डिक्सन बहुपद: Difference between revisions

Revision as of 16:30, 17 March 2023

गणित में, डिक्सन बहुपद, जिसे $D n (x, α)$ द्वारा निरूपित किया जाता है, एल.ई. डिक्सन (1897) द्वारा प्रस्तुत एक बहुपद अनुक्रम बनाता है। ब्रेवर (1961) द्वारा ब्रेवर योगों के अपने अध्ययन में उन्हें फिर से खोजा गया कई बार, यद्यपि कदाचित, ब्रेवर बहुपद के रूप में संदर्भित किया गया हो।

सम्मिश्र संख्याओं में, डिक्सन बहुपद चर के परिवर्तन के साथ अनिवार्य रूप से चेबीशेव बहुपदों के समतुल्य हैं, और, वस्तुतः, डिक्सन बहुपदों को कभी-कभी चेबीशेव बहुपद कहा जाता है।

डिक्सन बहुपदों का अध्ययन सामान्यतः परिमित क्षेत्रों पर किया जाता है, जहाँ वे कभी-कभी चेबीशेव बहुपदों के समतुल्य नहीं हो सकते हैं। उनमें रुचि का एक मुख्य कारण निश्चित $α$ के लिए, वे क्रमपरिवर्तन बहुपदों के कई उदाहरण देते हैं; परिमित क्षेत्रों के क्रमपरिवर्तन के रूप में कार्य करने वाले बहुपद।

परिभाषा

प्रथम प्रकार

पहचान के साथ क्रमविनिमेय वलय $R$ में पूर्णांक $n > 0$ और $α$ के लिए (प्रायः परिमित क्षेत्र $F q = GF(q)$ चुना जाता है ) $R$ पर डिक्सन बहुपद (प्रथम प्रकार का)^[1]

D_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n}{n-i}}{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,

द्वारा दिया जाता है।

पूर्व कुछ डिक्सन बहुपद

{\begin{aligned}D_{1}(x,\alpha )&=x\\D_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-2\alpha \\D_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-3x\alpha \\D_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-4x^{2}\alpha +2\alpha ^{2}\\D_{5}(x,\alpha )&=x^{5}-5x^{3}\alpha +5x\alpha ^{2}\,\end{aligned}}

हैं।

वे प्रारंभिक शर्तों $D 0 (x, α) = 2$ और $D 1 (x, α) = x$ के साथ $n \geq 2$ ,

D_{n}(x,\alpha )=xD_{n-1}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2}(x,\alpha )\,,

के लिए पुनरावृत्ति संबंध द्वारा भी उत्पन्न हो सकते हैं।

गुणांक पूर्व दो पदों के लिए न्यूनतम अंतर के साथ ओईआईएस^[2]^[3]^[4]^[5] में कई स्थानों पर दिए गए हैं।

द्वितीय प्रकार

द्वितीय प्रकार के डिक्सन बहुपद, $E n (x, α)$

E_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}

द्वारा परिभाषित किए गए हैं।

उनका अधिक अध्ययन नहीं किया गया है, और प्रथम प्रकार के डिक्सन बहुपदों के समान गुण हैं। द्वितीय प्रकार के पूर्व कुछ डिक्सन बहुपद

{\begin{aligned}E_{0}(x,\alpha )&=1\\E_{1}(x,\alpha )&=x\\E_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-\alpha \\E_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-2x\alpha \\E_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-3x^{2}\alpha +\alpha ^{2}\,\end{aligned}}

हैं।

वे प्रारंभिक स्थितियों $E 0 (x, α) = 1$ और $E 1 (x, α) = x$ के साथ $n \geq 2$ ,

E_{n}(x,\alpha )=xE_{n-1}(x,\alpha )-\alpha E_{n-2}(x,\alpha )\,

के लिए पुनरावृत्ति संबंध द्वारा भी उत्पन्न हो सकते हैं।

गुणांक भी ओईआईएस में दिए गए हैं।^[6]^[7]

गुण

$D n$ अद्वितीय मोनिक बहुपद हैं जो कार्यात्मक समीकरण

D_{n}\left(u+{\frac {\alpha }{u}},\alpha \right)=u^{n}+\left({\frac {\alpha }{u}}\right)^{n},

को संतुष्ट करते हैं, जहां $α \in F q$ और $u \neq 0 \in F q 2$ ।^[8]

वे एक संयोजन नियम,^[8]

$D_{mn}(x,\alpha )=D_{m}{\bigl (}D_{n}(x,\alpha ),\alpha ^{n}{\bigr )}\,=D_{n}{\bigl (}D_{m}(x,\alpha ),\alpha ^{m}{\bigr )}\,$

को भी पूरा करते हैं।

 $E n$    $α \in F q$  और  $y \in F q 2$  के साथ   $y \neq 0$ ,  $y 2 \neq α$  के लिए एक कार्यात्मक समीकरण^[8]

 $E_{n}\left(y+{\frac {\alpha }{y}},\alpha \right)={\frac {y^{n+1}-\left({\frac {\alpha }{y}}\right)^{n+1}}{y-{\frac {\alpha }{y}}}}\,$ को भी संतुष्ट करता है।

डिक्सन बहुपद $y = D n$ साधारण अवकल समीकरण का एक हल है

\left(x^{2}-4\alpha \right)y''+xy'-n^{2}y=0\,,

और डिक्सन बहुपद $y = E n$ अवकल समीकरण का एक हल है

\left(x^{2}-4\alpha \right)y''+3xy'-n(n+2)y=0\,.

इनका जनरेटिंग फंक्शन#साधारण जनरेटिंग फंक्शन हैं

{\begin{aligned}\sum _{n}D_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {2-xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\\\sum _{n}E_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {1}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,.\end{aligned}}

अन्य बहुपदों के लिंक

उपरोक्त पुनरावृत्ति संबंध से, डिक्सन बहुपद लुकास अनुक्रम हैं। विशेष तौर पर $α = -1$ , पूर्व प्रकार के डिक्सन बहुपद फाइबोनैचि बहुपद बहुपद हैं, और दूसरे प्रकार के डिक्सन बहुपद लुकास बहुपद हैं।

उपरोक्त रचना नियम के अनुसार, जब α इडेम्पोटेंट (रिंग थ्योरी) है, तो प्रथम प्रकार के डिक्सन बहुपदों की रचना क्रमविनिमेय है।

पैरामीटर के साथ डिक्सन बहुपद $α = 0$ एकपदी दें।

$D_{n}(x,0)=x^{n}\,.$

पैरामीटर के साथ डिक्सन बहुपद $α = 1$ चेबिशेव बहुपदों से संबंधित हैं $T n (x) = cos (n arccos x)$ द्वारा प्रथम प्रकार का^[1]

$D_{n}(2x,1)=2T_{n}(x)\,.$

डिक्सन बहुपद के बाद से $D n (x, α)$ को अतिरिक्त idempotent वाले रिंगों पर परिभाषित किया जा सकता है, $D n (x, α)$ प्रायः चेबीशेव बहुपद से संबंधित नहीं होता है।

क्रमपरिवर्तन बहुपद और डिक्सन बहुपद

एक क्रमचय बहुपद (किसी दिए गए परिमित क्षेत्र के लिए) वह है जो परिमित क्षेत्र के तत्वों के क्रमचय के रूप में कार्य करता है।

डिक्सन बहुपद $D n (x, α)$ (के एक कार्य के रूप में माना जाता है $x$ स्थिर α के साथ) क्षेत्र के लिए एक क्रमचय बहुपद है $q$ तत्व अगर और केवल अगर $n$ कोप्राइम है $q 2 - 1$ ।^[9]

Fried (1970) ने साबित किया कि कोई भी अभिन्न बहुपद जो अनंत रूप से कई प्रमुख क्षेत्रों के लिए एक क्रमचय बहुपद है, डिक्सन बहुपद और रैखिक बहुपद (तर्कसंगत गुणांक के साथ) की एक रचना है। यह दावा शूर के अनुमान के रूप में जाना जाता है, यद्यपि वस्तुतः शूर ने यह अनुमान नहीं लगाया था। चूंकि फ्राइड के पेपर में कई त्रुटियां थीं, एक सही खाता दिया गया था Turnwald (1995), और बाद में Müller (1997) ने शूर के कारण तर्क की तर्ज पर एक सरल प्रमाण दिया।

आगे, Müller (1997) सिद्ध किया कि परिमित क्षेत्र पर कोई भी क्रमचय बहुपद $F q$ जिसकी डिग्री एक साथ coprime है $q$ और उससे कम $q.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/4$ डिक्सन बहुपदों और रैखिक बहुपदों का संयोजन होना चाहिए।

सामान्यीकरण

परिमित क्षेत्रों पर दोनों प्रकार के डिक्सन बहुपदों को सामान्यीकृत डिक्सन बहुपदों के अनुक्रम के प्रारंभिक सदस्यों के रूप में माना जा सकता है, जिन्हें डिक्सन बहुपद कहा जाता है। {{math|(k + 1)}वें प्रकार।^[10] विशेष तौर पर $α \neq 0 \in F q$ साथ $q = p e$ कुछ प्राइम के लिए $p$ और कोई पूर्णांक $n \geq 0$ और $0 \leq k < p$ , द $n$ वें डिक्सन बहुपद {{math|(k + 1)}वें प्रकार खत्म $F q$ , द्वारा चिह्नित $D n, k (x, α)$ द्वारा परिभाषित किया गया है^[11]

D_{0,k}(x,\alpha )=2-k

और

D_{n,k}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n-ki}{n-i}}{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.

$D n,0 (x, α) = D n (x, α)$ और $D n,1 (x, α) = E n (x, α)$ , यह दर्शाता है कि यह परिभाषा डिक्सन के मूल बहुपदों को एकीकृत और सामान्यीकृत करती है।

डिक्सन बहुपदों के महत्वपूर्ण गुण भी सामान्यीकरण करते हैं:^[12]

पुनरावृत्ति संबंध: के लिए $n \geq 2$ ,

D_{n,k}(x,\alpha )=xD_{n-1,k}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2,k}(x,\alpha )\,,

प्रारंभिक शर्तों के साथ

D 0, k (x, α) = 2 - k

और

D 1, k (x, α) = x

।

कार्यात्मक समीकरण:

D_{n,k}\left(y+\alpha y^{-1},\alpha \right)={\frac {y^{2n}+k\alpha y^{2n-2}+\cdots +k\alpha ^{n-1}y^{2}+\alpha ^{n}}{y^{n}}}={\frac {y^{2n}+{\alpha }^{n}}{y^{n}}}+\left({\frac {k\alpha }{y^{n}}}\right){\frac {y^{2n}-{\alpha }^{n-1}y^{2}}{y^{2}-\alpha }}\,,

कहाँ

y \neq 0

,

y 2 \neq α

।

उत्पन्न समारोह:

\sum _{n=0}^{\infty }D_{n,k}(x,\alpha )z^{n}={\frac {2-k+(k-1)xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,.

↑ ^1.0 ^1.1 Lidl & Niederreiter 1983, p. 355
↑ see OEIS A132460
↑ see OEIS A213234
↑ see OEIS A113279
↑ see OEIS A034807, this one without signs but with a lot of references
↑ see OEIS A115139
↑ see OEIS A011973, this one again without signs but with a lot of references
↑ ^8.0 ^8.1 ^8.2 Mullen & Panario 2013, p. 283
↑ Lidl & Niederreiter 1983, p. 356
↑ Wang, Q.; Yucas, J. L. (2012), "Dickson polynomials over finite fields", Finite Fields and Their Applications, 18 (4): 814–831, doi:10.1016/j.ffa.2012.02.001
↑ Mullen & Panario 2013, p. 287
↑ Mullen & Panario 2013, p. 288

संदर्भ

Brewer, B. W. (1961), "On certain character sums", Transactions of the American Mathematical Society, 99 (2): 241–245, doi:10.2307/1993392, ISSN 0002-9947, JSTOR 1993392, MR 0120202, Zbl 0103.03205
Dickson, L. E. (1897). "The analytic representation of substitutions on a power of a prime number of letters with a discussion of the linear group I,II". Ann. of Math. The Annals of Mathematics. 11 (1/6): 65–120, 161–183. doi:10.2307/1967217. hdl:2027/uiuo.ark:/13960/t4zh9cw1v. ISSN 0003-486X. JFM 28.0135.03. JSTOR 1967217.
Fried, Michael (1970). "On a conjecture of Schur". Michigan Math. J. 17: 41–55. doi:10.1307/mmj/1029000374. ISSN 0026-2285. MR 0257033. Zbl 0169.37702.
Lidl, R.; Mullen, G. L.; Turnwald, G. (1993). Dickson polynomials. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. Vol. 65. Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the United States with John Wiley & Sons, Inc., New York. ISBN 978-0-582-09119-1. MR 1237403. Zbl 0823.11070.
Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1983). Finite fields. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 20 (1st ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-13519-0. Zbl 0866.11069.
Mullen, Gary L. (2001) [1994], "Dickson polynomials", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Handbook of Finite Fields, CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
Müller, Peter (1997). "A Weil-bound free proof of Schur's conjecture". Finite Fields and Their Applications. 3: 25–32. doi:10.1006/ffta.1996.0170. Zbl 0904.11040.
Rassias, Thermistocles M.; Srivastava, H.M.; Yanushauskas, A. (1991). Topics in Polynomials of One and Several Variables and Their Applications: A Legacy of P.L.Chebyshev. World Scientific. pp. 371–395. ISBN 978-981-02-0614-7.
Turnwald, Gerhard (1995). "On Schur's conjecture". J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 58 (3): 312–357. doi:10.1017/S1446788700038349. MR 1329867. Zbl 0834.11052.
Young, Paul Thomas (2002). "On modified Dickson polynomials" (PDF). Fibonacci Quarterly. 40 (1): 33–40.

[LN355-1] 1.0 ^1.1 Lidl & Niederreiter 1983, p. 355

[2] see OEIS A132460

[3] see OEIS A213234

[4] see OEIS A113279

[5] see OEIS A034807, this one without signs but with a lot of references

[6] see OEIS A115139

[7] see OEIS A011973, this one again without signs but with a lot of references

[MP283-8] 8.0 ^8.1 ^8.2 Mullen & Panario 2013, p. 283

[LN356-9] Lidl & Niederreiter 1983, p. 356

[10] Wang, Q.; Yucas, J. L. (2012), "Dickson polynomials over finite fields", Finite Fields and Their Applications, 18 (4): 814–831, doi:10.1016/j.ffa.2012.02.001

[11] Mullen & Panario 2013, p. 287

[12] Mullen & Panario 2013, p. 288

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

@@ Line 29: / Line 29: @@
 === द्वितीय प्रकार ===
-द्वितीय प्रकार के डिक्सन बहुपद, {{math|''E<sub>n</sub>''(''x'',''α'')}} द्वारा परिभाषित किया गया है
+द्वितीय प्रकार के डिक्सन बहुपद, {{math|''E<sub>n</sub>''(''x'',''α'')}}
-:<math>E_n(x,\alpha)=\sum_{i=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\binom{n-i}{i} (-\alpha)^i x^{n-2i}. </math>
+:<math>E_n(x,\alpha)=\sum_{i=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\binom{n-i}{i} (-\alpha)^i x^{n-2i} </math>
-उनका अधिक अध्ययन नहीं किया गया है, और प्रथम प्रकार के डिक्सन बहुपदों के समान गुण हैं।
+:द्वारा परिभाषित किए गए हैं।
-द्वितीय प्रकार के पूर्व कुछ डिक्सन बहुपद हैं
+उनका अधिक अध्ययन नहीं किया गया है, और प्रथम प्रकार के डिक्सन बहुपदों के समान गुण हैं। द्वितीय प्रकार के पूर्व कुछ डिक्सन बहुपद
 :<math>\begin{align}
@@ Line 39: / Line 39: @@
 E_2(x,\alpha) &= x^2 - \alpha \\
 E_3(x,\alpha) &= x^3 - 2x\alpha \\
-E_4(x,\alpha) &= x^4 - 3x^2\alpha + \alpha^2 \,.
+E_4(x,\alpha) &= x^4 - 3x^2\alpha + \alpha^2 \,
 \end{align}</math>
-वे पुनरावृत्ति संबंध द्वारा भी उत्पन्न हो सकते हैं {{math|''n'' ≥ 2}},
+हैं।
-:<math>E_n(x,\alpha) = xE_{n-1}(x,\alpha)-\alpha E_{n-2}(x,\alpha) \,,</math>
+वे प्रारंभिक स्थितियों  {{math|''E''<sub>0</sub>(''x'',''α'') {{=}} 1}} और {{math|''E''<sub>1</sub>(''x'',''α'') {{=}} ''x''}} के साथ {{math|''n'' ≥ 2}},
-प्रारंभिक शर्तों के साथ {{math|''E''<sub>0</sub>(''x'',''α'') {{=}} 1}} और {{math|''E''<sub>1</sub>(''x'',''α'') {{=}} ''x''}}.
+:<math>E_n(x,\alpha) = xE_{n-1}(x,\alpha)-\alpha E_{n-2}(x,\alpha) \,</math>
+के लिए पुनरावृत्ति संबंध द्वारा भी उत्पन्न हो सकते हैं।
 गुणांक भी ओईआईएस में दिए गए हैं।<ref>{{citation | title=see OEIS A115139| url= https://oeis.org/A115139}}</ref><ref>{{citation | title=see OEIS A011973, this one again without signs but with a lot of references| url= https://oeis.org/A011973}}</ref>
+== गुण ==
+{{math|''D<sub>n</sub>''}} अद्वितीय मोनिक बहुपद हैं जो कार्यात्मक समीकरण
+:<math>D_n\left(u + \frac{\alpha}{u},\alpha\right) = u^n + \left(\frac{\alpha}{u}\right)^n, </math>
+को संतुष्ट करते हैं, जहां  {{math|''α'' ∈ '''F'''<sub>''q''</sub>}} और {{math|''u'' ≠ 0 ∈ '''F'''<sub>''q''<sup>2</sup></sub>}}।<ref name="MP283">{{harvnb|Mullen|Panario|2013|loc=p. 283}}</ref>
+वे एक संयोजन नियम,<ref name="MP283" />
-== गुण == {{math|''D<sub>n</sub>''}}} कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करने वाले अद्वितीय मोनिक बहुपद हैं
+<math>D_{mn}(x,\alpha) = D_m\bigl(D_n(x,\alpha),\alpha^n\bigr) \,= D_n\bigl(D_m(x,\alpha),\alpha^m\bigr) \,  </math>
-:<math>D_n\left(u + \frac{\alpha}{u},\alpha\right) = u^n + \left(\frac{\alpha}{u}\right)^n, </math>
+को भी पूरा करते हैं।
-कहाँ {{math|''α'' ∈ '''F'''<sub>''q''</sub>}} और {{math|''u'' ≠ 0 ∈ '''F'''<sub>''q''<sup>2</sup></sub>}}.<ref name=MP283>{{harvnb|Mullen|Panario|2013|loc=p. 283}}</ref>
-वे एक रचना नियम को भी पूरा करते हैं,<ref name=MP283 />:<math>D_{mn}(x,\alpha) = D_m\bigl(D_n(x,\alpha),\alpha^n\bigr) \,= D_n\bigl(D_m(x,\alpha),\alpha^m\bigr) \, . </math>
+ {{math|''E<sub>n</sub>''}}  {{math|''α'' ∈ '''F'''<sub>''q''</sub>}} और {{math|''y'' ∈ '''F'''<sub>''q''<sup>2</sup></sub>}} के साथ  {{math|''y'' ≠ 0}}, {{math|''y''<sup>2</sup> ≠ ''α''}} के लिए एक कार्यात्मक समीकरण<ref name="MP283" />
-  {{math|''E<sub>n</sub>''}}} एक कार्यात्मक समीकरण को भी संतुष्ट करता है<ref name=MP283 />:<math>E_n\left(y + \frac{\alpha}{y}, \alpha\right) = \frac{y^{n+1} - \left(\frac{\alpha}{y}\right)^{n+1}}{y - \frac{\alpha}{y}} \,,</math>
+  <math>E_n\left(y + \frac{\alpha}{y}, \alpha\right) = \frac{y^{n+1} - \left(\frac{\alpha}{y}\right)^{n+1}}{y - \frac{\alpha}{y}} \,</math>को भी संतुष्ट करता है।
-के लिए {{math|''y'' ≠ 0}}, {{math|''y''<sup>2</sup> ≠ ''α''}}, साथ {{math|''α'' ∈ '''F'''<sub>''q''</sub>}} और {{math|''y'' ∈ '''F'''<sub>''q''<sup>2</sup></sub>}}.
 डिक्सन बहुपद {{math|''y'' {{=}} ''D<sub>n</sub>''}} साधारण अवकल समीकरण का एक हल है
@@ Line 84: / Line 92: @@
 एक क्रमचय बहुपद (किसी दिए गए परिमित क्षेत्र के लिए) वह है जो परिमित क्षेत्र के तत्वों के क्रमचय के रूप में कार्य करता है।
-डिक्सन बहुपद {{math|''D<sub>n</sub>''(''x'', α)}} (के एक कार्य के रूप में माना जाता है {{math|''x''}} स्थिर α के साथ) क्षेत्र के लिए एक क्रमचय बहुपद है {{math|''q''}} तत्व अगर और केवल अगर {{math|''n''}} कोप्राइम है {{math|''q''<sup>2</sup> − 1}}.<ref name="LN356">{{harvnb|Lidl|Niederreiter|1983|loc=p. 356}}</ref>
+डिक्सन बहुपद {{math|''D<sub>n</sub>''(''x'', α)}} (के एक कार्य के रूप में माना जाता है {{math|''x''}} स्थिर α के साथ) क्षेत्र के लिए एक क्रमचय बहुपद है {{math|''q''}} तत्व अगर और केवल अगर {{math|''n''}} कोप्राइम है {{math|''q''<sup>2</sup> − 1}}।<ref name="LN356">{{harvnb|Lidl|Niederreiter|1983|loc=p. 356}}</ref>
 {{harvtxt|Fried|1970}} ने साबित किया कि कोई भी अभिन्न बहुपद जो अनंत रूप से कई प्रमुख क्षेत्रों के लिए एक क्रमचय बहुपद है, डिक्सन बहुपद और रैखिक बहुपद (तर्कसंगत गुणांक के साथ) की एक रचना है।  <!-- See talk page.---> यह दावा शूर के अनुमान के रूप में जाना जाता है, यद्यपि  वस्तुतः शूर ने यह अनुमान नहीं लगाया था। <!-- See talk page ---> चूंकि फ्राइड के पेपर में कई त्रुटियां थीं, एक सही खाता दिया गया था {{harvtxt|Turnwald|1995}}, और बाद में {{harvtxt|Müller|1997}} ने शूर के कारण तर्क की तर्ज पर एक सरल प्रमाण दिया।
@@ Line 101: / Line 109: @@
 *पुनरावृत्ति संबंध: के लिए {{math|''n'' ≥ 2}},
 ::<math>D_{n,k}(x,\alpha) = xD_{n-1,k}(x,\alpha)-\alpha D_{n-2,k}(x,\alpha)\,,</math>
-: प्रारंभिक शर्तों के साथ {{math|''D''<sub>0,''k''</sub>(''x'',''α'') {{=}} 2 − ''k''}} और {{math|''D''<sub>1,''k''</sub>(''x'',''α'') {{=}} ''x''}}.
+: प्रारंभिक शर्तों के साथ {{math|''D''<sub>0,''k''</sub>(''x'',''α'') {{=}} 2 − ''k''}} और {{math|''D''<sub>1,''k''</sub>(''x'',''α'') {{=}} ''x''}}।
 * कार्यात्मक समीकरण:
 ::<math>
 D_{n,k}\left(y + \alpha y^{-1}, \alpha\right) = \frac{y^{2n} +k\alpha y^{2n-2} + \cdots +k\alpha^{n-1}y^2 + \alpha^n}{y^n} = \frac{y^{2n} + {\alpha}^n}{y^n} + \left(\frac{k\alpha}{y^n} \right) \frac{y^{2n} - {\alpha}^{n-1}y^2}{y^2 - \alpha} \,,</math>
-:कहाँ {{math|''y'' ≠ 0}}, {{math|''y''<sup>2</sup> ≠ ''α''}}.
+:कहाँ {{math|''y'' ≠ 0}}, {{math|''y''<sup>2</sup> ≠ ''α''}}।
 *उत्पन्न समारोह:
 ::<math>\sum_{n=0}^{\infty} D_{n,k}(x,\alpha)z^n = \frac{2 - k + (k-1)xz}{1 - xz + \alpha z^2} \,.</math>

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