असंगत प्रवाह

"अपरिमेय" redirects here. For वेक्टर क्षेत्रों की संपत्ति, see सोलेनोइडल वेक्टर क्षेत्र. For टोपोलॉजिकल संपत्ति, see असंपीड्य सतह. For तार जो किसी दिए गए संपीड़न एल्गोरिदम द्वारा कम नहीं किए जा सकते हैं, see असंपीड्य स्ट्रिंग.

द्रव यांत्रिकी या अधिक सामान्यतः सातत्य यांत्रिकी में, असंपीड्य प्रवाह (आइसोकोरिक प्रवाह) एक प्रवाह को संदर्भित करता है जिसमें द्रव पार्सल के भीतर सामग्रीघनत्व स्थिर होता है - एक असीम मात्रा जोप्रवाह वेग के साथ चलती है। एक समतुल्य कथन जो असंपीड्यता का तात्पर्य है कि प्रवाह वेग काविचलन शून्य है।

असंगत प्रवाह का अर्थ यह नहीं है कि तरल पदार्थ स्वयं अक्षम्य है। यह नीचे की व्युत्पत्ति में दिखाया गया है कि (सही परिस्थितियों में) संपीड़ित तरल पदार्थ भी - एक अच्छे सन्निकटन के लिए - एक असंगत प्रवाह के रूप में तैयार किए जा सकते हैं। असंगत प्रवाह का तात्पर्य है कि घनत्व द्रव के एक पार्सल के अन्दर स्थिर रहता है जो प्रवाह वेग के साथ चलता है।

व्युत्पत्ति

असंगत प्रवाह के लिए मौलिक आवश्यकता यह है कि घनत्व, $\rho$, एक छोटे तत्व की मात्रा, डीवी के भीतर स्थिर है, जो प्रवाह वेग 'यू' पर चलता है।गणितीय रूप से, इस बाधा का अर्थ है कि घनत्व की सामग्री व्युत्पन्न (नीचे चर्चा की गई) को अपूर्ण प्रवाह सुनिश्चित करने के लिए गायब हो जाना चाहिए।इस बाधा को शुरू करने से पहले, हमें आवश्यक संबंध उत्पन्न करने के लिए द्रव्यमान के संरक्षण को लागू करना होगा।द्रव्यमान की गणना घनत्व के एक आयत अभिन्न अंग द्वारा की जाती है, $\rho$:

${m}={\iiint \limits _{V}\!\rho \,\mathrm {d} V}.$

द्रव्यमान के संरक्षण के लिए आवश्यक है कि एक नियंत्रण मात्रा के अंदर द्रव्यमान का समय व्युत्पन्न अपनी सीमाओं के पार द्रव्यमान प्रवाह, जे के बराबर हो।गणितीय रूप से, हम एक सतह अभिन्न के संदर्भ में इस बाधा का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं:

${\partial m \over \partial t}=-$ $S$ $\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

उपरोक्त अभिव्यक्ति में नकारात्मक संकेत यह सुनिश्चित करता है कि बाहरी प्रवाह के परिणामस्वरूप द्रव्यमान में समय के संबंध में कमी होती है, उस सम्मेलन का उपयोग करते हुए जो सतह क्षेत्र वेक्टर बाहर की ओर इंगित करता है।अब, विचलन प्रमेय का उपयोग करके हम प्रवाह और आंशिक समय व्युत्पन्न के बीच संबंध को प्राप्त कर सकते हैं:

${\iiint \limits _{V}{\partial \rho \over \partial t}\,\mathrm {d} V}={-\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} V},$

इसलिए:

${\partial \rho \over \partial t}=-\nabla \cdot \mathbf {J} .$

समय के संबंध में घनत्व के आंशिक व्युत्पन्न को असंगत प्रवाह सुनिश्चित करने के लिए गायब होने की आवश्यकता नहीं है।जब हम समय के संबंध में घनत्व के आंशिक व्युत्पन्न की बात करते हैं, तो हम निश्चित स्थिति के नियंत्रण मात्रा के भीतर परिवर्तन की इस दर को संदर्भित करते हैं।घनत्व के आंशिक समय व्युत्पन्न को गैर-शून्य होने देने से, हम खुद को असंगत तरल पदार्थों तक सीमित नहीं कर रहे हैं, क्योंकि घनत्व एक निश्चित स्थिति से देखे जाने के रूप में बदल सकता है क्योंकि द्रव नियंत्रण मात्रा के माध्यम से प्रवाहित होता है।यह दृष्टिकोण व्यापकता को बनाए रखता है, और यह आवश्यक नहीं है कि घनत्व के गायब होने का आंशिक समय व्युत्पन्न दिखाता है कि संपीड़ित तरल पदार्थ अभी भी असंगत प्रवाह से गुजर सकते हैं।क्या रुचियां हमें एक नियंत्रण मात्रा के घनत्व में परिवर्तन है जो प्रवाह वेग, 'यू' के साथ चलती है।प्रवाह निम्न फ़ंक्शन के माध्यम से प्रवाह वेग से संबंधित है:

${\mathbf {J} }={\rho \mathbf {u} }.$

ताकि द्रव्यमान के संरक्षण का अर्थ है कि:

${\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }+{\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}=0.$

पिछला संबंध (जहां हमने उपयुक्त वेक्टर कैलकुलस पहचान का उपयोग किया है) को NAVIER -STOKES समीकरण#निरंतरता समीकरण के रूप में जाना जाता है, जो कि असंगत तरल पदार्थ के लिए समीकरण समीकरण है।अब, हमें घनत्व के कुल व्युत्पन्न के बारे में निम्नलिखित संबंध की आवश्यकता है (जहां हम श्रृंखला नियम लागू करते हैं):

${\mathrm {d} \rho \over \mathrm {d} t}={\partial \rho \over \partial t}+{\partial \rho \over \partial x}{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial y}{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial z}{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} t}.$

इसलिए यदि हम एक नियंत्रण मात्रा चुनते हैं जो द्रव (यानी (dx/dt, & nbsp; dy/dt, & nbsp; dz/dt) & nbsp; = & nbsp; 'u') के समान दर से आगे बढ़ रहा है, तो यह अभिव्यक्ति सरल रूप से सरल बनाती है, तो यह अभिव्यक्ति सरल बनाती है।सामग्री व्युत्पन्न के लिए:

${D\rho \over Dt}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }.$

और इसलिए ऊपर दिए गए निरंतरता समीकरण का उपयोग करते हुए, हम देखते हैं कि:

${D\rho \over Dt}={-\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}.$

समय के साथ घनत्व में बदलाव का मतलब यह होगा कि द्रव या तो संकुचित या विस्तारित हो गया था (या यह कि हमारे निरंतर मात्रा में निहित द्रव्यमान, डीवी, बदल गया था), जिसे हमने निषिद्ध कर दिया है।हमें तब आवश्यकता होनी चाहिए कि घनत्व की सामग्री व्युत्पन्न गायब हो जाए, और समकक्ष (गैर-शून्य घनत्व के लिए) इसलिए प्रवाह वेग का विचलन होना चाहिए:

$$