समकोण त्रिभुज

समकोण त्रिभुज

समकोण त्रिभुज (अमेरिकी अंग्रेजी याब्रिटिश अंग्रेजी), या औपचारिक रूप से लंबकोणीय त्रिभुज, जिसे पहले आयत त्रिभुज कहा जाता था (Ancient Greek: ὀρθόσγωνία, lit. 'सीधे कोण'), त्रिभुज है जिसमें एक कोण समकोण है (अर्थात, 90 डिग्री (कोण)), अर्थात जिसमें दो बहुभुज भुजाएँ लंबवत हैं। समकोण त्रिभुज की भुजाओं और अन्य कोणों के बीच संबंध त्रिकोणमिति का आधार है।

समकोण की सम्मुख भुजा कर्ण (आकृति में भुजा c) कहलाती है। समकोण से सटे पक्षों को आधार (या कैथेटी, एकवचन: कैथेटस) कहा जाता है। साइड a को कोण B के आसन्न भुजा के रूप में पहचाना जा सकता है और कोण A के विपरीत (या विपरीत) भुजा के रूप में पहचाना जाता है, जबकि साइड b कोण A के आसन्न भुजा है और कोण B के सम्मुख में है।

यदि समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई पूर्णांक हैं, तो त्रिभुज को 'पाइथागोरस त्रिभुज' कहा जाता है और इसकी भुजाओं की लंबाई को सामूहिक रूप से पाइथागोरस के त्रिक के रूप में जाना जाता है।

प्रमुख गुण

क्षेत्रफल

जैसा कि किसी भी त्रिकोण के साथ होता है, क्षेत्रफल आधार के आधे गुणा के बराबर होता है। समकोण त्रिभुज में, यदि एक भुजा को आधार के रूप में लिया जाता है तो दूसरा ऊँचाई है, इसलिए समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल दो आधार के उत्पाद का आधा होता है। सूत्र के रूप में क्षेत्रफल T है

$T={\tfrac {1}{2}}ab$

जहाँ a और b त्रिभुज की भुजाएँ हैं।

यदि किसी त्रिभुज के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त बिंदु P पर कर्ण AB को स्पर्श करते हैं, तो अर्ध-परिधि को (a + b + c) / 2 को s के रूप में दर्शाते हुए, हमारे पास है PA = s − a और PB = s − b है, और क्षेत्रफल द्वारा दिया गया है

$T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).$

यह सूत्र केवल समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है।

ऊँचाई

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समकोण त्रिभुज की ऊँचाई

यदि शीर्ष से कर्ण के समकोण के साथ ऊँचाई (त्रिकोण) खींचा जाता है, तो त्रिभुज को दो छोटे त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है, जो दोनों मूल के समान (ज्यामिति) हैं और इसलिए एक दूसरे के समान हैं। इस से:

• कर्ण की ऊँचाई कर्ण के दो खंडों का गुणोत्तर माध्य (माध्यानुपाती) है।
• त्रिभुज का प्रत्येक आधार कर्ण का औसत आनुपातिक है और कर्ण का वह खंड जो आधार से सटा हुआ है।

समीकरणों में,

$\displaystyle f^{2}=de,$ (इसे कभी-कभी समकोण त्रिभुज ऊँचाई प्रमेय के रूप में जाना जाता है)

$\displaystyle b^{2}=ce,$

$\displaystyle a^{2}=cd$

जहां a, b, c, d, e, f आरेख में दिखाए गए हैं। इस प्रकार

$f={\frac {ab}{c}}.$

इसके अतिरिक्त, कर्ण की ऊँचाई का सम्बन्ध समकोण त्रिभुज के आधार से होता है

${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.$

a, b, f, और c के पूर्णांक मानों में इस समीकरण के समाधान के लिए, यहाँ देखें

किसी भी आधार की ऊँचाई दूसरे आधार से मेल खाती है। चूँकि ये समकोण शीर्ष पर प्रतिच्छेद करते हैं, समकोण त्रिभुज का लंबकेन्द्र—इसकी तीन ऊँचाई का प्रतिच्छेदन—समकोण शीर्ष से मेल खाता है।

पायथागॉरियन प्रमेय

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पाइथागोरस प्रमेय के यूक्लिड के प्रमाण के लिए आरेख: प्रत्येक छोटे वर्ग का क्षेत्रफल संबंधित रंग के आयत के बराबर होता है।

Main article: पायथागॉरियन प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि:

किसी भी समकोण त्रिभुज में, उस वर्ग (ज्यामिति) का क्षेत्रफल, जिसकी भुजा कर्ण (समकोण के विपरीत भुजा) है, उन वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है, जिनकी भुजाएँ दो आधार हैं (दो भुजाएँ जो एक समकोण पर मिलती हैं) ).

इसे समीकरण के रूप में कहा जा सकता है

$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

जहाँ c कर्ण की लंबाई है, और a और b शेष दो भुजाओं की लंबाई हैं।

पायथागॉरियन ट्रिपल इस समीकरण को संतुष्ट करने वाले a, b, c के पूर्णांक मान हैं

अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या

आधार a और b और कर्ण c वाले समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या है

$r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.$

परिवृत्त की त्रिज्या कर्ण की आधी लंबाई है,

$R={\frac {c}{2}}.$

इस प्रकार परिधि और अंतःत्रिज्या का योग आधार के योग का आधा है:

$R+r={\frac {a+b}{2}}.$

आधार में से एक को अंतःत्रिज्या और दूसरे आधार के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$\displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.$

लक्षण

भुजाओं वाला त्रिभुज ABC, $a\leq b<c$, अर्धपरिधि ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)},$ क्षेत्रफल T, ऊँचाई (त्रिकोण) h सबसे लंबी भुजा के विपरीत, परिबद्ध वृत्त R, त्रिभुज का अंतर्त्रिज्या r और बहिर्त्रिज्याr_a, r_b, r_c (क्रमशः a, b, c के लिए स्पर्शरेखा), और माध्यिका (ज्यामिति) m_a, m_b, m_c समकोण त्रिभुज है यदि और केवल यदि निम्नलिखित छह श्रेणियों में से कोई एक कथन सत्य है। उनमें से प्रत्येक इस प्रकार किसी समकोण त्रिभुज का गुण भी है।

भुजाएँ और अर्धपरिधि

• $\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{Pythagorean theorem}})$
• $\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)$
• $\displaystyle s=2R+r.$
• $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.$

कोण

• A और B पूरक कोण हैं।
• ${\displaystyle \displaystyle \cos {A}\cos {B}\$