बेसेल बहुपद: Difference between revisions

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गणित में, बेसेल [[बहुपद]] बहुपदों का एक ओर्थोगोनल बहुपद अनुक्रम हैं। कई अलग-अलग लेकिन बारीकी से संबंधित परिभाषाएँ हैं। गणितज्ञों द्वारा समर्थित परिभाषा श्रृंखला द्वारा दी गई है<ref name="KrallFrink">{{cite journal |last1=Krall |first1=H. L. |last2=Frink |first2=O. |title=A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials |journal=Trans. Amer. Math. Soc. |date=1948 |volume=65 |issue=1 |pages=100-115 |doi=10.2307/1990516 |ref=KrallFrink|doi-access=free }}</ref>{{rp|101}}
गणित में, बेसेल [[बहुपद]] बहुपदों का एक ओर्थोगोनल बहुपद अनुक्रम हैं। कई अलग-अलग लेकिन सूक्ष्मता से संबंधित परिभाषाएँ हैं। गणितज्ञों द्वारा समर्थित परिभाषा श्रृंखला द्वारा दी गई है<ref name="KrallFrink">{{cite journal |last1=Krall |first1=H. L. |last2=Frink |first2=O. |title=A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials |journal=Trans. Amer. Math. Soc. |date=1948 |volume=65 |issue=1 |pages=100-115 |doi=10.2307/1990516 |ref=KrallFrink|doi-access=free }}</ref>{{rp|101}}


:<math>y_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(n+k)!}{(n-k)!k!}\,\left(\frac{x}{2}\right)^k.</math>
:<math>y_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(n+k)!}{(n-k)!k!}\,\left(\frac{x}{2}\right)^k.</math>
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:<math>y_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,e^{1/x}K_{n+\frac 1 2}(1/x)</math>
:<math>y_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,e^{1/x}K_{n+\frac 1 2}(1/x)</math>
:<math>\theta_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,x^{n+1/2}e^{x}K_{n+ \frac 1 2}(x)</math>
:<math>\theta_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,x^{n+1/2}e^{x}K_{n+ \frac 1 2}(x)</math>
जहां के<sub>''n''</sub>(x) एक बेसेल फलन है#संशोधित बेसेल फलन: I.CE.B1.2C K.CE.B1, y<sub>''n''</sub>(x) साधारण बहुपद है, और θ<sub>''n''</sub>(x) विपरीत बहुपद है <!-- Even though the reference calls y the reverse -->.<ref name="Grosswald" />{{rp|7,34}} उदाहरण के लिए:<ref>[http://www.wolframalpha.com/input/?i=15x^3%2B15x^2%2B6x%2B1%3D%3DSqrt%5B2%2F%28Pi+x%29%5D+Exp%5B1%2Fx%5D+BesselK%5B3.5%2C+1%2Fx%5D Wolfram Alpha example]</ref>
जहां के<sub>''n''</sub>(x) एक बेसेल फलन है संशोधित बेसेल फलन:आईसीई.बी1.2सी के.सीई.बी1, y<sub>''n''</sub>(x) साधारण बहुपद है, और θ<sub>''n''</sub>(x) विपरीत बहुपद है .<ref name="Grosswald" />{{rp|7,34}} उदाहरण के लिए:<ref>[http://www.wolframalpha.com/input/?i=15x^3%2B15x^2%2B6x%2B1%3D%3DSqrt%5B2%2F%28Pi+x%29%5D+Exp%5B1%2Fx%5D+BesselK%5B3.5%2C+1%2Fx%5D Wolfram Alpha example]</ref>
:<math>y_3(x)=15x^3+15x^2+6x+1 = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,e^{1/x}K_{3+\frac 1 2}(1/x)</math>
:<math>y_3(x)=15x^3+15x^2+6x+1 = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,e^{1/x}K_{3+\frac 1 2}(1/x)</math>




[[संगम हाइपरज्यामितीय समारोह]] के रूप में परिभाषा ==
 
[[संगम हाइपरज्यामितीय समारोह|हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन]] के रूप में परिभाषा ==


बेसेल बहुपद को एक मिश्रित अतिज्यामितीय फलन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है<ref>{{cite arXiv
बेसेल बहुपद को एक मिश्रित अतिज्यामितीय फलन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है<ref>{{cite arXiv
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:<math>\theta_n(x)=\frac{(-2n)_n}{(-2)^n}\,\,_1F_1(-n;-2n;2x)</math>
:<math>\theta_n(x)=\frac{(-2n)_n}{(-2)^n}\,\,_1F_1(-n;-2n;2x)</math>
जहां (−2n)<sub>''n''</sub> Pochhammer प्रतीक (बढ़ती तथ्यात्मक) है।
जहां (−2n)<sub>''n''</sub> पोचममेर प्रतीक (बढ़ती तथ्यात्मक) है।


=== जनरेटिंग फंक्शन ===
=== जनरेटिंग फंक्शन ===

Revision as of 13:17, 17 March 2023

गणित में, बेसेल बहुपद बहुपदों का एक ओर्थोगोनल बहुपद अनुक्रम हैं। कई अलग-अलग लेकिन सूक्ष्मता से संबंधित परिभाषाएँ हैं। गणितज्ञों द्वारा समर्थित परिभाषा श्रृंखला द्वारा दी गई है[1]: 101 

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरों द्वारा समर्थित एक अन्य परिभाषा को कभी-कभी रिवर्स बेसेल बहुपद के रूप में जाना जाता है[2]: 8 [3]: 15 

दूसरी परिभाषा के गुणांक पहले के समान हैं लेकिन विपरीत क्रम में हैं। उदाहरण के लिए, तृतीय-डिग्री बेसेल बहुपद है

जबकि थर्ड-डिग्री रिवर्स बेसेल बहुपद है

बेसल फिल्टर के डिजाइन में रिवर्स बेसेल बहुपद का उपयोग किया जाता है।

गुण

बेसेल कार्यों के संदर्भ में परिभाषा

बेसेल बहुपद को बेसेल फलनों का उपयोग करके भी परिभाषित किया जा सकता है जिससे बहुपद को अपना नाम मिलता है।

जहां केn(x) एक बेसेल फलन है संशोधित बेसेल फलन:आईसीई.बी1.2सी के.सीई.बी1, yn(x) साधारण बहुपद है, और θn(x) विपरीत बहुपद है .[2]: 7, 34  उदाहरण के लिए:[4]