रोमन सतह

File:Steiner's Roman Surface.gif

रोमन सतह का एक एनीमेशन

गणित में, रोमन सतह या स्टेनर सतह असाधारण रूप से उच्च स्तर की समरूपता के साथ त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वास्तविक प्रक्षेपी तल का एक स्व-प्रतिच्छेदन मानचित्र (गणित) है। यह वास्तविक प्रक्षेपी विमान का विसर्जन (गणित) नहीं है; यद्दपि, एक वक्र के छह विलक्षण बिंदुओं को हटाने से उत्पन्न होने वाला आंकड़ा एक है। इसका नाम इसलिए पड़ा क्योंकि इसकी खोज जैकब स्टेनर ने की थी जब वह 1844 में रोम में थे।

सबसे सरल निर्माण मानचित्र के नीचे उत्पत्ति पर केंद्रित क्षेत्र की छवि के रूप में है $f(x,y,z)=(yz,xz,xy).$ यह का एक निहित सूत्र देता है

$x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}-r^{2}xyz=0.\,$

साथ ही, देशांतर के संदर्भ में गोले का मानकीकरण लेना (θ) और अक्षांश (φ), रोमन सतह के लिए निम्नानुसार प्राचलिक समीकरण देता है:

$x=r^{2}\cos \theta \cos \varphi \sin \varphi$

$y=r^{2}\sin \theta \cos \varphi \sin \varphi$

$z=r^{2}\cos \theta \sin \theta \cos ^{2}\varphi$

मूल एक त्रिपक्षीय बिंदु है, और प्रत्येक xy-, yz-, और xz-विमान वहां की सतह के स्पर्शरेखा होते हैं। स्व-प्रतिच्छेदन के अन्य स्थान दोहरे बिंदु हैं,जो प्रत्येक समन्वय अक्ष के साथ खंडों को परिभाषित करते हैं जो छह चुटकी बिंदुओं में समाप्त होते हैं। पूरी सतह में चतुर्पाश्वीय समरूपता समूह है। यह स्टेनर सतह का एक विशेष प्रकार (जिसे टाइप 1 कहा जाता है) है, जो कि वेरोनीज़ सतह का 3-आयामी रैखिक प्रक्षेपण है।

अंतर्निहित सूत्र की व्युत्पत्ति

सरलता के लिए हम केवल स्थिति r = 1 पर विचार करते हैं। बिंदु (x, y, z) द्वारा परिभाषित गोले को इस प्रकार दिया गया है कि

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,$

हम इन बिंदुओं पर परिवर्तन T द्वारा परिभाषित लागू करते हैं $T(x,y,z)=(yz,zx,xy)=(U,V,W),\,$ कहना।

लेकिन फिर हमारे पास है

${\begin{aligned}U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}&=z^{2}x^{2}y^{4}+x^{2}y^{2}z^{4}+y^{2}z^{2}x^{4}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{2}y^{2}z^{2})\\[8pt]&=(1)(x^{2}y^{2}z^{2})=(xy)(yz)(zx)=UVW,\end{aligned}}$

इसलिए $U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0\,$ जैसी इच्छा थी।

इसके विपरीत, मान लीजिए कि हमें (U, V, W) संतोषजनक दिया गया है

(*) $U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0.\,$

हम साबित करते हैं कि उपस्थित (x,y,z) ऐसा है कि

(**) $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,$

जिसके लिए $U=xy,V=yz,W=zx,\,$

एक अपवाद के साथ: प्रकरण में 3.बी। नीचे, हम दिखाते हैं कि यह प्रमाणित नहीं किया जा सकता है।

1. ऐसे प्रकरण में जहां U, V, W में से कोई भी 0 नहीं है, हम रख सकते हैं

$x={\sqrt {\frac {WU}{V}}},\ y={\sqrt {\frac {UV}{W}}},\ z={\sqrt {\frac {VW}{U}}}.\,$

(ध्यान दें कि (*) इस बात की गारंटी देता है कि या तो U, V, W के तीनों सकारात्मक हैं, या फिर ठीक दो ऋणात्मक हैं। इसलिए ये वर्गमूल धनात्मक संख्याओं के हैं।)

यह पुष्टि करने के लिए (*) का उपयोग करना सरल है कि (**) x, y, z के लिए इस तरह से परिभाषित है।

2. मान लीजिए कि W 0 है। (*) से इसका तात्पर्य है $U^{2}V^{2}=0\,$

और इसलिए U, V में से कम से कम एक को भी 0 होना चाहिए। इससे पता चलता है कि क्या U, V, W में से किसी एक का 0 होना असंभव है।

3. मान लीजिए कि U, V, W में से ठीक दो 0 हैं। व्यापकता को खोए बिना हम मान लेते हैं

(***)$U\neq 0,V=W=0.\,$

यह इस प्रकार है कि $z=0,\,$

(तब से $z\neq 0,\,$ इसका आशय है $x=y=0,\,$ और इसलिए $U=0,\,$ विरोधाभासी (***)।)

a. एक उप-प्रकरण में जहां

$|U|\leq {\frac {1}{2}},$

अगर हम x और y द्वारा निर्धारित करते हैं

$x^{2}={\frac {1+{\sqrt {1-4U^{2}}}}{2}}$

और $y^{2}={\frac {1-{\sqrt {1-4U^{2}}}}{2}},$

यह सुनिश्चित करता है कि (*) धारण करता है। इसे सत्यापित करना सरल है $x^{2}y^{2}=U^{2},\,$

और इसलिए x और y के चिह्नों को उचित रूप से चुनना गारंटी देगा $xy=U.\,$

चूंकि भी $yz=0=V{\text{ and }}zx=0=W,\,$

इससे पता चलता है कि यह उपप्रकरण वांछित बातचीत की ओर ले जाता है।

b. केस 3 के इस शेष उपप्रकरण में, हमारे पास है $|U|>{\frac {1}{2}}.$

तब से $x^{2}+y^{2}=1,\,$

इसे सुनिश्चित करना सरल है $xy\leq {\frac {1}{2}},$

और इस प्रकार इस प्रकरण में, जहां $|U|>1/2,\ V=W=0,$

कोई (x, y, z) संतोषजनक नहीं है $U=xy,\ V=yz,\ W=zx.$

इसलिए समीकरण (*) के समाधान (U, 0, 0) के साथ $|U|>{\frac {1}{2}}$

और इसी तरह, (0, V, 0) के साथ $|V|>{\frac {1}{2}}$

और (0, 0, W) के साथ $|W|>{\frac {1}{2}}$

(जिनमें से प्रत्येक दो टुकड़ों में एक समन्वय अक्ष का एक गैर-सुगठित भाग है) रोमन सतह पर किसी भी बिंदु के अनुरूप नहीं है।

4. यदि (U, V, W) बिंदु (0, 0, 0) है, तो यदि x, y में से कोई दो, z शून्य हैं और तीसरे का पूर्ण मान 1 है, स्पष्ट रूप से $(xy,yz,zx)=(0,0,0)=(U,V,W)\,$ जैसी इच्छा थी।

इसमें सभी संभावित प्रकरणों को सम्मिलित किया गया है।

पैरामीट्रिक समीकरणों की व्युत्पत्ति

मान लीजिए एक गोले की त्रिज्या r, देशांतर φ और अक्षांश θ है। फिर इसके पैरामीट्रिक समीकरण हैं

$x=r\,\cos \theta \,\cos \phi ,$

$y=r\,\cos \theta \,\sin \phi ,$

$z=r\,\sin \theta .$

फिर, इस गोले के सभी बिंदुओं पर परिवर्तन T लागू करने से प्राप्त होता है

$x'=yz=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\sin \phi ,$

$y'=zx=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\cos \phi ,$

$z'=xy=r^{2}\,\cos ^{2}\theta \,\cos \phi \,\sin \phi ,$

जो रोमन सतह पर बिंदु हैं। मान लीजिए φ का परिसर 0 से 2π तक है, और θ का परिसर 0 से π/2 तक है।

वास्तविक प्रक्षेपी तल से संबंध

क्षेत्र, रूपांतरित होने से पहले, वास्तविक प्रक्षेप्य सतह, RP^{2 के लिए होमियोमोर्फिज्म नहीं है।लेकिन मूल बिंदु पर केन्द्रित क्षेत्र में यह संपत्ति है,कि यदि बिंदु (x, y, z) क्षेत्र से संबंधित है, तो प्रतिलोमी संबंधी बिंदु (-x, -y, -z) और ये दो बिंदु अलग है: वे गोले के केंद्र के विपरीत दिशा में लेटें।}

रूपांतरण T इन दोनों प्रतिलोमी संबंधी बिंदुओं को एक ही बिंदु में परिवर्तित करता है,

$T:(x,y,z)\rightarrow (yz,zx,xy),$

$T:(-x,-y,-z)\rightarrow ((-y)(-z),(-z)(-x),(-x)(-y))=(yz,zx,xy).$

चूँकि यह S² के सभी बिंदुओं के लिए सत्य है, तो यह स्पष्ट है कि रोमन सतह एक गोलाकार मॉड्यूलो एंटीपोड्स की एक सतत छवि है। क्योंकि एंटीपोड के कुछ अलग जोड़े सभी रोमन सतह में समान बिंदुओं पर ले जाए जाते हैं, यह RP के लिए होमियोमॉर्फिक नहीं है², लेकिन इसके बजाय वास्तविक प्रोजेक्टिव प्लेन RP का भागफल है² = एस^{2</सुप> / (एक्स~-एक्स). इसके अलावा, नक्शा टी (ऊपर) एस से2 इस भागफल के लिए विशेष संपत्ति है कि यह स्थानीय रूप से एंटीपोडल बिंदुओं के छह जोड़े से दूर इंजेक्शन है। या आरपी से2 परिणामी नक्शा इसे RP का विसर्जन बनाता है2 — माइनस छह पॉइंट — 3-स्पेस में।}

(यह पहले कहा गया था कि रोमन सतह आरपी के लिए होमोमोर्फिक है², लेकिन यह गलती से हुआ था। बाद में यह कहा गया कि रोमन सतह आरपी का विसर्जन है² आर में³, लेकिन वह भी त्रुटि में था।)

रोमन सतह की संरचना

रोमन सतह में चार बल्बनुमा लोब होते हैं, प्रत्येक एक टेट्राहेड्रॉन के एक अलग कोने पर होता है।

एक रोमन सतह का निर्माण तीन ठोस अनुवृत्त को एक साथ जोड़कर और फिर आवश्यक रूप से किनारों को चिकना करके किया जा सकता है ताकि यह एक वांछित आकार (जैसे पैरामीट्रिजेशन) में फिट हो सके।

ये तीन अतिशयोक्तिपूर्ण पैराबोलॉइड होने दें:

• एक्स = यज़,
• वाई = जेडएक्स,
• जेड = एक्सवाई।

ये तीन अतिशयोक्तिपूर्ण पैराबोलॉइड एक टेट्राहेड्रॉन के छह किनारों के साथ बाहरी रूप से और तीन अक्षों के साथ आंतरिक रूप से प्रतिच्छेद करते हैं। आंतरिक चौराहे दोहरे बिंदुओं के स्थान हैं। दोहरे बिंदुओं के तीन लोकी: x = 0, y = 0, और z = 0, उत्पत्ति (गणित) पर एक तिहरे बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

उदाहरण के लिए, दिया गया x = yz और y = zx, दूसरा परवलयज x = y/z के बराबर है। तब

$yz={y \over z}$

और या तो y = 0 या z² = 1 ताकि z = ±1। उनके दो बाहरी चौराहे हैं

• एक्स = वाई, जेड = 1;
• x = -y, z = -1।

इसी तरह, अन्य बाहरी चौराहे हैं

• एक्स = जेड, वाई = 1;
• x = -z, y = -1;
• वाई = जेड, एक्स = 1;
• y = -z, x = -1।

आइए देखते हैं टुकड़ों को एक साथ रखा जा रहा है। परवलयजों y = xz और x = yz को मिलाइए। परिणाम चित्र 1 में दिखाया गया है।

File:JointPairOfHyperbolicParaboloids.PNG

आकृति 1।

Paraboloid y = x z को नीले और नारंगी रंग में दिखाया गया है। परवलयज x = y z को सियान और बैंगनी रंग में दिखाया गया है। छवि में परवलयज z = 0 अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करते हुए दिखाई देते हैं। यदि परवलयज विस्तारित होते हैं, तो उन्हें रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करते हुए भी देखा जाना चाहिए

• जेड = 1, वाई = एक्स;
• z = -1, y = -x।

एक साथ दो परवलयज एक साथ आर्किड की एक जोड़ी की तरह दिखते हैं।

अब उनके माध्यम से तीसरा अतिपरवलयिक परवलयज, z = xy, चलाएँ। परिणाम चित्र 2 में दिखाया गया है।

File:ThreeJointHyperbolicParaboloidsTopView.PNG

चित्र 2।

चित्र 2 में पश्चिम-दक्षिण-पश्चिम और पूर्व-उत्तर-पूर्व दिशाओं में एक जोड़ी द्वार हैं। ये उद्घाटन लोब हैं और इन्हें बंद करने की आवश्यकता है। जब उद्घाटन बंद हो जाते हैं, तो परिणाम चित्र 3 में दिखाई गई रोमन सतह है।

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चित्रा 3. रोमन सतह।

चित्र 3 के पश्चिम और पूर्व दिशाओं में पालियों की एक जोड़ी देखी जा सकती है। पालियों की एक और जोड़ी तीसरे (z = xy) परवलय के नीचे छिपी हुई है और उत्तर और दक्षिण दिशाओं में स्थित है।

यदि तीन अन्तर्विभाजक अतिपरवलयिक परवलयज इतनी दूर खींचे जाते हैं कि वे चतुष्फलक के किनारों के साथ प्रतिच्छेद करते हैं, तो परिणाम चित्र 4 में दिखाया गया है।

चित्रा 4।

लोबों में से एक को चित्र 4 में सामने-सिर पर-दिखाया गया है। लोब को टेट्राहेड्रॉन के चार कोनों में से एक के रूप में देखा जा सकता है।

यदि चित्र 4 में निरंतर सतह के नुकीले किनारे गोलाकार हैं—चिकना कर दिए गए हैं—तो परिणाम चित्र 5 में रोमन सतह है। चित्रा 5. रोमन सतह।चित्र 5 में रोमन सतह के पालियों में से एक को सामने से देखा गया है, और इसका प्रकाश बल्ब - गुब्बारे जैसा - आकार स्पष्ट है।

यदि चित्र 5 में सतह को 180 डिग्री के आसपास घुमाया जाता है और फिर उल्टा कर दिया जाता है, तो परिणाम चित्र 6 में दिखाया गया है।

चित्रा 6. रोमन सतह।

चित्र 6 में तीन पालियों को बग़ल में देखा गया है। पालियों की प्रत्येक जोड़ी के बीच एक समन्वय अक्ष के अनुरूप दोहरे बिंदुओं का स्थान होता है। तीन लोकी मूल बिंदु पर एक तिहरे बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। चौथा लोब छिपा हुआ है और सीधे दर्शक के विपरीत दिशा में इंगित करता है। इस लेख के शीर्ष पर दिखाई गई रोमन सतह में भी तिरछे दृश्य में तीन पालियाँ हैं।

एकतरफापन

रोमन सतह गैर-उन्मुख है, यानी एकतरफा। यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है। इसे देखने के लिए, चित्र 3 को फिर से देखें।

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तीसरे अतिपरवलयिक परवलयज, z = xy के शीर्ष पर एक चींटी की कल्पना करें। इस चींटी को उत्तर की ओर चलने दो। जैसे-जैसे यह चलता है, यह अन्य दो परवलयों से होकर गुजरेगा, जैसे कोई भूत दीवार से गुजरता है। ये अन्य परवलय केवल विसर्जन की स्व-प्रतिच्छेदी प्रकृति के कारण बाधाओं की तरह प्रतीत होते हैं। चींटी को सभी दोहरे और तिहरे बिंदुओं को नज़रअंदाज़ करने दें और सीधे उनके बीच से गुज़रें। तो चींटी उत्तर की ओर बढ़ती है और बोलने के लिए दुनिया के किनारे से गिर जाती है। अब यह खुद को उत्तरी लोब पर पाता है, जो चित्र 3 के तीसरे परवलय के नीचे छिपा हुआ है। चींटी रोमन सतह के बाहर उल्टा खड़ी है।

चींटी को नैऋत्य दिशा की ओर चलने दें। यह एक ढलान (उल्टा-नीचे) पर तब तक चढ़ेगा जब तक कि यह खुद को पश्चिमी लोब के अंदर नहीं पाता। अब चींटी को दक्षिण-पूर्वी दिशा में पश्चिमी लोब के अंदर z = 0 अक्ष की ओर, हमेशा x-y तल के ऊपर चलने दें। जैसे ही यह z = 0 अक्ष से गुजरता है, चींटी पूर्वी लोब के बाहर की ओर होगी, दाहिनी ओर खड़ी होगी।

फिर इसे उत्तर की ओर, पहाड़ी के ऊपर, फिर उत्तर-पश्चिम की ओर बढ़ने दें ताकि यह x = 0 अक्ष की ओर खिसकने लगे। जैसे ही चींटी इस अक्ष को पार करती है, वह अपने आप को उत्तरी पालि के अंदर, दाहिनी ओर ऊपर की ओर खड़ी पाएगी। अब चींटी को उत्तर दिशा की ओर चलने दें। यह दीवार पर चढ़ेगा, फिर उत्तरी लोब की छत के साथ। चींटी तीसरे अतिशयोक्तिपूर्ण परवलयज पर वापस आ गई है, लेकिन इस बार इसके नीचे और उल्टा खड़ा है। (क्लेन बोतल से तुलना करें।)

डबल, ट्रिपल, और पिंचिंग पॉइंट्स

रोमन सतह में चार पालियाँ होती हैं। प्रत्येक लोब की सीमाएं दोहरे बिंदुओं की तीन पंक्तियों का एक समूह हैं। पालियों की प्रत्येक जोड़ी के बीच दोहरे बिंदुओं की एक रेखा होती है। सतह में दोहरे बिंदुओं की कुल तीन रेखाएँ होती हैं, जो निर्देशांक अक्षों पर स्थित होती हैं (पहले दिए गए पैरामीट्रिजेशन में)। दोहरे बिंदुओं की तीन रेखाएँ एक तिहरे बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं जो मूल पर स्थित है। त्रिक बिंदु दोहरे बिंदुओं की रेखाओं को अर्ध-रेखाओं की एक जोड़ी में काटता है, और प्रत्येक अर्ध-रेखा लोबों की एक जोड़ी के बीच स्थित होती है। पिछले बयानों से उम्मीद की जा सकती है कि अंतरिक्ष के प्रत्येक ऑक्टेंट में एक आठ लोब हो सकते हैं, जिसे समन्वय विमानों द्वारा विभाजित किया गया है। लेकिन लोब बारी-बारी से अष्टक पर कब्जा कर लेते हैं: चार अष्टक खाली होते हैं और चार लोब के कब्जे में होते हैं।

यदि रोमन सतह को टेट्राहेड्रॉन के अंदर कम से कम संभावित आयतन के साथ अंकित किया जाता है, तो कोई यह पाएगा कि टेट्राहेड्रॉन का प्रत्येक किनारा एक बिंदु पर रोमन सतह पर स्पर्शरेखा है, और इन छह बिंदुओं में से प्रत्येक एक व्हिटनी गणितीय विलक्षणता है। ये विलक्षणताएं, या पिंचिंग बिंदु, सभी दोहरे बिंदुओं की तीन पंक्तियों के किनारों पर स्थित हैं, और उन्हें इस संपत्ति द्वारा परिभाषित किया गया है: कि विलक्षणता पर किसी भी सतह पर कोई समतल स्पर्शरेखा स्थान नहीं है।

यह भी देखें

• लड़के की सतह - क्रॉस-कैप्स के बिना प्रोजेक्टिव प्लेन का एक एम्बेडिंग
• Tetrahemihexahedron - रोमन सतह के समान एक बहुफलक।

संदर्भ

सामान्य संदर्भ

• एक। कॉफमैन, ए. श्वार्ट्ज, और सी. स्टैंटन: द अलजेब्रा एंड ज्योमेट्री ऑफ स्टेनर एंड अदर क्वाड्रैटिकली पैरामीट्रिजेबल सरफेस। कंप्यूटर एडेड जियोमेट्रिक डिज़ाइन में (3) 13 (अप्रैल 1996), पी। 257-286
• बर्ट जुट्लर, रागी पिएन: जियोमेट्रिक मॉडलिंग और बीजगणितीय ज्यामिति। स्प्रिंगर 2008, ISBN 978-3-540-72184-0, पी। 30 (restricted online copy, p. 30, at Google Books)

बाहरी संबंध

• A. Coffman, "Steiner Surfaces"
• Weisstein, Eric W. "Roman Surface". MathWorld.
• Roman Surfaces at the National Curve Bank (website of the California State University)
• Ashay Dharwadker, Heptahedron and Roman Surface, Electronic Geometry Models, 2004.