप में जाना जाता है। [[ज्यामिति]] में संबंधित घटना संरचना को 'विन्यास' के रूप में जाना जाता है, [[विन्यास (ज्यामिति)]] देखें। ऐसा संरचना एक समान और नियमित है: प्रत्येक ब्लॉक में k तत्व होते हैं और प्रत्येक तत्व r ब्लॉक में समाहित होता है। समुच्चय तत्वों की संख्या v और ब्लॉकों की संख्या b से संबंधित हैं <math> bk = vr </math>, जो तत्वों की घटनाओं की कुल संख्या है। | ||
निरंतर पंक्ति और स्तंभ योगों वाला प्रत्येक [[बाइनरी मैट्रिक्स]] एक नियमित वर्दी ब्लॉक संरचना का [[घटना मैट्रिक्स]] है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक विन्यास में एक संबंधित [[बिरेगुलर ग्राफ]] [[द्विपक्षीय ग्राफ]] [[ग्राफ (असतत गणित)]] होता है जिसे इसकी घटना या [[लेवी ग्राफ]] के रूप में जाना जाता है। | निरंतर पंक्ति और स्तंभ योगों वाला प्रत्येक [[बाइनरी मैट्रिक्स]] एक नियमित वर्दी ब्लॉक संरचना का [[घटना मैट्रिक्स]] है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक विन्यास में एक संबंधित [[बिरेगुलर ग्राफ]] [[द्विपक्षीय ग्राफ]] [[ग्राफ (असतत गणित)]] होता है जिसे इसकी घटना या [[लेवी ग्राफ|लेv ग्राफ]] के रूप में जाना जाता है। | ||
== जोड़ीदार संतुलित वर्दी संरचना (2-संरचना या बीआईबीडी) == | == जोड़ीदार संतुलित वर्दी संरचना (2-संरचना या बीआईबीडी) == | ||
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यहाँ v (X के तत्वों की संख्या, जिसे बिंदु कहा जाता है), b (ब्लॉक की संख्या), k, r, और λ संरचना के पैरामीटर हैं। (पतित उदाहरणों से बचने के लिए, यह भी माना जाता है कि v > k, ताकि किसी भी ब्लॉक में समुच्चय के सभी तत्व सम्मिलित न हों। इन संरचनाों के नाम में अपूर्णता का यही अर्थ है।) एक तालिका में: | यहाँ v (X के तत्वों की संख्या, जिसे बिंदु कहा जाता है), b (ब्लॉक की संख्या), k, r, और λ संरचना के पैरामीटर हैं। (पतित उदाहरणों से बचने के लिए, यह भी माना जाता है कि v > k, ताकि किसी भी ब्लॉक में समुच्चय के सभी तत्व सम्मिलित न हों। इन संरचनाों के नाम में अपूर्णता का यही अर्थ है।) एक तालिका में: | ||
:{| class="wikitable" | :{| class="wikitable" | ||
| ''v'' || | | ''v'' || अंक, x के तत्वों की संख्या | ||
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| ''b'' || | | ''b'' || ब्लॉक की संख्या | ||
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| ''r'' || | | ''r'' || दिए गए बिंदु वाले ब्लॉकों की संख्या | ||
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| ''k'' || | | ''k'' || एक ब्लॉक में अंकों की संख्या | ||
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| ''λ'' || | | ''λ'' || किसी भी 2 (या अधिक सामान्यतः t) अलग-अलग बिंदुओं वाले ब्लॉक की संख्या | ||
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संरचना को a (v, k, λ)-संरचना या a (v, b, r, k, λ)-संरचना कहा जाता है। पैरामीटर सभी स्वतंत्र नहीं हैं; v, k, और λ b और r निर्धारित करते हैं, और v, k, और λ के सभी संयोजन संभव नहीं हैं। इन मापदंडों को जोड़ने वाले दो | संरचना को a (v, k, λ)-संरचना या a (v, b, r, k, λ)-संरचना कहा जाता है। पैरामीटर सभी स्वतंत्र नहीं हैं; v, k, और λ b और r निर्धारित करते हैं, और v, k, और λ के सभी संयोजन संभव नहीं हैं। इन मापदंडों को जोड़ने वाले दो मूलभूत समीकरण हैं | ||
:<math> bk = vr, </math> जोड़े ( | :<math> bk = vr, </math> | ||
:जोड़े (B, p) की संख्या की गणना करके प्राप्त किया गया जहां बी एक ब्लॉक है और पी उस ब्लॉक में एक बिंदु है, और | |||
:<math> \lambda(v-1) = r(k-1), </math> | :<math> \lambda(v-1) = r(k-1), </math> | ||
एक निश्चित x के लिए गिनने से प्राप्त ट्रिपल (x, y, B) जहां x और y अलग-अलग बिंदु हैं और B एक ऐसा ब्लॉक है जिसमें ये दोनों सम्मिलित हैं। प्रत्येक x के लिए यह समीकरण यह भी | एक निश्चित x के लिए गिनने से प्राप्त ट्रिपल (x, y, B) जहां x और y अलग-अलग बिंदु हैं और B एक ऐसा ब्लॉक है जिसमें ये दोनों सम्मिलित हैं। प्रत्येक x के लिए यह समीकरण यह भी सिद्ध करता है कि r स्थिर है (x से स्वतंत्र) भले ही इसे स्पष्ट रूप से ग्रहण न किया गया हो, इस प्रकार यह सिद्ध होता है कि x में कोई भी x r ब्लॉक में समाहित है, यह निरर्थक है और r की गणना अन्य मापदंडों से की जा सकती है। | ||
ये शर्तें पर्याप्त नहीं हैं, उदाहरण के लिए, (43,7,1)-संरचना उपस्थित नहीं है।<ref>Proved by Tarry in 1900 who showed that there was no pair of orthogonal [[Latin square]]s of order six. The 2-design with the indicated parameters is equivalent to the existence of five mutually orthogonal Latin squares of order six.</ref> | |||
2-संरचना का क्रम n = r − λ के रूप में परिभाषित किया गया है। 2-संरचना का 'पूरक' बिंदु समुच्चय X में प्रत्येक ब्लॉक को इसके पूरक के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है। यह 2-संरचना भी है और इसके पैरामीटर v′ = v, b′ = b, r′ = b − r हैं , k′ = v − k, λ′ = λ + b − 2r। एक 2-संरचना और उसके पूरक का एक ही क्रम है। | 2-संरचना का क्रम n = r − λ के रूप में परिभाषित किया गया है। 2-संरचना का 'पूरक' बिंदु समुच्चय X में प्रत्येक ब्लॉक को इसके पूरक के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है। यह 2-संरचना भी है और इसके पैरामीटर v′ = v, b′ = b, r′ = b − r हैं , k′ = v − k, λ′ = λ + b − 2r। एक 2-संरचना और उसके पूरक का एक ही क्रम है। | ||
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0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ | 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ | ||
\end{pmatrix}</math> | \end{pmatrix}</math> | ||
चार गैर-समरूपी (8,4,3)-संरचनाों में से एक में 14 ब्लॉक हैं जिनमें प्रत्येक तत्व को 7 बार दोहराया गया है। प्रतीकों 0 − 7 का उपयोग करते हुए ब्लॉक निम्नलिखित 4-ट्यूपल हैं:<ref name="ex" />: | चार गैर-समरूपी (8,4,3)-संरचनाों में से एक में 14 ब्लॉक हैं जिनमें प्रत्येक तत्व को 7 बार दोहराया गया है। प्रतीकों 0 − 7 का उपयोग करते हुए ब्लॉक निम्नलिखित 4-ट्यूपल हैं:<ref name="ex" />: | ||
0123 0124 0156 0257 0345 0367 0467 1267 1346 1357 1457 2347 2356 2456। | |||
यह संरचना [[फानो विमान]] के साथ जुड़ा हुआ है, संरचना फ़ानो प्लेन के तत्वों और ब्लॉकों के साथ # प्लेन के पॉइंट्स और लाइन्स के लिए ब्लॉक संरचना | अद्वितीय (7,3,1)-संरचना सममित है और इसमें 7 ब्लॉक हैं जिनमें प्रत्येक तत्व को 3 बार दोहराया गया है। प्रतीकों 0 − 6 का उपयोग करते हुए, ब्लॉक निम्नलिखित त्रिक हैं:<ref name="ex" />: | ||
013 026 045 124 156 235 346। | |||
यह संरचना [[फानो विमान]] के साथ जुड़ा हुआ है, संरचना फ़ानो प्लेन के तत्वों और ब्लॉकों के साथ # प्लेन के पॉइंट्स और लाइन्स के लिए ब्लॉक संरचना सिद्धांत है। इसके संबंधित घटना मैट्रिक्स भी सममित हो सकते हैं, यदि लेबल या ब्लॉक को सही तरीके से क्रमबद्ध किया गया हो: | |||
: <math>\left ( \begin{matrix} | : <math>\left ( \begin{matrix} | ||
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== सममित 2-संरचना (बाइंड) == | == सममित 2-संरचना (बाइंड) == | ||
फिशर की असमानता में समानता का | फिशर की असमानता में समानता का स्थितियों, अर्थात, समान संख्या में बिंदुओं और ब्लॉकों के साथ एक 2-संरचना को सममित संरचना कहा जाता है।<ref>They have also been referred to as ''projective designs'' or ''square designs''. These alternatives have been used in an attempt to replace the term "symmetric", since there is nothing symmetric (in the usual meaning of the term) about these designs. The use of ''projective'' is due to P.Dembowski (''Finite Geometries'', Springer, 1968), in analogy with the most common example, projective planes, while ''square'' is due to P. Cameron (''Designs, Graphs, Codes and their Links'', Cambridge, 1991) and captures the implication of v = b on the incidence matrix. Neither term has caught on as a replacement and these designs are still universally referred to as ''symmetric''.</ref> समान अंक वाले सभी 2-संरचनाों में सममित संरचनाों में सबसे कम संख्या में ब्लॉक होते हैं। | ||
एक सममित संरचना में r = k साथ ही साथ b = v, और, जबकि यह सामान्यतः मनमाना 2-संरचनाों में सच नहीं है, एक सममित संरचना में प्रत्येक दो अलग-अलग ब्लॉक λ बिंदुओं में मिलते हैं।<ref>{{harvnb|Stinson|2003|loc=pg.23, Theorem 2.2}}</ref> एच जे रायसर का एक प्रमेय इसका विलोम प्रदान करता है। यदि x एक v-तत्व समुच्चय है, और b के-तत्व उपसमुच्चय (ब्लॉक) का एक v-तत्व समुच्चय है, जैसे कि किसी भी दो अलग-अलग ब्लॉकों में बिल्कुल λ अंक सामान्य हैं, तो (x, B) एक सममित ब्लॉक है संरचना।<ref>{{harvnb|Ryser|1963|loc = pp. 102–104}}</ref> | |||
एक सममित संरचना के पैरामीटर संतुष्ट करते हैं | एक सममित संरचना के पैरामीटर संतुष्ट करते हैं | ||
::<math> \lambda (v-1) = k(k-1). </math> | ::<math> \lambda (v-1) = k(k-1). </math> | ||
यह | यह v पर मजबूत प्रतिबंध लगाता है, इसलिए अंकों की संख्या मनमानी से दूर है। ब्रुक-रेज़र-चावला प्रमेय इन मापदंडों के संदर्भ में एक सममित संरचना के अस्तित्व के लिए आवश्यक, लेकिन पर्याप्त नहीं, शर्तें देता है। | ||
निम्नलिखित सममित 2-संरचनाों के महत्वपूर्ण उदाहरण हैं: | निम्नलिखित सममित 2-संरचनाों के महत्वपूर्ण उदाहरण हैं: | ||
=== प्रक्षेपी | === प्रक्षेपी सतह === | ||
{{main| | {{main|प्रक्षेपी सतह}} | ||
प्रक्षेपी प्लेन # परिमित प्रक्षेपी प्लेन λ = 1 और ऑर्डर n> 1 के साथ सममित 2-संरचना हैं। इन संरचनाों के लिए सममित संरचना समीकरण बन जाता है: | |||
::<math>v-1 = k(k-1).</math> | ::<math>v-1 = k(k-1).</math> | ||
चूँकि k = r हम | चूँकि k = r हम प्रक्षेपी प्लेन के क्रम को n = k − 1 के रूप में लिख सकते हैं और, ऊपर प्रदर्शित समीकरण से, हम v = (n + 1)n + 1 = n प्राप्त करते हैं n<sup>2</sup> + n + 1 बिंदु क्रम n के प्रक्षेपी तल में। | ||
प्रक्षेपी तल के रूप में एक सममित संरचना है, हमारे पास b = v है, जिसका अर्थ है कि b = n<sup>2</sup> + n + 1 भी। संख्या b प्रक्षेपी तल की रेखाओं की संख्या है। λ = 1 के बाद से कोई भी रेखाएँ दोहराई नहीं जा सकती हैं, इसलिए एक प्रक्षेपी तल एक सरल 2-संरचना है जिसमें रेखाओं की संख्या और बिंदुओं की संख्या हमेशा समान होती है। प्रक्षेपी तल के लिए, k प्रत्येक रेखा पर बिंदुओं की संख्या है और यह n + 1 के बराबर है। इसी प्रकार, r = n + 1 उन रेखाओं की संख्या है जिनके साथ एक दिया गया बिंदु घटना है। | प्रक्षेपी तल के रूप में एक सममित संरचना है, हमारे पास b = v है, जिसका अर्थ है कि b = n<sup>2</sup> + n + 1 भी। संख्या b प्रक्षेपी तल की रेखाओं की संख्या है। λ = 1 के बाद से कोई भी रेखाएँ दोहराई नहीं जा सकती हैं, इसलिए एक प्रक्षेपी तल एक सरल 2-संरचना है जिसमें रेखाओं की संख्या और बिंदुओं की संख्या हमेशा समान होती है। प्रक्षेपी तल के लिए, k प्रत्येक रेखा पर बिंदुओं की संख्या है और यह n + 1 के बराबर है। इसी प्रकार, r = n + 1 उन रेखाओं की संख्या है जिनके साथ एक दिया गया बिंदु घटना है। | ||
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=== बाइप्लेन === | === बाइप्लेन === | ||
एक बाइप्लेन या बाइप्लेन ज्योमेट्री ''λ'' = 2 के साथ एक सममित 2-संरचना है; अर्थात्, दो बिंदुओं का प्रत्येक समुच्चय दो ब्लॉकों (रेखाओं) में समाहित होता है, जबकि कोई भी दो रेखाएँ दो बिंदुओं में प्रतिच्छेद करती हैं।<ref name="Hughes 1985 loc=pg.109">{{harvnb|Hughes|Piper|1985|loc=pg.109}}</ref> वे परिमित | एक बाइप्लेन या बाइप्लेन ज्योमेट्री ''λ'' = 2 के साथ एक सममित 2-संरचना है; अर्थात्, दो बिंदुओं का प्रत्येक समुच्चय दो ब्लॉकों (रेखाओं) में समाहित होता है, जबकि कोई भी दो रेखाएँ दो बिंदुओं में प्रतिच्छेद करती हैं।<ref name="Hughes 1985 loc=pg.109">{{harvnb|Hughes|Piper|1985|loc=pg.109}}</ref> वे परिमित प्रक्षेपी विमानों के समान हैं, सिवाय इसके कि एक रेखा (और एक बिंदु को निर्धारित करने वाली दो रेखाएं) निर्धारित करने वाले दो बिंदुओं के बजाय, दो बिंदु दो रेखाओं (क्रमशः, अंक) का निर्धारण करते हैं। क्रम n का एक बाइप्लेन वह है जिसके ब्लॉक में k = n + 2 बिंदु होते हैं; इसमें v = 1 + (n + 2)(n + 1)/2 अंक हैं (r = k के बाद से)। | ||
18 ज्ञात उदाहरण<ref>{{harvnb|Hall|1986|loc=pp.320-335}}</ref> नीचे सूचीबद्ध हैं। | 18 ज्ञात उदाहरण<ref>{{harvnb|Hall|1986|loc=pp.320-335}}</ref> नीचे सूचीबद्ध हैं। | ||
* (तुच्छ) ऑर्डर 0 बाइप्लेन में 2 बिंदु हैं (और आकार 2 की रेखाएँ; 2- (2,2,2) संरचना); यह दो बिंदु हैं, दो ब्लॉक के साथ, प्रत्येक में दोनों बिंदु होते हैं। ज्यामितीय रूप से, यह डिगॉन है। | * (तुच्छ) ऑर्डर 0 बाइप्लेन में 2 बिंदु हैं (और आकार 2 की रेखाएँ; 2- (2,2,2) संरचना); यह दो बिंदु हैं, दो ब्लॉक के साथ, प्रत्येक में दोनों बिंदु होते हैं। ज्यामितीय रूप से, यह डिगॉन है। | ||
* ऑर्डर 1 बाइप्लेन में 4 बिंदु होते हैं (और आकार 3 की रेखाएँ; एक 2- (4,3,2) संरचना); यह v = 4 और k = 3 के साथ पूर्ण संरचना है। ज्यामितीय रूप से, बिंदु चतुष्फलक के शीर्ष हैं और ब्लॉक इसके फलक हैं। | * ऑर्डर 1 बाइप्लेन में 4 बिंदु होते हैं (और आकार 3 की रेखाएँ; एक 2- (4,3,2) संरचना); यह v = 4 और k = 3 के साथ पूर्ण संरचना है। ज्यामितीय रूप से, बिंदु चतुष्फलक के शीर्ष हैं और ब्लॉक इसके फलक हैं। | ||
* ऑर्डर 2 बाइप्लेन फ़ानो प्लेन का पूरक है: इसके 7 बिंदु हैं (और आकार 4 की रेखाएँ; एक 2-(7,4,2)), जहाँ रेखाएँ (3-बिंदु) के पूरक के रूप में दी गई हैं ) फ़ानो विमान में | * ऑर्डर 2 बाइप्लेन फ़ानो प्लेन का पूरक है: इसके 7 बिंदु हैं (और आकार 4 की रेखाएँ; एक 2-(7,4,2)), जहाँ रेखाएँ (3-बिंदु) के पूरक के रूप में दी गई हैं ) फ़ानो विमान में लाइनें है।<ref>{{harvnb|Assmus|Key|1992|loc=pg.55}}</ref> | ||
* ऑर्डर 3 बाइप्लेन में 11 बिंदु हैं (और आकार 5 की रेखाएं; एक 2-(11,5,2)), और इसे के रूप में भी जाना जाता है{{visible anchor| | * ऑर्डर 3 बाइप्लेन में 11 बिंदु हैं (और आकार 5 की रेखाएं; एक 2-(11,5,2)), और इसे के रूप में भी जाना जाता है {{visible anchor|पाले बाइप्लेन}} [[रेमंड पाले]] के बाद; यह ऑर्डर 11 के [[पाले डिग्राफ]] से जुड़ा है, जो 11 तत्वों के साथ क्षेत्र का उपयोग करके बनाया गया है, और हैडमार्ड 2-संरचना'''। हैडमार्ड 2-संरचना आकार''' 12 हैडमार्ड मैट्रिक्स से जुड़ा है; पाले निर्माण देखें '''# पाले निर्माण I.''' | ||
: बीजगणितीय रूप से यह 'पीएसएल' (2,11) में [[ प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह ]] | : बीजगणितीय रूप से यह 'पीएसएल' (2,11) में [[ प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह ]] पीएसएल (2,5) के असाधारण एम्बेडिंग से मेल खाता है - '''देखें प्रक्षेपी लीनियर ग्रुप#एक्शन ऑन पी पॉइंट्स|'''प्रक्षेपी लीनियर ग्रुप: विवरण के लिए p बिंदुओं पर कार्रवाई है।<ref name="martinsingerman">{{citation | title = From Biplanes to the Klein quartic and the Buckyball | first1 = Pablo | last1 = Martin | first2 = David | last2 = Singerman | date = April 17, 2008 | url = http://www.neverendingbooks.org/DATA/biplanesingerman.pdf | page = 4}}</ref> | ||
* ऑर्डर 4 (और 16 अंक, आकार 6 की रेखाएं; एक 2- (16,6,2)) के तीन बाइप्लेन हैं। एक कुमेर विन्यास है। ये तीन संरचना [[नियमित हैडमार्ड मैट्रिक्स]] भी हैं। | * ऑर्डर 4 (और 16 अंक, आकार 6 की रेखाएं; एक 2- (16,6,2)) के तीन बाइप्लेन हैं। एक कुमेर विन्यास है। ये तीन संरचना [[नियमित हैडमार्ड मैट्रिक्स]] भी हैं। | ||
* ऑर्डर 7 (और 37 अंक, आकार 9 की रेखाएं; एक 2-(37,9,2)) के चार बाइप्लेन हैं।<ref>{{harvnb|Salwach|Mezzaroba|1978}}</ref> | * ऑर्डर 7 (और 37 अंक, आकार 9 की रेखाएं; एक 2-(37,9,2)) के चार बाइप्लेन हैं।<ref>{{harvnb|Salwach|Mezzaroba|1978}}</ref> | ||
* ऑर्डर 9 के पांच बाइप्लेन हैं (और 56 अंक, आकार 11 की रेखाएं; एक 2- (56,11,2))।<ref>{{harvnb|Kaski|Östergård|2008}}</ref> | * ऑर्डर 9 के पांच बाइप्लेन हैं (और 56 अंक, आकार 11 की रेखाएं; एक 2- (56,11,2))।<ref>{{harvnb|Kaski|Östergård|2008}}</ref> | ||
* दो बाइप्लेन ऑर्डर 11 (और 79 अंक, आकार 13 की रेखाएं; एक 2- (79,13,2)) के लिए जाने जाते हैं।<ref>{{harvnb|Aschbacher|1971|loc=pp. 279–281}}</ref> | * दो बाइप्लेन ऑर्डर 11 (और 79 अंक, आकार 13 की रेखाएं; एक 2- (79,13,2)) के लिए जाने जाते हैं।<ref>{{harvnb|Aschbacher|1971|loc=pp. 279–281}}</ref> | ||
ऑर्डर 5, 6, 8 और 10 के बाइप्लेन | ऑर्डर 5, 6, 8 और 10 के बाइप्लेन उपस्थित नहीं हैं, जैसा कि [[ब्रुक-रायसर-चावला प्रमेय]] द्वारा दिखाया गया है। | ||
===हैडमार्ड 2-संरचना === | ===हैडमार्ड 2-संरचना === | ||
m आकार का एक [[हैडमार्ड मैट्रिक्स]] एक m × m मैट्रिक्स 'H' है जिसकी प्रविष्टियाँ ±1 ऐसी हैं कि 'HH'<sup>⊤</sup> = | m आकार का एक [[हैडमार्ड मैट्रिक्स]] एक m × m मैट्रिक्स 'H' है जिसकी प्रविष्टियाँ ±1 ऐसी हैं कि 'HH'<sup>⊤</sup> = mi<sub>m</sub>, जहां H<sup>⊤</sup> H और I<sub>''m''</sub> का स्थानान्तरण है<sub>''m''</sub> m × m पहचान मैट्रिक्स है। एक हैडमार्ड मैट्रिक्स को मानकीकृत रूप में रखा जा सकता है (अर्थात, समकक्ष हैडमार्ड मैट्रिक्स में परिवर्तित) जहां पहली पंक्ति और पहली कॉलम प्रविष्टियां सभी +1 हैं। यदि आकार m > 2 है तो m 4 का गुणक होना चाहिए। | ||
मानकीकृत रूप में आकार 4a के एक हैडमार्ड मैट्रिक्स को देखते हुए, पहली पंक्ति और पहले कॉलम को हटा दें और प्रत्येक −1 को 0 में बदलें। परिणामी 0–1 मैट्रिक्स 'M' एक सममित 2-(4a − 1, का आपतन मैट्रिक्स है, 2a − 1, a − 1) संरचना जिसे 'हैडमार्ड 2-संरचना' कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Stinson|2003|loc=pg. 74, Theorem 4.5}}</ref> इसमें है <math>4a-1</math> ब्लॉक / अंक; प्रत्येक में सम्मिलित है / इसमें निहित है <math>2a-1</math> अंक / ब्लॉक। अंकों की प्रत्येक जोड़ी बिल्कुल में समाहित है <math>a-1</math> ब्लॉक। | मानकीकृत रूप में आकार 4a के एक हैडमार्ड मैट्रिक्स को देखते हुए, पहली पंक्ति और पहले कॉलम को हटा दें और प्रत्येक −1 को 0 में बदलें। परिणामी 0–1 मैट्रिक्स 'M' एक सममित 2-(4a − 1, का आपतन मैट्रिक्स है, 2a − 1, a − 1) संरचना जिसे 'हैडमार्ड 2-संरचना' कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Stinson|2003|loc=pg. 74, Theorem 4.5}}</ref> इसमें है <math>4a-1</math> ब्लॉक / अंक; प्रत्येक में सम्मिलित है / इसमें निहित है <math>2a-1</math> अंक / ब्लॉक। अंकों की प्रत्येक जोड़ी बिल्कुल में समाहित है <math>a-1</math> ब्लॉक। | ||
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== हल करने योग्य 2-संरचना == | == हल करने योग्य 2-संरचना == | ||
एक हल करने योग्य 2-संरचना एक | एक हल करने योग्य 2-संरचना एक BIBD है जिसके ब्लॉक को समुच्चय में विभाजित किया जा सकता है (जिसे 'समानांतर वर्ग' कहा जाता है), जिनमें से प्रत्येक BIBD के बिंदु समुच्चय का विभाजन बनाता है। समांतर कक्षाओं के समुच्चय को संरचना का रिज़ॉल्यूशन कहा जाता है। | ||
अगर एक 2-(''v'',''k'',λ) हल करने योग्य संरचना में ''c'' समानांतर वर्ग हैं, तो ''b'' ≥ ''v'' + ''c'' − 1 .<ref>{{harvnb|Hughes|Piper|1985|loc=pg. 156, Theorem 5.4}}</ref> | अगर एक 2-(''v'',''k'',λ) हल करने योग्य संरचना में ''c'' समानांतर वर्ग हैं, तो ''b'' ≥ ''v'' + ''c'' − 1 .<ref>{{harvnb|Hughes|Piper|1985|loc=pg. 156, Theorem 5.4}}</ref> | ||
आर्किटेपिकल रिज़ॉल्वेबल 2-संरचना परिमित | परिणामस्वरूप, एक सममित संरचना में गैर-तुच्छ (एक से अधिक समांतर वर्ग) संकल्प नहीं हो सकता है।<ref>{{harvnb|Hughes|Piper|1985|loc=pg. 158, Corollary 5.5}}</ref> | ||
आर्किटेपिकल रिज़ॉल्वेबल 2-संरचना परिमित प्रक्षेपी प्लेन#एफ़ाइन समतल हैं। प्रसिद्ध [[15 छात्रा समस्या]] का समाधान 2-(15,3,1) संरचना का समाधान है।<ref>{{harvnb|Beth|Jungnickel|Lenz|1986|loc=pg. 40 Example 5.8}}</ref> | |||
== सामान्य संतुलित संरचना (t-संरचना) == | == सामान्य संतुलित संरचना (t-संरचना) == | ||
किसी भी सकारात्मक पूर्णांक t को देखते हुए, एक t-संरचना | किसी भी सकारात्मक पूर्णांक t को देखते हुए, एक t-संरचना B, x के के-तत्व सबसमुच्चय का एक वर्ग है, जिसे ब्लॉक कहा जाता है, जैसे X में प्रत्येक बिंदु x बिल्कुल r ब्लॉक में दिखाई देता है, और प्रत्येक t-तत्व सबसमुच्चय t बिल्कुल λ ब्लॉक में दिखाई देता है। . संख्या v (X के तत्वों की संख्या), b (ब्लॉक की संख्या), k, r, λ, और t संरचना के पैरामीटर हैं। संरचना को t-(v,k,λ)-संरचना कहा जा सकता है। फिर से, ये चार संख्याएँ b और r निर्धारित करती हैं और चार संख्याओं को स्वयं मनमाने ढंग से नहीं चुना जा सकता है। समीकरण हैं | ||
:<math> \lambda_i = \lambda \left.\binom{v-i}{t-i} \right/ \binom{k-i}{t-i} \text{ for } i = 0,1,\ldots,t, </math> | :<math> \lambda_i = \lambda \left.\binom{v-i}{t-i} \right/ \binom{k-i}{t-i} \text{ for } i = 0,1,\ldots,t, </math> | ||
जहां | जहां λ<sub>i</sub>उन ब्लॉकों की संख्या है जिनमें अंक और λ का कोई भी i-तत्व समुच्चय होता है ''λ''<sub>t</sub>= λ। | ||
ध्यान दें कि <math>b=\lambda_0 = \lambda {v\choose t} / {k\choose t}</math> और <math>r = \lambda_1 = \lambda {v-1 \choose t-1} / {k-1 \choose t-1} </math>. | ध्यान दें कि <math>b=\lambda_0 = \lambda {v\choose t} / {k\choose t}</math> और <math>r = \lambda_1 = \lambda {v-1 \choose t-1} / {k-1 \choose t-1} </math>. | ||
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इस प्रमेय का एक परिणाम यह है कि t ≥ 2 वाला प्रत्येक t-संरचना भी 2-संरचना है। | इस प्रमेय का एक परिणाम यह है कि t ≥ 2 वाला प्रत्येक t-संरचना भी 2-संरचना है। | ||
एक t-( | एक t-(v,के,1)-संरचना को [[ स्टेनर प्रणाली ]] कहा जाता है। | ||
ब्लॉक संरचना शब्द का अर्थ सामान्यतः 2-संरचना होता है। | ब्लॉक संरचना शब्द का अर्थ सामान्यतः 2-संरचना होता है। | ||
=== व्युत्पन्न और विस्तार योग्य t-संरचना === | === व्युत्पन्न और विस्तार योग्य t-संरचना === | ||
चलो D = (''X'', ''B'') एक t-(''v'',''k'',''λ'') संरचना और ''p'' का एक बिंदु ' ' | चलो D = (''X'', ''B'') एक t-(''v'',''k'',''λ'') संरचना और ''p'' का एक बिंदु ' 'x''। ''व्युत्पन्न संरचना'' ''Dpबिंदु समुच्चय X − {p} है और ब्लॉक के रूप में 'D' के सभी ब्लॉक समुच्चय करता है जिसमें p को हटा दिया गया है। यह एक (t − 1)-(v − 1, k − 1, λ) संरचना है। ध्यान दें कि अलग-अलग बिंदुओं के संबंध में व्युत्पन्न संरचना तुल्याकारी नहीं हो सकते हैं। एक संरचना 'E' को 'D' का विस्तार कहा जाता है यदि 'E' में एक बिंदु p ऐसा है कि E'p D के लिए आइसोमोर्फिक है; यदि इसका विस्तार होता है तो हम D विस्तार योग्य कहते हैं। | ||
प्रमेय:<ref>{{harvnb|Hughes|Piper|1985|loc=pg.29}}</ref> यदि एक t-(v,k,λ) संरचना में एक विस्तार है, तो k +1 b(v + 1) को विभाजित करता है। | प्रमेय:<ref>{{harvnb|Hughes|Piper|1985|loc=pg.29}}</ref> यदि एक t-(v,k,λ) संरचना में एक विस्तार है, तो k +1 b(v + 1) को विभाजित करता है। | ||
एकमात्र विस्तार योग्य [[प्रक्षेपी विमान]] (सममित 2-(n<sup>2</sup> + n + 1, n + 1, 1) संरचना) ऑर्डर 2 और 4 के हैं।<ref>{{harvnb|Cameron|van Lint|1991|loc=pg. 11, Proposition 1.34}}</ref> | एकमात्र विस्तार योग्य [[प्रक्षेपी विमान]] (सममित 2-(n<sup>2</sup> + n + 1, n + 1, 1) संरचना) ऑर्डर 2 और 4 के हैं।<ref>{{harvnb|Cameron|van Lint|1991|loc=pg. 11, Proposition 1.34}}</ref> | ||
प्रत्येक हैडमार्ड 2-संरचना विस्तार योग्य है (एक हैडमार्ड 3-संरचना के लिए)।<ref>{{harvnb|Hughes|Piper|1985|loc=pg. 132, Theorem 4.5}}</ref> | प्रत्येक हैडमार्ड 2-संरचना विस्तार योग्य है (एक हैडमार्ड 3-संरचना के लिए)।<ref>{{harvnb|Hughes|Piper|1985|loc=pg. 132, Theorem 4.5}}</ref> | ||
प्रमेय:।<ref>{{harvnb|Cameron|van Lint|1991|loc=pg. 11, Theorem 1.35}}</ref> | प्रमेय:।<ref>{{harvnb|Cameron|van Lint|1991|loc=pg. 11, Theorem 1.35}}</ref> | ||
यदि डी, एक सममित 2-(''v'',''k'',λ) संरचना, विस्तार योग्य है, तो निम्न में से एक धारण करता है: | यदि डी, एक सममित 2-(''v'',''k'',λ) संरचना, विस्तार योग्य है, तो निम्न में से एक धारण करता है: | ||
# | # D एक हैडमार्ड 2-संरचना है, | ||
# '' | # ''v'' = (λ + 2)(λ2 + 4λ + 2), K = λ2 + 3λ + 1<sup>, | ||
# | # v = 495, के = 39, λ = 3। | ||
ध्यान दें कि क्रम दो का प्रक्षेपी तल एक हैडमार्ड 2-संरचना है; क्रम चार के प्रक्षेपी तल में पैरामीटर हैं जो स्थिति 2 में आते हैं; स्थितियों 2 में मापदंडों के साथ केवल अन्य ज्ञात सममित 2-संरचना ऑर्डर 9 बाइप्लेन हैं, लेकिन उनमें से कोई भी विस्तार योग्य नहीं है; और केस 3 के पैरामीटर के साथ कोई ज्ञात सममित 2-संरचना नहीं है।<ref>{{harvnb|Colbourn|Dinitz|2007|loc=pg. 114, Remarks 6.35}}</ref> | ध्यान दें कि क्रम दो का प्रक्षेपी तल एक हैडमार्ड 2-संरचना है; क्रम चार के प्रक्षेपी तल में पैरामीटर हैं जो स्थिति 2 में आते हैं; स्थितियों 2 में मापदंडों के साथ केवल अन्य ज्ञात सममित 2-संरचना ऑर्डर 9 बाइप्लेन हैं, लेकिन उनमें से कोई भी विस्तार योग्य नहीं है; और केस 3 के पैरामीटर के साथ कोई ज्ञात सममित 2-संरचना नहीं है।<ref>{{harvnb|Colbourn|Dinitz|2007|loc=pg. 114, Remarks 6.35}}</ref> | ||
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