एहरहार्ट बहुपद: Difference between revisions

Revision as of 11:08, 16 March 2023

गणित में, एक अभिन्न पॉलीटॉप से संबंधित एहरहार्ट बहुपद होता है जो एक पॉलीटोप की मात्रा और पॉलीटोप में पूर्णांक बिंदुओं की संख्या के बीच संबंध को कूटबद्ध करता है। एहरहार्ट बहुपदों के सिद्धांत को यूक्लिडियन प्लेन में पिक के प्रमेय के उच्च-आयामी सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

इन बहुपदों का नाम यूजीन एहरहार्ट के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 1960 के दशक में उनका अध्ययन किया था।

परिभाषा

अनौपचारिक रूप से, यदि $P$ एक पॉलीटोप है, और $tP$ प्रत्येक आयाम में $t$ के एक गुणनखंड द्वारा P का विस्तार करके गठित पॉलीटोप है फिर $L (P, t)$ $tP$ में पूर्णांक जाली बिंदुओं की संख्या है।

अधिक औपचारिक रूप से, यूक्लिडियन इस्पेस $\mathbb {R} ^{n}$ और जली ${\mathcal {L}}$ और एक d-आयामी पॉलीटॉप $P$ में $\mathbb {R} ^{n}$ पर विचार करें, इस विशेषता के साथ कि पॉलीटॉप के सभी शीर्ष जाली के बिंदु हैं। (एक सामान्य उदाहरण ${\mathcal {L}}=\mathbb {Z} ^{n}$ हैं और एक पॉलीटॉप जिसके लिए सभी शीर्षों में पूर्णांक निर्देशांक होते हैं।) मान लेते हैं कि किसी भी सकारात्मक पूर्णांक $t$ के लिए $tP$ , $P$ का t-गुना फैलाव हैं (जाली के आधार पर, प्रत्येक शीर्ष समन्वय को गुणा करके गठित पॉलीटॉप, $t$ के गुणनखंड द्वारा), और

L(P,t)=\#\left(tP\cap {\mathcal {L}}\right)

पॉलीटॉप $tP$ में निहित जाली बिंदुओं की संख्या को मान ले। एहरहार्ट ने 1962 में दिखाया कि $L$ , t में डिग्री $d$ का एक परिमेय बहुपद है, यानी वहाँ परिमेय संख्याएँ उपस्थित हैं $L_{0}(P),\dots ,L_{d}(P)$ ऐसा है कि:

L(P,t)=L_{d}(P)t^{d}+L_{d-1}(P)t^{d-1}+\cdots +L_{0}(P)

सभी सकारात्मक पूर्णांक $t$ के लिए

एक बंद उत्तल पॉलीटोप $P$ के इंटीरियर के एहरहार्ट बहुपद की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

L(\operatorname {int} (P),t)=(-1)^{d}L(P,-t),

जहाँ $d$ , $P$ का आयाम है इस परिणाम को एहरहार्ट-मैकडोनाल्ड पारस्परिकता के रूप में जाना जाता है।^[1]

उदाहरण

यह दूसरा फैलाव है,

t=2

, एक इकाई वर्ग का। इसके नौ पूर्णांक बिंदु हैं।

मान लेते है कि $P$ एक $d$ -आयामी इकाई घन अतिविम हैं, जिसके शीर्ष पूर्णांक जाली बिंदु हैं और जिनके सभी निर्देशांक 0 या 1 हैं। असमानताओं के संदर्भ में,

P=\left\{x\in \mathbb {R} ^{d}:0\leq x_{i}\leq 1;1\leq i\leq d\right\}.

फिर $P$ का $t$ -गुना फैलाव एक घन है जिसकी भुजा की लंबाई $t$ है, जिसमें $(t + 1) d$ पूर्णांक बिंदु हैं। अर्थात्, अतिविम का एहरहार्ट बहुपद $L (P, t) = (t + 1) d$ हैं।.^[2]^[3] इसके अतिरिक्त, यदि हम ऋणात्मक पूर्णांकों पर $L (P, t)$ का मूल्यांकन करते हैं तब

L(P,-t)=(-1)^{d}(t-1)^{d}=(-1)^{d}L(\operatorname {int} (P),t),

जैसा कि हमें एहरहार्ट-मैकडोनाल्ड पारस्परिकता से अपेक्षा करते हैं।

कई अन्य आलंकारिक संख्याओं को एहरहार्ट बहुपदों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वर्ग पिरामिड संख्याएँ वर्ग पिरामिड के एहरहार्ट बहुपदों द्वारा दी जाती हैं, जिसका आधार एक पूर्णांक इकाई वर्ग होता है और जिसकी ऊँचाई एक होती है; इस स्थिति में एहरहार्ट बहुपद $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/6(t + 1)(t + 2)(2t + 3)$ है। ^[4]

एहरहार्ट अर्ध-बहुपद

मान लीजिए कि $P$ एक परिमेय पॉलीटॉप है। दूसरे शब्दों में, मान लीजिए

P = {x \in R^{d}

[1]

[2]

[3]

[4]

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 == बेटके-नेसर प्रमेय ==
-उलरिच बेटके और [[मार्टिन केनेसर]]<ref>{{citation|last1=Betke|first1= Ulrich|last2= Kneser|first2=Martin|authorlink2=Martin Kneser| year=1985 | title=Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen|journal= [[Crelle's Journal|Journal für die reine und angewandte Mathematik]] |volume=358|pages= 202–208|mr=0797683}}</ref> एहरहार्ट गुणांकों के निम्नलिखित विशेषताओं की स्थापना की। एक अभिन्न पॉलीटोप्स पर परिभाषित कार्यात्मक <math>Z</math>  एक <math>\operatorname{SL}(n,\Z)</math> है और अनुवाद अपरिवर्तनीय [[मूल्यांकन (माप सिद्धांत)]] यदि और केवल वास्तविक संख्याएं <math>c_0,\ldots, c_n</math> है, जैसे कि
+उलरिच बेटके और [[मार्टिन केनेसर]]<ref>{{citation|last1=Betke|first1= Ulrich|last2= Kneser|first2=Martin|authorlink2=Martin Kneser| year=1985 | title=Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen|journal= [[Crelle's Journal|Journal für die reine und angewandte Mathematik]] |volume=358|pages= 202–208|mr=0797683}}</ref> ने एहरहार्ट गुणांकों के निम्नलिखित विशेषताओं की स्थापना की। एक अभिन्न पॉलीटोप्स पर परिभाषित कार्यात्मक <math>Z</math>  एक <math>\operatorname{SL}(n,\Z)</math> है और अनुवाद अपरिवर्तनीय [[मूल्यांकन (माप सिद्धांत)]] यदि और केवल वास्तविक संख्याएं <math>c_0,\ldots, c_n</math> है, जैसे कि
 :<math> Z= c_0 L_0+\cdots +c_n L_n.</math>
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 == एहरहार्ट श्रृंखला ==
-हम समाकल के एहरहार्ट बहुपद के लिए एक जनक फलन परिभाषित कर सकते हैं {{math|''d''}}-आयामी पॉलीटॉप {{math|''P''}} जैसा
+हम एक अभिन्न {{math|''d''}}-आयामी पॉलीटॉप {{math|''P''}} के एहरहार्ट बहुपद के लिए एक [[फलन उत्पन्न|जनक फलन]] को परिभाषित कर सकते हैं
 : <math> \operatorname{Ehr}_P(z) = \sum_{t\ge 0} L(P, t)z^t. </math>
-इस श्रृंखला को एक [[तर्कसंगत कार्य]] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। विशेष रूप से, एहरहार्ट ने सिद्ध किया (1962){{cn|date=February 2017}} कि जटिल संख्याएँ उपस्थित हैं <math>h_j^*</math>, <math>0 \le j \le d</math>, जैसे कि एहरहार्ट श्रृंखला {{math|''P''}} है
+इस श्रृंखला को एक [[तर्कसंगत कार्य|परिमेय फलन]] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। विशेष रूप से, एहरहार्ट ने सिद्ध किया (1962){{cn|date=February 2017}} कि जटिल संख्याएँ उपस्थित हैं <math>h_j^*</math>, <math>0 \le j \le d</math>, जैसे कि {{math|''P''}} की एहरहार्ट श्रृंखला है
 :<math>\operatorname{Ehr}_P(z) = \frac{\sum_{j=0}^d h_j^\ast(P) z^j}{(1 - z)^{d + 1}}, \qquad \sum_{j=0}^d h_j^\ast(P) \neq 0.</math>
-इसके अतिरिक्त, रिचर्ड पी. स्टेनली का गैर-नकारात्मकता प्रमेय बताता है कि दी गई परिकल्पनाओं के तहत, <math>h_j^*</math> के लिए गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होंगे <math>0 \le j \le d</math>.
+इसके अतिरिक्त, रिचर्ड पी. स्टेनली का गैर-नकारात्मकता प्रमेय बताता है कि दी गई परिकल्पनाओं के निम्न, <math>h_j^*</math> के लिए गैर-ऋणात्मक पूर्णां<math>0 \le j \le d</math> होंगे
-स्टेनली द्वारा एक अन्य परिणाम से पता चलता है कि अगर {{math|''P''}} में निहित एक जाली पॉलीटॉप है {{math|''Q''}}, तब <math>h_j^*(P) \le h_j^*(Q)</math> सभी के लिए {{math|''j''}}.<ref>{{cite journal|last1=Stanley|first1=Richard|title=A monotonicity property of <math>h</math>-vectors and <math>h^*</math>-vectors|journal=[[European Journal of Combinatorics]]|year=1993|volume=14|issue=3 |pages=251–258 |doi=10.1006/eujc.1993.1028|doi-access=free}}</ref>   <math>h^*</math>वें>-वेक्टर सामान्य रूप से एकरूप नहीं है, लेकिन जब भी यह सममित होता है, और पॉलीटोप में एक नियमित यूनिमॉड्यूलर त्रिभुज होता है।<ref>{{cite journal|last1=Athanasiadis|first1=Christos A.|title=''h''*-सदिश, यूलेरियन बहुपद और रेखांकन के स्थिर बहुशीर्ष| journal= [[Electronic Journal of Combinatorics]]| year=2004| volume=11| issue=2|doi=10.37236/1863| url= http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v11i2r6| doi-access=free}}</ref>
+स्टेनली द्वारा एक अन्य परिणाम से पता चलता है कि अगर {{math|''P''}}, {{math|''Q''}} में निहित एक जाली पॉलीटॉप है तब <math>h_j^*(P) \le h_j^*(Q)</math> सभी {{math|''j''}} के लिए<ref>{{cite journal|last1=Stanley|first1=Richard|title=A monotonicity property of <math>h</math>-vectors and <math>h^*</math>-vectors|journal=[[European Journal of Combinatorics]]|year=1993|volume=14|issue=3 |pages=251–258 |doi=10.1006/eujc.1993.1028|doi-access=free}}</ref>   <math>h^*</math>  सदिश सामान्य रूप से एकरूप नहीं है, लेकिन जब भी यह सममित होता है, और पॉलीटोप में एक नियमित एकमापांकि त्रिभुज होता है।<ref>{{cite journal|last1=Athanasiadis|first1=Christos A.|title=''h''*-सदिश, यूलेरियन बहुपद और रेखांकन के स्थिर बहुशीर्ष| journal= [[Electronic Journal of Combinatorics]]| year=2004| volume=11| issue=2|doi=10.37236/1863| url= http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v11i2r6| doi-access=free}}</ref>
+=== परिमेय पॉलीटोप्स के लिए एहरहार्ट श्रृंखला ===
-=== तर्कसंगत पॉलीटोप्स === के लिए एहरहार्ट श्रृंखला
+जैसा कि पूर्णांक शीर्षो वाले पॉलीटोप्स के स्थिति में, एक परिमेय पॉलीटॉप के लिए एहरहार्ट श्रृंखला को परिभाषित करता है। एक d-आयामी परिमेय पॉलीटॉप {{math|''P''}} के लिए, जहाँ {{math|''D''}} सबसे छोटा पूर्णांक है, जैसे कि {{math|''DP''}} एक पूर्णांक पॉलीटॉप है ({{math|''D''}} को {{math|''P''}} का हर कहा जाता है), तो किसी के पास है
-जैसा कि पूर्णांक कोने वाले पॉलीटोप्स के स्थिति में, एक परिमेय पॉलीटॉप के लिए एहरहार्ट श्रृंखला को परिभाषित करता है। एक डी-आयामी तर्कसंगत पॉलीटॉप के लिए {{math|''P''}}, कहाँ {{math|''D''}} ऐसा सबसे छोटा पूर्णांक है {{math|''DP''}} एक पूर्णांक पॉलीटॉप है ({{math|''D''}} का हर कहा जाता है {{math|''P''}}), तो किसी के पास है
 :<math>\operatorname{Ehr}_P(z) = \sum_{t\ge 0} L(P, t)z^t = \frac{\sum_{j=0}^{D(d+1)} h_j^\ast(P) z^j}{\left(1 - z^D\right)^{d + 1}},</math>
 जहां <math>h_j^*</math> अभी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं।<ref>{{cite journal|last=Stanley|first=Richard P.|authorlink=Richard P. Stanley|title=तर्कसंगत उत्तल पॉलीटोप्स का अपघटन|journal=Annals of Discrete Mathematics|date=1980|volume=6|pages=333–342| doi=10.1016/s0167-5060(08)70717-9|isbn=9780444860484}}</ref><ref>{{cite journal| last1=Beck| first1=Matthias| last2=Sottile| first2= Frank|title=स्टेनली के तीन प्रमेयों के लिए अपरिमेय प्रमाण|journal=[[European Journal of Combinatorics]]|date=January 2007| volume =28|issue=1|pages=403–409|doi=10.1016/j.ejc.2005.06.003|arxiv=math/0501359| s2cid=7801569}}</ref>

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