विभेदक: Difference between revisions
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गणित में, [[बहुपद]] का विविक्तकर एक मात्रा है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विवेचक [[बहुपद गुणनखंडन]], [[संख्या सिद्धांत]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। | |||
गणित में, [[बहुपद]] का विविक्तकर एक मात्रा है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक | |||
[[द्विघात बहुपद]] | [[द्विघात बहुपद]] <math>ax^2+bx+c</math> का विविक्तकर | ||
:<math>b^2-4ac,</math> | :<math>b^2-4ac,</math> | ||
वह मात्रा जो [[द्विघात सूत्र]] में [[वर्गमूल]] के अंतर्गत प्रकट होती है। | है, वह मात्रा जो [[द्विघात सूत्र]] में [[वर्गमूल]] के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि <math>a\ne 0,</math> यह विविक्तकर शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। [[वास्तविक संख्या]] गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी मूल हैं तो यह ऋणात्मक है।<ref>{{Cite web|title=Discriminant {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/discriminant|access-date=2020-08-09|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विविक्तकर शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के विषय में, यदि बहुपद के तीन अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो विवेचक धनात्मक होता है, और यदि इसके एक वास्तविक मूल और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म मूल होते हैं, तो ऋणात्मक होता है। | ||
अधिक | अधिक सामान्यतः, एक बहुपद की धनात्मक घात के एक अविभाजित बहुपद का विवेचक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विवेचक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज (गणित) है (कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है। | ||
कई सामान्यीकरणों को विवेचक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विवेचक; [[द्विघात रूप]] का विवेचक; और अधिक | कई सामान्यीकरणों को विवेचक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विवेचक; [[द्विघात रूप]] का विवेचक; और अधिक सामान्यतः, एक [[सजातीय बहुपद]] , या एक प्रक्षेपी ऊनविम सतह के एक [[रूप (गणित)]] का विभेदक (ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)। | ||
== उत्पत्ति == | == उत्पत्ति == | ||
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होने देना | होने देना | ||
:<math>A(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math> | :<math>A(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math> | ||
एक बहुपद की | एक बहुपद की घात का एक बहुपद हो {{math|''n''}} (इसका मतलब यह है <math>a_n\ne 0</math>), जैसे कि गुणांक <math>a_0, \ldots, a_n</math> एक [[क्षेत्र (गणित)]] से संबंधित हैं, या, अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय से संबंधित हैं। का परिणाम है {{math|''A''}} और इसका [[औपचारिक व्युत्पन्न]], | ||
:<math>A'(x) = na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1,</math> में बहुपद है <math>a_0, \ldots, a_n</math> [[पूर्णांक]] गुणांक के साथ, जो [[सिल्वेस्टर मैट्रिक्स]] का निर्धारक है {{math|''A''}} और {{math|''A''{{void}}′}}. सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के पहले कॉलम की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ हैं <math>a_n</math> और <math>na_n,</math> और परिणामी इस प्रकार का एक गुणक है <math>a_n.</math> इसलिए विवेचक - इसके चिह्न तक - के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|''A''}} और {{math|''A'{{void}}''}} द्वारा <math>a_n</math>: | :<math>A'(x) = na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1,</math> में बहुपद है <math>a_0, \ldots, a_n</math> [[पूर्णांक]] गुणांक के साथ, जो [[सिल्वेस्टर मैट्रिक्स]] का निर्धारक है {{math|''A''}} और {{math|''A''{{void}}′}}. सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के पहले कॉलम की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ हैं <math>a_n</math> और <math>na_n,</math> और परिणामी इस प्रकार का एक गुणक है <math>a_n.</math> इसलिए विवेचक - इसके चिह्न तक - के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|''A''}} और {{math|''A'{{void}}''}} द्वारा <math>a_n</math>: | ||
:<math>\operatorname{Disc}_x(A) = \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} \operatorname{Res}_x(A,A')</math> | :<math>\operatorname{Disc}_x(A) = \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} \operatorname{Res}_x(A,A')</math> | ||
ऐतिहासिक रूप से, इस चिन्ह को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विवेचक | ऐतिहासिक रूप से, इस चिन्ह को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विवेचक धनात्मक होगा जब बहुपद की सभी मूल वास्तविक हों। द्वारा विभाजन <math>a_n</math> यदि गुणांकों के वलय (गणित) में शून्य विभाजक हैं, तो अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। बदलने से ऐसी समस्या से बचा जा सकता है <math>a_n</math> सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के पहले कॉलम में 1 से - निर्धारक की गणना करने से पहले। किसी भी विषय में, विवेचक एक बहुपद है <math>a_0, \ldots, a_n</math> पूर्णांक गुणांक के साथ। | ||
=== | === मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति === | ||
जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र (गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो यह होता है {{math|''n''}} | जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र (गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो यह होता है {{math|''n''}} मूल, <math>r_1, r_2, \dots, r_n</math>क्षेत्र के किसी भी [[बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार]] में, जरूरी नहीं कि सभी अलग-अलग हों। (यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो मूलों को [[जटिल संख्या]]ओं के क्षेत्र में लिया जा सकता है, जहां [[बीजगणित का मौलिक प्रमेय]] लागू होता है।) | ||
मूलों के संदर्भ में, विवेचक के बराबर है | |||
:<math>\operatorname{Disc}_x(A) = a_n^{2n-2}\prod_{i < j} (r_i-r_j)^2 | :<math>\operatorname{Disc}_x(A) = a_n^{2n-2}\prod_{i < j} (r_i-r_j)^2 | ||
| Line 35: | Line 34: | ||
इस प्रकार यह वेंडरमोंडे बहुपद समय का वर्ग है <math>a_n^{2n-2} </math>. | इस प्रकार यह वेंडरमोंडे बहुपद समय का वर्ग है <math>a_n^{2n-2} </math>. | ||
विवेचक के लिए यह अभिव्यक्ति अक्सर एक परिभाषा के रूप में ली जाती है। यह स्पष्ट करता है कि यदि बहुपद का एक बहुपद है, तो इसका विवेचक शून्य है, और यह कि, वास्तविक गुणांकों के | विवेचक के लिए यह अभिव्यक्ति अक्सर एक परिभाषा के रूप में ली जाती है। यह स्पष्ट करता है कि यदि बहुपद का एक बहुपद है, तो इसका विवेचक शून्य है, और यह कि, वास्तविक गुणांकों के विषय में, यदि सभी मूल वास्तविक और सरल मूल हैं, तो विवेचक धनात्मक है। पिछली परिभाषा के विपरीत, यह अभिव्यक्ति गुणांक में स्पष्ट रूप से एक बहुपद नहीं है, लेकिन यह या तो गैलोज सिद्धांत के मौलिक प्रमेय से या [[सममित बहुपद]]ों के मौलिक प्रमेय और वीटा के सूत्रों से यह देखते हुए कि यह अभिव्यक्ति एक सममित बहुपद है की मूल {{math|''A''}}. | ||
== कम | == कम घात == | ||
एक रेखीय बहुपद ( | एक रेखीय बहुपद (घात 1) का विविक्तकर शायद ही कभी माना जाता है। यदि आवश्यक हो, तो इसे सामान्यतः 1 के बराबर परिभाषित किया जाता है ([[खाली उत्पाद]] के लिए सामान्य सम्मेलनों का उपयोग करके और यह मानते हुए कि सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के दो ब्लॉकों में से एक [[खाली मैट्रिक्स]] है)। एक अचर बहुपद (अर्थात् घात 0 का बहुपद) के विविक्तकर के लिए कोई सामान्य परिपाटी नहीं है। | ||
छोटी | छोटी घात के लिए, विवेचक सरल है (नीचे देखें), लेकिन उच्च घात के लिए, यह बोझिल हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक [[सामान्य बहुपद]] [[चतुर्थक समारोह]] के विविक्तकर के 16 पद हैं,<ref>{{cite book | ||
|title=Elimination practice: software tools and applications | |title=Elimination practice: software tools and applications | ||
|first1=Dongming | |first1=Dongming | ||
| Line 82: | Line 81: | ||
=== | === घात 2 === | ||
{{see also|Quadratic equation#Discriminant}} | {{see also|Quadratic equation#Discriminant}} | ||
| Line 89: | Line 88: | ||
विवेचक का वर्गमूल द्विघात बहुपद के मूलों के द्विघात सूत्र में प्रकट होता है: | विवेचक का वर्गमूल द्विघात बहुपद के मूलों के द्विघात सूत्र में प्रकट होता है: | ||
:<math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.</math> | :<math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.</math> | ||
जहां विविक्तकर शून्य है यदि और | जहां विविक्तकर शून्य है यदि और मात्र यदि दो मूल समान हैं। यदि {{math|''a'', ''b'', ''c''}} वास्तविक संख्याएँ हैं, यदि विवेचक धनात्मक है तो बहुपद की दो विशिष्ट वास्तविक मूल हैं, और यदि ऋणात्मक है तो दो जटिल संयुग्मी मूल हैं।<ref>{{cite book | ||
|title=Integers, polynomials, and rings | |title=Integers, polynomials, and rings | ||
|first1=Ronald S. | |first1=Ronald S. | ||
| Line 98: | Line 97: | ||
|url=https://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154 | |url=https://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154 | ||
|at=ch. 10.3 pp. 153–154}}</ref> | |at=ch. 10.3 pp. 153–154}}</ref> | ||
विवेचक का उत्पाद है {{math|''a''{{sup|2}}}} और | विवेचक का उत्पाद है {{math|''a''{{sup|2}}}} और मूलों के अंतर का वर्ग। | ||
यदि {{math|''a'', ''b'', ''c''}} परिमेय संख्याएँ हैं, तो विवेचक परिमेय संख्या का वर्ग है यदि और मात्र यदि दो मूल परिमेय संख्याएँ हैं। | |||
=== | === घात 3 === | ||
{{seealso|Cubic equation#Discriminant}} | {{seealso|Cubic equation#Discriminant}} | ||
[[File:Discriminant of cubic polynomials..png|thumb|घन के विवेचक का शून्य सेट {{math|''x''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d''}}, यानी संतोषजनक अंक {{math|1=''b''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup> – 4''c''<sup>3</sup> – 4''b''<sup>3</sup>''d'' – 27''d''<sup>2</sup> + 18''bcd'' = 0}}.]]घन बहुपद <math>ax^3+bx^2+cx+d \,</math> विवेचक है | [[File:Discriminant of cubic polynomials..png|thumb|घन के विवेचक का शून्य सेट {{math|''x''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d''}}, यानी संतोषजनक अंक {{math|1=''b''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup> – 4''c''<sup>3</sup> – 4''b''<sup>3</sup>''d'' – 27''d''<sup>2</sup> + 18''bcd'' = 0}}.]]घन बहुपद <math>ax^3+bx^2+cx+d \,</math> विवेचक है | ||
:<math>b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,.</math> | :<math>b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,.</math> | ||
एक डिप्रेस्ड क्यूबिक#डिप्रेस्ड क्यूबिक पॉलीनॉमियल के विशेष | एक डिप्रेस्ड क्यूबिक#डिप्रेस्ड क्यूबिक पॉलीनॉमियल के विशेष विषय में <math>x^3+px+q</math>, विवेचक सरल करता है | ||
:<math> -4p^3-27q^2\,.</math> | :<math> -4p^3-27q^2\,.</math> | ||
विविक्तकर शून्य होता है यदि और | विविक्तकर शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल बराबर हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, और विवेचक शून्य नहीं है, तो विवेचक धनात्मक है यदि मूल तीन अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं, और ऋणात्मक है यदि एक वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्म मूल हैं।<ref>{{cite book | ||
|title=Integers, polynomials, and rings | |title=Integers, polynomials, and rings | ||
|first1=Ronald S. | |first1=Ronald S. | ||
| Line 117: | Line 116: | ||
|url=https://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154 | |url=https://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154 | ||
|at=ch. 10 ex. 10.14.4 & 10.17.4, pp. 154–156}}</ref> | |at=ch. 10 ex. 10.14.4 & 10.17.4, pp. 154–156}}</ref> | ||
विवेचक से दृढ़ता से संबंधित मात्रा का वर्गमूल घन समीकरण#सामान्य घन सूत्र में दिखाई देता है। विशेष रूप से, यह मात्रा हो सकती है {{math|−3}} परिमेय संख्या के वर्ग के साथ विवेचक, या उसके गुणनफल का गुणा; उदाहरण के लिए, का वर्ग {{math|1/18}} कार्डानो सूत्र के | विवेचक से दृढ़ता से संबंधित मात्रा का वर्गमूल घन समीकरण#सामान्य घन सूत्र में दिखाई देता है। विशेष रूप से, यह मात्रा हो सकती है {{math|−3}} परिमेय संख्या के वर्ग के साथ विवेचक, या उसके गुणनफल का गुणा; उदाहरण के लिए, का वर्ग {{math|1/18}} कार्डानो सूत्र के विषय में। | ||
यदि बहुपद अप्रासंगिक है और इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं (या किसी [[संख्या क्षेत्र]] से संबंधित हैं), तो विवेचक एक परिमेय संख्या का वर्ग है (या संख्या क्षेत्र से एक संख्या) यदि और | यदि बहुपद अप्रासंगिक है और इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं (या किसी [[संख्या क्षेत्र]] से संबंधित हैं), तो विवेचक एक परिमेय संख्या का वर्ग है (या संख्या क्षेत्र से एक संख्या) यदि और मात्र यदि घन समीकरण का गैलोज़ समूह क्रम का [[चक्रीय समूह]] (समूह सिद्धांत) तीन है। | ||
=== | === घात 4 === | ||
[[File:Quartic Discriminant.png|thumb|चतुर्थक बहुपद का विविक्तकर {{math|''x''<sup>4</sup> + ''cx''<sup>2</sup> + ''dx'' + ''e''}}. सतह बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है ({{math|''c'', ''d'', ''e''}}) जहां बहुपद की | [[File:Quartic Discriminant.png|thumb|चतुर्थक बहुपद का विविक्तकर {{math|''x''<sup>4</sup> + ''cx''<sup>2</sup> + ''dx'' + ''e''}}. सतह बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है ({{math|''c'', ''d'', ''e''}}) जहां बहुपद की मूल दोहराई जाती है। कस्पिडल एज ट्रिपल रूट के साथ बहुपदों से मेल खाती है, और स्व-चौराहा दो अलग-अलग दोहराई गई मूलों वाले बहुपदों से मेल खाती है।]][[चतुर्थक बहुपद]] | ||
<math> ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,</math> | <math> ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,</math> | ||
विवेचक है | विवेचक है | ||
| Line 131: | Line 130: | ||
& {} -4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2\,. | & {} -4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2\,. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
विविक्तकर शून्य होता है यदि और | विविक्तकर शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल समान हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं और विवेचक ऋणात्मक है, तो दो वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्मी मूल होते हैं। इसके विपरीत, यदि विवेचक धनात्मक है, तो मूल या तो सभी वास्तविक हैं या सभी गैर-वास्तविक हैं। | ||
== गुण == | == गुण == | ||
=== शून्य विवेचक === | === शून्य विवेचक === | ||
किसी क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद का विविक्तकर शून्य होता है यदि और | किसी क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद का विविक्तकर शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का कुछ क्षेत्र विस्तार में बहुपद हो। | ||
एक [[अभिन्न डोमेन]] पर एक बहुपद का विभेदक शून्य है यदि और | एक [[अभिन्न डोमेन]] पर एक बहुपद का विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद और इसके औपचारिक व्युत्पन्न में एक गैर-निरंतर सामान्य भाजक है। | ||
[[विशेषता (बीजगणित)]] 0 में, यह कहने के बराबर है कि बहुपद वर्ग-मुक्त बहुपद नहीं है | वर्ग-मुक्त (अर्थात, एक गैर-निरंतर बहुपद के वर्ग से विभाज्य)। | [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 में, यह कहने के बराबर है कि बहुपद वर्ग-मुक्त बहुपद नहीं है | वर्ग-मुक्त (अर्थात, एक गैर-निरंतर बहुपद के वर्ग से विभाज्य)। | ||
अशून्य विशेषता में {{math|''p''}}, विवेचक शून्य है यदि और | अशून्य विशेषता में {{math|''p''}}, विवेचक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद वर्ग-मुक्त नहीं है या इसमें एक [[अलघुकरणीय बहुपद]] है जो वियोज्य नहीं है (अर्थात्, अलघुकरणीय कारक एक बहुपद है <math>x^p</math>). | ||
=== चर के परिवर्तन के तहत व्युत्क्रम === | === चर के परिवर्तन के तहत व्युत्क्रम === | ||
एक बहुपद का विविक्[[तक]]र, स्केलिंग तक, चर के किसी प्रक्षेपी परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक प्रक्षेपी परिवर्तन के रूप में अनुवाद, समरूपता और व्युत्क्रम के उत्पाद में विघटित हो सकता है, इसका परिणाम सरल परिवर्तनों के लिए निम्नलिखित सूत्र में होता है, जहाँ {{math|''P''(''x'')}} | एक बहुपद का विविक्[[तक]]र, स्केलिंग तक, चर के किसी प्रक्षेपी परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक प्रक्षेपी परिवर्तन के रूप में अनुवाद, समरूपता और व्युत्क्रम के उत्पाद में विघटित हो सकता है, इसका परिणाम सरल परिवर्तनों के लिए निम्नलिखित सूत्र में होता है, जहाँ {{math|''P''(''x'')}} घात के बहुपद को दर्शाता है {{math|''n''}}, साथ <math>a_n</math> अग्रणी गुणांक के रूप में। | ||
* अनुवाद द्वारा व्युत्क्रम: | * अनुवाद द्वारा व्युत्क्रम: | ||
::<math>\operatorname{Disc}_x(P(x+\alpha)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ::<math>\operatorname{Disc}_x(P(x+\alpha)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ||
: यह | : यह मूलों के संदर्भ में विवेचक की अभिव्यक्ति का परिणाम है | ||
* समरूपता द्वारा आक्रमण: | * समरूपता द्वारा आक्रमण: | ||
::<math>\operatorname{Disc}_x(P(\alpha x)) = \alpha^{n(n-1)}\operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ::<math>\operatorname{Disc}_x(P(\alpha x)) = \alpha^{n(n-1)}\operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ||
: यह | : यह मूलों, या विवेचक की अर्ध-समरूपता के संदर्भ में अभिव्यक्ति का परिणाम है। | ||
* व्युत्क्रम द्वारा व्युत्क्रम: | * व्युत्क्रम द्वारा व्युत्क्रम: | ||
::<math>\operatorname{Disc}_x(P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ::<math>\operatorname{Disc}_x(P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ||
:कब <math>P(0)\ne 0.</math> यहाँ, <math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;</math> के [[पारस्परिक बहुपद]] को दर्शाता है {{math|''P''}}; वह है, | :कब <math>P(0)\ne 0.</math> यहाँ, <math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;</math> के [[पारस्परिक बहुपद]] को दर्शाता है {{math|''P''}}; वह है, यदि <math>P(x) = a_nx^n + \cdots + a_0,</math> और <math>a_0 \neq 0,</math> तब | ||
::<math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x) = x^nP(1/x) = a_0x^n +\cdots +a_n.</math> | ::<math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x) = x^nP(1/x) = a_0x^n +\cdots +a_n.</math> | ||
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में {{math|''S''[''x'']}}. | में {{math|''S''[''x'']}}. | ||
विवेचक के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है <math>\varphi</math> निम्नलिखित अर्थ में। | विवेचक के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है <math>\varphi</math> निम्नलिखित अर्थ में। यदि <math>\varphi(a_n)\ne 0,</math> तब | ||
:<math>\operatorname{Disc}_x(A^\varphi) = \varphi(\operatorname{Disc}_x(A)).</math> | :<math>\operatorname{Disc}_x(A^\varphi) = \varphi(\operatorname{Disc}_x(A)).</math> | ||
जैसा कि विवेचक को एक निर्धारक के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, यह संपत्ति निर्धारकों की समान संपत्ति से तुरंत परिणाम देती है। | जैसा कि विवेचक को एक निर्धारक के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, यह संपत्ति निर्धारकों की समान संपत्ति से तुरंत परिणाम देती है। | ||
यदि <math>\varphi(a_n)= 0,</math> तब <math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A))</math> शून्य हो सकता है या नहीं। एक है, जब <math>\varphi(a_n)= 0,</math> | |||
:<math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = \varphi(a_{n-1})^2\operatorname{Disc}_x(A^\varphi).</math> | :<math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = \varphi(a_{n-1})^2\operatorname{Disc}_x(A^\varphi).</math> | ||
जब कोई | जब कोई मात्र यह जानने में रुचि रखता है कि क्या एक विवेचक शून्य है (जैसा कि सामान्यतः बीजगणितीय ज्यामिति में होता है), तो इन गुणों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है: | ||
:<math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = 0</math> | :<math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = 0</math> यदि और मात्र यदि या तो <math>\operatorname{Disc}_x(A^\varphi)=0</math> या <math>\deg(A)-\deg(A^\varphi)\ge 2.</math> | ||
इसे अक्सर ऐसा कहने के रूप में व्याख्यायित किया जाता है <math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = 0</math> | इसे अक्सर ऐसा कहने के रूप में व्याख्यायित किया जाता है <math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = 0</math> यदि और मात्र यदि <math>A^\varphi</math> एक बहु रूट है (संभवतः अनंत पर इंगित)। | ||
===बहुपदों का गुणनफल=== | ===बहुपदों का गुणनफल=== | ||
यदि {{math|1=''R'' = ''PQ''}} में बहुपदों का गुणनफल है {{math|''x''}}, तब | |||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
\operatorname{disc}_x(R) &= \operatorname{disc}_x(P)\operatorname{Res}_x(P,Q)^2\operatorname{disc}_x(Q) | \operatorname{disc}_x(R) &= \operatorname{disc}_x(P)\operatorname{Res}_x(P,Q)^2\operatorname{disc}_x(Q) | ||
| Line 185: | Line 184: | ||
कहाँ <math>\operatorname{Res}_x</math> परिणामी को चर के संबंध में दर्शाता है {{math|''x''}}, और {{math|''p''}} और {{math|''q''}} की संबंधित डिग्रियां हैं {{math|''P''}} और {{math|''Q''}}. | कहाँ <math>\operatorname{Res}_x</math> परिणामी को चर के संबंध में दर्शाता है {{math|''x''}}, और {{math|''p''}} और {{math|''q''}} की संबंधित डिग्रियां हैं {{math|''P''}} और {{math|''Q''}}. | ||
यह संपत्ति संबंधित बहुपदों की | यह संपत्ति संबंधित बहुपदों की मूलों के संदर्भ में परिणामी और विविक्तकर के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करके तुरंत अनुसरण करती है। | ||
=== एकरूपता === | === एकरूपता === | ||
विभेदक गुणांकों में एक सजातीय बहुपद है; यह | विभेदक गुणांकों में एक सजातीय बहुपद है; यह मूलों में एक सजातीय बहुपद भी है और इस प्रकार गुणांकों में [[अर्ध-सजातीय बहुपद]]|अर्ध-सजातीय। | ||
घात के बहुपद का विभेदक {{math|''n''}} घात का सजातीय है {{math|2''n'' − 2}} गुणांक में। इसे दो तरह से देखा जा सकता है। रूट-एंड-लीडिंग-टर्म फॉर्मूले के संदर्भ में, सभी गुणांकों को गुणा करके {{mvar|λ}} मूलों को नहीं बदलता है, लेकिन अग्रणी शब्द को इससे गुणा करता है {{mvar|λ}}. एक के निर्धारक के रूप में इसकी अभिव्यक्ति के संदर्भ में {{math|(2''n'' − 1) × (2''n'' − 1)}} [[मैट्रिक्स (गणित)]] (सिल्वेस्टर मैट्रिक्स) द्वारा विभाजित {{mvar|a<sub>n</sub>}}, निर्धारक घात का सजातीय है {{math|2''n'' − 1}} प्रविष्टियों में, और द्वारा विभाजित {{mvar|a<sub>n</sub>}} घात बनाता है {{math|2''n'' − 2}}. | |||
घात के बहुपद का विभेदक {{math|''n''}} घात का सजातीय है {{math|''n''(''n'' − 1)}} मूलों में। यह मूलों के संदर्भ में विवेचक की अभिव्यक्ति से अनुसरण करता है, जो एक स्थिर और का उत्पाद है <math>\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}</math> मूलों के वर्ग अंतर। | |||
घात के बहुपद का विभेदक {{math|''n''}} घात का अर्ध-सजातीय है {{math|''n''(''n'' − 1)}} गुणांकों में, यदि, प्रत्येक के लिए {{math|''i''}}, का गुणांक <math>x^i</math> भार दिया जाता है {{math|''n'' − ''i''}}. यह समान घात का अर्ध-सजातीय भी है, यदि, प्रत्येक के लिए {{math|''i''}}, का गुणांक <math>x^i</math> भार दिया जाता है {{math|''i''}}. यह सामान्य तथ्य का परिणाम है कि मूलों में सजातीय और सममित बहुपद वाले प्रत्येक बहुपद को मूलों के प्राथमिक सममित कार्यों में अर्ध-सजातीय बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। | |||
बहुपद पर विचार करें | बहुपद पर विचार करें | ||
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जो दूसरे समीकरण को पहले वाले से गुणा करके प्राप्त किया जाता है {{math|''n''}}. | जो दूसरे समीकरण को पहले वाले से गुणा करके प्राप्त किया जाता है {{math|''n''}}. | ||
यह विवेचक में संभावित शर्तों को प्रतिबंधित करता है। सामान्य द्विघात बहुपद के लिए विवेचक में | यह विवेचक में संभावित शर्तों को प्रतिबंधित करता है। सामान्य द्विघात बहुपद के लिए विवेचक में मात्र दो संभावनाएँ और दो पद होते हैं, जबकि तीन चरों में घात दो के सामान्य सजातीय बहुपद में 6 पद होते हैं। सामान्य घन बहुपद के लिए, विवेचक में पाँच संभावनाएँ और पाँच पद हैं, जबकि 5 चरों में 4 घात के सामान्य सजातीय बहुपद में 70 पद हैं। | ||
उच्च | उच्च घात के लिए, ऐसे मोनोमियल हो सकते हैं जो उपरोक्त समीकरणों को संतुष्ट करते हैं और विवेचक में प्रकट नहीं होते हैं। पहला उदाहरण चतुर्थांश बहुपद के लिए है <math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e</math>, जिस स्थिति में मोनोमियल <mat | ||